Aritmetica 2016/2017
Esercizi svolti in classe
Decima lezione
1. [104] Risolvere su Q[x] l’equazione diofantea [Ovvero, determinare tutte
le f, g ∈ Q[x] tali che]
(x2 + 2x − 3)f + (x2 − 2)g = 2x3 − 11x + 7
Dato che x2 − 2 ha due radici irrazionali distinte e che x2 + 2x − 3 non ha
radici irrazionali ∆ = 4 + 12 = 16 > 0, (f, g) = 1 e quindi l’equazione ha
infinite soluzioni.
Determiniamo una soluzione particolare dell’equazione al gcd
(x2 + 2x − 3)f 0 + (x2 − 2)g 0 = 1
mediante l’algoritmo euclideo esteso
x2 + 2x − 3
=
1
0
2
x −2
=
0
1
x2 − 2
2x − 1
+
1
0
1
−1
−7/4
2x − 1
1
1
+ −1x − 1
1
( x+ )
2
4
2
4
1
5
−1
2x − 4
Notando che
x2 + 2x − 3
=
x2 − 2
=
1(x2 − 2) + 2x − 1
e
(1/2x + 1/4)(2x − 1) − 7/4
Quindi gcd(x2 + 2x − 3, x2 − 2) = − 47 , cioè 1 a meno di un elemento
invertibile. Per avere il gcd 1 moltiplichiamo l’ultimo vettore per − 47
ottenendo
1
2x + 1
7
7
− 27 x + 45
1
Una soluzione particolare dell’equazione al gcd è quindi
f0 =
2
1 0
2
5
x+
g =− x+
7
7
7
4
e una soluzione particolare dell’equazione si trova moltiplicando una soluzione
2x3 − 11x + 7
particolare dell’ equazione al gcd per
ottenendo
1
f = 4/7x4 + 2x3 − 11x + 7 g = −4/7x4 − 10/7x3 − 11x + 7
Determiniamo le soluzioni dell’equazione omogenea associata
(x2 + 2x − 3)f 00 + (x2 − 2)g 00 = 0
Dato che gcd(x2 + 2x − 3, x2 − 2) = 1
f 00 = (x2 − 2)λ g 00 = (x2 + 2x − 3)λ perλ ∈ Q[x]
Le soluzioni complete della diofantea sono quindi
4/7x4 + 2x3 − 11x + 7 + (x2 − 2)λ
f
=
g
= −4/7x4 − 10/7x3 − 11x + 7 + (x2 + 2x − 3)λ
per λ ∈ Q[x].
2. [103] Risolvere su Q il sistema
(
x6 − x5 + 3x4 − 16x2 + 16x − 48 = 0
x4 − x3 − 2x2 + 4x − 8 = 0
Per definizione, se H, K ∈ k[x], gcd(H, k) = d è tale che esistono f, g ∈
Q[x] tali che H = df , K = dg e d è il polinomio di grado più alto con
questa proprietà.
Quindi se d si annulla, si annullano anche x5 − x3 − 2x2 + 2, x3 + 2x − x − 2.
Se H, K si annullano entrambi, per il teorema di Ruffini e il teorema di
fattorizzazione unica per i polinomi razionali [cfr. teoria], H, K hanno un
fattore comune che è proprio d.
Quindi il sistema è ecquivalente a
gcd(x6 − x5 + 3x4 − 16x2 + 16x − 48, x4 − x3 − 2x2 + 4x − 8) = 0
Calcoliamo quindi gcd(x6 −x5 +3x4 −16x2 +16x−48, x4 −x3 −2x2 +4x−8).
Non ci interessano i coefficenti di Bézout.
2
x6 − x5 + 3x4 − 16x2 + 16x − 48
=
(x2 + 5)(x4 − x3 − 2x2 + 4x − 8) + x3 + 2x2 − 4x − 8
x − x − 2x + 4x − 8
=
(x − 3)(x3 + 2x2 − 4x − 8) + 8x2 − 32
x3 + 2x2 − 4x − 8
=
(1/8x + 1/4)(8x2 − 32)
4
3
2
Da cui il GCD è del tipo c(8x2 − 32), con c ∈ Q∗ , quindi se scegliamo
c = 1/8 il GCD è x2 − 4 e il sistema diviene
x2 − 4 = 0
con soluzioni x = ±2.
Notiamo che durante i conti, al fine di semplificarli, avremmo poturo
dividere l’ultimo resto non nullo, 8x2 − 32 per 8, e procedere ottenendo
come ultima riga
x3 + 2x2 − 4x − 8 = (x + 2)(x2 − 4)
dato che il GCD è definito a meno della moltiplicazione per una costante
razionale invertibile.
