MATEMATICA, INFORMATICA E STATISTICA
per SCIENZE NATURALI
A.A. 2011/12
Orario delle lezioni, dal 3 ottobre 2011 al 20 gennaio 2012:
Lunedì e martedì ore 9-11 e giovedì ore 14-16 aula Pincherle: lezioni ed
esercitazioni.
In particolare, statistica: il martedì ore 9-11, dal 25 ottobre in poi.
Argomento delle lezioni
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(2 ore) (14-16, Aula Pincherle). I. - Presentazione del corso: scopi, struttura, i
tre moduli, l’esame finale, l’orario provvisorio. I numeri naturali: le cifre e la
loro rappresentazione in base 10; numeri decimali, frazioni, numeri periodici;
il simbolo di sommatoria e quello di serie. Non unicità della rappresentazione.
Numeri non razionali: radici quadrate, sezione aurea, il pi greco.
II. – Le potenze, casi particolari; uso nel calcolo combinatorio; confronto fra le
successioni n^2 e 2^n. Le parole (o disposizioni con ripetizione), le
permutazioni (disposizioni senza ripetizione) ed il fattoriale. Confronto fra le
successioni n^n ed n!, la successione (1+1/n)^n ed il numero di Nepero; il
numero di Nepero come somma della serie dei reciproci dei fattoriali. Cenni
sull’unità immaginaria i, sui numeri complessi e sulla formula di Eulero.
6/10
(2 ore) (14-16, Aula Pincherle). I. - Numeri naturali, interi, razionali, reali,
simboli e rappresentazioni decimali. Necessità dei numeri reali. Simboli che si
useranno nel corso. Intervalli e loro rappresentazioni; esempi ed esercizi su
disequazioni di I grado, equazioni fratte, sistemi lineari e sostituzione.
II. – Anagrammi e fattoriali; anagrammi con frequenze diverse da 1; il caso di
due sole lettere di frequenze k ed n-k, esempi, formula generale; applicazioni
al calcolo del numero di sottoinsiemi con k elementi di un insieme con n
elementi; esempio: le cinquine nel lotto; lo sviluppo delle potenze del binomio
a+b e i coefficienti binomiali; la formula di Newton.
10/10 (2 ore) (9-11, Aula Pincherle). I. – Modelli matematici discreti e continui,
necessità di modelli continui. Funzioni fra insiemi, dominio, codominio,
funzioni come frecce, macchine, grafici. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive,
costanti. Funzioni di una variabile reale: notazioni, definizione, dominio,
grafico, tabelle. Grafico delle costanti e dell’identità.
II. – Funzioni ottenute mediante le operazioni aritmetiche: monomi e polinomi.
Il grafico di un polinomio di I grado. Il grafico di x^2. Segno di una funzione;
funzioni pari, dispari; crescenti, decrescenti, minimo assoluto; funzioni
illimitate. La funzione dei reciproci: campo di esistenza, caratteristiche, grafico.
11/10 (2 ore) (9-11, Aula Pincherle). I. – Funzioni biiettive e loro inverse. Il grafico
dell’inversa di una funzione numerica. Inverse parziali di funzioni non
biiettive. Potenze dell’identità, grafico, inversa parziale, radicali aritmetici e
loro grafico.
II. – Potenze di un numero positivo: esponente intero; l’esponente razionale e i
radicali, indipendenza dalla frazione scelta (en.); la funzione esponenziale di
base > 1 ed esponente razionale e sua crescenza (en.). Potenze con esponente
irrazionale (cenni sulla costruzione). La funzione esponenziale di base > 1 e le
sue proprietà (segno, andamento, ecc.); la funzione inversa, logaritmo in base
a, e il suo grafico (segno, andamento).
1
13/10 (2 ore) (14-16, Aula Pincherle). I. – Ripasso dei polinomi di II grado:
discriminante, radici, segno. Logaritmi in base a > 1 e proprietà del loro
grafico. Esercizi sul campo di esistenza di logaritmi di funzioni polinomiali o
fratte, di radicali o somme di radicali.
II. – Cenni sull’uso dei logaritmi in base 10 nelle misure di grandezze
rapidamente crescenti: il pH, i decibel, la scala Richter. Equazioni esponenziali
elementari e logaritmi. Proprietà algebriche dei logaritmi. Studio della
funzione y = ln(4-x^2): dominio, parità, segno ed un artificio per stabilirne
l’andamento e tracciarne un grafico approssimativo.
