Esercizi della Settimana n.3
Problema:
Una cassa di massa m=2 Kg viene fatta scivolare lungo un piano inclinato liscio,
trattenendola dall’alto del piano inclinato con una fune. Se il piano è inclinato di
un angolo α=30° rispetto all’orizzontale, si determini il modulo della tensione T
che deve esercitare la fune affinché si verifichino le seguenti condizioni di moto
lungo il piano:
(a) velocità costante, verso il basso, di modulo 2 m/s;
(b) accelerazione costante, verso il basso, di modulo g/4;
(c) accelerazione costante, verso l’alto, di modulo g/4.
Soluzione: Impariamo ad impostare un esercizio di studio del moto di un
corpo
•
Individuo il corpo di cui voglio studiare il moto: la cassa.
•
Identifico le forze che agiscono sul corpo: la forza peso Fp; la reazione
vincolare del piano di appoggio che, essendo quest’ultimo liscio, avrà
soltanto una componente normale al piano stesso N; la tensione della fune
T.
•
La legge di Newton (2° legge della dinamica) ci dice che il moto del corpo
è determinato dalla risultante di queste forze, secondo la relazione
Fp+N+T=ma (*)
dove a è il vettore accelerazione del corpo.
Questa è l’equazione che governa il moto del corpo (cioè, è in grado di dirci “tutto”
su come si svolge il moto della cassa).
Si tratta di un’equazione che stabilisce una relazione quantitativa fra grandezze
vettoriali. Ricordando che ogni vettore si può individuare attraverso le sue
componenti riferite ad un sistema di riferimento cartesiano di nostra scelta,
possiamo tradurre l’eq. (*) in un sistema di equazioni fra le componenti dei
vettori (più semplici da gestire matematicamente) che si deducono proiettando
la (*) lungo le direzioni di riferimento. Ad esempio, possiamo scegliere un
sistema di riferimento con origine in cima al piano inclinato, asse x verso il basso
del piano, asse y perpendicolare ad esso e rivolto verso l’alto. Si ottiene:
proiettando lungo l’asse x mg sinα-T=m ax
proiettando lungo l’asse y -mg cosα+N=m ay
dove ax e ay indicano le componenti del vettore accelerazione a nelle direzioni x e
y.
La seconda equazione, sapendo che ay=0 (la cassa scivola rimanendo aderente
alla superficie del piano, cioè senza staccarsi!) ci dice che N=mg cosα (ci fa
conoscere il modulo della reazione normale al piano, informazione non utile ai
fini del problema ma comunque contenuta nella legge del moto!);
La prima equazione ci dice invece come il modulo della tensione T è legato alla
componente dell’accelerazione lungo il piano, ax. Esaminiamola nelle tre
condizioni proposte dal problema:
(a) il fatto che la velocità ha modulo costante significa che ax=0; da cui segue:
mg sinα-T=0, ovvero deve essere T=mg/2
(b) il fatto che l’accelerazione è costante, verso il basso, di modulo g/4 significa
che ax=g/4; da cui segue:
mg sinα-T=m g/4, ovvero deve essere T=mg/4
(b) il fatto che l’accelerazione è costante, verso l’alto, di modulo g/4 significa che
ax=-g/4; da cui segue:
mg sinα-T=-m g/4, ovvero deve essere T=(3/4)mg
Problema:
Se si lascia cadere un sasso, con velocità iniziale nulla, in un pozzo profondo 100 m,
in quanto tempo il sasso raggiunge il fondo? Con quale velocità tocca il fondo?
(Ignorare qualunque attrito)
Soluzione: Sebbene siamo di fronte ad un problema molto semplice,
impariamo ad impostarlo e risolverlo secondo lo schema generale indicato
nel problema precedente
Indico con h la profondità del pozzo, con m la massa del sasso.
Il sistema di cui voglio studiare il moto è il sasso.
Il suo moto si svolge, trascurando ogni attrito, sotto l’azione della sola forza peso
Fp=mg; è dunque governato dall’equazione vettoriale
mg=ma (*)
dove g è il vettore ‘accelerazione di gravità’ e a indica il vettore accelerazione del
sasso.