3. [DD2] Descrivere i morfismi di anello con identità da k[x].
Abbiamo il morfismo di anello con identità ψ : k −→ A. Dobbiamo avere
ψ(0k ) = 0A e ψ(1k ) = 1A . Se A ⊃ k e abbiamo che
ψ|A = idA
abbiamo che per a ∈ k
ψ(a) = ψ(a)ψ(1k ) = ψ(a) · 1A = a
Se conosciamo anche ψ(x), il morfismo è completamente determinato, dato
che
!
X
X
X
X
i
ψ
ai x =
ψ(ai xi ) =
ψ(ai )ψ(xi ) =
ai ψ(x)i
i
i
i
i
4. [DD1] Contare i morfismi di anello (senza identità)
(a) f : Z5 −→ Z5 . L’immagine di 1 deve soddisfare l’equazione x2 = x,
che ha al più due soluzioni (vedi esercizio sottostante). Dato che
0, 1 soddifano l’equazione, sono le uniche due soluzioni. Entrambi le
funzioni definite da f (1) = 1 e f (1) = 0 sono morfismi di gruppo e
quindi morfismi di anello.
3
(b) f : Z10 −→ Z10 . Quanti sono gli elementi di Z10 che soddisfano
l’equazione x2 − x = 0? Riformuliamola come congruenza
(
x2 − x ≡ 0 (mod 2)
2
{x − x ≡ 0 (mod 10) è equivalente a
x2 − x ≡ 0 (mod 5)
La prima congruenza ha due soluzioni 0, 1, come la seconda. Le
soluzioni sono quindi
(
(
(
(
x ≡ 0 (mod 2)
x ≡ 0 (mod 2)
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 0 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 5)
x ≡ 0 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 5)
ovvero 4. In particolare, 0, 1, 5, 6 sono soluzioni modulo 10 che danno
i morfismi di anello (banali) f (1) = 0, 1, 5, 6. Non ci sono restrizioni
dovute all’ordine delle immagini dell’identità dato che si tratta di
morfismi con dominio e codominio uguale.
(c) f : Z30 −→ Z30 . Per quanto detto prima, abbiamo 8 morfismi.
5. [DD6X] Sia A un anello finito con 1A . Allora ogni elemento diverso da 0 è
invertibile o zero-divisore.
Sia |A| = n, A = {a1 , . . . , an } e a ∈ A, a 6= 0 Consideriamo gli elementi
{a · a1 , . . . , a · an }
• Se ∀ i tutti gli a · ai sono distinti, necessariamente avremo che esiste
j t.c. a · aj = 1A e quindi a è invertibile.
• Altrimenti esistono i, j tali che i 6= j e a · ai = a · aj . Ma
a · ai = a · aj
a · ai − a · aj = 0
a · (ai − aj ) = 0
e dato che a 6= 0 e (ai − aj ) 6= 0, a è zero-divisore.
6. [DD7] Sia A un anello e a ∈ A nilpotente. Allora 1 + a è invertibile.
Dato che a è nilpotente esiste 0 6= n ∈ N minimo dispari tale che an = 0.
Abbiamo
1 = an + 1 = (a + 1)(an−1 − an−2 + an−3 − . . . + (−1)n )
e quindi (a + 1) risulta invertibile.
7. [DD8] Caratterizzazione funzioni polinomiali: Q
Definiamo le funzioni polinomiali da Q in Q.
FQ = h ∈ {f : Q −→ Q} | ∃ h ∈ Q[x] t.c. ∀ a ∈ Q f (a) = h(a)
4
Definiamo due operazioni su F:
f, g ∈ F ∀ a ∈ Q (f + g)(a) = f (a) + g(a)
f, g ∈ F ∀ a ∈ Q (f · g)(a) = f (a)g(a)
Con queste due operazioni si verifica facilmente che (FQ , +, ·) è un anello
commutativo con identità. Identifichiamo le funzioni polinomiali col loro
polinomio associato, e.g. chiamiamo x + 1 la funzione
f: Q
a
−→
7→
Q
a+1
Vediamo che
FQ ' Q[x]
Costruiamo un isomorfismo. Sia
ψ:
Q[x] −→
a ∈ Q 7→
x
7→
FQ
aFQ
xFQ
Questa funzione è un morfismo di anelli con identità [facile verifica]. È
altrettanto facile verificare che ψ è surgettiva. Dimostriamo che
ker ψ = (0)
Ovviamente (0) ⊆ ker ψ. Vediamo (0) ⊇ ker ψ, ovvero che
f ∈ ker ψ =⇒ f = 0
Basta notare che se il polinomio f è uguale a zero come funzione, ha come
radici tutti i razionali, che sono infiniti. Allora per il teorema di Ruffini,
f è diviso da infiniti fattori x − p/q, e quindi è necessariamente 0 (se no
dovrebbe avere grado infinito, impossibile per un polinomio).