17/10 (2 ore) (9-11, Aula Pincherle). I. – Modelli matematici, il modello di Malthus. Le
progressioni geometriche. Dal modello discreto a quello continuo. I diagrammi
semilogaritmici (cenni). Le funzioni valore assoluto e segno: caratteristiche,
grafico.
II. – La funzione "parte intera": simboli, grafico, immagine, non decrescenza,
punti di discontinuità. La funzione "mantissa" (su lucido): grafico, limitatezza,
estremo superiore, periodicità, punti di discontinuità; nozione di funzione
periodica. Collocati nel sito Internet le schede con gli esercizi sulle funzioni
elementari ed il calcolo dei coefficienti binomiali.
18/10 (2 ore) (9-11, Aula Pincherle). I. – Le funzioni di arrotondamento: esempi ed
avvertenze. Le funzioni circolari seno e coseno: grafico animato col Cabri II
della TI-92 Plus nell’intervallo [0,2π] a partire dal cerchio di raggio 1;
estensione a tutto R come funzioni periodiche, limitate, dotate di simmetrie;
grafico con la TI-92 Plus. La tangente come rapporto di seno e coseno, e grafico
con la TI-92 Plus. Interpretazione delle linee verticali che appaiono sullo
schermo; asintoti verticali, primi cenni.
II. – Relazioni fra seno e coseno, identità fondamentale. Gli archi del cerchio
unitario come misure degli angoli al centro; il radiante; gli angoli notevoli e le
loro funzioni circolari. Angoli complementari e loro funzioni circolari. La
funzione arcotangente, come inversa parziale della tangente: grafico,
proprietà, asintoti orizzontali (cenni), limitatezza.
20/10 (2 ore) (14-16, Aula Pincherle). I. – Il cerchio goniometrico e le funzioni
circolari. Seni e coseni di angoli ottusi o concavi. Alcune equazioni
trigonometriche elementari. La tangente ed il coefficiente angolare di una retta
nel piano cartesiano.
II. – Risoluzione di un triangolo rettangolo, con esempi. I teoremi del coseno e
dei seni (en.). Alcune formule di addizione e duplicazione, e di prostaferesi.
Cenni storici sull’uso di queste formule e di questi teoremi. Collocati nel sito
Internet un fac-simile del compito d’esame e le sue soluzioni, insieme con i
lucidi sui numeri.
24/10 (2 ore, Aula Pincherle). I. – Una formula che lega coseno e tangente; l’area di
un settore circolare e una disuguaglianza importante per angoli acuti. Le
funzioni di una variabile reale: i due tipi di dominii che si useranno. Il caso del
dominio N, ossia le successioni: il fattoriale, i numeri di Fibonacci, le
progressioni geometriche, la serie di una successione (cenni); definizione
ricorsiva di una successione (esempi). Le funzioni definite su R o su intervalli:
un lucido con una retta e una quintica che passano per gli stessi cinque punti.
II. – Punti chiave nella lettura di un grafico o nello studio di una funzione:
regolarità e simmetrie, segno, limiti, andamento, curvatura. Punti ed intervalli
notevoli del grafico di una funzione “liscia” (su lucido): intervalli di
positività/negatività, di crescenza/decrescenza e di convessità/concavità),
2
massimi e minimi relativi; flessi. Un lucido con una funzione non liscia:
cuspidi, salti.
25/10 (2 ore, Aula Pincherle). I. – STATISTICA. Che cos’è la statistica e suo uso nella
Scienza e nella vita quotidiana; influenza sui dati da parte di chi li raccoglie o
del campione ottenuto. Scopo del corso: elaborare ed organizzare i dati
raccolti; cenni ai rischi di rappresentazioni fuorvianti.
II. – Rappresentazioni grafiche dei dati: diagrammi a canne d’organo o
istogrammi (con esempi), anche per dati non numerici; diagrammi a torta (con
esempi); diagrammi cartesiani, con o senza interpolazione; ideogrammi e loro
uso proprio ed improprio. Un esercizio sulla scelta della rappresentazione più
opportuna. Media aritmetica, frequenza e media ponderata, con esempi.
