Trasformazioni dell’Energia
Achille A. Nucita
Dipartimento di Matematica e Fisica “E. De Giorgi”- Università del Salento
1) Il concetto di forza: esempi e tutto ciò che ci servirà in
seguito!
2) Il lavoro e l’energia: lavoro di una forza costante, di una
forza variabile. L’energia cinetica, il teorema lavoroenergia e i suoi limiti.
3) La potenza
4) Esempi applicativi
Cinematica del punto materiale in pillole (cioè un formulario necessario)
r
v
o
1
x(t ) = x0 + v0 × (t − t0 ) + a × (t − t0 ) 2
2
x0
v (t ) = v0 + a × (t − t0 )
x(t )
x
r
a
v 2 ( x) = v 2 0 + 2a × ( x − x0 )
r
a
a=0
Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato
Moto Rettilineo Uniforme
Il concetto di forza
Il concetto di “forza” compare naturalmente nello studio della “dinamica”,
ovvero la parte della fisica che si occupa del moto dei corpi interessandosi
delle cause che lo hanno prodotto.
Possiamo introdurre operativamente il concetto di forza (intesa come qualcosa
che tira o spinge) collegandola all’accelerazione prodotta su un certo corpo e,
successivamente, si potrà assegnare a ciascun corpo una caratteristica
intrinseca che ne differenzia il comportamento (a parità di forza applicata e
dell’ambiente circostante).
Le tre leggi di Newton (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, 1866)
La prima Legge di Newton: si consideri un corpo sul quale agiscono più forze
di risultante nulla (avendo inteso per risultante di un sistema di forze la forza
effettivamente efficace). Se il corpo è fermo esso rimane fermo. Se il corpo si
muove inizialmente con velocità costante, il moto continua con velocità
costante indefinitivamente. (Particella libera)
Definizione operativa di forza
Nel linguaggio comune la forza è qualcosa che tira o che spinge ed è naturale
associarla all’accelerazione prodotta su di un corpo. Come corpo campione si
consideri il campione di chilogrammo al quale è stata assegnata per
definizione una massa (gravitazionale) di 1 kg.
Una forza è una grandezza vettoriale
F =1 N
a = 1 m/s 2
F =2 N
F =3 N
a = 2 m/s 2
a = 3 m/s 2
Massa
Quale sarà la l’effetto della forza sugli altri corpi? Poichè il chilogrammo
campione è una scelta completamente arbitraria, potremmo concludere che
l’accelerazione è sempre proporzionale alla forza applicata. Ovviamente, la
stessa forza imprime a corpi diversi accelerazioni diverse (si pensi ad una palla
e ad un’auto). Serve quindi un modo per esprimere quantitativamente la massa
inerziale (o inerzia) di un corpo ovvero la proprietà del corpo che si oppone ad
un cambio del suo stato di moto. L’inerzia è una misura della resistenza di un
corpo ad un cambio di velocità!
Attacchiamo alla molla un campione di 1 kg e “stiriamo” (di una quantità
fissata) la molla sino ad ottenere una certa accelerazione, ad esempio
a = 2 m/s 2
Attacchiamo ora due corpi di 1 kg ciascuno e “stiriamo” la molla della stessa
quantità. Sperimentalmente si osserverà una accelerazione
a = 1 m/s 2
Per tre corpi di 1 kg ciascuno, si avrà
a = 0.667 m/s 2
L’accelerazione prodotta da una
forza
è
inversamente
proporzionale
alla
massa
accelerata
Quindi…
La seconda Legge di Newton: la risultante di tutte le forze agenti (o forza
efficace) imprime su di un corpo una accelerazione che risulta inversamente
proporzionale alla sua massa inerziale. In formule
r
r
∑ F = ma
Nel SI la forza si
misura in Newton (N):
∑F
∑F
∑F
x
= max
y
= ma y
z
= maz
1 N = 1 kg × 1 m/s 2
3 equazioni scalari dove le somme sono da intendere
come somme algebriche delle componenti lungo gli
assi x, y, e z delle forze applicate ad m. Nell’effettuare
tali somme bisogna fissare in maniera opportuna (e
univoca) le direzioni e quindi I segni delle singole
componenti. In pratica si fissa prima un sistema di
riferimento!
La seconda Legge di Newton
La prima Legge di Newton
Qualche regola da seguire:
Un secondo approccio
Definiamo dapprima massa una caratteristica intrinseca di ciascuna particella
o corpo che si ottiene confrontando la particella (o il corpo) con un campione
tramite una bilancia a bracci uguali. Questa massa si definisce massa
gravitazionale.
Questa definizione operativa ci dice qual’è il valore della massa di un corpo
(rispetto ad un campione) quando il corpo è in quiete (massa a riposo).
