L`integrale di Riemann

L’integrale di Riemann
Riccarda Rossi
Università di Brescia
Analisi B
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
1 / 68
Motivazioni: calcolo di un’area
Sia f : [a, b] → R continua e positiva.
Problema
Calcolare l’area A della regione di piano (detta sottografico di f ) compresa
tra il grafico di f e l’asse delle x???
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
2 / 68
Un procedimento di approssimazione
(1) Consideriamo una suddivisione {x0 , x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 } di [a, b]:
x0 = a,
x0 < x1 < x2 < . . . < xn < xn+1 = b.
Siano Ij := [xj , xj+1 ] e Aj l’area di regione piana compresa fra graf(f),
f ristretta a Ij , e l’asse x.
(2) Poiché f è continua, se Ij è “abbastanza piccolo”, la variazione di f
su Ij sarà “piccola”: ∼ f costante su Ij . Quindi un’approssimazione
dell’area Aj è
Aj ∼ f (ξj )(xj+1 − xj )
con ξj un punto arbitrario di Ij
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
3 / 68
(3) Allora un’approssimazione di A è data dalla somma delle Aj , cioè
A ∼ Ã =
n
X
f (ξj )(xj+1 − xj ).
j=0
(4) Ci si aspetta che all’aumentare dei punti di suddivisione di [a, b], il
valore à sia un’approssimazione sempre migliore di A.
.... ora: formalizzazione matematica rigorosa di queste idee.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
4 / 68
Definizione di integrale di Riemann – 1
Siano
- [a, b] ⊆ R un intervallo (chiuso) e limitato
- f : [a, b] → R limitata, cioè
∃M ≥ 0 :
∀ x ∈ [a, b]
− M ≤ f (x) ≤ M.
Sotto queste ipotesi di base daremo la definizione di integrale di Riemann.
N.B.: d’ora in poi, NON supporremo che
- f sia continua su [a, b]: daremo la definizione di integrale di Riemann
per una classe più ampia di funzioni!!
- f sia positiva su [a, b]: si perderà l’interpretazione geometrica di
integrale ∼ area!!
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
5 / 68
Definizione di integrale di Riemann – 2
Definizioni preliminari
(1) Diciamo che D = {x0 , x1 , . . . , xn+1 } è una suddivisione di [a, b] se
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn < xn+1 = b.
S
Si ha [a, b] = nj=1 Ij ,
Ij = [xj−1 , xj ].
(2) Date due suddivisioni D1 e D2 di [a, b], D1 è più fine di D2 se
D2 ⊂ D1
(3) Sia ξj ∈ [xj , xj+1 ]: diciamo che
Σ(f , D) =
n
X
f (ξj )(xj+1 − xj )
j=0
è una somma di Riemann di f relativa alla suddivisione D.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
6 / 68
Definizione di integrale di Riemann – 3
Definizioni preliminari
(4) Poniamo
s(f , D) :=
n X
j=0
S(f , D) :=
n
X
j=0
inf
x∈[xj ,xj+1 ]
f (x) (xj+1 − xj )
"
#
sup
f (x) (xj+1 − xj )
x∈[xj ,xj+1 ]
s(f , D): somma inferiore associata a f e a D
S(f , D): somma superiore associata a f e a D.
Osservazioni
Queste definizioni hanno senso perché f è limitata su [a, b]
Per ogni suddivisione D e per somma di Riemann Σ(f , D),
s(f , D) ≤ Σ(f , D) ≤ S(f , D)
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
7 / 68
Se f ≥ 0 (con A l’area del sottografico di f ), allora s(D, f ) e S(D, f )
assumono un preciso significato geometrico. Per ogni suddivisione D si ha
s(f , D) ≤ A ≤ S(f , D)
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
8 / 68
Come confrontare due suddivisioni?
Sia f : [a.b] → R limitata e siano D1 , D2 due suddivisioni di [a, b]. Allora
1
s(D1 , f ) ≤ S(D2 , f ).