27/10 (2 ore, 14-16 Aula CREMONA). I. – Necessità di strumenti più potenti di quelli
algebrici e geometrici nello studio di una funzione. L'insieme R =RU{-∞,+∞};
addizioni e moltiplicazioni in R ; le forme indeterminate " # " e 0 " # . Intorni di
un elemento di R , nei vari casi. Intorni circolari. proprietà dell'intersezione e
di Hausdorff degli intorni. Un esercizio sugli intorni.
!
II. – Uso degli intorni!per definire i punti di minimo
e
!
! di massimo relativi.
Prime idee
sul
concetto
di
limite,
con
illustrazione
dello
schema che si segue,
!
x
mediante i limiti della funzione f x = e per x tendente rispettivamente a −∞,
()
+∞, 0. Un esempio di limite sbagliato: per x tendente a 0, f x = e x non tende a
2 ma ad 1.
()
!
3/11 (2 ore, 14-16 Aula CREMONA). I. – Punti di accumulazione per un sottoinsieme
!
di R. Il caso degli intervalli (en.) e di N. La definizione di limite; teorema di
unicità (enunciato).
II. – Funzioni continue in un punto non isolato e su tutto il dominio; continuità
di f x = e x ; dell’identità, delle costanti, del seno, del valore assoluto e del
()
!
logaritmo (en.). Limiti ed operazioni aritmetiche sulle funzioni (en.), forme
indeterminate; continuità ed operazioni; continuità di polinomi e funzioni
fratte; un esercizio sui limiti di una funzione razionale fratta.
8/11
(2 ore, Aula Pincherle). INFORMATICA (con la collaborazione della tutor dott.
Turrini). I. – Presentazione del modulo di informatica; modalità di
registrazione e di accesso; la piattaforma A3 e la sua struttura; l’Informatica
nella cultura e ne3lla vita quotidiana; i due capitoli del corso, l’attività di autoapprendimento; il test finale.
II. – Introduzione al capitolo su Internet, il WEB ed i suoi servizi: premessa
sugli ipertesti; clienti e server; protocolli di trasmissione dei dati; le funzioni
del browser; che cosa contiene un u.r.l.. Comunicazioni in chiaro e criptate.
9/11
(2 ore, Aula Pincherle). STATISTICA. I. – Riepilogo su Media aritmetica,
frequenza e media ponderata; collegamenti con Geometria e Fisica: il punto
medio di un segmento, il baricentro di un triangolo ed il centro di un sistema
di masse come esempi di media e media ponderata; l’insieme R^n delle liste di
lunghezza n di numeri reali, dette punti o vettori; operazioni di addizione,
moltiplicazione per numeri e prodotto scalare tra punti; il caso n = 2 e
l’interpretazione geometrica e fisica; la media ponderata come prodotto scalare
tra il vettore dei dati distinti ed il vettore delle loro frequenze relative.
II. – Altri indici di media: mediana, moda, media geometrica e media armonica,
con esempi. Indici di dispersione: l’intervallo di variazione, con esempi; lo
scarto quadratico medio o deviazione standard; la varianza stimata; esempi.
3
10/11 ((2 ore, 14-16 Aula Pincherle). I. – Lucido con la dimostrazione del teorema
dell’unicità del limite. Limiti e restrizioni; limiti destro e sinistro; teorema della
permanenza del segno e inverso parziale (en.); limiti di frazioni col
denominatore che tende a zero (en.).
II. – Esercizio: tutti i limiti di una funzione razionale fratta. Asintoti verticali ed
obliqui. Teoremi del confronto (en.), il teorema dei carabinieri (en.). Esercizio:
tutti i limiti della funzione f(x) = sin(x)/x.
14/11 (2 ore, Aula Pincherle). I. – Funzioni continue: definizione generale; restrizioni
e composizione di funzioni continue; continuità di coseno e tangente. Funzioni
continue su intervalli: massimi e minimi assoluti e teorema di Weierstrass
(en.);
il teorema dei valori intermedi (en), l’immagine continua di un
intervallo. Continuità delle funzioni inverse; di e^x, √x, arctg(x). Il teorema
degli zeri (lucidi con la tecnica della dimostrazione, su un esempio).
II. – Applicazione del teorema degli zeri alle disequazioni e all’esistenza di
radici di un polinomio di grado dispari. Riepilogo sulle forme indeterminate.