Chiamiamo
semplicemente
massa
una
caratteristica
del
corpo
indipendentemente dal suo stato di moto. Assumiamo per il momento che essa
sia pari alla massa gravitazionale.
Quantità di moto
La quantità di moto definita come
r
r
p = mv
E rappresenta una grandezza con più informazioni rispetto alla sola velocità
(ad esempio è più difficile cambiare lo stato di moto di una palla che di un
camion).
Dalla prima legge di Newton segue che una particella libera si muove con
quatità di moto costante. Sperimentalmente, si osserva che
r
r
∆v1 ∝ −∆v2
r
m2 r
∆v1 = −
∆v2
m1
r' r
r' r
m1 (v1 − v1 ) = −m2 (v2 − v2 )
r' r
r' r
m1 (v1 − v1 ) = −m2 (v2 − v2 )
r'
r'
r
r
m1v1 + m2 v2 = m1v1 + m2 v2
Generalizzando: la quantità
di moto totale di un sistema
di particelle si conserva
r
r' r
∆p1 = m1 (v1 − v1 )
∆t = t − t
'
r
r
r ∆pr1
r
∆(m1v1 )
∆(v1 )
F1 =
=
= m1
= m1a1
∆t
∆t
∆t
r
r
F = ma
r v v v
r
r
dp
= F1 + F2 + F3 + ... = ∑ F = ma
dt
Analogamente a quanto
già osservato!
La terza Legge di Newton: ad ogni azione corrisponde una reazione. Ad
esempio se la particella 1 esercita sulla particella 2 una forza (in modulo) F12 ,
la particella 2 esercita sulla 1 una forza F21 di uguale modulo, direzione lungo
la congiungente e verso opposto alla prima.
NOTA: forza di azione e forza di reazione NON sono applicate allo stesso
corpo!
Determinare tutte le forze agenti nell’ipotesi che le casse
non si separino durante il moto.
∆t = t ' − t
?
?
?
?
r
r
F1 = − F2
La forza peso:
r
GMm
FMm = − 2 rˆ = −marˆ
r
GM
a=g= 2
RT
r
GMm
FmM = − 2 rˆ
r
r
r
P = mg
g = 9 . 80 m/s
2
La tensione di una fune priva di massa e inestensibile:
In figura si vede un uomo che tira una cassa non applicando direttamente una
forza P su di essa ma “tirando” una corda. Se la corda è inestensibile e priva di
massa essa si occupa solo di trasmettere la forza.
La corda esercita sulla cassa una forza T
diretta verso destra. Per la terza legge di
Newton, la cassa tira la corda con una
forza –T diretta verso sinistra. Su ciascun
elemento di corda agiscono le forze:
T
P
Sulla cassa agisce la sola forza T diretta
verso destra.
T
Per la corda:
r
∑ F = P − T = mCorda a = 0
P =T
Per la cassa:
r
∑ F = T = mcassa a
T = mCassa a
P = mCassa a
r
∑ F = P − T1 = 0
La reazione normale:
La reazione normale è una forza di contatto che è impressa da una superficie a
ciascun oggetto poggiata su di essa.
Quali sono tutte le forze agenti?
Qual’e’ la “reazione” alla reazione
normale? Qual’è l’accelerazione
del libro? E in assenza del
tavolo?
La forza di attrito:
Un blocco di massa m lanciato su di un piano
perfettamente liscio (un’astrazione ideale – il
ghiaccio è qualcosa di molto vicino-) si muove di
moto rettilineo uniforme.
Un blocco di massa m lanciato su di un piano
diminuisce costantemente la sua velocità sino a
fermarsi. Esiste quindi una decelerazione dovuta
ad una forza (detta di attrito) che si oppone al
moto.
La forza di richiamo elastica:
r
F = −kx xˆ
x rappresenta lo spostamento rispetto alla
condizione di riposo (molla nè allungata nè
compressa)
Il lavoro: una definizione operativa
Una forza compie lavoro quando sposta il suo punto di applicazione; più forze
applicate allo stesso corpo compiono lavoro in modo indipendente l’una
dall’altra.
Una forza compie lavoro se produce uno
spostamento.
Se forza F e spostamento s sono vettori
paralleli, il lavoro L è il prodotto dei loro
moduli:
Se forza e spostamento non sono
paralleli, si considera solamente la
componente della forza parallela allo
spostamento:
Il lavoro di una forza
r
F
y
r
xA
O
r
xB
L = Fs
B
A
r r r
s = xB − x A
x
Il lavoro di una forza
r
F
y
ϑ
r
xA
O
r
xB
L = F// s
r
r
F// = F cos(ϑ )
B
A
r r r
s = xB − xB
x
r r
A ⋅ B = AB cos(ϑ ) = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
Il lavoro di una forza
r
F
r
Fy
y
O
r
xA
r
xB
ϑ
r
Fx
B
A
x
r r r
s = xB − xB
r r
r r r r r r r
L = F ⋅ s = Fs cos(ϑ ) = ( Fx + Fy ) ⋅ s = Fx ⋅ s + Fy ⋅ s = Fx s
F// = F x= F cos(ϑ )
•
Le dimensioni fisiche del lavoro sono
[L ]= [F ][s ]= ML2T −2
Nel SI il lavoro si misura in N*m, ovvero joule (J):
Valore e segno del lavoro L dipendono dall’angolo α tra la forza F e lo
spostamento s.