2
Supponiamo che D2 sia più fine di D1 :
D1 ⊂ D2
Allora
s(f , D1 ) ≤ s(f , D2 )
S(f , D2 ) ≤ S(f , D1 )
Raffinando la suddivisione di [a, b] la somma inferiore cresce, mentre
quella superiore decresce.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
9 / 68
Per esempio, supponiamo che D2 si ottenga aggiungendo un punto a D1 , e
vediamo il comportamento delle somme inferiori
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
10 / 68
Definizione di integrale di Riemann – 4
Definizioni preliminari
(5) Data f : [a, b] → R limitata, definiamo integrale inferiore I0 (f ) e
integrale superiore I00 (f ) di f su [a, b] i numeri
I0 (f ) := sup s(f , D) = sup s(f , D) : D suddivisione di [a, b]
D
I00 (f ) := inf S(f , D) = inf S(f , D) : D suddivisione di [a, b]
D
Si ha che
I0 (f ) ≤ I00 (f )
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
11 / 68
Definizione di integrale di Riemann – 5
Integrale di Riemann
Una funzione limitata f : [a, b] → R si dice integrabile secondo
Riemann nell’intervallo [a, b] se
I0 (f ) = I00 (f )
In tal caso scriviamo
Z
b
f (x) dx = I0 (f ) = I00 (f )
a
e chiamiamo
Rb
a
f (x) dx integrale di Riemann di f in [a, b].
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
12 / 68
Rb
Se f ≥ 0, allora a f (x) dx coincide con l’area A della regione di piano
tra il grafico di f , l’asse x e le rette x = a e x = b.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
13 / 68
N.B.
L’interpretazione
integrale = area
si perde quando f NON è positiva
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
14 / 68
Teorema: condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità
Sia f : [a, b] → R una funzione limitata. Allora f è integrabile se e solo se
per ogni ε > 0 esiste una suddivisione tale che
∀ ε > 0 ∃ Dε suddivisione di [a, b] t.c.
S(f , Dε ) − s(f , Dε ) ≤ ε.
Inoltre, per ogni somma di Riemann Σ(f , Dε ) associata a Dε si ha
Z b
f (x) dx − Σ(f , Dε ) < ε.
a
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
15 / 68
Interpretazione geometrica del criterio di
integrabilità
∀ ε > 0 ∃ Dε suddivisione di [a, b] t.c.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
S(f , Dε ) − s(f , Dε ) ≤ ε.
Analisi B
16 / 68
Esempio di funzione limitata non integrabile
La funzione di Dirichlet f : [0, 1] → R

se x ∈ Q ∩ [0, 1],
 1
f (x) =

0
altrimenti.
Allora per ogni suddivisione D si ha
s(f , D) =
n
X
0 (xj − xj−1 ) = 0 ,
S(f , D) =
j=1
n
X
1 (xj − xj−1 ) = 1
j=1
Quindi I0 (f ) = 0 e I00 (f ) = 1 e f non è integrabile secondo Riemann.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
17 / 68
Classi di funzioni integrabili
(1) Sono integrabili le funzioni costanti f (x) ≡ c, c ∈ R, e il valore del
loro integrale di [a, b] è
Z
b
c dx = c(b − a).
a
(2) Sono integrabili le funzioni continue f : [a, b] → R.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
18 / 68
Classi di funzioni integrabili
(3) Sono integrabili le funzioni continue a tratti: f : [a, b] → R è
continua a tratti se esiste una suddivisione S = {x0 , x1 , . . . , xn+1 } di
[a, b] tale che f è continua su ogni intervallo aperto ]xj , xj+1 [ ed
esistono finiti i limiti
lim f (x)
x→xj+
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
e
lim f (x).
−
x→xj+1
L’integrale di Riemann
Analisi B
19 / 68
Classi di funzioni integrabili
(4) Sono integrabili le funzioni monotone
(5) Sono integrabili le funzioni limitate e monotone a tratti.
