energia potenziale elettrostatica

Energia potenziale elettrica
Dalla meccanica sappiamo che su un corpo, che si muove tra due punti del campo gravitazionale
terrestre, le forze del campo compiono un lavoro che non dipende dal particolare percorso seguito
ma solo dal punto iniziale e dal punto finale del percorso. Questa caratteristica ci ha permesso di
affermare che il campo gravitazionale è un campo conservativo e di introdurre il concetto di energia
potenziale gravitazionale, grandezza che permette di caratterizzare uno stato solo attraverso uno
scalare. Adesso ci chiediamo:
Il campo elettrostatico è conservativo?
Per rispondere alla domanda dobbiamo:
a) calcolare il lavoro fatto dalle forze del campo elettrico per spostare una carica tra due punti;
b) verificare che tale lavoro non dipende dal percorso seguito ma solo dal punto iniziale e dal
punto finale;
c) quindi definire il concetto di energia potenziale elettrostatica come funzione di stato, ossia
come valore che dipende dalla posizione spaziale in cui si trovano i costituenti il sistema
elettrostatico e non da come è stato raggiunto.
Esaminiamo questi tre punti per un caso particolare, cioè il caso in cui il campo elettrostatico è
generato da una carica puntiforme, ma i risultati a cui perverremo sono generalizzabili.
a) Lavoro del campo generato da una carica puntiforme
Sia Q(+) la carica sorgente di un campo elettrostatico e sia q(+) un carica sonda posta in un punto A
del campo.
Sotto l’azione della forza colombiana la carica q si sposta dal punto A ad un punto B lungo una
linea di campo.
Calcoliamo il lavoro fatto dalle forze del campo sulla carica
q che si sposta del tratto AB, sufficientemente piccolo:
- lo spostamento è rB-rA
- la forza è parallela allo spostamento, ma non è
A
B
costante, essa varia, infatti, con l’inverso del quadrato
della distanza:
FA = k
Qq
rA
2
FB = k
Qq
rB
2
pertanto per il calcolo del lavoro si può prendere come valore medio della forza la quantità
Fm = k
Qq
2
rm
con
L AB = k
rm2 = rA × rB
con tale approssimazione
Qq
(rB - rA ) = k Qq rB - k Qq rA
rA rB
rA rB
rA rB
LAB = k
Qq
Qq
-k
rA
rB
-1-
(1)
Se i punti A e B non sono sufficientemente vicini si può dividere il tratto AB in piccoli segmenti tali
che in ciascuno di essi si possa calcolare il lavoro come prima e infine eseguire la somma dei lavori
parziali, ottenendo come risultato ugualmente la (1).
b) Qual è il lavoro per spostare la carica da A a B lungo un percorso diverso
dalla linea di forza?
Supponiamo adesso che la carica q (+) si sposti da A a B passando per il punto C.
In tal caso la forza oltre a variare con continuità cambia
direzione rispetto a quella dello spostamento e quindi il
lavoro L=F.s. cos Fs.
Supponendo comunque che i punti A,B,C siano
sufficientemente vicini per il calcolo del lavoro si può
A
procedere nel modo seguente:
C
B
Osservando la figura si ha
LACB = LAC + LCB
A F
H
a
LAC= Fm(AH).AC.COS a
b
s
C
Qq
rA rH
Fm(AH) = k
Ed essendo
L AC = k
ed
AC.COS a= AH=rH-rA
Qq
(rH - rA ) = k Qq - k Qq
rA rH
rA
rH
(2)
Analogamente
LCB= Fm(HB).CB.COS b
Ed essendo
Fm(HB) = k
LCB = k
Qq
rB rH
ed
CB.COS b= HB=rB-rH
Qq
(rB - rH ) = k Qq - k Qq
rB rH
rH
rB
Addizionando la (2) e la (3) si ha:
LACB = k
-2-
(3)
Qq
Qq
Qq
Qq
-k
+k
-k
rA
rH
rH
rB
B
F
L ACB = k
Qq
Qq
-k
= L AB
rA
rB
Conclusioni:
·
·
Il lavoro svolto dalla forza del campo elettrostatico per spostare una carica da un punto A ad
un punto B non dipende dal percorso ma solo dal punto iniziale e dal punto finale, cioè
il campo elettrostatico è un campo conservativo
Nei due casi esaminati il lavoro si presenta come differenza di due termini che dipendono
unicamente dalla posizione assunta nello spazio dalla carica q che viene spostata nel campo
elettrostatico generato da Q.
c) Energia potenziale elettrica
Qq
energia potenziale della carica q quando si trova ad una
r
arbitraria distanza r dalla carica sorgente del campo elettrostatico , si nota dalla (1) che il
lavoro fatto dalle forze del campo elettrostatico per spostare una carica sonda da un punto A ad un
punto B è dato dalla differenza tra l’energia potenziale nel punto iniziale e l’energia potenziale nel
punto finale, ossia
Definendo la quantità U = k
LAB = U A - U B = - (U B - U A ) = - DU
e quindi
DU = - L AB = L BA
La differenza di energia potenziale tra due punti A e B esprime il lavoro fatto contro le forze del
campo per spostare la carica dal punto B al punto A.
In particolare se il punto B è un punto “al limite del campo elettrostatico” e ponendo UB= 0 si ha
che
DU = U A
cioè
l’energia potenziale in un punto di un campo elettrostatico esprime il lavoro fatto contro le
forze del campo per portare una carica in un dato punto del campo elettrico,
cioè l’energia necessaria quindi per formare un sistema di due cariche nello spazio.
-3-
Diagramma dell’energia potenziale elettrostatica
A parità di carica sorgente, di carica sonda e di mezzo dielettrico l’energia potenziale è
matematicamente funzione della distanza U=f(r) infatti dalla definizione si nota che essa è
inversamente proporzionale alla distanza. Pertanto fissando un sistema di assi cartesiani
rappresentando sull’asse delle ascisse le distanze r dalla sorgente in cui si calcola l’energia
potenziale e sull’asse delle ordinate U il grafico sarà quello della proporzionalità inversa cioè un
ramo di iperbole equilatera che si trova nel 1° quadrante se la carica sorgente e la carica sonda sono
concordi, nel 4° quadrante se le cariche sono discordi
U
U
r
r
r
r
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