Ad esempio: il lavoro compiuto dalla forza di attrito è sempre negativo (lavoro
resistente o dissipativo) e la forza si dirà dissipativa. Anticipiamo che (come
indica lo stesso nome) si “perde” qualcosa e il corpo si ferma.
Il lavoro in termini infinitesimi
Si consideri una forza costante
r
F
che sposta il proprio punto di
applicazione r di
un
tratto
infinitesimo dr
r
dr
r
r
y
x
r r
dL = F ⋅ dr = Fdscosϑ = FT ds
r r
r +dr
Il lavoro lungo un percorso AB
N r
r r r r r r
r
LAB = F1 ⋅ dr1 + F2 ⋅ dr2 + F3 ⋅ dr3 + ... = ∑ Fn ⋅ drn
1
r
r r
rB r
r
LAB = lim
r
∑ Fn ⋅ drn = ∫r F ⋅ dr
N
drn →0
1
rA
Per il calcolo dell’integrale, si deve conoscere F in funzione di x, y, z e quindi
l’equazione della traiettoria seguita.
Vale il principio di sovrapposizione…
Se la forza agente è la risultante di n forze, il lavoro totale per spostare il punto
di applicazione di un tratto infinitesimo ds è la somma di lavori compiuti dalle n
forze sullo stesso tratto ds. Infatti:
Se la forza è la risultante di n forze
r
F=
r
∑ Fk
k=1,...n
Si può applicare il principio di sovrapposizione per calcolare il lavoro
r r B
r r B
r r
WAB = ∫ F ⋅ds = ∫ ∑ Fk ⋅ds = ∫ ∑ Fk ⋅ ds =
A
A k =1,... n
A k =1,... n
B r
r
= ∑ ∫ Fk ⋅ ds = ∑ Wk
B
k =1,... n A
(
)
k =1,... n
Cioè il lavoro complessivo è uguale alla somma dei lavori delle singole
forze
Vale il principio di sovrapposizione…
Lavoro di una forza costante (in modulo, direzione e verso): esempi
y
r
s
a
r
mg
x
b
r r
π
π
L = F ⋅ s = mg scos = mgcos s = 0
2
2
Lavoro di una forza costante (in modulo, direzione e verso): esempi
y
r r
L = F ⋅ s ≡ mgs cos θ
a
θ
r
s
b
mg cosθ
r
mg
x
Spostamento nella
direzione della forza
s cosθ
θ
Forza nella direzione
dello spostamento
r r
L = F ⋅ s = mg(s cos θ) = (mg cos θ)s
Interpretazione geometrica del lavoro
r r
L = F ⋅ s ≡ mg cos θs = F// s
s = x 2 − x1
F
F//
lavoro
x1
x2
x
Lavoro di una forza variabile
r r
∆L1 = F1 ⋅ ∆ s1
r
r
∆L 2 = F2 ⋅ ∆ s2
r
∆sn
r
∆s2
r
∆s1
s
F2
F1
Fn
L = lim
∆s→ 0
…………..…
r
r
∆L n = Fn ⋅ ∆ sn
r
r
∑ iFi ⋅ ∆ si =
∫
2
1
r r
F ⋅ ds =
∫
2
1
F cos θ ds
Fx
Fx
lim
x1
lavoro
∆x → 0
lavoro
x2
x
x1
x2
x
Lavoro di una forza variabile: la forza elastica
In un grafico forza-spostamento, l’area al di sotto del grafico rappresenta il
lavoro compiuto dalla forza.
Questo permette di
forze variabili con lo
Il lavoro compiuto tra le
posizioni 0 e s è uguale
all’area colorata.
spostamento, come la
Per la forza elastica:
calcolare il lavoro di
forza elastica:
Forza elastica
Lavoro di una forza variabile: la forza elastica
Fel = 0
x=0
r
Fel
x = x1
x = − x2
r
Fel
x = − x3
x
r
Fel
r
r
Fel = − k x
Lavoro di una forza variabile: la forza elastica
Fel = 0
xi = 0
r
F1
x
F = −kx
xf
xf
xf
r r xf
1 2 xf
L = ∫ F ⋅ ds = ∫ − kxdx= −k ∫ xdx= −k x ]x
i
2
xi
xi
xi
1 2 1 2
1 2
= kxi − kxf = − kxf
2
2
2
Sia
in
dilatazione
che
in
compressione il lavoro compiuto dalla
forza elastica è sempre NEGATIVO
Quanto lavoro compie l’agente esterno (noi che tiriamo o la stiriamo la molla) per
allungare o comprimere la molla? Ma soprattutto, che forza applica l’agente
esterno?