Confronto di problemi (su lucidi): velocità media ed istantanea, accrescimento
medio ed istantaneo, retta tangente ad una curva in un suo punto. La
definizione di rapporto incrementale e di derivata in un punto non isolato; la
funzione derivata; derivabilità e continuità in un punto.
14/11 (1 ora, 11-12, aula Bombelli gruppo A-L). ATTIVITÀ DI TUTORATO EXTRAORARIO: esercizi sulle funzioni elementari, sulla risoluzione di un triangolo
rettangolo e sul riconoscimento di un grafico.
15/11 (2 ore, Aula Pincherle). STATISTICA. I. – Correlazioni fra serie di dati e pericoli
di errate interpretazioni. Le tabelle (x,y) e la loro traduzione grafica; la non
utilità del polinomio interpolatore e la ricerca di modelli statistici. Il “metodo
dei minimi quadrati”: la retta di regressione e il coefficiente di correlazione.
Come ricavare pendenza ed intercetta della retta di regressione: un approccio
basato sulla Geometria ed il calcolo vettoriale.
II. – Significato geometrico del coefficiente di correlazione assoluto e relativo.
Applicazione a vari tipi di problemi, in cui si abbia o no alle spalle la
descrizione teorica del fenomeno in esame. Un esempio di crescita
esponenziale ricondotto al caso lineare con un diagramma semilogaritmico, e
applicazione del metodo dei minimi quadrati per ricavarne i coefficienti.
15/11 (1 ora, 11-12, aula Enriques gruppo M-Z). ATTIVITÀ DI TUTORATO EXTRAORARIO: esercizi sulle funzioni elementari, sulla risoluzione di un triangolo
rettangolo e sul riconoscimento di un grafico.
17/11 (2 ore, 14-16 Aula Pincherle). I. – Il calcolo delle derivate e lo schema seguito:
derivate di alcune funzioni elementari (costanti, monomi, seno, logaritmo,
radice quadrata); linearità della derivata (en.), con esempi.
II. – Derivata di un prodotto e di un quoziente di funzioni derivabili; esempi.
Derivata di una funzione composta da funzioni derivabili, con esempi.
Derivata della funzione inversa di una funzione derivabile e monotona su un
intervallo; esempi. Derivata di e^x, cos(x), tan(x), arctg(x). Esercizi sul calcolo
di derivate di altre funzioni.
21/11 (2 ore, Aula Pincherle). I. – Derivate successive, con esempi e curiosità
(polinomi, e^x, sin(x)). Applicazioni del calcolo delle derivate: la definizione di
nuove grandezze: velocità, accelerazione, accrescimento. Approssimazione
locale di funzioni mediante polinomi: la retta tangente in un punto; la
parabola oscuratrice, cenni sul polinomio di Taylor. Massimi e minimi relativi
4
nei punti interni al dominio: il teorema di Fermàt.
II. – Dimostrazione del teorema di Fermàt. I teoremi di Rolle e di Lagrange
(en.). Andamento di una funzione su un intervallo e segno della derivata.
Esercizi. Derivata seconda, curvatura e flessi.
21/11 (1 ora, 11-12, aula Bombelli gruppo A-L). ATTIVITÀ DI TUTORATO EXTRAORARIO: esercizi su limiti, derivate, studio di una funzione.
22/11 (2 ore, Aula Pincherle). STATISTICA. I. – Riepilogo della situazione: dal registro
tabulare a quello grafico e a quello algebrico: la media aritmetica dei dati y e la
deviazione standard come modello con una funzione costante. La retta di
regressione ed il coefficiente di correlazione come modello lineare.
Generalizzazioni: la regressione quadratica (cenni su come ricavare l’equazione
della parabola). Un esercizio col confronto tra regressione lineare e quadratica
degli stessi dati; interpolazioni ed estrapolazioni.
II. – Coeffcienti binomiali e loro proprietà. Il triangolo aritmetico (o di
Tartaglia o di Pascal) e la sua costruzione. Il grafico a istogramma del caso n =
6 e la ricerca di un modello matematico per interpretarlo: le curve gaussiane;
equazione e proprietà di una gaussiana.
22/11 (1 ora, 11-12, aula Bombelli gruppo M-Z). ATTIVITÀ DI TUTORATO EXTRAORARIO: esercizi su limiti, derivate, studio di una funzione.