Tutte queste condizioni sono sufficienti, non necessarie, per l’integrabilità.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
20 / 68
Proprietà dell’integrale
Siano f , g : [a, b] → R integrabili. Allora, ∀ λ ∈ R le funzioni
f + g,
λf ,
|f | sono integrabili,
∀ [c, d] ⊂ [a, b] f |[c,d] è integrabile.
Inoltre:
(a) Proprietà di linearità : ∀ α, β ∈ R
Z
b
b
Z
(αf (x) + βg (x)) dx = α
a
Z
f (x) dx + β
a
b
g (x) dx;
a
(b) Proprietà di confronto: se f (x) ≤ g (x) per ogni x ∈ [a, b], si ha
Z
b
Z
b
f (x) dx ≤
a
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
g (x) dx;
a
L’integrale di Riemann
Analisi B
21 / 68
(c) Proprietà di additività: ∀ c ∈]a, b[
Z
b
Z
f (x) dx =
a
c
Z
f (x) dx +
a
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
f (x) dx;
c
(d) Confronto con il modulo:
Z b
Z
f (x) dx ≤
a
b
b
|f (x)| dx.
a
L’integrale di Riemann
Analisi B
22 / 68
Simmetrie
Supponiamo che
f : [−a, a] → R,
[−a, a] intervallo simmetrico rispetto a origine
Se f è pari (cioè f (−x) = f (x) per ogni x ∈ [−a, a]), allora
Z a
Z a
f (x) dx = 2
f (x) dx.
−a
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
0
L’integrale di Riemann
Analisi B
23 / 68
Se f è una funzione dispari (cioè f (−x) = −f (x) per ogni
x ∈ [−a, a]) si ha
Z a
f (x) dx = 0.
−a
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
24 / 68
Convenzione sui segni
Sia f : [a, b] → R integrabile e siamo α, β ∈ [a, b] con α < β. Poniamo
Z
α
α
Z
f (x) dx = 0
Z
β
f (x) dx := −
e
α
β
f (x) dx.
α
Con questa convenzione abbiamo che
per ogni α, β, γ ∈ [a, b]
si ha la formula di additività
Z
β
Z
γ
f (x) dx =
α
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Z
f (x) dx +
α
L’integrale di Riemann
β
f (x) dx.
γ
Analisi B
25 / 68
La media integrale
Definizione
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile. Chiamiamo media integrale di
f su [a, b] il valore
Z b
1
f (x) dx.
Mf =
b−a a
Teorema della media integrale
Sia f : [a, b] → R continua. Allora esiste c ∈ [a, b] tale che f (c) = Mf ,
cioè
Z b
∃ c ∈ [a, b] :
f (x) dx = f (c)(b − a).
a
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
26 / 68
Dimostrazione: Per il Teorema di Weierstrass f assume su [a, b] sia il
minimo m che il massimo M. Quindi vale
m ≤ f (x) ≤ M
∀ x ∈ [a, b].
Adesso integriamo le funzioni m, f , M su [a, b]; dalla proprietà del
confronto e dalla disuguaglianza sopra segue
Z
m(b − a) ≤
b
f (x) dx ≤ M(b − a).
a
Dunque
m ≤ Mf ≤ M.
Siccome f è continua, il Teorema dei valori intermedi implica che f
assume tutti i valori tra m e M e quindi anche Mf , cioè esiste c ∈ [a, b]
tale che f (c) = Mf .
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
27 / 68
La condizione che f sia continua non può essere omessa:
consideriamo ad esempio la funzione f : [0, 2] → R data da

 1 0≤x <1
f (x) =

2 1≤x ≤2
Allora
Mf =
1
2
Z
0
2
1
3
f (x) dx = (1 + 2) = ,
2
2
Ma non esiste alcun punto c ∈ [0, 2] tale che f (c) = 32 .