A
B
Calcoliamo il lavoro compiuto dalla forza
elastica per andare da A a B e poi da B
ad A. Quanto vale il lavoro totale?
Calcoliamo il lavoro L1 per andare da
B=+d a C=-d/2 (direttamente), ed il lavoro
L2 per andare da B a C passando prima
per D=-d. Che cosa si nota?
B
γ1
γ2
A
A
Lavoro della forza (costante) peso per spostare il proprio punto di applicazione
da A a B
y
B
hf
A
r
r
P = mg
hi
r r
L= F ⋅ s
r
F = − P yˆ
r
s = (hf − hi ) yˆ
LAB = −mg (h f − hi )
Lavoro della forza peso per spostare il proprio punto di applicazione da B a A
y
B
hf
r
r
P = mg
A
hi
r r
L= F ⋅ s
r
F = − P yˆ
r
s = −(hf − hi ) yˆ
LBA =
?
Lavoro della forza peso per spostare il proprio punto di applicazione da A a B e
tornare indietro
y
B
hf
A
r
r
P = mg
hi
r r
L= F ⋅ s
r
F = − P yˆ
r
s
LAA =
?
B
y
hf
A
r
r
P = mg
r
d s = dx xˆ + dy yˆ
r
r
P = mg
hi
L= ∑
r r
F ⋅ ds i = ∑ − mgdyi
B
r r hf
F ⋅ ds = ∫ − mgdy
A
hi
L= ∫
LAB = −mg (h f − hi )
!
Lavoro della forza elettrica
r
1 qq0
F=
rˆ
2
4πε0 r
r
F
y
q0(+)
r
r
In termini di un campo elettrico
r
r
F = q0 E
r
1 q
E=
rˆ
2
4πε0 r
r̂
q(+)
x
B
r
F θ r
ds
A
q0(+)
C1
C2
r r
r r
dL = F ⋅ ds = q0 E ⋅ ds
B
L1 = q0 ∫
A
C1
r r
E ⋅ ds
B
L2 = q0 ∫
A
C2
r r
E ⋅ ds
B
L1 = q0 ∫
B
r r
E ⋅ ds
L2 = q0 ∫
A
C1
B
∫
A
C1
B
∫
A
C2
r r
E ⋅ ds
A
C2
r r L1
E ⋅ ds = = T1
q0
Tensione elettrica tra i punti A e B relativa al
percorso C1
r r L2
E ⋅ ds = = T2
q0
Tensione elettrica tra i punti A e B relativa al
percorso C2
In generale le tensioni potrebbero essere diverse cambiando percorso. Per un
percorso chiuso (da A a B lungo C1 e da B ad A lungo –C2)
L = q0 ∫
B
A
B
A
r r
r r
r r
r r
r r
E ⋅ ds = q0 ∫ E ⋅ ds + q0 ∫ E ⋅ ds = q0 ∫ E ⋅ ds − q0 ∫ E ⋅ ds = L1 − L2
A
C1
B
−C2
A
C1
B
C2
L = q0 ∫
r r
E ⋅ ds = q0ε
Per un campo elettrostatico, l’integrale precedente è sempre 0 e quindi il: la forza
elettrostatica è conservativa, il lavoro non dipende dalla traiettoria effettivamente
seguita, il campo elettrostatico si dice conservativo e la forza elettromotrice in un
campo elettrostatico è sempre 0!
Per
Prova (NOTA: la forza Coulombiana non è costante lungo il percorso seguito):
rB
B
y
r
r
r̂
r
F
=
C1
r
ds
LAB,C1 = q0 ∫
rA
r r q0 q
E ⋅ ds =
4πε 0
rB
q0 q
q0 q
dr
=
−
∫r r 2 4πε 0 rA 4πε 0 rB =
A
q0 (VA − VB )
A
q0(+)
LAA' = 0
LB'B = 0
r
r
r
=
q0 B dr
q0 q
q0 q
LA'B' =
=
−
=
4πε 0 r∫A r 2 4πε 0 rA 4πε 0 rB
q(+)
x
A’
C2
B’
Ricordiamo tutti questi risultati!
q0 (VA − VB )
LAB = −q0 ∆V
TUTTE le forze che si comportano come la forza elastica o la forza peso e
per le quali il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo (e quindi il lavoro non
dipende dalla traiettoria effettivamente seguita ma SOLO dalle condizioni
iniziali e finali) si dicono CONSERVATIVE.
