Università di Padova

Università di Padova
Dipartimento di Tecnica e Gestione dei
sistemi industriali
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile
Elaborato di analisi statistica
a.a. 2005-2006
Prof.
L. Salmaso
Dott.
L. Corain
INDICE
1) STATISTICA A 1 CAMPIONE.......................................................................................................
1.1)Statistica descrittiva ad un campione: tabella ed istogramma di frequenza, indici di sintesi ......
1.2)Statistica inferenziale ad un campione sulla media: intervallo di confidenza, verifica di ipotesi
............................................................................................................................................................
1.3) Statistica inferenziale ad un campione sulla proporzione: intervallo di confidenza, verifica di
ipotesi .................................................................................................................................................
2) STATISTICA A 2 CAMPIONI ........................................................................................................
2.1) Statistica descrittiva a due campioni: tabella e poligoni di frequenza, confronto principali
indici di sintesi ...................................................................................................................................
2.2) Statistica inferenziale a due campioni sulle medie: verifica di ipotesi sulle varianze, verifica
di ipotesi sulla differenza delle medie................................................................................................
2.3) Statistica inferenziale a due campioni sulle proporzioni: test Z, test Chi-quadro ......................
3) STATISTICA A C CAMPIONI .......................................................................................................
3.1) Anova 1 via .................................................................................................................................
3.2) Regressione lineare multipla.......................................................................................................
1) STATISTICA A 1 CAMPIONE
1.1) Statistica descrittiva
Il primo passo dell’esercitazione consiste nell’estrazione dei dati dal dataset. Il campione a cui
facciamo riferimento per la nostra analisi è quello dei valori dei provini portati a rottura in prove
interne per barre di acciaio di diametro 16mm. Con gli strumenti della statistica descrittiva andiamo
a rappresentare il campione:
Interne rottura diam 16
613
612
617
622
603
613
615
609
623
621
587
592
617
604
573
583
595
619
616
591
Descriptive Statistics: Interne rottura diam 16
Variable
Interne
N
20
Mean
606,25
Median
612,50
TrMean
607,17
Variable
Interne
Minimum
573,00
Maximum
623,00
Q1
592,75
Q3
617,00
StDev
14,58
Tabella di frequenza
Snervamento
Intervallo
572,5-575,5
575,5-582,5
582,5-587,5
587,5-592,5
592,5-597,5
597,5-602,5
602,5-607,5
607,5-612,5
612,5-617,5
frequenza
assoluta
1
0
2
2
1
0
2
2
6
%
5
0
10
10
5
0
10
10
30
SE Mean
3,26
617,5-622,5
622,5-627,5
totale complessivo
3
1
20
15
5
100
Descriptive Statistics
Variable: C1
C2: 16
Anderson-Darling Normality Test
A-Squared:
P-Value:
575
585
595
605
615
625
95% Confidence Interval for Mu
0,808
0,030
Mean
StDev
Variance
Skewness
Kurtosis
N
606,250
14,578
212,513
-8,6E-01
-3,0E-01
20
Minimum
1st Quartile
Median
3rd Quartile
Maximum
573,000
592,750
612,500
617,000
623,000
95% Confidence Interval for Mu
599,427
595
605
615
613,073
95% Confidence Interval for Sigma
11,086
21,292
95% Confidence Interval for Median
95% Confidence Interval for Median
596,882
616,765
Dai grafici ottenuti possiamo ricavare numerose informazioni sul campione. Esso presenta
asimmetria negativa, cioè abbiamo che la media risulta essere minore della mediana. Ciò si può
rilevare dall’indice di Skewness e dalla forma della curva.
Il test di normalità Anderson-Darling ci dice che, assumendo un indice di significatività pari ad
alpha=0.05 la distribuzione non può essere assunta normale, grazie al confronto col p-value.
Tra i grafici troviamo anche il Boxplot, con cui possiamo avere un’idea immediata di quali sono il
valore centrale e la varianza del nostro campione. Nella “scatola” è contenuto il 50% dei nostri dati
e la linea all’interno indica il valore della mediana; i due valori estremali del contenitore sono detti
primo e terzo interquartile.
1.2)
Statistica inferenziale ad un campione sulla media: intervallo di confidenza, verifica di
ipotesi rispetto al valore assegnato (colonna "1 sample test mean", alternativa a due code)
One-Sample T: Interne rottura diam 16
Test of mu = 610 vs mu not = 610
Variable
Interne rott
N
20
Mean
606,25
StDev
14,58
SE Mean
3,26
Variable
Interne rott
(
95,0% CI
599,43; 613,07)
T
-1,15
P
0,264
Histogram of C9
(with Ho and 95% t-confidence interval for the mean)
8
Frequency
6
4
2
0
[
570
580
590
600
_
X
Ho
610
]
620
C9
Abbiamo svolto una verifica di ipotesi sulla media del campione. Non è stato possibile rifiutare
l’ipotesi nulla perché il valore del p-value è 0,264>0,05, quindi si può fare inferenza sul parametro
media della popolazione dicendo che esso assume il valore 610 (assumendo la significatività
considerata). E’ stato condotto un test-t perché la varianza della popolazione è incognita.