Introduciamo un sistema di riferimento, che in questo caso di moto
unidimensionale sarà costituito da un solo asse di direzione verticale x, che
possiamo scegliere orientato verso il basso, con origine nell’ingresso del pozzo.
L’equazione vettoriale (*) è equivalente all’equazione fra le componenti dei
vettori che si deduce proiettando la (*) lungo la direzione x scelta, cioè:
g=ax
In questa equazione leggiamo che: la componente x del vettore accelerazione ha
un valore costante durante il moto del sasso, g=9.8 m/s2 il moto lungo la
direzione x è un moto rettilineo uniformemente accelerato.
La cinematica di questo tipo di moto ci insegna che:
la posizione del sasso varia nel tempo secondo la legge
x(t)=x(0)+vx(0)t+1/2axt2
e la componente del vettore velocità lungo la direzione x varia nel tempo
secondo la legge
vx(t)= vx(0)+ axt
Nel nostro caso x(0)=0, vx(0)=0 e ax=g, quindi
x(t)= 1/2gt2
vx(t)= gt.
Adesso siamo pronti a fornire le risposte ai quesiti del problema: Quando tocca il
fondo? Con quale velocità?
Il primo quesito chiede di trovare l’istante di tempo t in corrispondenza del quale
la posizione del sasso (nel riferimento da noi scelto) assume il valore h, cioè il
tempo che soddisfa la condizione
h= 1/2gt2
t=(2h/g)1/2= 4.5 s
Il secondo quesito chiede di trovare il valore della velocità in corrispondenza
dell’istante di tempo così trovato
vx =44.1 m/s
Problema:
Un corpo di massa m = 1 kg si muove con una
accelerazione di 10 m/s2 in direzione 30° nord-est
sotto l’azione di due forze. Una delle due forze
agenti sulla massa ha un modulo pari a 5 N e
direzione nord. Determinare il modulo e la
direzione della seconda forza agente sulla massa.
Soluzione:
Indichiamo con F2 la forza incognita da determinare.
Il moto del corpo deve essere governato dalla legge di Newton:
F1+F2=ma
da cui segue che la forza incognita F2 deve essere:
F2=ma- F1
Identifichiamo i vettori individuando le loro componenti rispetto ad un sistema di
riferimento cartesiano, ad esempio con asse x orizzontale verso est e asse y verticale
verso nord. Rispetto a questo sistema di riferimento le componenti dei vettori a e F1
sono:
a=(a⋅cos30°, a⋅sin30°)
(*)
(**)
F1=(0, F1)
Dunque F2 avrà componenti:
F2=(ma⋅cos30°, ma⋅sin30°-F1)=(8.66 N, 0)
(***)
La forza F2 è dunque un vettore lungo la direzione est, di modulo 8.66 N
NB: la scrittura (*) equivale a scrivere a= a⋅cos30° ux + a⋅sin30° uy
la scrittura (**) equivale a scrivere F1= F1uy
la scrittura (***) equivale a scrivere F2= ma⋅cos30° ux + (ma⋅sin30°-F1) uy
dove ux e uy indicano i versori lungo gli assi x e y.
Problema:
Un pendolo di massa m = 1g e lunghezza L = 80 cm è in quiete
nella posizione mostrata in figura. L’angolo tra il filo e la
verticale è α = 30° con la massa m trattenuta da una barretta
orizzontale. Determinare le forze (vettori) agenti su m nella
condizione di quiete.
α
Suggerimento: Indicando con T la tensione del filo e con R la reazione vincolare
sviluppata dalla sbarretta, la condizione di equilibrio per la massa m è T+R=0, da cui
si ottiene:
T=mg/cosα
R=Tsinα=mg tgα
Problema:
Tre giocatori di rugby stanno tirando
orizzontalmente una fune agganciata a un blocco
appoggiato sul terreno, che rimane fermo. Il
giocatore 1 esercita una forza F1=100 N con un
angolo θ1=60° rispetto al verso positivo dell’asse
x come mostrato in figura. Il giocatore 2 esercita
una forza F2=200 N con un angolo θ2=45° rispetto
al verso positivo dell’asse x. (a) Determinare la
forza F3 esercitata dal giocatore 3 e riportarla con
precisione sulla figura.