8. [106A] Sia f ∈ k[x] e a, b ∈ k, a 6= 0. Allora
f irriducibile ⇐⇒ f (ax + b) irriducibile
Dimostriamo la formulazione ecquivalente
f riducibile ⇐⇒ f (ax + b) riducibile
• =⇒ Immediato.
• ⇐=. Da dimostrare che
∃ h, g ∈ k[x] t.c. f (ax + b) = gh =⇒ ∃ h0 , g 0 ∈ k[x] t.c. f = g 0 h0
Per un esercizio precedente, basta dimostrare che f = g 0 h0 sono
uguali come funzioni polinomiali, ovvero come funzioni. Prendiamo
5
il polinomio S(x) = ax + b ∈ k[x] (ma lo interpreteremo quando
fa comodo come funzione polinomiale, che è invertibile con inversa
S −1 (x) = (x − b)/a) abbiamo che
dove g 0 (x) = g
f (ax + b)
=
g(x)h(x)
f ◦ S(x)
=
gh(x)
f (x)
=
f (x)
=
f (x)
=
f (x)
=
gh ◦ S −1 (x)
x−b
gh
a
x−b
x−b
g
h
a
a
0 0
g h (x)
x−b
a
e h0 (x) = h
x−b
a
.
9. [106] Sia p ∈ N, primo. Allora f = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1 è irriducibile
in Q[x].
Abbiamo che
xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1
=
xp − 1
x−1
Esaminiamo f (x + 1)
(x + 1)p−1 + (x + 1)p−2 + · · · + x + 1 + 1
=
=
=
(x + 1)p − 1
x+1−1
xp + p1 xp−1 + · · · +
p
p−1
x+1−1
x
xp−1 + · · · +
p
p−1
x
xp +
p
1
x
p p−2
p
p
p−1
= x
+
+ ··· +
x
x+
1
p−2
p−1
Questo polinomio è irriducibile per il criterio di Eisenstein, dato che
p
p - 1, p2 - p−1
, p | an−1 , . . . , a0 .
p
La prima affermazione è immediata, l’ultima anche dato che
= p.
p−1
Per le altre, notiamo che per 2 ≤ i ≤ p − 1,
p
p!
=
i
i!(p − i)!
6
è sempre divisibile per p, dato che questo fattore primo compare una volta
sola ed al numeratore della frazione.
Dato che f (x + 1) è irriducibile, lo è anche f .
10. [106BX] Sia n ∈ N, non primo. Il polinomio
f = xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1
è riducibile in Q[x].
Se n non è primo abbiamo che eistono a, b ∈ N, a 6= 1 tali che n = ab
xn − 1
xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 =
x−1
xab − 1
=
x−1
b
(xa ) − 1
=
x−1
(xa − 1)(xa(b−1) + xa(b−2) + . . . + 1)
=
x−1
a−1
(x − 1)(x
+ xa−2 + · · · + 1)(xa(b−1) + xa(b−2) + . . . + 1)
=
x−1
a−1
a−2
a(b−1)
= (x
+x
+ · · · + 1)(x
+ xa(b−2) + . . . + 1)
e quindi xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1 è riducibile.
Esercizi proposti
1. Sia A un anello e a, b ∈ A con a nilpotente e b invertibile. Dimostrare che
a + b è invertibile.
2. Trovare il numero di fattori irriducibii su Q di xn − 1.
3. Trovare il numero dei morfismi di anello senza identità
f : Zn −→ Zn
4. Risolvere in Z5 [x]
(x3 + x2 − 2x − 2) · F + (x3 + x2 + x + 1) · G = 2x4 + 2x3 − x2 + x + 2
5. In Z8 [x], trovare tutti i nilpotenti di grado ≤ 3.
6. In Z8 [x], trovare tutti gli invertibili di grado ≤ 3.
7. Sia A ⊃ Q anello e ψ : Q −→ A morfismo di anelli con identità. È vero
che ψ(Z) = Z? È vero che ψ(Q) = Q?
8. Il polinomio x4 + 2x3 + 2x2 − 2x + 7 ∈ Q[x] è irriducibile?
9. il polinomio x4 + 3x3 + x + 2 ∈ Z5 [x] è irriducibile?
7
