Il cubo a fette

Matematica
Classe terza
mese di Febbraio
Il cubo a fette
Obiettivi
Incrementare le capacità di modellizzazione e di decodifica attraverso il disegno
geometrico di figure solide e di figure piane in ambiente tridimensionale.
Contenuti
Tecniche di rappresentazione delle figure dello spazio. Elementi del cubo.
Metodi e attività
La rappresentazione e la decodifica sono due attività che muovono in direzione opposta
nella relazione tra la realtà e i suoi modelli descrittivi. Rappresentare significa dare una
immagine, sia essa propriamente grafica o meno, di un oggetto o di una situazione, che
ne metta in evidenza le caratteristiche importanti ovvero le proprietà significative dal
punto di vista scelto, in modo dichiarato o implicito. Decodificare significa invece ricavare
dagli elementi del modello gli elementi della realtà raffigurata. Entrambi questi passaggi
coinvolgono abilità di natura logica e astrattiva, importanti da sviluppare nella scuola
media. Ancora una volta la geometria e il disegno geometrico forniscono una apprezzabile
occasione allo scopo. Come è noto non è possibile realizzare su un foglio o su una
superficie piana in genere disegni di oggetti tridimensionali che restituiscano fedelmente
tutte le proprietà della figura solida; questo è una delle difficoltà nell'introdursi alla
geometria solida: esistono diverse tecniche che preservano uno o più aspetti, le proiezioni
ortogonali, le assonometrie, per restare nell'ambito degli argomenti trattati nella scuola
media. Merita una citazione al riguardo il problema analogo della raffigurazione della
superficie terrestre: è utile, nell'ottica che stiamo descrivendo, mostrare e commentare i
diversi tipi di planisferi. Sulla decodifica e i suoi aspetti paradossali si giocano anche molte
opere di Escher.
Vale la pena inoltre osservare che nel segmento scolastico successivo, il biennio della
scuola superiore, i ragazzi affronteranno lo studio della geometria razionale, dove occorre
dimostrare la validità delle affermazioni e delle proposizioni in base a deduzioni e non si
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può asserire "si vede dal disegno" per giustificare un risultato o una proprietà. In questo
senso il lavoro sul disegno delle figure solide può rappresentare un valido passo
intermedio dalla geometria detta intuitiva alla geometria razionale, che va accompagnato
dedicando uno spazio opportuno del lavoro in classe per sostenere il profondo passaggio
metodologico. Inizialmente i ragazzi hanno difficoltà ad accettare che due elementi
congruenti nella realtà siano rappresentati non congruenti e così due oggetti che sono
rappresentati congruenti, nella realtà non lo siano.
Per esercitare le abilità di rappresentazione e di decodifica è utile proporre attività nelle
quali si richiedono unicamente queste, lasciando a un momento successivo ogni altra
aspetto, in questo modo anche i ragazzi che fanno più fatica hanno la possibilità di
introdursi gradualmente alla geometria solida. È conveniente portare avanti attività di
rappresentazione e di decodifica insieme, perché movendo in direzione opposta, come
abbiamo notato, si integrano nel favorire la comprensione. Per la nostra proposta, in cui si
utilizzano proprietà e caratteristiche di triangoli e poligoni inseriti in un cubo, non sempre
delle sezioni, servono solo i rudimenti dell'assonometria. L'uso di software geometrici come
Cabrì può essere interessante e utile può essere affiancare le attività proposte con
l'impiego di modelli tridimensionali per sostenere la fatica dell'astrazione e della
raffigurazione: la costruzione di tali modelli può essere proposta specie ai ragazzi che più
faticano o con difficoltà.
Vediamo alcuni esempi
1. Un triangolo ha per vertici due vertici opposti di una faccia di un cubo e il punto medio
di uno spigolo perpendicolare alla faccia che non contiene i suddetti vertici. Disegna il
triangolo. Classifica il triangolo secondi i lati.
L'esercizio richiede di disegnare il triangolo, di darne una rappresentazione, e di
classificarlo, ovvero di ricavare, con l'aiuto del disegno, le relazioni tra i lati.
D
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L'immagine illustra una delle possibili figure, forse non la più semplice, nella quale
osserviamo che il triangolo ABC è isoscele sulla base AC: per verificarlo occorre
considerare i triangoli ABD e BCD, retti in D, con BD in comune e AD = CD, spigoli del
cubo. Ad una prima impressione invece si direbbe che siano uguali i lati AC e BC. Può
essere utile richiedere rappresentazioni diverse e confrontarle. Un altro esercizio può
essere chiedere di riconoscere se due in due figure vengono rappresentati due triangoli
congruenti, per esempio se quello rappresentato nella figura seguente è congruente a
quello della figura precedente.