24/11 (2 ore, 14-16 Aula Pincherle). I. – Calcolo di forme indeterminate: la regola di
De l’Hospital (en.), con esempi e controesempi. Derivate di restrizioni. Derivata
di valore assoluto, segno, funzioni a scalini; esercizi. Derivata di ln(abs(g(x))).
II. – Creazione di modelli matematici “deterministici”: le equazioni differenziali
e il problema di Cauchy (cenni); esempi: il modello di Malthus; primitive di
una funzione su un intervallo e loro proprietà. Esempi, formule di integrazione
immediata, esercizi.
28/11 (2 ore, Aula Pincherle). I. – Esercizi sul calcolo di primitive immediate.
Funzioni razionali fratte e scomposizione in fratti semplici, alcuni esempi.
Risoluzione dei problemi di Cauchy legati al modello di Malthus e a quello
logistico, come esempio di applicazione della Matematica alla dinamica di
popolazione (cenni).
II. – Lucido col riepilogo di derivate e primitive di funzioni elementari. Lucidi
sul problema dell’area di una figura piana: il contributo dei greci; il metodo
delle strisce per una figura con bordo continuo e senza buchi. Area del
sottografico (trapezoide) di una funzione di II grado positiva, per illustrare
l’integrale di Riemann per funzioni continue su un intervallo [a,b]: la somma
inferiore e quella superiore relative ad una data scomposizione di [a,b],
raffinamento della scomposizione, l’unico elemento che separa le due aree al
tendere a zero della larghezza delle strisce come misura dell’area del
trapezoide.
28/11 (1 ora, 11-12, aula Arzelà gruppo A-L). ATTIVITÀ DI TUTORATO EXTRAORARIO: esercizi sullo studio di funzioni periodiche e sulla ricerca di primitive.
29/11 (2 ore, Aula Pincherle). STATISTICA. I. – Elementi di teoria della probabilità:
esperimenti aleatori, esiti, spazio campionario, eventi; evento certo ed evento
impossibile; eventi elementari; eventi incompatibili, evento complementare;
confronto con la terminologia degli Insiemi. Definizione assiomatica di
probabilità nel caso finito. Esempi: il gioco del pari/dispari; equiprobabilità;
esercizi tratti dal gioco del lotto e dal calcolo combinatorio.
5
II. – Probabilità e statistica, con un problema-guida: probabilità dell’evento E
per una famiglia con 5 figli di avere tre maschi e due femmine, sotto ipotesi di
equiprobabilità di nascita di maschio o femmina e di indipendenza delle
nascite successive. Calcolo della probabilità teorica. Simulazione di una
indagine statistica su 400 campioni di 32 famiglie ciascuno, ognuna con 5 figli,
per constatare la fluttuazione statistica dell’evento E nei vari campioni,
misurare la frequenza degli esiti da 0 a 32 sui 400 campioni, e riportare il
tutto in un istogramma, per confrontarne la moda col valore atteso p(E)*32.
29/11 (1 ora, 11-12, aula Bombelli gruppo M-Z). ATTIVITÀ DI TUTORATO EXTRAORARIO: esercizi sullo studio di funzioni periodiche e sulla ricerca di primitive.
(1/12 Lezione saltata per afonia e raucedine del docente)
5/12
(2 ore, Aula Pincherle). (Con l’ausilio della voce di M. Buttazzi). I – Definizione
di integrale per una funzione continua su un intervallo [a, b]: scomposizione
finita dell’intervallo, le somme inferiore e superiore relative a quella
scomposizione; diminuzione della loro differenza al raffinamento della
scomposizione; la condizione di Cauchy-Mengoli (en.) e l’integrabilità delle
funzioni continue. Il caso delle funzioni limitate: estremi inferiore e superiore
al posto del minimo e massimo assoluti, lo stesso procedimento e la definizione
di funzione integrabile secondo Riemann. Classi di funzioni integrabili e un
controesempio: la funzione di Dirichlét).
II. – Proprietà delle funzioni integrabili (en.): linearità, monotonicità,
additività. Integrale con estremi coincidenti o scambiati. Funzioni integrali di
una funzione continua su un intervallo. Enunciato del teorema fondamentale
del calcolo integrale: le funzioni integrali come primitive delle funzioni
continue; la formula di Leibniz-Newton. Esempi ed esercizi. Area di una figura
piana delimitata dai grafici di due funzioni continue sullo stesso intervallo.
