PRIMA PROVA IN ITINERE
FONDAMENTI DI ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA
Consegna ore 8.00 del 20.04.2009
NOTA: Le risposte possono essere anche tutte vere o tutte false. Il
punteggio assegnato è: +1 per le risposte esatte, -1/2 per le risposte
errate e 0 per le risposte non date.
NOTA: Utilizzare per i calcoli
1
4πε 0
= 9 × 10 9 Nm2C − 2
Quesito 1:
1. E’ data una superficie chiusa S a forma di semisfera di raggio R, chiusa
alla base da un cerchio di raggio R (quindi una calotta sferica). Possiamo
affermare che:
a) Se la superficie contiene al suo interno una carica Q, il flusso del campo
elettrostatico uscente dalla superficie S vale Q/ε0
r
Q
VERO: secondo il teorema di Gauss, Φ S (E ) =
ε0
b) Se la superficie contiene al suo interno una carica Q, il flusso del campo
elettrostatico uscente dalla superficie S dipende dalla posizione in cui si
trova la carica Q all’interno della semisfera, poiché la situazione non è
più simmetrica come nel caso di una sfera!
FALSO: il flusso è sempre lo stesso, perché rappresenta il numero di linee di
forza uscenti dalla superficie. Quello che può cambiare è il campo.
c) Se immaginiamo che la calotta abbia la base sul piano xy, e centro del
cerchio base nell’origine degli assi, il campo elettrico a distanza r
r
r
Q
dall’origine degli assi, vale E =
ur ma solo nel semispazio z>0.
4πε 0 r 2
Per z<0 tale campo è nullo.
FALSO: anzitutto il campo dipende da dove è posta la carica. Se la carica
fosse nel centro della base (cerchio) della calotta, il campo sarebbe dato da
r
r
Q
E =
ur in tutti i punti dello spazio, con ur versore uscente
4πε 0 r 2
dall’origine: la superficie gaussiana non può cambiare né azzerare il valore
del campo, ma serve solo in certi casi a calcolare il flusso da cui estrarre il
valore del campo
d) Se S contiene una carica Q e una carica –Q, il campo elettrico all’esterno
è nullo
FALSO! Il flusso è nullo, il campo è dato in ogni punto dalla sovrapposizione
dei campi generati dalle due cariche
Quesito 2:
Un elettrone si muove su un’orbita circolare di raggio r attorno al nucleo di
un atomo di idrogeno, costituito da un solo protone. Se l’elettrone salta
dall’orbita di raggio r ad un’orbita di raggio r’>r, possiamo affermare che:
a) L’energia totale dell’atomo aumenta
VERO: l’elettrone nel campo creato dal protone si comporta come un
pianeta nel campo gravitazionale del sole. L’energia totale si scrive:
1
e2
ETOT = mv 2 −
. Siccome poi il moto è circolare uniforme, vale la
2
4πε 0 r
seconda legge della dinamica, quindi
mv 2
e2
e2
2
=
⇒
mv
=
r
4πε 0 r
4πε 0 r 2
1
1
1 e2
mv 2 − mv 2 = − mv 2 = −
. Dunque se il raggio dell’orbita
2
2
2 4πε 0 r
aumenta, 1/r diminuisce , ma col segno negativo davanti, l’energia totale
aumenta
b) L’energia potenziale dell’elettrone aumenta
e2
VERO. Poiché E p = −
, se r aumenta 1/r diminuisce in modulo, ma
4πε 0 r
essendo negativo -1/r’ > -1/r se r’>r.
c) L’energia cinetica dell’elettrone aumenta
mv 2
e2
e2
2
FALSO: da
=
⇒ mv =
quindi se r aumenta l’energia
r
4πε 0 r
4πε 0 r 2
cinetica diminuisce
d) Se la carica del nucleo raddoppiasse, l’energia dell’elettrone
raddoppierebbe
VERO: vedi spiegazione in a)
⇒ ETOT =
Quesito 3:
Tre cariche puntiformi si trovano sui vertici di un triangolo equilatero di lato
L. Le due cariche alla base sono positive, di modulo q, la carica sul vertice è
negativa, di modulo -2q. Possiamo affermare che:
a) il campo elettrostatico nel centro del triangolo è nullo perché la somma
delle cariche è zero e la simmetria del problema implica che il campo nel
centro sia nullo
FALSO: Il campo nel centro del triangolo è la somma vettoriale dei campi
generati dalle tre cariche. Vedi disegno: i tre vettori sommati non danno
zero!