IL LAVORO INFATTI SI CONSERVA (RIMANE UGUALE) LUNGO
TRAIETTORIE DIFFERENTI.
BREVE RIPASSO DELLA LEZIONE PRECEDENTE
(PER INIZIARE LA LUNGA GIORNATA!)
Abbiamo introdotto operativamente il concetto di massa inerziale di un corpo
e quello di forza come una entità in gradi di modificarne lo stato di moto.
Abbiamo introdotto le tre leggi della dinamica di Newton e chiarito alcune
ambiguità
r
r
∑ F = ma
Abbiamo incontrato alcune forze “famose” quali la forza peso, la forza di
attrito, la forza di richiamo elastica, la forza vincolare normale, la tensione di
una fune, la forza elettrostatica (i..e. la forza coulombiana).
r
r
P = mg
r
F = − kx xˆ
r
r
F = q0 E
r
1 q
E=
rˆ
2
4πε0 r
Abbiamo introdotto il concetto di LAVORO compiuto da una forza per spostare il
suo punto di applicazione di un certo tratto
Per una forza costante e spostamento finito…
r r
A ⋅ B = AB cos(ϑ ) = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
r
Fy
r
F
ϑ
y
O
r
xA
r
xB
…per una forza (variabile) e
uno spostamento infinitesimo.
r
Fx
B x
A
r r r
s = xB − x B
r
dr
r r
r r r r r r r
L = F ⋅ s = Fs cos(ϑ ) = ( Fx + Fy ) ⋅ s = Fx ⋅ s + Fy ⋅ s = Fx s
F// = F x= F cos(ϑ )
r
r
y
x
r r
dL = F ⋅ dr = Fdscosϑ = FT ds
r r
r +dr
SICURI DI QUESTA AFFERMAZIONE?????
ESEMPI QUOTIDIANI DI FORZE CHE COMPIONO LAVORO
Sfatiamo ora un mito!
Come mai mi affatico a portare una valigia se il lavoro che compie la
forza peso è nullo? Anche il lavoro compiuto dalla forza che si
oppone alla forza peso è nullo! E quindi???
Interpretazione geometrica
L = F ⋅ s ≡ Fs cos θ =
Il lavoro di una
forza costante
coincide con l’area
del rettangolo in
figura
= F (s2 − s1 )
F
F
lavoro
s1
s2
s
Lavoro di una forza non costante
Il lavoro di una forza variabile coincide con l’area della regione di piano
sottesa alla curva F(x) tra due posizioni xi e xf. Per calcolarla è necessario
suddividere l’intervallo xf-xi in tanti intervalli Δx abbastanza piccoli da poter
considerare la forza F costante in quell’intervallo. In questo modo, è possibile
calcolare il lavoro relativo a ciascuno degli intervalli come area sottesa a
ciascun rettangolo di base Δx. Il lavoro totale è la somma dei lavori ennesimi.
Quanto più alto è il numero degli intervalli individuati tanto più è precisa la
misura dell’area totale e quindi del lavoro totale.
Lavoro di una forza non costante
Il lavoro di una forza
variabile è l’integrale tra una
posizione iniziale xi e una
posizione finale xf della forza
F(x) per lo spostamento
infinitesimo dx.
Il lavoro fatto da alcune delle forze incontrate
Lif = −mg (h f − hi )
Lavoro compiuto dalla forza peso
1 2 1 2
Lif = kxi − kxf
2
2
Lavoro compiuto dalla forza elastica
LAB = −q0 ∆V
Lavoro compiuto dalla forza elettrostatica
FINE DEL RIPASSO DELLA LEZIONE
PRECEDENTE
(INIZIAMO LA LUNGA GIORNATA CON UNA PAUSA!)
Il teorema Lavoro-Energia:
Abbiamo visto che
r
F
y
O
r
xA
r
xB
B
A
r r r
s = xB − x A
Se m è la massa del blocco considerato
L = Fs = F ( xB − x A ) = ma( xB − x A )
x
L = Fs = F ( xB − x A ) = ma( xB − x A )
E ricordando le formule (si veda la prima trasparenza) del moto rettilineo
uniformemente accelerato
1
x(t ) = x0 + v0 × (t − t0 ) + a × (t − t0 ) 2
2
v (t ) = v0 + a × (t − t0 )
2
v ( x) = v 0 + 2a × ( x − x0 )
2
2
2
v
v
( xB − x A ) = B − A
2a 2a
Avendo
posto
x0=xA, etc.
