Sistemi di due equazioni in due incognite
Un'equazione algebrica intera in due incognite è un'equazione del tipo p(x,y) = 0, dove p(x,y) è un
polinomio in due indeterminate x e y. Risolvere tale equazione significa trovare tutte le coppie di
numeri (x0,y0) tali che p(x0,y0) = 0. Una tale coppia viene chiamata zero del polinomio p(x,y)
(ricordo che un numero x* tale che si abbia r(x*) = 0, con r(x) polinomio in una indeterminata, si
dice sì zero del polinomio r(x), ma anche più propriamente radice di tale polinomio).
Il grado dell'equazione p(x,y) = 0 è il grado del polinomio p(x,y), inteso come massimo tra i gradi
dei monomi che compongono il polinomio.
p ( x, y ) = 0
Un sistema di due equazioni algebriche intere in due incognite è una scrittura del tipo
q ( x, y ) = 0
dove p(x,y) e q(x,y) sono due polinomi nelle indeterminate x e y. Il grado del sistema è dato dal
prodotto dei gradi dei polinomi p(x,y) e q(x,y) e risolvere il sistema significa trovare tutte le coppie
di numeri (x0,y0) tali che si abbia contemporaneamente p(x0,y0) = 0 e q(x0,y0) = 0, nel qual caso
(x0,y0) viene chiamata soluzione del sistema.
Un sistema di dice determinato quando le soluzioni sono in numero finito, impossibile se non vi
sono soluzioni e indeterminato se le soluzioni sono infinite.
Teorema di Bézout (versione in forma debole): Sia dato il sistema di due equazioni algebriche
intere in due incognite visto sopra. Allora se m è il grado di p(x,y) ed n è il grado di q(x,y) ed in
aggiunta se il massimo comun divisore tra i polinomi p(x,y) e q(x,y) è 1 (ovvero nella
fattorizzazione di p(x,y) e q(x,y) non compaiono divisori comuni di grado maggiore o uguale a 1)
allora il numero massimo di soluzioni distinte del sistema è dato dal prodotto m·n.
Dimostrazione: Omessa.
x− y =0
Esempio1: Sia dato il sistema di equazioni 2
: si verifica facilmente che i due
2
x + y − 1 = 0
polinomi legati alla prima ed alla seconda equazione non hanno fattori in comune di grado
maggiore o uguale a 1; le soluzioni della prima equazione sono i punti della bisettrice del primo e
terzo quadrante, mentre le soluzioni della seconda equazione costituiscono la circonferenza di
centro l'origine degli assi e di raggio 1. Il sistema ha grado 1·2 = 2 ed in effetti esistono esattamente
due soluzioni reali (non razionali!) distinte.
y −1 = 0
: come nell'Esempio1 non ci sono
Esempio2: Sia dato il sistema di equazioni 2
2
x + y − 1 = 0
fattori di grado maggiore o uguale a 1 comuni ai due polinomi indicati con p(x,y) e q(x,y)
nell'esposizione soprastante; le soluzioni della prima equazione sono i punti della retta parallela
all'asse delle x e passante per il punto di coordinate (0,1), mentre le soluzioni della seconda
costituiscono, come nell'Esempio1, la circonferenza di centro l'origine degli assi e di raggio 1. Il
sistema ha grado 1·2=2, però l'unica soluzione è (0,1).
y−2=0
Esempio3: Sia dato il sistema di equazioni 2
: come negli esempi 1 e 2 non ci sono
2
x + y − 1 = 0
fattori di grado maggiore o uguale a 1 comuni ai due polinomi indicati con p(x,y) e q(x,y)
nell'esposizione soprastante; le soluzioni della prima equazione sono i punti della retta parallela
all'asse delle x e passante per il punto di coordinate (0,2), mentre le soluzioni della seconda
costituiscono, come negli esempi 1 e 2, la circonferenza di centro l'origine degli assi e di raggio 1. Il
sistema ha grado 1·2=2, però stavolta non esiste alcuna soluzione.