Esempi ed esercizi.
6/12
(2 ore, Aula Pincherle). STATISTICA. I. – 25’ persi per l’indagine sulla didattica.
Casualità degli esiti di un esperimento: il test di Poisson v/m. Distribuzioni
casuali, uniformi, aggregate di parassiti su foglie di rosa. Il test nel caso di
superficie continue da ripartire in parti equivalenti; alcuni esempi su lucido,
realizzati col computer. La formula di Poisson per dati casuali di media m;
collegamenti con la serie di Taylor della funzione e^x. Cenni sulla
realizzazione dell’esperimento virtuale della lezione precedente mediante la
formula di Poisson.
II. – Casualità degli esiti di un esperimento: il test chiquadro (χ^2) di Pearson:
un problema-guida su 600 lanci di un dado, con tabella delle frequenze, il
calcolo degli scarti dai valori attesi e del chiquadro; il concetto di gradi di
libertà; l’ipotesi nulla (il dado è regolare) e la sua valutazione. L’esperimento
virtuale dei 400 campioni di 32 famiglie con 5 figli (ossia e l’accettazione
dell’ipotesi nulla (la frequenza di E coincide col valore atteso) col test di
Pearson.
12/12 (2 ore, Aula Pincherle). I. – Il teorema della media integrale e la dimostrazione
del teorema fondamentale. Integrale generalizzato, con esempi ed esercizi.
II. – Volume di un solido di rotazione. Il volume della sfera e la capacità di un
bicchiere parabolico. Lunghezza di una curva (en.). Studio di una funzione e
calcolo di un integrale generalizzato.
13/12 (2 ore, Aula Pincherle). STATISTICA. I. – Ripasso sulla probabilità: definizione
di probabilità nel caso di spazi campionari finiti. Il caso continuo: funzione
6
densità di probabilità e sue proprietà; probabilità di un evento e integrali,
anche generalizzati. Le funzioni di Gauss normalizzate come funzioni densità
di probabilità; un esempio.
II. – Esercizi sul test chi-quadro: il lancio di una moneta, col confronto tra le
frequenze ottenute e i valori attesi, e la valutazione della sua regolarità; tabelle
di contingenza: un esempio con raccolta di dati su alberi con foglie lisce o
rugose su terreni tortuosi o no; l’ipotesi nulla di indipendenza per il calcolo
dei valori attesi, calcolo del chi-quadro per valutare se l’ipotesi nulla è
accettabile o no.
13/12 (2 ore, Aula Cremona 14-16, recupero del 1/12/2011). I. - Matrici,
uguaglianza, tipi di matrici. Operazioni lineari fra le matrici, matrici nulle,
opposta di una matrice. Prodotto diretto fra matrici (cenni). Prodotto righe per
colonne di matrici; esempi; matrici unità.
II. –Scrittura abbreviata per le matrici; modo abbreviato di definire le
operazioni. Il caso delle matrici quadrate d’ordine n: addizione, opposti,
matrice nulla, moltiplicazione, matrice unità, non commutatività del prodotto
e mancanza della legge di annullamento del prodotto per n > 1. Matrici
invertibili. Il caso di ordine 2: il determinante, la formula per la matrice
inversa; l’inversa di un prodotto (en.). Matrici e sistemi lineari: un esempio e le
sue matrici: incompleta, dei termini noti, completa, delle incognite. La forma
matriciale di un sistema lineare. Esercizio per casa: la soluzione di un sistema a
due equazioni e due incognite mediante l’inversa della matrice incompleta.
15/12 (2 ore, 14-16 Aula Pincherle). I. – Pivot di riga, matrici a scala per righe.
Operazioni elementari sulle righe di una matrice; primi esempi sull’algoritmo
di Gauss-Jordan per ridurre una matrice a scala per righe; rango di una
matrice; alcune proprietà del rango. Sistemi lineari, matrice completa ed
incompleta e loro rango. Teorema di Rouché-Capelli.
II. – Esercizi sul rango di matrici; rango ed invertibilità di una matrice quadrata
(en.), esercizi. Risoluzione di un sistema lineare indeterminato: riduzione della
matrice completa, discussione del sistema, la forma di Gauss-Jordan, la forma
parametrica delle soluzioni.
19/12 Lezione non tenuta per sciopero del personale.