Si ha infine
2
2
2
2
vB
vA
vB
vA
L = Fs = F ( xB − x A ) = ma( xB − x A ) = ma
− ma
=m
−m
2a
2a
2
2
x=xB,
Energia cinetica (una prova più semplice alla lavagna)
•
Consideriamo il lavoro infinitesimo e riscriviamolo usando la 2a legge
•
Per trovare il valore del prodotto scalare differenziamo i due membri
dell’identita` seguente
r
r r d pr r
r ds
r r
dW = F ⋅ d s =
⋅ ds = dp ⋅
= m v ⋅ dv
dt
dt
r2
2
d (v ) ≡ d (v )
•
Da cui
r2
r r
r r
d (v ) = d (v ⋅ v ) = 2v ⋅ dv
r r 1
v ⋅ dv = d (v 2 )
2
d (v ) = 2vdv
2
r r 1 2
dL = mv ⋅ dv = d mv
2
•
Abbiamo infine
•
Per una variazione finita dobbiamo integrare tra il punto iniziale e il
punto finale
B
B
1 2 1 2 1 2
L = ∫ dL = ∫ d mv = mvB − mvA
2
2
2
A
A
•
La quantità
1 2
K = mv
2
prende il nome di energia cinetica
L’energia cinetica Ec di un corpo è il semiprodotto della
massa per il quadrato della velocità.
Nel SI l’unità di misura dell’energia cinetica è il joule (J).
-Lavoro e energia cinetica hanno la stessa unità di misura:
• Il teorema appena dimostrato è detto
teorema del Lavoro-Energia: il lavoro
fatto dalla forza sul punto materiale è
uguale alla variazione di energia
cinetica del corpo stesso!
• HA DEI LIMITI!
Energia: capacità di compiere lavoro
Un corpo in movimento ha la
capacità di compiere lavoro
(per esempio comprimendo una molla)
Energia cinetica: energia
posseduta da un corpo in
movimento.
Dipende dalla massa e dalla velocità
L’energia cinetica
Forza applicata a un corpo: l’energia cinetica può variare
a) Una forza parallela alla
velocità fa variare l’energia
cinetica (moto di caduta)
b) Una forza perpendicolare
alla velocità modifica la
traiettoria ma lascia
invariata l’energia cinetica
(moto circolare uniforme)
L’energia cinetica
a) Una forza che forma un angolo α
rispetto alla velocità può essere
scomposta in due componenti:
parallela alla velocità, fa variare
l’energia cinetica
perpendicolare alla velocità,
modifica la traiettoria ma lascia
invariata l’energia cinetica
V?
Nessun attrito!
O
O
-d
d’
Come sono d e d’?
Con attrito!
Residuo!
Ma vi è attrito che produce un
lavoro RESISTENTE.
O
-d
Come sono d e d’?
O
Le forse
che
agiscono
sul
sistema
fanno un
lavoro
sul
sistema!
d’
Sistema
Risolviamo il problema
usando il teorema LavoroEnergia, la seconda legge di
Newton e quello che
ricordiamo della cinematica!
x
o
θ
RISPONDIAMO ORA ALLE DOMANDE SOSPESE DEGLI ESERCIZI
La potenza
La potenza è il lavoro compiuto da
una forza nell’unità di tempo;
la potenza è una proprietà delle
macchine
La potenza
La potenza è il rapporto fra il lavoro compiuto e
l’intervallo di tempo impiegato per compierlo:
Nel SI la potenza si misura in watt (W):
La potenza
Multipli del watt
La potenza è un dato
caratteristico delle
apparecchiature
elettriche.
PSole = 2×10 W
26
La potenza
Un corpo è soggetto a una forza F e si muove a velocità costante.
(F compensa le altre forze che si oppongono al moto, come gli attriti).
La potenza che deve essere fornita in questo caso è il
prodotto della forza per la velocità:
La potenza
Il rendimento di una macchina è il rapporto tra potenza utile e
potenza assorbita; è sempre inferiore a 1
L’energia potenziale
L’energia potenziale gravitazionale
è associata alla posizione di un
corpo rispetto alla Terra; l’energia
potenziale elastica è associata alla
deformazione dei corpi elastici
L’energia potenziale
Un corpo fermo può avere la capacità di compiere lavoro:
-per esempio può avere energia potenziale gravitazionale (a) o
energia potenziale elastica (b)
L’energia potenziale
Energia potenziale gravitazionale di un corpo: lavoro che la forza di
gravità può compiere facendolo cadere sul piano di riferimento.
Se l’oggetto ha massa m e si trova a una quota h:
Lgravità = m·g·h
L’energia potenziale
L’energia potenziale gravitazionale è una proprietà non del solo
oggetto, ma del sistema Terra + oggetto.
L’energia potenziale
La forza peso è una forza conservativa
Per fare salire (a velocità costante) un corpo
su un piano inclinato senza attrito si applica
una forza F che compie il lavoro L = P·h.
