Lezioni di Meccanica del volo

Lezioni di Meccanica del Volo
2 - Modello dell’atmosfera
L. Trainelli
1
2
Indice
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
2.3
2.4
INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Caratteristiche dell’atmosfera . . . . . . . . . . . . . . .
Regioni dell’atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Variazione della pressione e della densità con la quota .
ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA)
Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribuzione della pressione e della densità . . . . . . .
Distribuzione della viscosità . . . . . . . . . . . . . . . .
Atmosfere non standard . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 marzo 2008
(Versione 1)
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3
3
3
4
5
5
7
8
9
1 INTRODUZIONE
3
Problem: Flight attendant cold at altitude.
Action: Ground checks OK.
– one of the ‘QUANTAS squawks’ (from the Internet).
1
INTRODUZIONE
In questa sezione consideriamo l’analisi del modello adottato nella Meccanica
del Volo per l’atmosfera terrestre. Si tratta di un argomento di importanza
fondamentale, dato che la porzione d’atmosfera in cui è immerso il velivolo è
caratterizzata da valori di pressione, temperatura, densità, viscosità, etc. da
cui dipendono in modo estremamente significativo tanto le forze aerodinamiche,
quanto le forze propulsive agenti su velivolo stesso.
1.1
Caratteristiche dell’atmosfera
L’atmosfera è una regione gassosa che circonda interamente la Terra. L’aria che
la compone, per la porzione che interessa il volo (troposfera e stratosfera, si veda
oltre) è una miscela di gas (78% N2 , 21% O2 , 1% Ar2 , etc.) che si comporta con
buona approssimazione secondo il modello teorico del gas perfetto. Tale modello
implica che le grandezze di stato pressione p, densità ρ e temperatura ϑ siano
legate dalla legge
p = R ρ ϑ,
(1)
dove R = 287.05 m2 /K s2 . Mediante tale legge, è possibile, date due grandezze
di stato qualsiasi scelte tra (p, ρ, ϑ), determinare la terza.
Uno scostamento da questo comportamento si ha quando l’aria è umida,
ossia quando è presente del vapore acqueo in quantità non trascurabile. Nell’atmosfera l’acqua risulta presente anche allo stato liquido (gocce) e solido (aghi
di ghiaccio), concentrata nei diversi tipi di nube e durante le precipitazioni
meteorologiche.
1.2
Regioni dell’atmosfera
I parametri caratteristici dell’aria circostante un velivolo, come le grandezze di
stato citate, la velocità del suono a, la viscosità µ, etc. dipendono in modo rilevante dalla quota geometrica h. Dall’osservazione sperimentale degli andamenti
medi di tali grandezze con la quota si deduce una classificazione delle diverse
porzioni dell’atmosfera:
• troposfera – dal livello del suolo ad una quota variabile tra gli 8000 m ai
poli e i 17000 m all’equatore; si tratta di una zona caratterizzata da una
progressiva diminuzione della temperatura;
1 INTRODUZIONE
4
• stratosfera – dalla tropopausa (il confine superiore della troposfera) ad
una quota di circa 20000 m; si tratta di una zona caratterizzata da una
temperatura pressochè costante;
• mesosfera – dalla stratopausa (il confine superiore della stratosfera) ad
una quota di circa 90000 m; si tratta di una zona caratterizzata da una
temperatura monotonicamente crescente fino alla quota di 50000 m e poi
monotonicamente decrescente fino a toccare la temperatura minima che si
registri nell’atmosfera terrestre;
• termosfera – dalla mesopausa (il confine superiore della mesosfera) verso
lo spazio esterno; si tratta di una zona caratterizzata da una temperatura
monotonicamente crescente il cui valore, anche superiore a 200◦ C, dipende
fortemente dall’attività solare.
1.3
Variazione della pressione e della densità con la quota
Si assume che l’aria in quiete si comporti come un gas perfetto in equilibrio
statico sotto l’effetto delle sole forze dovute alla pressione p ed al campo di
gravità uniforme1 di intensità g0 = 9.80665 m/s2 , per cui
dp
= −ρ g0 .