b) se portiamo una carica +Q da distanza infinita nel centro del triangolo,
facciamo un lavoro nullo
VERO:
Il
potenziale
nel
centro
del
triangolo
vale
1 q
q
2q
+
−
= 0 . Se il potenziale è nullo all’infinito e anche nel
4πε 0 L / 2 L / 2 L / 2
centro del triangolo, il lavoro è nullo, perché è la differenza di potenziale fra
i due punti moltiplicato per il valore della carica.
c) Detti A e B i punti medi dei lati fra la carica -2q e le due cariche q, e
detto M il punto medio del lato fra le due cariche q, il lavoro fatto per
spostare una carica q’ da A a B è nullo
VERO perché i punti sono allo stesso potenziale (si vede anche dalla
simmetria)
d) Detti A e B i punti medi dei lati fra la carica -2q e le due cariche q, e
detto M il punto medio del lato fra le due cariche q, il lavoro fatto per
spostare una carica q’ da A ad M è uguale e opposto al lavoro fatto per
spostare la stessa carica da B ad M
FALSO: è uguale, non è opposto
Quesito 4
Riguardo al campo elettrostatico nei dielettrici, possiamo affermare che:
a) Il vettore P è sempre diverso da zero ogni volta che abbiamo un
dielettrico, ed è continuo nella componente normale alla superficie di
separazione fra due dielettrici
FALSO: non è continuo! Anzi, la componente normale è pari al modulo della
densità superficiale della carica di polarizzazione
b) Il vettore P è sempre uniforme e costante ogni volta che abbiamo un
dielettrico lineare e isotropo, come, ad esempio, una sfera di dielettrico
con una carica +Q al suo centro
FALSO: in questo caso ha divergenza nulla ma non è certo uniforme:
decresce come 1/r2, come il campo E
c) Il vettore P ha divergenza nulla solo se il vettore E da cui si ricava è
uniforme
FALSO: E può avere divergenza nulla, e quindi P, ma non essere uniforme,
ad esempio nella situazione indicata in b)
d) Il vettore P non può avere componenti tangenti alla superficie di un
dielettrico
FALSO: il campo E non esce necessariamente perpendicolare dalla superficie
di un dielettrico!
Quesito 5:
In una certa regione dello spazio il potenziale elettrostatico dipende dalle
coordinate cartesiane secondo l’equazione V = K (x 2 + y 2 + z 2 ) dove K è una
costante positiva. Si può affermare che:
a) il campo elettrico decresce in intensità con la distanza dall’origine degli
assi, è diretto verso 0 e ha simmetriar sferica
r
r
r
FALSO: il campo elettrico sarà dato da E = −2K ( xu x + yuy + zu z )
b) un dipolo di momento p posto in un punto dello spazio tenderà ad
allinearsi lungo delle semirette che partono dall’origine degli assi e a
disporsi col vettore momento di dipolo orientato verso l’origine degli assi.
VERO infatti il campo assegnato per qualsiasi valore di x, y e z è
rappresentato da un vettore la cui “inclinazione “ rispetto agli assi dipende
dai rapporti fra le componenti. E questo “punta” necessariamente verso O.
Infatti se pensiamo ad esempio a k=1, x=1, y=2, z=0, otteniamo un
vettore come quello rosso in figura. Se poniamo x=y=1, z=0 otteniamo un
vettore come quello viola.
c) entro una sfera con centro nell’origine e raggio R è contenuta una carica
negativa pari a Q = −8πε 0 KR3
VERO: applicando Gauss: E 4πR 2 = Q = −2KR(4πR 2 ) = −8πε 0 KR3
d) in tutta la regione considerata, la densità di carica è costante
VERO: la divergenza di E è una costante. Per il teorema di Gauss in forma
locale anche la densità di carica è costante.