Il corpo acquista l’energia potenziale Ep = P·h.
Cadendo sotto l’azione del peso il corpo può
restituire il lavoro speso per sollevarlo: Ep = L.
Il lavoro compiuto dalla forza peso dipende solo
dalla differenza di quota h, e non dal percorso.
L’energia potenziale
La forza d’attrito è una forza dissipativa
In presenza di una forza di attrito Fa il lavoro per
spostare il corpo a quota h è:
L = F·l = P·h + Fa·l > P·h.
Il corpo acquista l’energia potenziale Ep = P·h.
Cadendo il corpo non può restituire tutto il
lavoro speso per sollevarlo: Ep < L.
Il lavoro compiuto dalla forza d’attrito dipende dal
percorso seguito.
L’energia potenziale
Energia potenziale elastica Ee di una molla compressa di un tratto s:
lavoro che la molla può compiere tornando alla posizione di equilibrio.
La forza elastica è una forza conservativa
L’energia potenziale: da dove si ricava questo concetto?
Abbiamo visto che esistono forze conservative per le quali il lavoro compiuto
per spostare il punto di applicazione lungo una traiettoria chiusa è NULLO!
c1
B
L= ∫
c2
A
A
r r
F ⋅ ds = 0
B
LAB = ∫
A
C1
r r A r r
F ⋅ ds = ∫ F ⋅ ds
B
C2
Per la forza peso:
B
rˆ
LAB = ∫ −mg y ⋅ dyyˆ = −mg(h f − hi ) = −mghf + mghi = −∆U gravitazionale
A
C1
B
L AB
rˆ
= ∫ −mg y ⋅ dy yˆ = − mg ( h f − hi ) = − mgh f + mgh i = − ∆ U gravitazio nale
A
C1
U = U ( x, y, z) = U gravitazionale = +mgh
Per la forza elastica:
B
LAB = ∫
A
1
1
2
2
− kxdx = − kxB + kxA = −∆U elastica
2
2
1
U = U ( x, y, z ) = U elastica = + kx2
2
Per la forza elastica:
B
LAB = ∫
A
1 2 1 2
− kxdx = − kxB + kxA = −∆U elastica
2
2
1
U = U ( x, y, z ) = U elastica = + kx2
2
Per la forza di interazione elettrostatica:
rB
LAB = q0 ∫
rA
r r q0 q
E ⋅ ds =
4πε 0
rB
q0 q
q0 q
dr
=
−
∫r r 2 4πε 0 rA 4πε 0 rB = q0 (VA − VB ) = −q0 ∆V
A
U = U ( x, y, z) = U elettrostatica
q0 q
=
4πε 0 r ( x, y, z )
L’energia potenziale rappresenta l’energia di configurazione di un sistema. Più
precisamente essa è l’energia immagazzinata da un sistema per il fatto di avere le
sue varie componenti disposte in un certo modo rispetto al resto dell’universo (per
esempio, la compressione di un sistema mass-molla o la posizione di un corpo
rispetto allla Terra).
Nel caso di forze conservative
U = U ( x, y, z)
∆U potenziale = − L
La variazione di energia potenziale è il lavoro, cambiato di segno, compito dalle
forza conservative che agiscono sul sistema.
CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA TOTALE
Abbiamo già visto che, per il teorema Lavoro-Energia, che
1 2 1 2
L = mv f − mvi = ∆K
2
2
Abbiamo già visto che, per le forze conservative, il lavoro compiuto da queste
forze sul sistema può essere scritto come
L = −∆U potenziale
Quindi
∆K = −∆U potenziale
∆K + ∆U potenziale = 0
∆K + ∆U potenziale = 0
Qualunque tipo di energia potenziale!
Ovviamente ciascun tipo è associata ad una
forza CONSERVATIVA agente sul sistema
Ki + U i = K f + U f
∆E = 0
Ei = E f
E si chiama energia MECCANICA totale. La
precedente equazione indica il PRINCIPIO DI
CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA
MECCANICA TOTALE!
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA TOTALE!
∆E = 0
In un qualsiasi sistema isolato costituito da oggetti che interagiscono solo
attraverso forze conservative, l’energia può cambiare forma (da potenziale a
cinetica e vicecersa) ma la somma (in qualsiasi istante) dell’energia cinetica e
potenziale DEVE rimanere costante.
Esempio: per la forza CONSERVATIVA peso si ha
1
2
EB = mghB + mvB
2
1
2
E A = mghA + mvA
2
y
hf
B
A
hi
r
r
P = mg
∆E = E A − E B = 0
Risolviamo il problema
usando la conservazione
dell’energia meccanica
totale
x
o
θ
A
La scelta del contorno del sistema è arbitraria!