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
28 / 68
Il problema della primitiva
Sia I ⊂ R intervallo aperto. Data f : I → R, trovare F : I → R, derivabile,
tale che
F 0 (x) = f (x)
∀x ∈ I .
(?)
Chiamiamo primitiva di f su I ogni funzione
F : I → R,
derivabile, verificante (?).
Esempi
(1) f (x) ≡ 1, x ∈ R
(2) f (x) = x, x ∈ R
(3) f (x) = cos(x), x ∈ R
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
29 / 68
Interpretazione geometrica
Una primitiva F di f è una funzione tale che per ogni x0 la tangente al
grafico di F nel punto x0 è una retta il cui coefficiente angolare è proprio
pari a f (x0 ).
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
30 / 68
Osservazione: non unicità delle primitive
Sia f : I → R. Se f ammette una primitiva F su I , allora f ammette di
fatto infinite primitive su I : si ha che
∀ c ∈ R la funzione x ∈ I 7→ F (x) + c è una primitiva di f .
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
31 / 68
Definizione
Data f : I → R, chiamiamo integrale indefinito di f (su I ) l’insieme di
tutte le primitive di f (su I ), ammesso che ne esistano. Lo denotiamo con
Z
f (x) dx .
• Abbiamo visto che, se l’insieme delle primitive è non vuoto, esso
contiene infinite funzioni, in particolare tutte le funzioni del tipo
{F + c : c ∈ R} con F una particolare primitiva di f .
In questo modo otteniamo tutte le primitive di f ???
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
32 / 68
Questo è VERO se f è definita su un intervallo
Questo è FALSO se f non è definita su un intervallo
Esempio
1
con x ∈ R \ {0} (non è intervallo!)
x2
ammette come primitive tutte le funzioni della forma (con c1 6= c2 , in
generale)
(
1
+ c1 se x < 0
F (x) = x1
x + c2 se x > 0
f (x) = −
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
33 / 68
♣ Ritorniamo a funzioni definite su intervalli.
Proposizione
sia I intervallo, f : I → R, e F , F̃ : I → R due primitive di f sull’intervallo
I . Allora esiste
∃ c ∈ R : ∀ x ∈ I F̃ (x) = F (x) + c.
Corollario: il teorema di struttura degli integrali indefiniti
Sia f : I → R e supponiamo che essa ammetta una primitiva F . Allora
l’integrale indefinito di f è dato da
Z
f (x) dx = {F + c : c ∈ R} .
Esempio
Una primitiva di f (x) = x 2 è F (x) =
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
x3
3 .
Quindi
L’integrale di Riemann
R
x 2 dx =
x3
3
+c
Analisi B
34 / 68
Osservazioni:
1
il calcolo di un integrale indefinito da’ come risultato un insieme di
(infinite) funzioni. Per selezionare una sola fra tutte le primitive di
una assegnata f , è sufficiente imporre che, in un dato punto x0 , la
primitiva assuma un assegnato valore y0 .
2
vale il teorema di linearità per gli integrali indefiniti: per ogni
α, β ∈ R, per ogni f , g : I → R si ha
Z
Z
Z
(αf (x) + βg (x)) dx = α f (x) dx + β g (x) dx
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
35 / 68
Integrali indefiniti delle funzioni elementari
x r +1
∀ r ∈ R \ {−1}
x r dx =
+c,
r +1
Z
1
dx = ln(|x|) + c ,
x
Z
1
∀ α ∈ R \ {0}
sin(αx) dx = − cos(αx) + c ,
α
Z
1
∀ α ∈ R \ {0}
cos(αx) dx = sin(αx) + c ,
α
Z
Z
1
∀ α ∈ R \ {0}
dx =
1 + tan2 (αx) dx
2
cos (αx)
1
= tan(αx) + c ,
α
Z
1
∀ α ∈ R \ {0}
e αx dx = e αx + c ,
α
Z
1
1
∀ α ∈ R \ {0}
dx = arctan(αx) + c
2
2
1+α x
α
Z
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
36 / 68
Esempio:
Calcolare la primitiva (l’unica!) F : R → R di
1
, x ∈R
f (x) = x 5 + 2
x +4
tale che F (0) = 3.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
37 / 68
Problema: esistenza di primitive?