Quesito 6:
Il teorema di Gauss nei dielettrici implica che:
a) se sulla superficie di separazione fra due dielettrici è presente solo carica
di polarizzazione, il vettore E è continuo attraverso l’interfaccia fra i due
dielettrici
FALSO: è continua la componente tangente alla superficie di separazione del
vettore E!
b) la risposta a) è falsa: è il vettore D che risulta continuovera
FALSO: per il vettore D si conserva solo la componente normale, non tutto il
vettore!
c) se sulla superficie di separazione fra due dielettrici è presente solo carica
di polarizzazione con densità σp, la componente normale alla superficie
del campo elettrico E subisce una discontinuità nell’attraversamento della
superficie, data da σ p / ε 0
VERO: infatti applicando il teorema di Gauss per il campo E a un cilindretto
di basi S e altezza h tendente a zero, con una base nel dielettrico 1 e una
nel dielettrico 2 (cioè un cilindretto che “interseca l’interfaccia”), si trova
E n1S − E n2 S = σ p S / ε 0 ⇒ E n1 − E n2 = σ p / ε 0
d) la c) è falsa: è la componente normale di D che subisce la discontinuità
ε0σp.
FALSO: la componente normale di D è continua.
Quesito 7:
Dati due dipoli di momento p1 e p2 paralleli e non allineati con i centri a
distanza r, possiamo affermare che …:
p ⋅ p2
a) l’energia potenziale dl sistema dei due dipoli è data da U = 1
4πε 0 r 2
FALSO: l’energia
decresce come 1/r3 poiché si può considerare
r potenziale
r
r
r
come U = p1 ⋅ E2 = p2 ⋅ E1 . Poiché il campo di un dipolo decresce come
1/r3….
b) Se i dipoli sono vincolati a due punti A e B distanti r nei loro centri, ma
possono ruotare attorno ai loro centri, tenderanno a disporsi paralleli ed
opposti in verso, non allineati, poiché questa è la configurazione di
energia minima
FALSO: l’equilibrio è coi dipoli allineati con cariche in segno +-+c) Se i dipoli sono vincolati a due punti A e B distanti r nei loro centri, ma
possono ruotare attorno ai loro centri, tenderanno a disporsi paralleli e
allineati con i versi concordi,poiché questa è la configurazione di energia
minima
VERO (vedi b)
d) Se i dipoli si trovano allineati e paralleli e la distanza fra i loro centri è r,
la forza di interazione tra i dipoli è attrattiva e vale in modulo
3p1 p2
F =
2πε 0 r 4
VERO: basta scrivere l’energia potenziale come suggerito al punto a), che
p ⋅p
sarà in questo caso U = 1 2 . Non c’è il termine in θ perché siamo nel
4πε 0 r 3
piano equatoriale dei dipoli e sinθ=1.
Quesito 8:
Si consideri un conduttore isolato, a forma di ellissoide, sul quale è deposta la
carica Q. Si può affermare che..
a) la superficie dell’ellissoide è una superficie equipotenziale se la carica Q è
distribuita con densità uniforme sulla superficie
Falso. Vedi b)
b) quanto affermato in a) è falso: la superficie dell’ellissoide è
equipotenziale ma la carica non può essere distribuita uniformemente
sulla superficie, poiché la curvatura della superficie non è costante.
VERO. La superficie è equipotenziale, perché in caso contrario avverrebbe
spostamento di carica positiva da potenziale alto a potenziale basso. La
densità di carica non è uniforme, è invece maggiore dove la curvatura della
superficie equipotenziale è più forte.
c) quanto affermato in a) è falso: la carica è sempre distribuita
uniformemente sulla superficie dell’ellissoide, essendo questo un
conduttore, ma la superficie non può essere equipotenziale, perché le
superfici equipotenziali sono sferiche
Falso. vedi b). Le superfici equipotenziali sono sferiche quando la
distribuzione di carica che genera il campo è a simmetria sferica o può
ridursi ad un punto
d) a grande distanza dall’ellissoide, il campo elettrico vale in modulo
Q
E≈
(dove r è la distanza dall’ellissoide) e le superfici
4πε 0 r 2
equipotenziali sono approssimativamente sferiche.
Vero. Quando si va a grande distanza da un corpo carico, qualunque sia la
sua forma, il campo può essere assimilato al campo colombiano
Quesito 9
E’ dato un condensatore cilindrico con altezza h=20cm, raggi interno ed
esterno delle armature rispettivamente 55 mm e 56 mm, costante dielettrica
relativa del dielettrico interposto fra le armature ε r = 4 . Si può affermare che:
a) la capacità del condensatore vale circa 476 pF
Vero. Osservando che h è molto maggiore dei raggi delle armature, si può
assumere che il campo all’interno del dielettrico sia quello generato da una
distribuzione di carica a simmetria cilindrica. Detta Q la carica, dal t. di
Q
Gauss ottiene che il campo (in direzione radiale) vale E =
. La
2πε rh
Q
differenza di potenziale tra le armature è quindi ∆V =
ln(r2 / r1 ) . Ne segue
2πε h
2πε h
2π (4 × 8.854 × 10 −12 F / m)(0.2m)
Q
=
=
= 476 pF
∆V ln(r2 / r1 )
ln(56mm / 55mm)
b) se sulle armature è deposta la carica di 10-7C, l’energia immagazzinata
nel condensatore vale circa 2.5x10-5 J
Falso.
L’energia
del
condensatore
carico
è
2
−14
2
Q
10 C
Wcond =
=
= 1.05 × 10 −5 J
−12
2C 2 × 476 × 10 F
la capacità C =
c) se si estrae dal condensatore carico il dielettrico che si trova tra le
armature, senza nessun altro cambiamento nella forma del condensatore
e senza cambiare la carica presente sulle armature, l’energia
immagazzinata aumenta di un fattore 16
Falso. Cambia la capacità (diminuisce di un fattore 4) ma la carica non
cambia. Perciò l’energia aumenta solo di un fattore 4
d) se si estrae metà del dielettrico presente fra le armature, lasciando che
questo occupi l’altezza h/2, la capacità diventa 5/8 della capacità iniziale.
Vero. La nuova capacità si calcola come quella di due condensatori in parallelo, di altezza h/2,
con diverso dielettrico. Ecco il calcolo:
2πε 0 h
2πε h
2πε h 1
vecchia 5
C nuova =
+
=
1 + = C
ln(r2 / r1 ) 2 ln(r2 / r1 ) 2 ln(r2 / r1 ) 2 4
8
Quesito 10
Con riferimento ad un condensatore piano (superficie delle armature S= 1m2,
distanza tra le armature d=10-5 m, costante dielettrica relativa del dielettrico
ε r = 10) , si può affermare che:
a) la capacità del condensatore è definita come C = Q / (∆V ) , quindi è
inversamente proporzionale alla tensione applicata ∆V
FALSO: la capacità è definita in questo modo, ma è una caratteristica della
geometria del sistema che non dipende nè da Q neè da ∆V . Per esempio,
raddoppiando la tensione, raddoppia anche , e la carica quindi la capacità
resta la stessa.
1
b) l’energia immagazzinata nel condensatore carico vale E es = Q ∆V , quindi
2
varia linearmente con la tensione applicata ∆V
FALSO: aumentando ∆V aumenta anche Q=C ∆V . Pertanto l’energia
aumenta come ∆V 2. Si può vedere anche così: l’energia immagazzinata in
un condensatore corrisponde al lavoro fatto per caricarlo. Man mano che si
porta carica sulle armature, la differenza di potenziale fra queste aumenta
e, quando ad un istante generico la carica vale q, la differenza di potenziale
tra queste vale q/C. Pertanto il lavoro fatto per caricarlo è dato da
Q
W=
∫
0
qdq 1 Q 2 1
=
= C∆V 2 . In questa forma si vede che l’energia di un
C
2 C
2
condensatore di capacità “fissata” cresce col quadrato di ∆V .
c) se estrae dal condensatore carico il dielettrico che si trova tra le
armature, senza nessun altro cambiamento nella forma del condensatore e
senza cambiare la carica presente sulle armature, l’energia immagazzinata
aumenta di un fattore 10.
VERO: A carica costante, l’energia del condensatore si può scrivere nella
1 Q2
forma U =
e poiché la capacità nel caso in cui sia inserito il dielettrico
2 C
aumenta di un fattore 10 rispetto al condensatore vuoto (C = ε r C 0 ) , l’energia
del condensatore col dielettrico risulta 10 volte minore di quella del
condensatore vuoto. Estrarre il dielettrico porta quindi ad un aumento di
una fattore 10 dell’energia. L’aumento di energia accumulata corrisponde al
lavoro fatto per tirare fuori il dielettrico dal condensatore
d) la capacità del condensatore considerato vale C=106 F
FALSO: la capacità del condensatore piano è data dall’espressione
ε ε S
C= 0 r .
Svolgendo
I
calcoli
si
trova
d
8.85 × 10 −12 Fm −1 × 10 × 1m 2
C=
= 8.85 × 10 −6 F . Speriamo che non abbiate perso
−5
10 m
neppure il tempo di fare il calcolo, ma abbiate subito risposto nel modo
giusto accorgendovi che il valore proposto era assurdamente grande