2. Quanti sono i triangoli che hanno i vertici coincidenti con tre vertici di un cubo?
Questo esercizio richiede una importante visione spaziale per individuare i triangoli e
richiede anche l'apprezzabile capacità di non confonderli! Sicuramente non si tratta di un
esercizio semplice: è utile affrontarlo in classe almeno in parte o analizzare insieme la
soluzione. La prosecuzione dell'esercizio è la classificazione dei triangoli individuati, in cui
emerge l'aspetto della decodifica:
Quanti e quali sono i tipi di triangoli che hanno i vertici coincidenti con tre vertici di un
cubo?
Questo esercizio mostra, grazie alla presenza dei triangoli rettangoli, esempi di
perpendicolarità nello spazio, e in esso si incontra anche la diagonale del cubo.
Un altro esercizio più semplice del precedente sulla stessa situazione:
Considera i triangoli che hanno un lato coincidente con la diagonale di una faccia di un
cubo e il terzo vertice in un altro vertice del cubo. Quanti sono i triangoli rettangoli?
3. Considera la linea formata dagli spigoli di due facce adiacenti di un cubo, escluso lo
spigolo comune alle due facce. Classifica la linea. Essa racchiude un poligono?
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L'esercizio richiede di disegnare il cubo e di individuare la linea, che non risulta essere
piana e quindi non può essere il bordo di un poligono. Analogo è il seguente esercizio:
Considera il cubo in figura e la linea rossa. I vertici sulle altezze hanno una distanza dalla
base inferiore pari a 2/3 dello spigolo. La linea rossa racchiude un poligono? Giustifica la
tua risposta.
In modo particolare sulle sezioni si può richiedere di analizzare alcune situazioni relative
alla posizione del piano secante:
4. Quando la sezione piana di un cubo è congruente a una faccia del cubo? Quando la
sezione è un quadrilatero? Quale tra le sezioni precedenti è la più estesa?
Oppure
È possibile ottenere dei pentagoni secando un cubo? È possibile che la sezione sia
esagonale?
Questi esercizi risultano essere più impegnativi perché coinvolgono esplicitamente piani
che non sono più paralleli alle facce e richiedono perciò una più raffinata capacità di
visione.
Il lavoro può proseguire con la richiesta di operare con i dati che si possono ricavare dalle
figure o dalle situazioni affrontate: almeno una volta riproporre un problema o un esercizio
già trattato con una nuova richiesta aiuta i ragazzi a sviluppare un atteggiamento meno
impaziente e più aperto alla scoperta e all'approfondimento. Si può chiedere, fornendo le
misure necessarie, di calcolare le aree o i perimetri di alcuni dei poligoni analizzati. Si
possono anticipare, sempre lavorando con triangoli e cubi, aspetti che compariranno in
seguito in altre figure solide, per esempio il calcolo dell'ipotenusa di un triangolo che ha un
vertice nel centro della base inferiore, uno nel centro della base superiore e il terzo nel
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punto medio di uno spigolo di base è del tutto simile al calcolo dell'apotema di una
piramide regolare o di un cono.
Verifiche
Le attività proposte si inseriscono all'inizio di in un percorso sui poliedri, quale momento
di riflessione sui primi elementi della geometria solida. La verifica dunque può inserirsi in
un ambito più ampio che comprenda il cubo o i parallelepipedi.
Gli esercizi che si possono proporre come verifica possono essere i seguenti:
1. Considera il solido formato da due cubi sovrapposti. Quanti sono i triangoli che hanno i
vertici coincidenti con i vertici del solido? Quanti sono i triangoli rettangoli? Quanti diversi
tipi di triangoli ci sono?
2. Considera gli spigoli uscenti dallo stesso vertice di un cubo. Su ciascuno di essi segna
un punto, in modo che i tre punti siano alla stessa distanza dal vertice. Considera un
triangolo che ha tali punti per vertici. Di che triangolo si tratta? Come varia il triangolo
spostando i punti lungo gli spigoli, sempre in modo che abbiano la stessa distanza dal
vertice?
3. Osserva il solido: è ottenuto tagliando un cubo.
I triangoli sono rettangoli, di lati 6, 8 e 10 cm. I rettangoli hanno l'altezza di 35 cm.
Calcola la superficie totale del cubo.
4. Considera il triangolo ABC rappresentato in figura. AD è pari a 1/3 dello spigolo del
cubo, che misura 18 cm.
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a. Classifica il triangolo secondo i lati.
b. Calcolane il perimetro.
c. Calcolane l'area.
Andrea Gorini
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