Il primo teorema fondamentale del calcolo garantisce che, se f : I → R
è continua su I , allora f ammette (infinite) primitive su I .
Definizione
Siano f : [a, b] → R una funzione integrabile. Chiamiamo funzione
integrale di f la funzione A : [a, b] → R definita da
Z x
A(x) :=
f (t) dt per ogni x ∈ [a, b],
c
con c ∈ [a, b] fissato.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
38 / 68
Il primo teorema fondamentale del calcolo integrale
Siano f : [a, b] → R una funzione continua su [a, b]. Sia c ∈ [a, b] e sia
A : [a, b] → R la funzione integrale
Z x
f (t) dt ∀ x ∈ [a, b].
A(x) :=
c
Allora A è derivabile per ogni x ∈]a, b[, e si ha
A0 (x) = f (x)
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
∀ x ∈]a, b[.
L’integrale di Riemann
Analisi B
39 / 68
Dimostrazione: Sia x ∈ (a, b). Calcoliamo il limite del rapporto
incrementale
A(x + h) − A(x)
lim
h→0
h
dove x + h ∈ (a, b) per h sufficientemente piccolo. Si ha
Z
x+h
Z
x
A(x + h) − A(x) =
f (t) dt −
f (t) dt
c
c
Z x
Z x+h
Z x
=
f (t) dt +
f (t) dt −
f (t) dt
c
x
c
Z x+h
=
f (t) dt.
x
Per h > 0 il teorema della media integrale implica che esiste un
ξh ∈ [x, x + h] tale che
Z
x+h
f (t) dt = h f (ξh ).
x
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
40 / 68
Per h < 0 applichiamo il teorema della media all’integrale
Z x+h
Z x
f (t) dt = −
f (t) dt.
x
x+h
Quindi esiste un ξh ∈ [x + h, x] tale che
Z x+h
f (t) dt = −(−h) f (ξh ) = h f (ξh ).
x
Dunque in ogni caso si ha
A(x + h) − A(x) = h f (ξh ),
e cioè
A(x + h) − A(x)
= f (ξh ).
h
Siccome ξh → x per h → 0, per la continuità di f si ha
A(x + h) − A(x)
= lim f (ξh ) = f (x) .
h→0
h→0
h
∃ A0 (x) = lim
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
41 / 68
Anche in questo caso l’ipotesi di continuità su f è fondamentale: la
funzione f : [−1, 1] → R data da

 −1 −1 ≤ x < 0
f (x) =

1
0≤x ≤1
è integrabile in quanto continua a tratti, ma non ammette alcuna
primitiva. Cioè non esiste alcuna funzione derivabile F : [−1, 1] → R tale
che

 −1 −1 ≤ x < 0
F 0 (x) =

1
0≤x ≤1
Infatti si ha
F+0 (0) = 1,
F−0 (0) = −1.
e quindi F non è derivabile in x = 0.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
42 / 68
Corollario del Primo Teorema fondamentale del Calcolo
Le funzioni continue f su un intervallo I ⊂ R ammettono sempre una
primitiva.
Tutte e sole le primitive di f si ottengono aggiungendo una costante
arbitraria a
Z x
A(x) =
f (t) dt
a
dove a è un elemento di I : quindi
processo di integrazione ⇒ primitive di una funzione continua
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
43 / 68
Il secondo teorema fondamentale del calcolo
Siano I ⊂ R un intervallo e f : I → R continua. Allora per ogni a, b ∈ I si
ha
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
dove F è una qualsiasi primitiva di f .