dh
(2)
In tal caso, è possibile esprimere la dipendenza della pressione al variare della
quota secondo la relazione
dp
p
=−
g0 ,
(3)
dh
Rϑ
ossia secondo l’equazione differenziale
g0
dp
=−
dh,
p
Rϑ
(4)
Questa, integrata tra una quota di riferimento href ed una quota generica h,
risulta
Z h
Z h
dp
g0
=−
dh
(5)
p
R
ϑ
href
href
ossia
Z h
p(h)
g0
dh
ln
=−
,
(6)
pref
R href ϑ(h)
essendo pref := p(href ). Pertanto, se si conosce la distribuzione ϑ(h) della temperatura con la quota, è possibile valutare la pressione. Per la densità, data
l’equazione 1, si ha
Z h
ϑref
g0
dh
ρ(h)
= ln
−
,
(7)
ln
ρref
ϑ(h)
R href ϑ(h)
1 In queste note manterremo il pedice 0 per il valore dell’accelerazione di gravità allo scopo
di sottolineare che, per motivi convenzionali, tale valore (9.80665 m/s2 ) è leggermente diverso
da quello usato in ogni altra occasione (9.810 m/s2 ).
2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA)
K
0
273.15
373.15
◦
C
−273.15◦
0◦
100◦
5
◦
F
459.67◦
32◦
212◦
Tab. 1: Corrispondenze tra le scale di temperatura assoluta (kelvin), Celsius
(centigradi) e Farenheit.
essendo ρref := ρ(href ) e quindi vale la stessa considerazione.
Unità di misura L’unità di misura della pressione, nel Sistema Internazionale,
è il pascal (Pa), pari a un newton per metro quadrato. Tra le varie unità tecniche
in uso nella pratica aeronautica vanno citate il millibar (mb), l’atmosfera (atm),
il millimetro di mercurio (mmHg ) ed il pollice di mercurio (inHg ).2
Per quanto riguarda la densità, l’unita di misura SI è il kilogrammo per metro
cubo (kg/m3 ), mentre nella pratica aeronautica si può incontrare il grammo per
centimetro cubo (g/cm3 ), la libbra per piede cubico (pound cubic foot, lb/ft3 )
oppure lo slug per piede cubico (slug cubic foot, slug/ft3 ).3
Per la temperatura, l’unità di misura SI è il kelvin (K). Tra le unità in uso
nella pratica aeronautica si trovano il grado centigrado (degree centigrade, ◦ C)
e il grado Farenheit (degree Farenheit, ◦ F).4
2
ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA)
In generale, l’atmosfera terrestre è caratterizzata da parametri (temperatura,
pressione, densità, viscosità, umidità, etc.) dipendenti dal tempo e dalla posizione. Data l’importanza di questi parametri per la dinamica dei velivoli, è
necessario adottare un modello per l’atmosfera che permetta di confrontare dati
e calcoli in modo univoco.
2.1
Definizione
L’Atmosfera Standard Internazionale (International Standard Athmosphere, o
ISA), anche detta Aria Tipo Internazionale, è un modello matematico dell’atmosfera stabilito per convenzione dall’ICAO (International Civil Aviation Organization) nel 1964 e adottato in tutto il mondo per le studio dei fenomeni di
interesse aeronautico.
Nell’ISA, l’aria è considerata un gas perfetto, privo di umidità, di composizione chimica costante. Si assume che l’atmosfera sia composta da una troposfera
che si estende dall’altezza del livello del mare medio, ossia dalla quota h0 = 0 m,
2
1 mb = 1.01 · 10−5 Pa, 1 atm = 101325 Pa, 1 mmHg = 133.32 Pa, 1 inHg = 3386.53 Pa.
1 lb/ft3 = 16.02 kg/m3 , 1 slug/ft3 = 515.38 kg/m3 .
4 1◦ C = 1 K, 1◦ F = 1.8 K. La corrispondenza tra le scale di temperatura è riportata nella
tabella 1.
3
2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA)
quota (m)
0
3000
6000
9000
≥11000
K
288.15
268.65
249.15
229.65
216.65
6
◦
C
15◦
−4.5◦
−24◦
−43.5◦
−56.5◦
Tab. 2: Temperatura ISA al livello medio del mare, alla tropopausa, e ad alcune
quote intermedie.
quota (m)
0
3000
6000
9000
≥11000
m/s
340.29
328.58
316.43
303.79
295.07
km/h
1225.04
1182.87
1139.13
1093.65
1062.25
kts
661.47
639.25
615.61
591.03
573.57
Tab. 3: Velocità del suono ISA al livello medio del mare, alla tropopausa, e ad
alcune quote intermedie.
alla quota hS = 11000 m; da una stratosfera che si estende dall’altezza hS della
tropopausa alla quota hM = 20000 m; da una atmosfera esterna (di interesse
soltanto per il volo extra-atmosferico) che si estende dall’altezza hM della stratopausa in poi. Inoltre, si assume una variazione ben precisa del gradiente di
temperatura λ, definito da
dϑ
λ :=
,
(8)
dh
in ognuna delle porzioni di interesse:
• nella troposfera il gradiente di temperatura ha un valore costante pari a
λISA = −0.0065 K/m;
• nella stratosfera è nullo, λISA = 0 K/m.