(b) La fune del giocatore 2 si rompe e il giocatore
cambia l’intensità della sua forza F2 che ora diventa di 150 N, con lo stesso angolo di
prima. In quale direzione sarà l’accelerazione del blocco?
(c) Se l’accelerazione misurata è di 10 m/s2, qual è la massa M del blocco?
Suggerimento: si riveda l’esercizio sul calcolo vettoriale fatto nel corso della
Settimana n.1
Problema:
Maria si pesa al mattino salendo sulla sua bilancia pesapersone nel bagno di casa e
legge sul display un peso di 54 kg (questa lettura significa che la “forza peso” che
agisce su di lei è 54⋅9,8 N=529,2 N). Durante il pomeriggio porta la sua bilancia
pesapersone dentro l’ascensore e vi sale mentre l’ascensore scende con
accelerazione 1 m/s2. Quale valore legge sul display?
Soluzione:
Mentre Maria si trova in ascensore su di lei agiscono le seguenti forze:
• la forza peso, Fp=mg (diretta verso il basso)
• la reazione normale sviluppata dal piatto della bilancia pesapersone su
cui Maria appoggia i piedi, N (diretta verso l’alto)
Il moto di Maria è governato dalla legge di Newton:
Fp+N=ma, dove a è l’accelerazione di Maria (uguale a quella dell’ascensore che
la ospita, quindi diretta verso il basso di modulo a=1 m/s2)
Si scelga adesso un sistema di riferimento solidale alla Terra, con asse
verticale diretto, per esempio, verso l’alto. La legge del moto, proiettata lungo
questo asse di riferimento, fornisce la relazione:
-mg+N=-ma
da cui si ricava: N=m(g-a)=54(9,8-1) kg m/s2 =475,2 N.
Questo è il modulo della reazione vincolare sviluppata dal piatto della bilancia,
da cui dipende la “sensazione” di peso avvertita da Maria. Maria si “sente” più
leggera. Sul display della bilancia, che divide la misura di N per il valore
dell’accelerazione di gravità g=9,8 m/s2 , Maria legge il valore 48,5 kg…
ATTENZIONE:
• La massa di Maria non è cambiata, è sempre m=54 kg !! Maria ha
solo utilizzato in maniera non corretta la sua bilancia, utilizzandola
in accelerazione. Solo se la bilancia è utilizzata da ferma (o in stato
di moto rettilineo uniforme) il valore di N diviso per il valore
•
•
dell’accelerazione di gravità terrestre (g=9,8 m/s2) fornisce il
valore corretto della massa m…
Il peso di Maria (che è la forza che agisce su di lei dovuta
all’attrazione gravitazionale terrestre) non è cambiato, è
rimasto 529,2 N !!
La “sensazione” di peso che Maria avverte è effettivamente
cambiata, Maria si sente più leggera…perché il cervello di Maria
registra il valore della spinta che il piatto della bilancia esercita
sotto i suoi piedi, e questa spinta dentro l’ascensore che scende è
minore!!
Problema:
La Stazione Spaziale Internazionale (SSI) orbita attorno alla Terra ad un'altezza media
dalla superfice terrestre di 400 km. Quanto vale l'accelerazione di gravità sulla SSI?
(raggio della Terra RT=6400 km)
Risposta: gSSI= 8,7 m s-2
Problema:
Se la Stazione Spaziale Internazionale (SSI) orbita ad una distanza di 400 km dalla
superficie della Terra e il peso percepito dagli astronauti sulla SSI è zero, a che
velocità orbita la SSI intorno alla Terra? (raggio della Terra RT=6400 km; massa della
Terra MT=5.96x1024 kg)
Risposta: v=7,6 km/s
