L’ACCOPPIAMENTO IDRO-MECCANICO SUL GIUNTO
DIGA-FONDAZIONE ANALIZZATO MEDIANTE IL
MODELLO DELLA ZONA COESIVA CON ATTRITO
Silvio Valente e Andrea Alberto
Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Politecnico di Torino
20 marzo 2013 - Giornata mondiale dell’acqua : Manutenzione e
riabilitazione delle dighe
Gli Effetti di Scala nella Meccanica dei Solidi
A. Carpinteri.
Journal of Mechanics and Physics of Solids, 37(5):567–582, 1989.
Il Modello della Zona Coesiva.
Questo modello fu inizialmente proposto da Barenblatt(1962),Dugdale(1960)
ed Hillerborg(1976).
La Doppia Legge Costitutiva.
Un Problema alla Grande Scala: la Diga a Gravitá.
ICOLD.
Theme A2: Imminent failure flood for a concrete gravity dam.
In Fifth International Benchmark Workshop on Numerical Analysis of Dams,
Denver (CO), 1999.
La Presa in Conto dell’Attrito.
L’Instabilitá Numerica Durante le Iterazioni di Equilibrio.
Il comportamento non-lineare del giunto diga-fondazione richiede delle
iterazioni di equilibrio. Durante queste interazioni si cerca di imporre, sulla
stessa porzione del contorno del dominio elastico, una condizione (cioé la
legge di degrado delle tensioni coesive) espressa sia in temini di
spostamento sia in termini di tensione. In queste condizioni, dal punto di
vista teorico non é garantita l’unicitá di soluzione.
Nella prima parte di propagazione del distacco si verificano le seguenti
condizioni:
I
Il giunto é soggetto a slittamente mentre, nel contempo, si apre. Il
problema é quindi diverso dall’attrito tradizionale, che si sviluppa tra
superfici soggette a compressione.
I
É realistico assumere che le due componenti della tensione coesiva
mantengano costante il loro rapporto mentre si degradano (ipotesi di
degrado proporzionale).
Sotto tali condizioni é stata formulata una espansione asintotica del problema
dell’equilibrio elastico all’apice di un distacco coesivo:
B.L. Karihaloo and Q.Z. Xiao.
International Journal of Fracture, 150:55–74, 2008.
Lo Stato Tensionale nell’Intorno dell’Apice di una Zona Coesiva
Per problemi piani, le tensioni e gli spostamenti, in coordinate cartesiane,
possono essere espressi per mezzo di due funzioni analitiche, φ(z) and χ(z),
della variabile complessa z = reiθ
σx + σy = 2[φ0 (z) + φ0 (z)]
00
(1)
00
σy − σx + 2iτxy = 2[zφ (z) + χ (z)]
(2)
2µ(u + iv ) = k φ(z) − zφ0 (z) − χ0 (z)
(3)
dove µ = E/[2(1 + ν)] é il modulo di taglio mentre la costante di Kolosov é
κ = 3 − 4ν per problemi di deformazione piana.
L’Espansione Asintotica
N.I. Muskhelishvili.
Some basic problems of mathematical theory of elasticity.
Noordhoff, The Netherlands, 1953.
In condizioni di modo-misto I+II, le due funzioni analitiche φ(z) and χ(z)
possono essere scelte come serie di funzioni di Goursat:
X
X
φ(z) =
An z λn =
An r λn eiλn θ ,
n=0
χ(z) =
X
n=0
Bn z λn +1 =
(4)
n=0
X
Bn r λn +1 ei(λn +1)θ
n=0
Le eventuali perdite di unicitá vengono quindi discusse e risolte durante la
formulazione dell’espansione, cioé ricavando i vincoli tra i coefficienti
complessi An e Bn . In questo modo si rendono piú stabili le inevitabili
iterazioni di equilibrio.
(5)
La Legge di Degrado delle Tensioni Coesive Compatibile con
l’Espansione Asintotica
Dalla Tesi di Dottorato dell’Ing.Andrea Alberto (2013)
Per poter avere un interesse applicativo, l’espansione asintotica non puó
dipendere da una forma fissa della legge coesiva (lineare, bi-lineare,
esponenziale, ecc), ma deve prevedere alcuni parametri liberi da calibrare sui
risultati di prove di laboratorio. Nel presente lavoro viene studiato il distacco
tra due materiali diversi e quindi viene usata la seguente legge coesiva:
L
X
σy
τxy
=
=1+
αi
σ0
µf σ0
i=1
weff
weff ,c
(2i−1)
3
−
1+
L
X
i=1
!
αi
weff
weff ,c
2L+1
3
√
dove weff = w 2 + δ 2 e (σ0 , µf σ0 ) corrisponde ad uno stato di tensione
critico all’apice della zona di distacco.