20/12 (2 ore, Aula Pincherle). STATISTICA. I. – Funzioni da un prodotto cartesiano
AxB ad R e loro rappresentazione (eventualmente parziale) mediante tabelle o
matrici. Operazioni “punto per punto” tra queste funzioni e tra le loro matrici.
La tabella della funzione chi-quadro e le sue proprietà; suo uso per trovare la
probabilità che per un dato numero di gradi di libertà si abbia un dato valore
di chi-quadro. Riepilogo sulle tabelle di contingenza, l’ipotesi nulla e le
operazioni per ottenere il chi-quadro corrispondente.
II. – Esercizi sul test chi-quadro: confrontare l’efficacia di antiparassitari su
piante di rose infestate dagli acari; valutare l’incidenza del fattore-campo negli
esiti delle partite di una squadra di calcio; estrarre palline colorate da un’urna
e confrontarne le frequenze con diverse ipotesi nulle.
9/1/12 (2 ore, Aula Pincherle). I. – Ripasso sui sistemi lineari e le loro matrici:
scrittura matriciale e vettoriale di un sistema lineare; le operazioni elementari
sulle righe della matrice completa ed il loro effetto sul sistema; risoluzione di
un esercizio. Dimostrazione del teorema di Rouché-Capelli.
II. –Sistemi lineari omogenei e soluzioni non nulle. Il rango di una matrice con
un approccio algebrico: il determinante di una matrice di ordini 1, 2, 3 (regola
di Sarrus) e cenni alla struttura del determinante di ordine n ≥ 4. Sottomatrici
7
e minori di una matrice; il rango come massimo ordine dei minori non nulli
(en.). Vantaggi: rango per righe e per colonne uguali; rango non superiore al
numero di righe e di colonne; rango, determinante, invertibilità di una matrice
quadrata (en.); svantaggi: la lunghezza dei calcoli.
11/1 (2 ore, Aula Pincherle). STATISTICA. I. – Il teorema del limite centrale: gli gnu ed
il loro peso; impossibilità di pesare l’intera popolazione e necessità di
campionamenti; la media delle medie e la media della popolazione. La stima
dello scarto quadratico medio. Un esperimento virtuale: la somma dei cinque
numeri di una cinquina del lotto, la media delle somme; varie campionature
con rispettivamente 500 o 50 cinquine ciascuna ed il confronto dei risultati.
II. – La legge dei grandi numeri applicata alla stima della media teorica delle
somme delle cinquine; commenti alla formulazione della legge dei grandi
numeri. Esercizi di statistica: uso pratico della distribuzione presumibilmente
gaussiana dei consumi individuali di acqua.
12/1 (2 ore, aula Pincherle ore 14-16) Calcolo del determinante di una matrice di
ordine 3 e qualche proprietà dei determinanti. Le matrici e le trasformazioni
geometriche, la “equazione secolare” di Laplace, autovettori, autovalori ed
autospazi della matrice; il polinomio caratteristico e le sue radici.
II. – Matrici simmetriche e loro autovalori ed autovettori; un esempio nel piano
cartesiano. Esercizi sulle matrici (trasposta, prodotto di matrici) e sui sistemi
lineari.
16/1
(2 ore, aula Pincherle). I. – Esercizi di ripasso: studio di una funzione
logaritmica; calcolo di una forma indeterminata e di un integrale.
II. – Esercizi di ripasso: studio di una funzione circolare; calcolo di una forma
indeterminata e di un integrale.
17/1 (2 ore, Aula Pincherle). STATISTICA. I. – Esercizi di ripasso: media ponderata,
mediana, moda, deviazione standard, varianza, rappresentazione mediante
istogramma e diagramma a settori delle frequenze di dati. Retta di regressione
e coefficiente di correlazione per sei punti del piano.
II. – Esercizi sul calcolo delle probabilità: estrazioni con o senza reimmissione;
Un esercizio sul test chi-quadro. FINE DEL CORSO.
Totali
Tipo di ore
ore
Lezioni ed esercitazioni frontali di Matematica
48
Lezioni ed esercitazioni frontali di Statistica
20
Totale ore d’insegnamento dei due moduli:
68
Attività di tutorato extra-orario
6
Altre attività: redazione di appunti, esercizi e fac-simile di compiti d’esame, collocati
nel sito Internet del docente:
http://www.dm.unibo.it/~verardi/
8