6 x + 3 y + 9 = 0
Esempio4: Sia dato il sistema di equazioni
: in quest'esempio il teorema di Bézout
2x + y + 3 = 0
non si può applicare, dato che è evidente che i polinomi indicati con p(x,y) e q(x,y) nell'esposizione
soprastante sono uno il multiplo dell'altro (in particolare p(x,y) = 3·q(x,y)). Il sistema ha grado
1·1=1, però stavolta risulta indeterminato poiché le soluzioni del sistema sono gli zeri del polinomio
p(x,y) (che coincidono con quelli di q(x,y)) e sono in numero infinito.
Sistemi lineari di due equazioni in due incognite
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite è un particolare sistema di due equazioni
algebriche intere, visto più sopra, dove i due polinomi p(x,y) e q(x,y) hanno questo aspetto
particolare: p(x,y) = a·x + b·y – c mentre q(x,y) = a'·x + b'·y – c'. È consuetudine indicare il sistema
a ⋅ x + b ⋅ y = c
in questo modo:
. Come prima una coppia di numeri (x0,y0) è soluzione del sistema
a'⋅ x + b'⋅ y = c'
quando si abbia contemporaneamente a·x0 + b·y0 = c e al tempo stesso a'·x0 + b'·y0 = c'. Vediamo in
dettaglio se e quando vi siano soluzioni del sistema. È lasciata per esercizio la discussione nel caso
in cui uno o entrambi i polinomi p(x,y) e q(x,y) siano nulli o di grado zero: in tali casi è facile
verificare che il sistema può essere indeterminato o impossibile.
Supponiamo allora che effettivamente i due polinomi p(x,y) e q(x,y) siano di grado 1. Si passa allora
a considerare la quantità D = a · b' – a' · b (tale numero viene chiamato determinante della matrice
incompleta del sistema); se D ≠ 0 allora ciò comporta che i due polinomi p(x,y) e q(x,y) non siano
uno il multiplo dell'altro e in base al teorema di Bézout possiamo affermare che esiste al massimo
una soluzione (x0,y0). Si può dimostrare che effettivamente tale soluzione esiste ed è, come già
scritto, unica.
Se D = 0 allora questo comporta che esistano due numeri h e k non entrambi nulli e tali che si abbia
h·a = k·a' e h·b = k·b', ovvero, in altre parole, h · (a,b) = k · (a',b') e tale evenienza viene chiamata
dipendenza lineare delle due coppie (a,b) e (a',b'). Ci possono essere allora due casi: se si ha in
aggiunta h· c = k·c' allora i due polinomi sono uno il multiplo dell'altro e di conseguenza il sistema
risulta indeterminato; in caso contrario il sistema risulta impossibile. Se i coefficienti a', b', c' non
a b
sono nulli allora, quando D = 0, questo equivale al fatto che si abbia
; se in aggiunta si ha
=
a' b'
che il rapporto tra c / c' sia uguale a b / b' (e quindi a a / a') allora i due polinomi sono uno il
multiplo dell'altro e il sistema risulta indeterminato. In caso contrario il sistema risulta impossibile.
2 x − 3 y = 2
Esempio1: Sia dato il sistema
: in questo caso D = 2·5 – 1·(–3) = 13 ≠ 0, pertanto
x + 5y = 1
esiste un'unica soluzione.
2 x − 2 y = 3
Esempio2: Sia dato il sistema
: in questo caso D = 2·(–3) – 3·(–2) = 0. Il sistema può
3x − 3 y = 1
dunque essere o impossibile o indeterminato; in questo caso si ha b = –2 e b' = –3 e b / b' = 2 / 3.
Invece c = 3 e c' = 1 e si ha che c / c' = 3 / 1 = 3. Il sistema risulta pertanto impossibile.
x+ y =3
Esempio3: Sia dato il sistema
: in questo caso D = 1·2 – 2·1 = 0. Il sistema può
2 x + 2 y = 6
essere, come nell'esempio 2, impossibile o indeterminato; in questo caso si ha b = 1 e b' = 2 e b / b'
= 1 / 2. Inoltre c = 3 e c' = 6 e si ha che c / c' = 1 / 2. Il sistema risulta pertanto indeterminato e le
soluzioni sono in numero infinito e precisamente quelle dell'equazione in x e y: x + y = 3.