In sintesi, pertanto,
½
λISA :=
−0.0065 K/m, h ∈ [h0 , hS )
.
0 K/m, h ∈ [hS , hM )
(9)
La dipendenza della temperatura al variare della quota nella tropopausa è
dunque data da
ϑISA (h) = ϑ0 + λISA h,
h ∈ [h0 , hS ).
(10)
dove ϑ0 := ϑISA (h0 ) = 288.15 K. Il valore ottenuto alla quota di 11000 m è
ϑS := ϑISA (hS ) = 216.65 K. Tale valore si mantiene costante nella stratosfera,
2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA)
7
essendo la temperatura data da
ϑISA (h) = ϑS ,
h ∈ [hS , hM ).
(11)
L’andamento della temperatura secondo le leggi 10 e 11 è data nella figura 1.
La tabella 2 riporta alcuni valori della temperatura a diverse quote.
L’ipotesi di una variazione data della temperatura con la quota, unita a
quella di gas perfetto, rende ogni grandezza di stato funzione della sola quota.
Ad esempio, essendo la velocità del suono (sound speed ) a in un gas perfetto
funzione della sola temperatura tramite l’equazione
p
a = γ R ϑ,
(12)
dove γ = 1.4, la definizione dell’ISA implica una dipendenza della velocità del
suono con la quota data da
p
aISA (h) = γ R (ϑ0 + λISA h),
(13)
nella troposfera, e da
aISA (h) =
p
γ R ϑS = aS ,
(14)
nella stratosfera. I valori alla quota del livello del mare medio e alla tropopausa
sono a0 := aISA (0) = 340.29 m/s e aS := aISA (hS ) = 295.07 m/s. La tabella 3
riporta alcuni valori della velocità del suono a diverse quote.
2.2
Distribuzione della pressione e della densità
Assumendo la distribuzione di temperatura dell’ISA, dalle equazioni 6 e 7 si
ottengono le distribuzioni della pressione e della densità al variare della quota.
Infatti, nella troposfera si ha
Z
h
href
dh
1
=
ϑ(h)
λISA
Z
ϑ
ϑref
dϑ
1
ϑ(h)
=
ln
,
ϑ
λISA
ϑref
(15)
per cui
p(h)
g0
ϑ(h)
=−
ln
,
pref
R λISA
ϑref
µ
¶
ρ(h)
g0
ϑ(h)
ln
=− 1+
ln
ρref
R λISA
ϑref
ln
(16)
e quindi
p(h)
=
pref
ρ(h)
=
ρref
µ
µ
ϑ(h)
ϑref
ϑ(h)
ϑref
¶− R λg0
ISA
¶−
,
³
g
1+ R λ 0
ISA
(17)
´
.
2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA)
8
Nella stratosfera invece si ha
Z h
Z h
dh
1
h − href
=
dh =
,
ϑ(h)
ϑ
ϑS
S
href
href
(18)
per cui
p(h)
g0
=−
(h − href ),
pref
R ϑS
ρ(h)
g0
ln
=−
(h − href ).
ρref
R ϑS
ln
(19)
Le leggi di distribuzione della pressione risultano quindi date da
pISA (h) =
pISA (h) =
µ
¶− g0
R λISA
λISA
p0 1 +
h
,
ϑ0
¶
µ
g0
pS exp −
(h − hS ) ,
R ϑS
h ∈ [h0 , hS ),
(20)
h ∈ [hS , hM ),
(21)
h ∈ [h0 , hS ),
(22)
e quelle della densità da
³
´
µ
¶− 1+ g0
R λISA
λISA
ρISA (h) = ρ0 1 +
,
h
ϑ0
µ
¶
g0
ρISA (h) = ρS exp −
(h − hS ) .
R ϑS
h ∈ [hS , hM ),
(23)
I valori di pressione e temperatura di riferimento per la quota del livello medio
del mare e per la tropopausa sono p0 := pISA (h0 ) = 101325 Pa, ρ0 := ρISA (h0 ) =
1.2250 kg/m3 , pS := pISA (hS ) = 22632 Pa, ρS := ρISA (hS ) = 0.3639 kg/m3 .