∆K = Lext = L gravitazionale + Lelastica
∆K + ∆U elastica = Lgravitazionale
∆K + ∆U gravitazionale = Lelastica
∆K + ∆U gravitazionale + ∆U elastica = 0
Energia e lavoro
Potenza
Potenza
Teorema
Teorema
dell’energia
dell’energia cinetica
cinetica
Energia
Energia
cinetica
cinetica
Trasferimenti
Trasferimenti
di
di energia
energia
Lavoro
Lavoro
Energia
Energia
potenziale
potenziale
Forze
Forze
conservative
conservative
Lavoro
Lavoro di
di una
una
forza
forza costante
costante
Energia
Energia potenziale
potenziale
gravitazionale
gravitazionale
Lavoro
Lavoro di
di una
una
forza
forza variabile
variabile
Energia
Energia potenziale
potenziale
elastica
elastica
PRIMA ESPERIENZA DI LABORATORIO
Verificare tramite l’utilizzo di un piano inclinato, di una molla di costante
elastica nota e di un carrello la legge di conservazione dell’ENERGIA
MECCANICA TOTALE!
Situazione iniziale
Molla a riposo, carrello non appoggiato
e fermo
Estremità in x=0, quota h’
Energia elastica molla 0
Energia potenziale carrello mgh’
Energia cinetica carrello 0
0
h’
Posizionamento carrello
Molla leggermente compressa dal
carrello m
Estremità in x=x0, quota h0
Energia elastica molla ½kx o2
Energia potenziale carrello mgh0
Energia cinetica carrello 0
½kx o2 = mg(h’-h0)
x0 0
ho
Carico molla per lancio
Molla compressa e bloccata
Estremità in x=xm, quota hm
Energia elastica molla ½kx m2
Energia potenziale carrello mghm
Energia cinetica carrello 0
½kx m2 = mg(h0 - hm) + lavoro fatto
dall’operatore
xm
x0 0
hm
Lancio del carrello
Molla rilasciata
Estremità in x=0, quota h’
Energia elastica molla 0
Energia potenziale carrello mgh’
Energia cinetica carrello ½mv o2
v0
xm
x0 0
h’
Corsa del carrello
Molla rilasciata
Estremità in x=0, quota h
Energia elastica molla 0
Energia potenziale carrello mgh
Energia cineticav carrello ½mv 2
xm
x0 0
h
Corsa del carrello
Molla rilasciata
Estremità in x=0, quota h
Energia elastica molla 0
Energia potenziale carrello mgh
v
Energia cinetica carrello ½mv 2
xm
x0 0
h
Corsa del carrello
Molla rilasciata
Estremità in x=0, quota h
Energia elastica molla 0
Energia potenziale carrellov mgh
Energia cinetica carrello ½mv 2
h
xm
x0 0
Corsa del carrello
Molla rilasciata
Estremità in x=0, quota h
Energia elastica molla 0
v
Energia potenziale carrello mgh
Energia cinetica carrello ½mv 2
h
xm
x0 0
Corsa del carrello
Molla rilasciata
Estremità in x=0, quota h
Energia elastica molla 0
v
Energia potenziale carrello mgh
Energia cinetica carrello ½mv 2
h
xm
x0 0
Arresto del carrello
Molla rilasciata
Estremità in x=0, quota h1
Energia elastica molla 0
Energia potenziale carrello mgh1
Energia cinetica carrello 0
½kx m2 = mg(h1 - hm)
xm
x0 0
h1
I trasferimenti di energia
L’energia si può trasferire da un
sistema a un altro in modi diversi;
nel trasferimento ci possono
essere delle perdite di energia
I trasferimenti di energia
L’energia si può trasformare
Quando un corpo cade, la sua
energia potenziale si trasforma
in energia cinetica.
L’energia si può trasferire
L’atleta, quando lancia il
giavellotto, gli trasferisce
energia per lavoro meccanico.
I trasferimenti di energia
L’energia si può trasferire per lavoro
elettrico
La pila, utilizzando la propria energia
chimica, compie un lavoro elettrico
sui portatori di cariche elettriche del
circuito di collegamento.
Questo lavoro elettrico consente al
motorino di sollevare il peso.
I trasferimenti di energia
L’energia può essere trasferita per calore
Quando si accende il fuoco, l’energia chimica
liberata nella combustione si trasferisce sotto
forma di calore alla griglia, aumentandone la
temperatura.
La trasmissione di energia tra corpi caldi
avviene anche a distanza (e nel vuoto,
come per le stelle), per irraggiamento di
onde elettromagnetiche
I trasferimenti di energia
La radiazione
solare può essere
assorbita e poi
trasformata da
organismi viventi o
da dispositivi
convertitori di
energia
Un convertitore di energia è caratterizzato da un rendimento:
