TRASMISSIONE DEL CALORE

TRASMISSIONE DEL CALORE
In Termodinamica il calore è stato definito come quella forma di energia scambiata con l’ambiente
nel passaggio da uno stato di equilibrio ad un altro. Lo scambio di calore, attraverso il confine del
sistema, è conseguenza di una differenza di temperatura ed avviene nel rispetto del principio di
conservazione dell’energia. In particolare:
• Il Primo Principio della Termodinamica stabilisce che il calore scambiato è uguale alla variazione
dell’energia del sistema.
• Il Secondo Principio stabilisce che il calore si propaga nella direzione delle temperature decrescenti.
La termodinamica non fornisce esplicite informazioni sulle modalità del processo di scambio durante
la fase transitoria e sul valore dell’energia termica scambiata nell’unità di tempo, ovvero sul flusso
termico q.
Lo studio dei fenomeni termici che accompagnano la propagazione del calore ed il calcolo del calore
scambiato nell’unità di tempo, costituiscono l’obiettivo fondamentale della Trasmissione del Calore.
FLUSSO TERMICO
Il flusso termico q è definito come l’energia termica scambiata Q nell’intervallo di tempo Δτ. Le
dimensioni nel SI sono quelle di un’energia diviso un tempo, ovvero J s -1 = W
Q
q=
Δτ
(J s
-1
Q
dQ
q = lim
=
Δτ → 0 Δ τ
dτ
= W) passando al limite
da cui
2
Q 12 =
∫ qd τ
(J)
1
Torna utile considerare il flusso termico scambiato riferito ad una superficie unitaria. In questo caso si
parla di flusso termico specifico .Il flusso termico specifico viene indicato con q*. L’unità di misura nel
sistema SI sono W m-2.
Q
q* =
A
q = 24 W
-2
(W m )
q* = 4 W
2
3m
A
=
6
2
m
m
m-2
Modalità di trasmissione del calore
Conduzione Termica
T1
È il meccanismo di scambio termico che si attua in un mezzo solido, liquido o
aeriforme, dalle regioni a temperatura maggiore verso quelle a temperatura
minore. Nei gas e nei liquidi è dovuta alle collisioni tra le molecole durante il loro
moto; nei solidi è dovuta alla vibrazione delle molecole all’interno del reticolo ed
al trasporto di energia da parte degli elettroni liberi.
T2
q
A
La quantità di calore scambiata dipende dalla geometria e dalle caratteristiche
del corpo così come dalla differenza di temperatura.
Per esempio in condizioni stazionarie (temperatura che non varia nel tempo) il
flusso scambiato attraverso una grande parete piana di spessore L ed area A,
soggetta alla differenza di temperatura ΔT= T1 -T2 con T1 > T2, raddoppia al
raddoppiare della differenza di temperatura e al raddoppiare dell’area della
sezione normale alla direzione del flusso, mentre si dimezza al raddoppiare dello
spessore L.
L
T1
flusso termico ∝
T2
q
A
L
A
(area della superficie) ⋅ (differenza di temperatura )
spessore
Modalità di trasmissione del calore
Conduzione Termica
La proporzionalità può essere tolta considerando la natura del materiale, ovvero
introducendo la conducibilità termica λ definita come la capacità del materiale a
condurre calore.
T1
T2
q
Δx
ΔT
q = − λA
Δx
ΔT
q = − lim λA
Δx→0
Δx
dT
q = − λA
dx
dT
q* = −λ
dx
Rame
T1
Silicio
λ = 401 W m -1 K -1
λ = 148 W m -1 K -1
T2
30°C
30°C
q
20°C
20°C
q* = 4010 W m -2
q* = 1480 W m -2
dx
1m
1m
Postulato di FOURIER
dT
q = − λA
dx
L’espressione è nota come postulato di Fourier. L’espressione è valida allo stato
stazionario per un mezzo omogeneo ed isotropo e nel caso in cui lo scambio
termico sia monodimensionale (nel caso dell’espressione nella direzione x).
•A
Area della sezione perpendicolare alla direzione dello scambio termico
•λ
Conducibilità termica. È definita come il flusso termico che si trasmette attraverso uno spessore
unitario del materiale per unità di superficie e per una differenza di temperatura unitaria. Le
unità di
misura nel SI sono W m-1 K-1 o W m-1 °C-1
• dT/dx Gradiente di temperatura. Rappresenta la variazione di temperatura nella direzione di
propagazione del calore. Dato che il calore fluisce da zone a temperatura maggiore verso zone a
temperatura minore, il gradiente è negativo per valori crescenti di x. È necessario introdurre il
segno - per avere il flusso termico positivo nella direzione considerata
T
P
tan α = dT/dx
x
Modalità di trasmissione del calore
Convezione Termica
Trasporto di massa
È il meccanismo di scambio termico caratteristico dei fluidi
dove al trasporto del calore per conduzione è associato il
trasporto di massa ovvero movimenti di parti di fluido che
modificano sostanzialmente lo scambio termico rispetto alla
semplice conduzione termica.
Per esempio, il trasferimento di energia tra una superficie
solida ed il liquido o gas adiacente in movimento implica gli
effetti combinati di conduzione tra la superficie e lo strato
di fluido a contatto con essa ed il trasporto di massa
all’interno del fluido.
La convezione può essere di due tipi:
•Convezione forzata
conduzione
Il fluido è forzato a fluire sulla superficie da dispositivi
esterni quali: ventilatori, pompe, vento, etc.
•Convezione naturale o libera
Il movimento del fluido è causato da forze di
galleggiamento indotte da differenze di densità legate a
variazioni di temperatura
Legge di Newton per la convezione
q = hA(Ts − T∞ )
Tipo di convezione h (W m-2 K-1)
Convezione naturale
dei gas
2 ÷ 25
Convezione naturale
dei liquidi
10 ÷ 1000
Convezione forzata
dei gas
25 ÷ 250
Convezione naturale
dei liquidi
50 ÷ 20 000
Ebollizione e
condensazione
2 500 ÷ 100 000
Il flusso termico q trasmesso per convezione è direttamente
proporzionale alla differenza di temperatura ed è espresso
dalla legge di Newton dove:
A : area della superficie interessata allo scambio
termico (m2)
Ts : temperatura della superficie (K)
T∞ : temperatura del fluido a distanza
sufficientemente grande dalla superficie (K)
h : coefficiente di trasmissione del calore per
convezione (Wm-2K-1). È un parametro
determinato sperimentalmente il cui valore
dipende da tutte le variabili che influenzano la
convezione quali la geometria della superficie, la
natura del moto, le proprietà e la velocità del
fluido.
Modalità di trasmissione del calore
Irraggiamento
termico
È l’energia emessa sotto forma di onde elettromagnetice (o
fotoni) a seguito di modificazioni nelle configurazioni
elettroniche elettroniche degli atomi o delle molecole.
q
A
Nel caso della trasmissione del calore interessa
l’irraggiamento termico, ovvero la radiazione emessa dai
corpi a causa della loro temperatura.
Legge di Stefan-Boltzmann
q n = σ AT 4
q n* = σ T 4
La trasmissione del calore per irraggiamento non richiede,
al contrario della conduzione e della convezione, la
presenza di un mezzo interposto ed avviene alla velocità di
propagazione della luce.
W
W/m2
Tutti i corpi ad una temperatura superiore a 0 K emettono una
radiazione termica il cui massimo, per la data temperatura, si
ha per un corpo ideale detto corpo nero.
Il flusso termico emesso qn è dato dalla legge di StefanBoltzmann
Modalità di trasmissione del calore
Irraggiamento
termico
Superfici reali
q = εσ AT 4
q * = εσ T
4
TC
W
W/m2
Nel caso di una superficie reale il flusso emesso è inferiore a
quello emesso dal corpo nero alla stessa temperatura. Si tiene
conto di questo introducendo nell’espressione di StefanBoltzmann l’emissività ε della superficie. L’emissività 0 ≤ ε ≤ 1
è una misura di quanto una superficie differisce da un corpo
nero per il quale ε = 1.
Nel caso di due superfici, separate da un gas,(es. aria) che non
partecipa allo scambio termico, di emissività ε, di area A e
temperatura Ts completamente contenuta nell’altra di area
molto più grande ( o nera), a temperatura Tc, il flusso netto
scambiato è dato da:
(
q = εσ A T S4 − TC4
A, TS, ε
)
Nel forno a microonde il cibo cuoce assorbendo l’energia
elettromagnetica generata dal tubo a microonde (magnetron).
La radiazione non è una radiazione termica, ovvero non è
dovuta alla temperatura del tubo, ma alla conversione
dell’energia elettrica in una radiazione elettromagnetica avente
una ben precisata lunghezza d’onda. La lunghezza d’onda della
radiazione è tale da essere riflessa dalle superfici metalliche,
trasmessa dai tegami di vetro, ceramica o plastica ed assorbita
e convertita in energia interna dalle molecole del cibo; in
particolare dall’acqua dallo zucchero e dal grasso.
Modalità di trasmissione del calore
T1
Solido opaco
T2
Le modalità di trasmissione del calore sono tre, ma possono non
essere contemporaneamente presenti. Per esempio:
Solidi opachi
Conduzione
Si ha trasmissione del calore solo per conduzione
Solidi semitrasparenti
T1
Gas
T2
Si ha trasmissione del calore per conduzione ed irraggiamento
Fluido in quiete
Irraggiamento
Si ha trasmissione del calore per conduzione ed eventualmente
per irraggiamento
Conduzione
o
Convezione
Fluido in movimento
Si ha trasmissione del calore per convezione ed irraggiamento
T1
Vuoto
T2
Vuoto
Si ha trasmissione del calore solo per irraggiamento
Irraggiamento
Conduzione Termica
Lo studio dello scambio termico per conduzione all’interno di un mezzo, comporta la conoscenza della
distribuzione di temperatura, ovvero la conoscenza della funzione T(x,y,z,τ). Questa funzione può
essere ottenuta dalla risoluzione dell’equazione generale della conduzione, che esprime il bilancio di
energia in un mezzo sede di propagazione di calore.
Il bilancio energetico viene impostato su un generico elemento infinitesimo individuato all’interno del
mezzo.
Si consideri un generico volume infinitesimo dV di spigoli dx, dy, dz e si assuma che:
1. il mezzo sia costituito da un solido opaco a baricentro fermo con proprietà fisiche definite ed
indipendenti dal tempo τ;
2. le variazioni di volume, conseguenti alle variazioni di temperatura, sono trascurabili in confronto al
volume stesso. Quindi, il lavoro scambiato con l’esterno sia trascurabile, δL = 0;
3. all’interno del volume dV il calore generato nell’unità di tempo e di volume, sia espresso dalla
funzione g(x,y,z,τ) le cui unità di misura nel sistema S.I. sono Wm-3.
L’equazione generale della conduzione si ricava applicando al volume considerato il primo principio
della termodinamica che, nelle ipotesi fatte, diventa:
dQ = dU
Ovvero:
Il calore netto scambiato
(calore entrante - calore uscente)
+
calore generato
all’interno del volume
=
variazione di energia
interna
Equazione generale della conduzione
y
Qx = q*x ⋅ dy ⋅ dz ⋅ dτ
Qy+dy
Q x + dx = q
dy
Qx
Qx+dx
dx
dz
z
Q x − Q x + dx
x Q −Q
y
y + dy = −
Q z − Q z + dz
Qy
dove
q* flusso specifico
g calore generato
nell’unità di tempo e di volume
V volume
ρ densità
τ tempo
⎛ * ∂ q *x
⎞
⎜
⋅ dy ⋅ dz ⋅ d τ = ⎜ q x +
dx ⎟⎟ dy ⋅ dz ⋅ d τ
∂x
⎝
⎠
∂ q *x
∂ q *x
= −
dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ d τ = −
dV ⋅ d τ
∂x
∂x
*
x + dx
dU =
∂ q *y
∂ q *y
dV ⋅ d τ
dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ d τ = −
∂y
∂y
∂ q z*
∂ q z*
= −
dx ⋅ dy ⋅ dz ⋅ d τ = −
dV ⋅ d τ
∂z
∂z
∂U
∂T
dτ = ρc
d τ dV
∂τ
∂τ
Qg = g ⋅ dV ⋅ dτ
Equazione generale della conduzione
sostituendo
∂ q *y
∂ q *x
∂ q *z
∂T
−
dV ⋅ d τ −
dV ⋅ d τ −
dV ⋅ d τ + g ⋅ dV ⋅ d τ = ρ c
dV
∂y
∂z
∂τ
∂x
Dal momento che consideriamo lo stesso volume, possiamo scrivere:
*
∂ q *x ∂ q y ∂ q *z
∂T
−
−
−
+ g = ρc
∂x
∂y
∂z
∂τ
Sostituendo ai flussi specifici l’espressione di Fourier si ha:
−
∂ ⎛
∂T ⎞
∂
−
−
λ
⎜
⎟
∂x ⎠
∂y
∂x ⎝
⎛
∂T
⎜⎜ − λ
∂y
⎝
⎞
∂ ⎛
∂T ⎞
∂T
−
+
g
=
c
λ
ρ
⎟⎟ −
⎜
⎟
z
z
∂
∂
∂τ
⎠
⎝
⎠
per mezzi isotropi ed omogenei, l’equazione precedente diventa:
⎛ ∂ 2T
∂ 2T
∂ 2T
λ ⎜⎜
+
+
2
2
2
∂
∂
∂
x
y
z
⎝
⎞
∂T
⎟⎟ + g = ρ c
∂τ
⎠
Equazione generale della conduzione
dividendo tutto per ρc
λ
ρc
posto
⎛ ∂ 2T
∂ 2T
∂ 2T
⎜⎜
+
+
2
2
∂y
∂z 2
⎝ ∂x
a=
⎞
∂T
g
⎟⎟ +
=
∂τ
⎠ ρc
λ
ρc
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
+ 2
a⎜ 2 +
2
⎜ ∂x
∂y
∂z
⎝
⎞ g
∂T
⎟+
=
⎟ ρc ∂τ
⎠
g ∂T
a∇ T +
=
ρc ∂τ
2
Equazione generale della conduzione: Casi particolari
Caso monodimensionale
g
∂ 2T
∂T
a
+
=
2
∂x
ρc
∂τ
Caso monodimensionale
senza generazione interna di
calore (g=0)
Equazione di FOURIER
Caso monodimensionale
allo stato stazionario
Equazione di POISSON
Caso monodimensionale
allo stato stazionario e senza
generazione di calore
Equazione di LAPLACE
∂ 2T
a
∂x 2
∂T
=
∂τ
∂ 2T
g
a
+
= 0
2
∂x
ρc
∂ 2T
= 0
2
∂x
Soluzione dell’equazione di LAPLACE
20°C
20°C
16°C
16°C
-1.6 °C
-1.6 °C
20°C
16°C
-1.6 °C
16°C
-1.6 °C
-1.6 °C
-1.6 °C
20°C
16°C
-1.6 °C
d
dx
⎡ dT ( x ) ⎤
⎢⎣ dx ⎥⎦ = 0
dT ( x ) = c1dx
-1.6 °C
20°C
d 2T
=0
2
dx
dT ( x )
= c1
dx
T ( x) = c1x + c2
Conducibilità Termica
La conducibilità termica λ indica la capacità di un materiale a condurre il calore. Per
esempio a temperatura ambiente il rame ha λ = 401 W/(m K), mentre l’acqua ha λ = 0.613
W/(m K). Il rame conduce il calore quasi 1000 volte più dell’acqua, per questo motivo si dice
che è un buon conduttore termico, mentre l’acqua è un cattivo conduttore termico pur
essendo un mezzo eccellente per accumulare calore. Infatti il calore specifico dell’acqua è cp =
4.186 kJ/(kg K), mentre per il rame è cp = 0.385 kJ/(kg K)
Materiale
Diamante
Argento
Rame
Oro
Alluminio
Ferro
Mercurio (l)
Vetro
Mattone
Acqua (l)
Legno
Gomma
Fibra di vetro
Aria
Polistirene espanso
λ W/(m K)
2300
429
401
317
237
80.2
8.54
0.78
0.72
0.613
0.17
0.13
0.043
0.026
0.036
Scambio termico per conduzione
Il caso della lastra piana
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Prof. Massimo Paroncini
Equazione generale della conduzione
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
a ⎜⎜ 2 +
+
2
2
∂
∂
∂
x
y
z
⎝
⎞ g
∂T
⎟⎟ +
=
⎠ ρc ∂τ
g
∂ 2T
∂T
a
+
=
2
∂x
ρc
∂τ
Caso monodimensionale
Caso monodimensionale senza generazione interna di calore
(g=0): Equazione di FOURIER
Caso monodimensionale allo stato stazionario:
Equazione di POISSON
Caso monodimensionale allo stato stazionario e senza
generazione di calore: Equazione di LAPLACE
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∂ 2T
a
∂x 2
∂T
=
∂τ
∂ 2T
g
a
+
= 0
2
∂x
ρc
∂ 2T
= 0
2
∂x
Soluzione con condizioni del I° tipo:
T
Imporre condizioni del primo tipo
vuol dire imporre:
• x = 0 T(0) = T1
• x = L T(L) = T2
con T1>T2
0
L
d 2T
=0 ⇒
2
dx
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x
dT
= C1 ⇒ T ( x ) = C1 ⋅ x + C 2
dx
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Inserisco le
condizioni al
contorno
Soluzione con condizioni del I° tipo:
T (0) = C1 ⋅ 0 + C 2 = T1 ⇒ C 2 = T1
T ( L ) = C 1 ⋅ L + C 2 = T2
⇒
T2 = C1 ⋅ L + T1
T1 − T2
T ( x) = −
⋅ x + T1
L
T1 − T2
T ( x ) = T1 −
⋅x
L
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T1 − T2
⇒ C1 = −
L
Soluzione con condizioni del I°
tipo:
T1 − T2
T ( x ) = T1 −
⋅x
L
T
T1
T2
0
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L
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x
Resistenza termica
Postulato di Fourier:
⎛ T1 − T2 ⎞
q* = λ ⋅ ⎜
⎟
⎝ L ⎠
dT
q* = − λ ⋅
dx
T1 − T2
T ( x ) = T1 −
⋅x
L
Rk =
L
λ
Corso di Fisica Tecnica
⎡ K ⋅ m2 ⎤
⎢
⎥
W
⎣
⎦
RESISTENZA
TERMICA
SPECIFICA
PER
CONDUZIONE
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T1 − T2
q* =
L
λ
Soluzione con condizioni del I° tipo:
adimensionalizzazione
T1 − T2
T ( x ) = T1 −
⋅x
L
T1 − T2
T ( x ) = T1 −
⋅ x + T2 − T2
L
x
T ( x ) − T2 = (T1 − T2 ) − (T1 − T2 ) ⋅
L
T ( x ) − T2
x
= 1−
(T1 − T2 )
L
T ( x ) − T2
T* =
(T1 − T2 )
T* = 1 − x *
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∧
x
x* =
L
Temperatura
Lunghezza
adimensionale
adimensionale
Soluzione con condizioni del I° tipo:
adimensionalizzazione
T* = 1− x *
T*
x* = 0 ⇒ T * = 1
1
x* = 1 ⇒ T * = 0
0
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1
x*
Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:
T
Condizione al contorno del I° tipo:
h , T∞
x = 0 ⇒ T (0) = T1
qk* qc*
Condizione al contorno del III° tipo:
x = L ⇒ q *k
0
L
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= q *c
x
T (0) = C1 ⋅ 0 + C 2 = T1
T ( x ) = C1 ⋅ x + C 2
x= L
dT
−λ⋅
dx
⇒ C 2 = T1
= h ⋅ [T ( L) − T∞ ]
x= L
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Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:
T ( L) = C1 ⋅ L + C 2 = C1 ⋅ L + T1
dT
dx
= C1
− λ ⋅ C1 = h ⋅ [T ( L ) − T∞ ]
x= L
− λ ⋅ C1 = h ⋅ (C1 ⋅ L + T1 − T∞ )
− C1 ⋅ (λ + h ⋅ L ) = h ⋅ (T1 − T∞ )
h
C1 = −
⋅ (T1 − T∞ )
(λ + h ⋅ L)
h
T ( x) = −
⋅ (T1 − T∞ ) ⋅ x + T1
(λ + h ⋅ L)
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Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:
Adimensionalizziamo:
h
T ( x) = −
⋅ (T1 − T∞ ) ⋅ x + T1
(λ + h ⋅ L)
h
T ( x) = −
⋅ (T1 − T∞ ) ⋅ x + T1 + T∞ − T∞
(λ + h ⋅ L)
h
T ( x ) − T∞ = −
⋅ (T1 − T∞ ) ⋅ x + (T1 − T∞ )
(λ + h ⋅ L)
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Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:
T ( x ) − T∞
h
=−
⋅ x+1
(T1 − T∞ )
(λ + h ⋅ L)
T ( x ) − T∞
= 1−
(T1 − T∞ )
1
1+
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T ( x ) − T∞
se T * =
(T1 − T∞ )
x
⋅
λ L
1+
h⋅ L
1
T* = 1 −
T ( x ) − T∞
h
= 1−
⋅x
(T1 − T∞ )
(λ + h ⋅ L)
λ
⋅ x*
h⋅ L
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?
x
∧ x* =
L
Soluzione con condizioni del I° e III° tipo:
λ
L⋅ h
⎡ W ⎤
λ=⎢
⎥
m
⋅
K
⎣
⎦
L = [m ]
⎡ W ⎤
h= ⎢ 2
⎥
m
⋅
K
⎣
⎦
⎡ W m2 ⋅ K 1 ⎤
=⎢
⋅
⋅ ⎥
L⋅ h ⎣m ⋅ K
W
m⎦
λ
Corso di Fisica Tecnica
Prof. Massimo Paroncini
Numero
adimensionale
Numero di Biot
Bi
L
λ
λ
L⋅ h
1
h
Rk
Rc
Corso di Fisica Tecnica
q* = h ⋅ (T − T∞ )
Legge di
Newton
(
T − T∞ )
q* =
1
h
Resistenza termica unitaria
per conduzione
Resistenza termica unitaria
per convezione
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Resistenza
termica unitaria
per convezione
Rk h ⋅ L
Bi =
=
Rc
λ
Numero di Biot
Rk h ⋅ L
Bi =
=
Rc
λ
T* = 1 −
1
1
1+
Bi
⋅ x*
T* = 1 −
x* = 0
( x = 0)
x* = 1
(x = L)
1
1
1+
Bi
⇒
⇒
⋅ x*
T* = 1 (T = T1 )
T* = 1 −
A questo punto posso affermare che la mia distribuzione di temperatura
dipende unicamente dal Numero di Biot.
Corso di Fisica Tecnica
Prof. Massimo Paroncini
1
1
1+
Bi
Numero di Biot
Ho due casi limite:
Bi → 0
Rk → 0
Bi → 0
Bi → ∞
(Rc >> Rk )
1. Se in un corpo la resistenza termica per conduzione è bassa vuol dire
che è possibile ipotizzarlo come se fosse tutto alla stessa temperatura
2. Al suo interno non esistono gradienti termici: in una fase di transitorio
termico si porterebbe rapidamente alla stessa temperatura
1
T* = 1 −
q *k = 0
∧
q * c = h (T 1 − T ∞
)
x* = 1 ⇒
MATERIALE PERFETTAMENTE CONDUTTORE
Corso di Fisica Tecnica
Prof. Massimo Paroncini
1
1+
Bi
⋅ x*
T* ≈ 1
T(L)=T1
Numero di Biot
Ho due casi limite:
Bi → 0
Bi → ∞
(Rk >> Rc )
Rc → 0
Bi → ∞
1. Se in un corpo la resistenza termica per conduzione è elevata vuol dire
che al suo interno esistono forti gradienti termici
2. Esiste un’elevata disomogeneità al suo interno
q *k =
(T 1
− T∞
L
)
∧
q *c = 0
x* = 1 ⇒
T* = 1 −
1
1
1+
Bi
⋅ x*
T* → 0
λ
MATERIALE PERFETTAMENTE ISOLANTE
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Prof. Massimo Paroncini
T(L)=T∞
Numero di Biot
T*
1
Bi → 0
∞ > Bi > 0
Bi → ∞
0
Corso di Fisica Tecnica
1
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x*
Esempio
Materiale: Polistirene espanso
W
m ⋅K
λ = 0 , 035
Bi =
L = 0 , 35 m
h⋅L
=
λ
h = 10
10 ⋅ 0 , 35
= 10
0 , 035
W
m2 ⋅K
2
Materiale: Parete reale
λ = 0 , 087
W
m ⋅K
Bi =
Corso di Fisica Tecnica
L = 0 , 35 m
h⋅L
λ
h = 10
10 ⋅ 0 , 35
=
≈ 40
0 , 087
Prof. Massimo Paroncini
W
m2 ⋅K
Strato composto con condizioni I° tipo
L1
L2
q1
q2
Con:
L3
T0> T1> T2> T3
λ1> λ 2> λ 3
q3
Allo stato stazionario avrò:
q1= q2= q3= q
T0
q1 =
T1
T 0 − T1
L1
λ1 ⋅ A
Corso di Fisica Tecnica
T2
T3
q2 =
T1 − T 2
L2
λ2 ⋅ A
Prof. Massimo Paroncini
q3 =
T2 − T3
L3
λ3 ⋅ A
Strato composto con condizioni I° tipo
q1 =
q2
q3
T0 − T1
L1
λ1 ⋅ A
T0 − T1 = q 1 ⋅
T1 − T 2
=
L2
λ2 ⋅ A
T1 − T 2
T2 − T3
=
L3
λ3 ⋅ A
T2 − T3 = q3 ⋅
L1
λ1 ⋅ A
L2
= q2 ⋅
λ2 ⋅ A
L3
λ3 ⋅ A
Sommando ho:
(T 0
− T 1 ) + (T 1 − T 2 ) + (T 2 − T 3 ) = q 1 ⋅
Corso di Fisica Tecnica
L3
L1
L2
+ q2 ⋅
+ q3 ⋅
λ1 ⋅ A
λ2 ⋅ A
λ3 ⋅ A
Prof. Massimo Paroncini
Strato composto con condizioni I° tipo
Sapendo che: q1= q2= q3= q
(T 0
⎛ L1
L3
L2
− T 3 ) = q ⋅ ⎜⎜
+
+
λ2 ⋅ A
λ3 ⋅ A
⎝ λ1 ⋅ A
(T 0
− T 3 ) = q ⋅ (R 1 + R 2 + R 3 )
(T 0
− T3 )
q =
(R 1 + R 2 + R 3 )
Corso di Fisica Tecnica
Prof. Massimo Paroncini
⎞
⎟⎟
⎠
Strato composto con condizioni I° tipo
L1
L2
L3
R1
q1
T0
q2
T1
T3
(T 0
− Tn
)
q* =
n
∑
i=1
Corso di Fisica Tecnica
R3
q3
T2
q =
R2
Ri
(T 0
n
∑
i=1
Prof. Massimo Paroncini
− Tn
R *i
)
Scambio termico per conduzione
La geometria cilindrica
Equazione generale della conduzione
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
a ⎜⎜ 2 +
+
2
2
∂
∂
∂
x
y
z
⎝
⎞ g
∂T
⎟⎟ +
=
⎠ ρc ∂τ
Caso monodimensionale
Caso monodimensionale senza generazione interna di calore
(g=0): Equazione di FOURIER
Caso monodimensionale allo stato stazionario:
Equazione di POISSON
Caso monodimensionale allo stato stazionario e senza
generazione di calore: Equazione di LAPLACE
g
∂ 2T
∂T
+
=
a
2
∂x
ρc
∂τ
∂ 2T
a
∂x2
∂T
=
∂τ
∂ 2T
g
a
+
= 0
2
∂x
ρc
∂ 2T
= 0
2
∂x
Soluzione con condizioni del I° tipo:
Ipotesi di partenza:
r2
1. Assenza di generazione interna di calore;
r1
2. Materiale omogeneo ed isotropo;
3. Caso monodimensionale in direzione radiale;
4. Stato stazionario.
L
Equazione della conduzione in geometria
cilindrica:
d 2T 1 dT
+ ⋅
=0
2
dr
r dr
Soluzione con condizioni del I° tipo:
Imposto le condizioni al contorno:
r2
r1
1. r = r1
T(r1) = T1;
2. r = r2
T(r2) = T2;
con T1> T2
L
d 2T 1 dT
+ ⋅
=0
2
dr
r dr
d ⎛ dT ⎞ 1 dT
=0
⎜
⎟+ ⋅
dr ⎝ dr ⎠ r dr
Ora poniamo:
dT
=U
dr
dU U
+ =0
dr
r
dU
dr
=−
U
r
Soluzione con condizioni del I° tipo:
dU
dr
=−
U
r
U ⋅r = e
ln(U ⋅ r ) = C *
ln U = − ln r + C *
C*
dr
dT = C1 ⋅
r
U ⋅ r = C1
dT
=U
dr
dT
⋅ r = C1
dr
T ( r ) = C1 ⋅ ln r + C 2
a ) T ( r1 ) = T1
T ( r1 ) = C1 ⋅ ln r1 + C 2 = T1
b ) T ( r2 ) = T2
T ( r2 ) = C1 ⋅ ln r2 + C 2 = T2
Soluzione con condizioni del I° tipo
Sottraiamo la seconda dalla prima:
r1
T1 − T2 = C1 ⋅ ln
r2
T1 − T2
C1 =
r1
ln
r2
T1 − T2
C1 = −
r2
ln
r1
Sostituiamo la C1 nella prima equazione:
T1 − T2
T1 = C1 ⋅ ln r1 + C 2 = −
⋅ ln r1 + C 2
r
ln 2
r1
T (r ) = −
T1 − T2
C 2 = T1 +
⋅ ln r1
r
ln 2
r1
T1 − T2
T − T2
⋅ ln r + T1 + 1
⋅ ln r1
r2
r2
ln
ln
r1
r1
Soluzione con condizioni del I° tipo
T1 − T2
T1 − T2
T (r ) = −
⋅ ln r + T1 +
⋅ ln r1
r
r
ln 2
ln 2
r1
r1
T1 − T2
r1
T ( r ) = T1 +
⋅ ln
r
r
ln 2
r1
r
T1 − T2
T ( r ) = T1 −
⋅ ln
r2
r1
ln
r1
Equazione di distribuzione della temperatura
T
T1
T1 − T2
r
T ( r ) = T1 −
⋅ ln
r2
r1
ln
r1
T2
0
r1
r2
r
Il flusso termico
C1 = −
Partiamo da Fourier:
dT
q = −λ ⋅ A ⋅
dr
T ( r ) = T1 −
r
T1 − T2
⋅ ln
r
r1
ln 2
r1
T1 − T2
r
ln 2
r1
C1
q = −λ ⋅ A ⋅
r
dT
C
=U = 1
dr
r
⎛
⎞
⎜
⎟
1 ⎜ T1 − T2 ⎟
q = −λ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ L ⋅ ⋅ −
r2 ⎟
r ⎜
⎜ ln r ⎟
1 ⎠
⎝
A = 2⋅π ⋅ r ⋅ L
T1 − T2
q = λ ⋅ 2⋅π ⋅ L⋅
r2
ln
r1
Il flusso termico
T1 − T2
q = λ ⋅ 2⋅π ⋅ L⋅
r2
ln
r1
T1 − T2
q=
1
r2
ln
2 ⋅ π ⋅ L ⋅ λ r1
Definendo ora “Rk”come la
“resistenza termica conduttiva all’interno di uno strato cilindrico”:
1
r2
Rk =
ln
2 ⋅ π ⋅ L ⋅ λ r1
T1 − T2
q=
Rk
Soluzione con condizioni del I° e III° tipo
r
T∞,h
r1
L
T1
T1 − T∞
q=
Rk + Rc
Rk
Rc
T∞
Resistenza termica per
convezione
T1 − T∞
q=
1
r
1
ln +
2 ⋅ π ⋅ L ⋅ λ r1 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ L ⋅ h
Soluzione con condizioni del I° e III° tipo
T1 − T∞
q=
1
r
1
ln +
2 ⋅ π ⋅ L ⋅ λ r1 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ L ⋅ h
r
1
1
R=
ln +
2 ⋅ π ⋅ L ⋅ λ r1 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ L ⋅ h
Proviamo a vedere come varia la
resistenza in funzione del raggio.
Soluzione con condizioni del I° e III° tipo
r
1
1
R=
ln +
2 ⋅ π ⋅ L ⋅ λ r1 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ L ⋅ h
dR
dr
dR
1
1 r1
1
=
⋅ ⋅ −
≥0
2
dr 2 ⋅ π ⋅ λ ⋅ L r r1 2 ⋅ π ⋅ h ⋅ L ⋅ r
dR
1
1 ⎞
⎛1
=
⋅⎜ −
⎟≥0
dr 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ L ⎝ λ h ⋅ r ⎠
Soluzione con condizioni del I° e III° tipo
1
1 ⎞
dR
⎛1
=
⋅⎜ −
⎟≥0
dr 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ L ⎝ λ h ⋅ r ⎠
h⋅r −λ
≥0
λ ⋅h⋅r
Denominatore sempre
positivo
1 ⎞
⎛1
⎟≥0
⎜ −
⎝ λ h⋅r ⎠
h⋅r −λ ≥ 0
r≥
λ
h
Il raggio critico
r≥
λ
rc =
h
λ
λ
RAGGIO
CRITICO
h
h
-
+
Il raggio critico
Rtot
R
Rk
1
r
Rk =
ln
2 ⋅ π ⋅ L ⋅ λ r1
Rc
1
Rc =
2 ⋅π ⋅ r ⋅ L ⋅ h
λ
h
r
Il raggio critico
rc =
rc
λ
=
r1 h ⋅ r1
λ
h
rc
1
=
r1 Bi
Bi > 1
r1 > rc
Bi = 1
r1 = rc
Bi < 1
r1 < rc
Il raggio critico
R
Bi > 1
r1 > rc
rc
R
Bi = 1
r
r1 = rc
rc= r1
R
Bi < 1
r1
r
r1 < rc
r1
rc
r