Osservazione:
primitive di una funzione continua ⇒ calcolo di integrali
(non si passa attraverso la definizione di integrale: somme superiori e
inferiori!!)
Notazione: F (b) − F (a) = [F (x)]ba
Z
a
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
b
f (x) dx = [F (x)]ba .
L’integrale di Riemann
Analisi B
44 / 68
Dimostrazione: Dal primo teorema fondamentale del calcolo segue che
una primitiva di f è data da
Z x
A(x) =
f (t) dt
a
Sia F una qualsiasi altra primitiva di f . Siccome due primitive di f
differiscono per una costante, esiste un c ∈ R tale che
F (x) = A(x) + c,
e quindi
Z
x
f (t) dt = F (x) − c,
a
Scegliendo x = a si ottiene
Z a
f (t) dt = F (a) − c
0=
⇒
F (a) = c.
a
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
45 / 68
Dunque
x
Z
f (t) dt = F (x) − F (a).
a
Per x = b si ha
Z
b
f (t) dt = F (b) − F (a)
a
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
46 / 68
Esempi:
(1) Calcolare
2
Z
1
x +2
dx.
x 5/2
(2) Calcolare
Z
1
2x
0
4/3
4
+ sin(5x) dx
−
1 + 3x 2
(3) Calcolare
Z
I =
1
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
1/2
3
cos2
1
−x
x − 3x + 4e
2
L’integrale di Riemann
!
dx.
Analisi B
47 / 68
Formule di integrazione
Integrazione per parti
Si applica all’integrazione di prodotti di funzioni
Proposizione: formula di integrazione per parti
Sia I ⊂ R intervallo in R e siano f , g : I → R due funzioni
derivabili con derivata continua (cioè f , g ∈ C1 (I )).
Allora per ogni a, b ∈ I abbiamo che
Z
b
f 0 (x)g (x) dx = [f (x)g (x)]ba −
b
f (x)g 0 (x) dx.
a
a
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
Z
L’integrale di Riemann
Analisi B
48 / 68
Dimostrazione
La formula per la derivazione del prodotto implica che
f (x)g 0 (x) = (f (x)g (x))0 − f 0 (x)g (x).
Tutte le funzioni che compaiono nell’ultima equazione sono continue su
[a, b] e quindi integrabili. Dunque
Z
b
0
Z
Z
0
(f (x) g (x)) dx −
f (x) g (x) dx =
a
b
a
b
f 0 (x) g (x) dx
a
b
= f (x)g (x) a −
Z
b
f 0 (x) g (x) dx,
a
dove abbiamo applicato il Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
49 / 68
Osservazioni
- la formula vale anche per integrali indefiniti
Z
b
0
f (x)g (x) dx =
[f (x)g (x)]ba
b
Z
−
a
f (x)g 0 (x) dx
a
Z
riconduce il calcolo di
b
f 0 g al calcolo di
Z
b
fg 0 (la derivata è
a
a
stata “scaricata” dalla f alla g ).
Rb
L’idea è: passare dall’“integrale difficile” a f 0 g all’integrale “più
Rb
semplice” a fg 0 .
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
50 / 68
- Operativamente, per applicare l’integrazione per parti al calcolo di
Z
b
h(x)k(x) dx
a
bisogna scegliere, fra h e k,
I
I
quale ha il ruolo di f 0 ,
quale ha il ruolo di g .
è fondamentale scegliere bene quale delle due funzioni derivare e
quale integrare.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
51 / 68
Miscellanea di integrali per parti
Prodotto di un polinomio per una funzione trigonometrica
Sia P : R → R una funzione polinomiale e sia α 6= 0:
Z
b
P(x) sin(αx) dx
Z
oppure
a
b
P(x) cos(αx) dx
a
Applichiamo la formula di integrazione per parti con le scelte
(
f 0 ↔ sin(αx) (oppure f 0 ↔ cos(αx))
g ↔ P(x),
cioè integriamo la funzione trigonometrica e deriviamo il polinomio.
Esempio
Z
I =
1
x cos(2x) dx
0
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
52 / 68
Può essere necessario applicare l’integrazione per parti ripetutamente,
Esempio
Z
I =
2
x 3 sin(x) dx
1
Z
2
I =−
h
i2
3x 2 (− cos(x)) dx + x 3 (− cos(x))
1
1
Z
2
=−
h
i2 h
i2
6x(sin(x)) dx + 3x 2 (sin(x)) + x 3 (− cos(x))
1
1
Z
=−
2
1
h
i2 h
i2 h
i2
6 cos(x) dx + 6x cos(x) + 3x 2 (sin(x)) + x 3 (− cos(x))
1
1
1
1
= ............
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
53 / 68
Prodotto di un polinomio per una funzione esponenziale.
Sia P : R → R una funzione polinomiale e sia α 6= 0.
Z
P(x)e αx dx.
Applichiamo la formula di integrazione per parti con le scelte
(
f 0 ↔ e αx ,
g ↔ P(x),
cioè integriamo la funzione esponenziale e deriviamo il polinomio.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
54 / 68
Esempio
Z
2
xe 2x dx
I =
0
2
Z
I =−
1
0
h e 2x i2
e 2x
dx + x
2
2 0
h e 2x i2 h e 2x i2
=−
+ x
4 0
2 0
= ......
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
55 / 68
Prodotto di un polinomio per una funzione iperbolica.
Sia P : R → R una funzione polinomiale e sia α 6= 0:
Z
b
P(x) sinh(αx) dx
a
Z
oppure
b
P(x) cosh(αx) dx
a
Applichiamo la formula di integrazione per parti con le scelte
(
f 0 ↔ sinh(αx) (oppure f 0 ↔ cosh(αx))
g ↔ P(x),
cioè integriamo la funzione iperbolica e deriviamo il polinomio.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
56 / 68
Prodotto di un polinomio per una funzione logaritmica.
Sia P : R → R una funzione polinomiale e sia α 6= 0. Siano 0 < a < b :
Z
b
P(x) ln(αx) dx.
a
Applichiamo la formula di integrazione per parti con le scelte
(
f 0 ↔ P(x),
g ↔ ln(αx),
cioè integriamo il polinomio e deriviamo la funzione logaritmica.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
57 / 68
Esempio
3
Z
I =
x ln(2x) dx
1
Z
I =−
1
3
x2 1
2 x
|{z}
=
dx +
hx2
2
ln(2x)
i3
1
x
2
h x 2 i3 h x 2
i3
=−
+
ln(2x)
4 1
2
1
= .........
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
58 / 68
Esempio
Z
I =
ln(x) dx
Z
1 · ln(x) dx
I =
Z
=−
x
1
dx + x ln(x)
x
= ln(x)x − x + c
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
59 / 68
Prodotto di un polinomio per l’arcotangente.
Sia P : R → R una funzione polinomiale e sia α 6= 0.
Z
b
P(x) arctan(αx) dx.
a
Applichiamo la formula di integrazione per parti con le scelte
(
f 0 ↔ P(x),
g ↔ arctan(αx),
cioè integriamo il polinomio e deriviamo la funzione arcotangente.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
60 / 68
Esempio
Z
I =
1
x arctan(x) dx
0
1
0
i1
hx2
x2 1
arctan(x)
dx
+
2 1 + x2
2
0
Z
1
Z
I =−
1
=−
2
0
x2 + 1 − 1
2
| 1+
{zx }
=1−
=−
dx +
hx2
2
arctan(x)
i1
0
1
1+x 2
i1 h x 2
i1
1h
x − arctan(x) +
arctan(x)
2
2
0
0
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
61 / 68
Integrazione per sostituzione
Esempio
Come integrare
Z
1
sin2 (t) arctan(sin(t)) cos(t) dt??