L’andamento della pressione e della densità secondo le leggi 20, 21,22 e 23
sono date nelle figure 2 e 3. La figura 4 mostra gli andamenti dei rapporti
adimensionali T /T0 , p/p0 e ρ/ρ0 con h.
2.3
Distribuzione della viscosità
Nell’ISA si assume che la viscosità µ, che ha rilievo nella valutazione della
resistenza dei velivoli, vari con la quota secondo l’equazione seguente:
p
ϑISA (h)3
µISA (h) = β
,
(24)
ϑISA (h) + S
dove le costanti β e S valgono rispettivamente β = 1.458 × 10−6 kg/s m K−1/2
e S = 110.4 K. Risulta pertanto µ0 := µISA (0) = 1.7894 × 105 kg/m s e µS :=
µISA (hS ) = 1.4216 × 105 kg/m s. Di conseguenza,
sµ
¶3
ϑISA (h)
ϑ0 + S
(25)
µISA (h) = µ0
ϑISA (h) + S
ϑ0
2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA)
quota (m)
0
3000
6000
9000
11000
14000
17000
20000
Pa
101325
70108
47180
30742
22632
14101
8786
5474
atm
1
0.69
0.46
0.30
0.22
0.14
0.08
0.05
mb
1013
701
471
307
226
141
88
55
9
mmHg
760
526
354
231
169
106
66
41
inHg
29.92
20.70
13.93
9.08
6.68
4.16
2.59
1.62
Tab. 4: Pressione ISA al livello medio del mare, alla tropopausa, alla stratopausa
e ad alcune quote intermedie.
quota (m)
0
3000
6000
9000
11000
14000
17000
20000
kg/m3
1.2250
0.9091
0.6597
0.4663
0.3639
0.2267
0.1413
0.0880
lb/ft3
0.0765
0.0568
0.0412
0.0291
0.0227
0.0142
0.0088
0.0055
slug/ft3
0.0024
0.0018
0.0013
0.0009
0.0007
0.0004
0.0003
0.0002
Tab. 5: Densità ISA al livello medio del mare, alla tropopausa, alla stratopausa
e ad alcune quote intermedie.
nella troposfera e
µISA (h) = µS
(26)
nella stratosfera.
2.4
Atmosfere non standard
Per tenere conto della differenza tra l’atmosfera ‘del giorno’ dall’ISA si definisce un modello d’atmosfera non standard (off-ISA atmosphere) attraverso
una diversa distribuzione di temperatura ϑ(h) 6= ϑISA (h). Questa viene fornita
attraverso un incremento ∆ϑ costante con h rispetto alla legge 10:
ϑ(h) = ϑISA (h) + ∆ϑ = (ϑ0 + ∆ϑ) + λISA h.
(27)
Nella pratica aeronautica, le condizioni non standard vengono descritte indicando la temperatura ad una data quota come ‘ISA + ∆ϑ’.
Questa correzione ha particolare importanza nelle zone inferiori della troposfera. Infatti, ai fini della condotta del volo, a quote elevate il riferimento
convenzionale all’atmosfera standard è di norma accettabile.
2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA)
4
2
10
ISA temperature distribution
x 10
1.8
1.6
1.4
altitude [m]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
160
180
200
220
240
temperature [K]
260
280
300
Fig. 1: Distribuzione della temperatura nell’Atmosfera Standard Internazionale
(ISA).
4
2
ISA pressure distribution
x 10
1.8
1.6
1.4
altitude [m]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
pressure [Pa]
10
12
14
4
x 10
Fig. 2: Distribuzione della pressione nell’Atmosfera Standard Internazionale
(ISA).
2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA)
4
ISA density distribution
x 10
2
11
1.8
1.6
1.4
altitude [m]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
density [kg/m3]
Fig. 3: Distribuzione della densità nell’Atmosfera Standard Internazionale
(ISA).
4
2
ISA adimensional temperature, pressure and density distribution
x 10
temperature ratio
pressure ratio
density ratio
1.8
1.6
1.4
altitude [m]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
adimensional ratios
0.7
0.8
0.9
1
Fig. 4: Distribuzione dei rapporti della temperatura, della pressione e della densità rispetto ai loro valori a quota 0 nell’Atmosfera Standard
Internazionale (ISA).
2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA)
12
Avvertenza
Questo testo è fornito per uso personale degli studenti. Viene reso disponibile in
forma preliminare, a supporto per la preparazione dell’esame di Meccanica del Volo.
È gradita la segnalazione di errori e refusi.
Copyright Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale – Politecnico di Milano
(Legge italiana sul Copyright 22.04.1941 n. 633)