scomposizione,MCD ed mcm

Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è
divisibile per b se la divisione a : b è esatta,
cioè con resto 0. In questo caso diremo anche
che b è un divisore di a.
24 : 3 = 8 con resto 0
26 : 4 = 6 con resto 2
Nel primo caso diremo che 24 è
divisibile per 3.
Nel secondo caso diremo che 26 non è
divisibile per 4.
Per sapere se due numeri sono divisibili o no è
necessario eseguire la divisione e controllare se è esatta
o con resto zero. Per alcuni casi però esistono dei metodi,
detti criteri di divisibilità, che ci permettono di stabilire
se un numero è divisibile per un altro senza eseguire la
divisione.
Un numero è divisibile per 2 se è
un numero pari, cioè se l’ultima
sua cifra è 0, 2, 4, 6, 8.
4
24
10
36
12
124
98
230
2 348
Un numero è divisibile per 3 se
la somma di tutte le sue cifre è
un multiplo di 3.
Un numero è divisibile per 4
se le sue ultime due cifre
sono due zeri o un multiplo di
4.
12
24
129
36
78
45
108
2 139
52
108
2 040
508
12
144
10
Un numero è divisibile per 5 se
l’ultima sua cifra è 0 o 5.
620
25
35
45
24
130
70
100
4 135
Un numero è divisibile per 11 se
la differenza fra la somma delle
cifre di posto dispari e quella
delle cifre di posto pari è 0, 11 o
un multiplo di 11.
66
88
275
6 479
792
671
Es. 792
10
Un numero è divisibile per 10, 100,
1000, … se termina
rispettivamente con 1, 2, 3, … zeri.
4 000
132
7 513
(7+2) – 9= 0
20
130
700
15 000
300
1 200
45 000
Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per 1 e per se
stesso.
Un numero naturale si dice composto se ha altri divisori oltre a 1 e se
stesso.
I numeri 2, 5, 13, 41 si dicono perciò numeri primi.
I numeri 6, 30, 27, 10 si dicono numeri composti.
Spesso può essere necessario sapere da quali fattori è formato
un numero composto, ovvero può servire scriverlo come prodotto
di uno o più numeri.
Per esempio, il numero 12 lo possiamo pensare ottenuto dai
seguenti fattori:
12 = 1 x 12
12 = 3 x 4 12 = 2 x 6
Diciamo di avere operato una fattorizzazione del numero 12; i
numeri 1, 12, 3, 4 e 6 sono i fattori da cui è composto il numero
12 che, ovviamente, risulta divisibile per ciascuno di essi.
A volte può essere necessaria una particolare fattorizzazione i
cui fattori siano tutti numeri primi; ovvero può essere utile
scrivere il numero come prodotto di uno o più numeri che siano
tutti numeri primi.
12 = 2 x 2 x 3 ovvero 12 = 22 x 3
Fattori primi
Il procedimento che ci permette di scrivere un numero composto come
prodotto di numeri primi è un’operazione che si chiama scomposizione
in fattori primi.
Per scomporre in fattori primi un numero, lo si divide per il più piccolo
numero primo che sia suo divisore, si divide quindi il quoziente ottenuto
per il più piccolo numero primo, che sia suo divisore e così via fino ad
avere come quoziente il numero 1.
Il numero dato sarà uguale al prodotto di tutti i numeri primi che abbiamo
scritto alla sua destra come divisori.
Scomponiamo in fattori primi il numero 732
732 2
366 2
183 3
61
1
61
2
732 = 2 x 3 x 61
Consideriamo i numeri 12 e 18; essi hanno dei divisori comuni, e
cioè 1, 2, 3 e 6, il più grande dei quali è 6; diremo che 6 è il
Massimo Comune Divisore fra 12 e 18 e scriveremo:
M. C. D. (12; 18) = 6
Si dice Massimo Comune Divisore (M. C. D. ) fra due o
più numeri il più grande dei divisori comuni ai numeri dati.
Il M.C.D. è sempre più piccolo dei numeri dati; al più,
è uguale al più piccolo di essi.
Impariamo a calcolare il M.C.D. fra due o più numeri secondo il
metodo della scomposizione in fattori primi.
Esempi:
Calcolare il M.C.D. fra 270, 420 e 594
Scomponiamo i tre numeri in fattori primi:
270
2
420
2
594 2
135
3
210
2
297 3
45
3
105
3
99 3
15
3
35
5
33 3
5
5
7
7
11 11
1
Diciamo che:
1
1
3
270 = 2 x 3 x 5
2
420 = 2 x 3 x 5 x 7
3
594 = 2 x 3 x 11
M.C.D. (270; 420; 594)= 2 x 3 = 6
Per calcolare il M.C.D. fra due o più numeri si scompongono
i numeri dati in fattori primi, poi si moltiplicano fra di loro tutti i
fattori comuni presi ciascuno una sola volta e con il più
piccolo esponente.
Due o più numeri si dicono primi tra loro se il M.C.D. è l’unità.
Calcoliamo il M.C.D. fra i numeri 9, 12 e 16.
2
9=3
2
12 = 2 x 3
4
16 = 4
Come vedi i tre numeri non hanno divisori comuni se non il numero
1, che è divisore di tutti i numeri; diremo allora che M.C.D. (9; 12;
16) = 1 e i tre numeri si dicono primi fra loro.
Attenzione! Non confondere il concetto di numero primo con quello di
numeri primi fra loro. Ricorda che:
• i numeri primi sono necessariamente primi tra loro:
7, 5 e 13 sono numeri primi M.C.D. (7; 5; 13)= 1
• i numeri primi tra loro non sono necessariamente numeri primi:
9, 12 e 16 non sono numeri primi M.C.D. (9; 12; 16)= 1
Consideriamo due numeri, per esempio 8 e 12, e calcoliamo i
loro multipli:
M (8)= 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80, 88; 96; …
M (12)= 12; 24; 36; 48; 60, 72; 84; 96; 108 …
Osserviamo che i due numeri hanno dei multipli comuni, 24;
46; 72; 96;… il più piccolo dei quali è 24; diremo che 24 è il
minimo comune multiplo fra 8 e 12 e scriveremo:
m.c.m. (8; 12) = 24
Si chiama minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o
più numeri il più piccolo tra i multipli comuni ai numeri dati,
diverso da zero.
Il m.c.m. è sempre più grande dei numeri dati o, al più, è
uguale al più grande di essi.
Impariamo a calcolare il m.c.m. fra due o più numeri secondo il
metodo della scomposizione in fattori primi.
Calcoliamo il m.c.m. fra 24, 20 e 28.
24 2
20
2
28 2
12 2
10
2
14 2
6 2
5
5
7 7
3 3
1
1 1
1
3
24= 2 x 3
2
20= 2 x 5
3
2
28= 2 x 7
m.c.m. (24; 20; 28) = 2 x 3 x 5 x 7 = 840
Il m.c.m. sarà il prodotto di
tutti i fattori primi, comuni e
non comuni, ciascuno preso
con il più grande esponente
con cui figura.
Possiamo dedurre la regola generale:
Per calcolare il m.c.m. fra due o più numeri si
scompongono i numeri dati in fattori primi, poi si
moltiplicano fra di loro tutti i fattori comuni e non
comuni presi ciascuno una sola volta e con
l’esponente maggiore.