0
Intuitivamente: ponendo
x = sin(t),
cioè
t = arcsin(x),
ottengo il termine x 2 arctan(x) , che so come trattare (integrando per
parti).
Come diventa il termine cos(t) dt?
come diventano gli estremi di integrazione?
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
62 / 68
La formula di integrazione per sostituzione ci dice come si trasforma
l’integrale dopo il cambiamento di variabile
x = ϕ(t) ⇔ t = ϕ−1 (x)
tramite una ϕ invertibile.
Formula di integrazione per sostituzione
Sia f : [a, b] → R una funzione continua e sia x = ϕ(t) un cambiamento
di variabile tale che
ϕ : I → R è invertibile e derivabile con derivata continua: ϕ ∈ C1 (I ).
Allora
Z
b
Z
ϕ−1 (b)
f (x) dx =
a
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt.
ϕ−1 (a)
• Vi è anche una versione per gli integrali indefiniti.
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
63 / 68
Dimostrazione: Sia F una primitiva di f . Quindi
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
Per l’ipotesi la funzione F (ϕ(t)) è derivabile e vale
(F (ϕ(t)))0 = F 0 (ϕ(t)) ϕ0 (t) = f (ϕ(t)) ϕ0 (t).
Dunque
Z
ϕ−1 (b)
0
Z
ϕ−1 (b)
f (ϕ(t)) ϕ (t) dt =
ϕ−1 (a)
(F (ϕ(t)))0 dt
ϕ−1 (a)
−1
(b))) − F (ϕ(ϕ−1 (a)))
Z b
= F (b) − F (a) =
f (x) dx
= F (ϕ(ϕ
a
♣ Osservazione:
integrazione per parti ∼ integrazione di un prodotto di funzioni
basata su formula per la derivata del prodotto di funzioni
la dimostrazione della formula di integ. per parti è
integrazione per sostituzione ∼ integrazione tramite cambiamento di variabile
la dimostrazione della formula di
integ. per sostituzione è basata su formula per la derivata della composizione di funzioni
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
64 / 68
Struttura di
Z
b
Z
ϕ−1 (b)
f (x) dx =
a
f (x)
dx
Rb
a
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt
ϕ−1 (a)
f (ϕ(t))
ϕ0 (t) dt
R ϕ−1 (b)
ϕ−1 (a)
L’integrale di Riemann
Analisi B
65 / 68
Esempio iniziale
1
Z
sin2 (t) arctan(sin(t)) cos(t) dt
I =
0
Pongo x = sin(t) , quindi
(
dx = (sin(t))0 dt = cos(t) dt,
0 ≤ t ≤ 1 → 0 = sin(0) ≤ x = sin(t) ≤ sin(1)
Quindi
Z
I =
sin(1)
x 2 arctan(x) dx
0
che poi integro per parti...
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
66 / 68
Strategia per integrare funzioni che contengono termini con radicali:
effettuare la sostituzione in modo da eliminare il radicale.
Esempio 1
Z
I =
0
Pongo t =
√
2
√
x
dx.
x +1
x + 1 da cui

√
1
0

 dt = ( x + 1) dx =√2√x+1 dx,
x ∈ [0, 2] ⇒ t ∈ [1, 3],


x = t2 − 1
Strategia: evidenzio dt e poi sostituisco
Z 2
1
I =
2x √
dx
2 x +1
0
√
Z 3
h2
i√3
2
3
=
2(t − 1) dt = t − 2t
= ...
3
1
1
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
L’integrale di Riemann
Analisi B
67 / 68
Esempio 2
1
Z
2
s 3 e s ds.
I =
0
Pongo t = s 2 , da cui
(
dt = 2s ds
s ∈ [0, 1] ⇒ t ∈ [0, 1]
Z
1
I =
0
Z
=
0
Riccarda Rossi (Università di Brescia)
1
1 2 s2
s e 2s ds
2
1 t
te dt = . . .
2
L’integrale di Riemann
Analisi B
68 / 68