Statistica test T0 =
X − μ0
S n
S è la varianza campionaria, quindi una stima di quella reale incognita. Essa sarà tanto migliore
quanto più grande è la numerosità campionaria (per n>30 molto buona) e si avvicinerà pertanto al
test Z; rispetto alla distribuzione normale la T-student ha le code più importanti.
Minitab ha costruito l’intervallo di confidenza e mostra graficamente che il valore dell’ipotesi nulla
cade dentro di esso.
1.3) Costruire una tabella che calcoli la proporzione di campioni "non di qualità" in base alla
soglia assegnata (colonna "no quality threshold")
Interne rottura diam 16
Test qualità(>600)
613
612
617
622
603
613
615
609
623
621
587
592
617
604
573
583
595
619
616
591
conforme
conforme
conforme
conforme
conforme
conforme
conforme
conforme
conforme
conforme
non conforme
non conforme
conforme
conforme
non conforme
non conforme
non conforme
conforme
conforme
non conforme
6
TOTALE non conformi
In questa tabella sono riassunti i valori del campione messi a confronto con la quantità di soglia, che
per la nostra esercitazione è pari a 600; solo i valori di rottura maggiori di questa quantità sono
conformi.
1.4) Statistica inferenziale ad un campione sulla proporzione: intervallo di confidenza, verifica
di ipotesi rispetto al valore assegnato
Test and CI for One Proportion
Test of p = 0,3 vs p > 0,3
Sample
1
X
6
N
20
Sample p
0,300000
95,0% Lower Bound
0,139554
Exact
P-Value
0,584
Abbiamo studiato la proporzione di barre non conformi, andando a costruire l’intervallo di
confidenza, e quindi svolgendo la verifica di ipotesi
H 0 : p=0.3 e H 1 : p>0.3. Usiamo come
statistica test
Z0 =
X − np 0
np0 (1 − p0 )
sulla popolazione binomiale conforme/non conforme.
Il test è a una coda, infatti l’ipotesi alternativa ammette solo un confronto unilaterale (>). Il p-value
ci dice che l’ipotesi nulla non può essere rifiutata perché esso risulta essere >0,05, pertanto la
probabilità di trovare barre non conformi si può assumere non maggiore del 30%.
2) STATISTICA A 2 CAMPIONI
2.1) La seconda parte dell’esperienza consiste nell’estrarre dal dataset i dati relativi alla rottura in
prove interne per il diametro di barra 10 mm e nel confronto col campione precedente.
Interne rottura diam 10
Interne rottura diam 16
590
605
609
631
623
601
610
589
598
598
591
612
613
617
604
604
598
601
595
592
613
612
617
622
603
613
615
609
623
621
587
592
617
604
573
583
595
619
616
591
Andando ad analizzare con la statistica descrittiva il secondo campione:
Descriptive Statistics
Variable: Diametro 10
Anderson-Darling Normality Test
A-Squared:
P-Value:
590
600
610
620
630
Mean
StDev
Variance
Skewness
Kurtosis
N
Minimum
1st Quartile
Median
3rd Quartile
Maximum
95% Conf idence Interv al f or Mu
0,315
0,517
604,050
11,255
126,682
0,758186
0,278499
20
589,000
595,750
602,500
611,500
631,000
95% Conf idence Interv al f or Mu
598,782
600
605
610
609,318
95% Conf idence Interv al f or Sigma
8,560
16,439
95% Conf idence Interv al f or Median
95% Conf idence Interv al f or Median
598,000
609,765
Possiamo fare un confronto col precedente:
• Per questo campione si può assumere una distribuzione approssimatamente normale, infatti
il test di normalità Anderson Darling ci fornisce un p-value di 0,517 e quindi non è possibile
rifiutare l’ipotesi nulla;
• A differenza del primo, questo campione presenta asimmetria positiva, ossia il valore della
media è maggiore di quello della mediana;
• Il secondo campione presenta un range interquartile meno esteso rispetto al precedente, ciò
significa che i valori si concentrano più vicini alla mediana;
• Anche la varianza è molto maggiore (126 contro 212) testimoniando ancora la maggior
vicinanza dei dati al valor medio;
• I due indici di Skewness dei campioni differiscono di segno, infatti il primo presenta
asimmetria negativa, il secondo positiva.
2.2)Statistica descrittiva a due campioni: tabella e poligoni di frequenza, confronto principali
indici di sintesi
Usiamo gli strumenti della statistica descrittiva per confrontare le caratteristiche delle distribuzioni
dei due campioni. Possiamo notare come la loro media sia piuttosto simile, ma il valore delle
mediane è piuttosto lontano; ciò accade a causa della forte asimmetria del campione avente 16 come
diametro. Dai boxplots si può notare come il nuovo campione sia distribuito simmetricamente, a
differenza dell’altro.