(6)
La Calibrazione dei Parametri Liberi della Legge Coesiva
Dalla Tesi di Dottorato dell’Ing.Andrea Alberto (2013)
Nel presente lavoro é stato assunto L = 5, α1 = −0.138471,
α2 = −7.837117, α3 = 20.918546, α4 = −25.079296 ed α5 = 14.148416
Il Metodo Iterativo di Ricerca della Soluzione.
Per ogni posizione dell’apice della zona coesiva (abbreviato ZC), viene
applicata la seguente procedura iterativa:
i+1
i w
σy
=f
,
δ
τxy
σy
τxy
i+1
=g
i+1 w
δ
i = 0, 1, 2 . . .
(7)
Al di fuori della zona coesiva, il materiale ha un comportamento lineare. Per
le ipotesi precedentemente esposte, i fattori di intensificazione degli sforzi
sono nulli: K1 = K2 = 0. Imponendo tale condizione si puó determinare
l’altezza critica del livello dell’acqua sopra il coronamento della diga (hovt ) e la
tensione tangenziale critica all’apice della zona coesiva (τxy ,ZC ). Tutti questi
vincoli lineari sono inclusi nell’operatore f .
L’operatore g include invece i vincoli non lineari che discendono dai primi tre
termini dell’espansione asintotica.
Alla prima iterazione (i = 0) nella zona coesiva si assume w = δ = 0 .
Successivamente le tensioni coesive vengono rilassate secondo la legge di
degrado ricavata dalle prove di laboratorio.
Le Proprietá dei Materiali.
Rock
Concrete
Density
[kg/m3 ]
2700
2400
Young’s modulus
[MPa]
41000
24000
Poisson’s ratio
[-]
0.10
0.15
weff ,c = 2.56mm, τu = µf σu = 0.95 MPa, µf = 45.
ICOLD.
Theme A2: Imminent failure flood for a concrete gravity dam.
In Fifth International Benchmark Workshop on Numerical Analysis of Dams,
Denver (CO), 1999.
Le Linee di Livello della τ Tracciate sul Reticolo Deformato.
Dalla Tesi di Dottorato dell’Ing.Andrea Alberto (2013)
L’estremo della zona coesiva dista 12 m. dal lato di monte della diga. L’acqua
in pressione penetra ove w > weff ,c × 2/9 = 2.56 × 2/9 = 0.569 mm.
W. Reich, E. Brühwiler, V. Slowik, and V.E. Saouma. interaction.
In Dam fracture and damage, pages 123–131, The Netherlands, 1994.
Balkema.
Il Diagramma di Apertura del Giunto
Dalla Tesi di Dottorato dell’Ing.Andrea Alberto (2013)
L’estremo della zona coesiva dista 12 m. dal lato di monte della diga.
Il Diagramma di Slittamento del Giunto
Dalla Tesi di Dottorato dell’Ing.Andrea Alberto (2013)
L’estremo della zona coesiva dista 12 m. dal lato di monte della diga.
Il Confronto tra Due Diverse Espansioni Asintotiche
Dalla Tesi di Dottorato dell’Ing.Andrea Alberto (2013)
max τ
max σx
Overtopping water height
COD at 6.48m from FCT
Monomaterial
0.95 MPa
2 MPa
4.91 m
0.545 mm
Bi-material
0.975 MPa
2 MPa
3.65 m
0.608 mm
Tabella: Confronto tra i principali risultati.
L’estremo della zona coesiva dista 12 m. dal lato di monte della diga.
Il caso monomateriale é descritto in:
Barpi F e Valente S
The cohesive frictional crack model applied to the analysis of the
dam-foundation joint Engineering Fracture Mechanics 77 pag. 2182–2191,
2010
Confronto tra le Distribuzioni Circonferenziali delle Tensioni
Dalla Tesi di Dottorato dell’Ing.Andrea Alberto(2013)
Conclusioni
I
Le prove di laboratorio eseguite sui materiali quasi-fragili mostrano
evidenti effetti di scala.
I
Il modello della zona coesiva, abbinato al metodo degli elementi finiti,
permette di simulare numericamente una buona parte degli effetti di
scala.
I
Quando tale modello é usato alla grande scala sul giunto
diga-fondazione si manifestano instabilitá numeriche che possono
essere superate imponendo i primi termini dell’espansione asintotica,
senza rinunciare alla presa in conto della legge coesiva che risulta dalle
prove di laboratorio.
I
Sviluppi futuri
I
Spesso i problemi reali sono tri-dimensionali e quindi l’approccio va esteso
alla terza dimensione.