Descriptive Statistics: 10 vs 16
Variable
C1
C2
10
16
N
20
20
Mean
604,05
606,25
Median
602,50
612,50
TrMean
603,39
607,17
StDev
11,26
14,58
Variable
C1
C2
10
16
SE Mean
2,52
3,26
Minimum
589,00
573,00
Maximum
631,00
623,00
Q1
595,75
592,75
Q3
611,50
617,00
Boxplots di Rottura per Diametro
630
Rottura
620
610
600
590
580
16
10
570
Diametro
Dotplots di rottura per diametro
630
610
600
590
580
16
570
10
Rottura
620
Diametro
2.3) Statistica inferenziale a due campioni sulle medie: verifica di ipotesi sulle varianze,
verifica di ipotesi sulla differenza delle medie
Vogliamo confrontare le due popolazioni, e in particolare le medie. Prima di tutto, visto che le
varianze delle popolazioni non sono conosciute, andiamo a svolgere un test per verificare l’ipotesi
di uguaglianza. Questo viene effettuato dal programma con il Levene’s test e la statistica test f a una
coda. L’ipotesi nulla e quella alternativa sono:
H 0 : σ 12 = σ 22
H 1 : σ 12 ≠ σ 22
Test for Equal Variances for -rottura95% Confidence Intervals for Sigmas
Factor Levels
10
16
8
13
18
23
F-Test
Levene's Test
Test Statistic: 0,596
Test Statistic: 0,811
P-Value
P-Value
: 0,268
: 0,373
Boxplots of Raw Data
10
16
570
580
590
600
610
620
630
-rottura-
Abbiamo quindi verificato l’uguaglianza delle varianze, infatti il valore del p-value supera quello
della soglia di significatività.
Pertanto andiamo ad effettuare un test sulle medie, tenendo conto del risultato appena ottenuto.
Ipotesi nulla e alternativa sono rispettivamente:
H 0 : μ1 = μ 2
H 1 : μ1 ≠ μ 2
La statistica test che useremo è :
T=
X 1 − X 2 − ( μ1 − μ 2 )
Sp
1
1
+
n1 n 2
Dove Sp è lo stimatore pooled della varianza, calcolato proporzionalmente alle varianze e alle
numerosità campionarie.
Two-Sample T-Test and CI: -rottura-; -diametroTwo-sample T for -rottura-diametr
10
16
N
20
20
Mean
604,1
606,3
StDev
11,3
14,6
SE Mean
2,5
3,3
Difference = mu (10) - mu (16)
Estimate for difference: -2,20
95% CI for difference: (-10,54; 6,14)
T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = -0,53
Both use Pooled StDev = 13,0
P-Value = 0,596
DF = 38
Boxplots of -rottura by -diametr
(means are indicated by solid circles)
630
620
-rottura-
610
600
590
580
570
10
16
-diametro-
Il p-value 0,596>0,05 ci dice che bisogna accettare l’ipotesi nulla; si può pertanto assumere
uguaglianza delle medie per le due popolazioni.
μ1 = μ 2
μ1 = media pop. φ16
μ 2 = media pop. φ10
Anche graficamente si può vedere la vicinanza delle medie (dal grafico dei boxplot).
2.4) Statistica inferenziale a due campioni sulle proporzioni: test Z, test Chi-quadro
3) STATISTICA A CAMPIONI
Vogliamo studiare la tensione di rottura avendo a disposizione 5 campioni di provini di barre di
acciaio aventi diverso diametro. Abbiamo pertanto un fattore (il diametro) con cinque diversi livelli
di trattamento.
Costruire una tabella di riepilogo con media e dev. std. della variabile di interesse, rispetto a
tutti i gruppi
Diam 10 Diam 12 Diam 14 Diam 16 Diam 18
590
580
617
613
621
605
581
623
612
620
609
598
589
617
615
631
597
627
622
620
623
586
593
603
633
601
574
605
613
622
610
580
571
615
621
589
584
601
609
623
598
614
600
623
607
598
580
576
621
634
591
595
614
587
631
612
606
616
592
629
613
613
607
617
640
617
623
625
604
626
604
593
606
573
602
604
606
623
583
618
598
591
606
595
619
601
597
593
619
614
595
634
598
616
605
592
631
599
591
621
604,05
598,15
604,45
606,25
621,05
Media
Deviazione standard 11,25529 17,59269 15,46635 14,57783 9,681643
Dotplots of Rottura by Diametro
640
630
Rottura
620
610
600
590
580
18
16
14
12
Diametro
10
570
Boxplots of Rottura by Diametro
640
630
Rottura
620
610
600
590
580
18
16
14
12
Diametro
10
570
Dai grafici riportati si possono valutare a colpo d’occhio la tendenza centrale, la dispersione e
l’allontanamento dalla simmetria dei valori dei nostri cinque campioni.
3.1) ANOVA UNA VIA
L’analisi della varianza (anova) si utilizza per confrontare le medie quando vi sono più livelli di un
singolo fattore.
Nel nostro caso abbiamo valori di tensioni di rottura ottenute per cinque diversi diametri delle barre
di acciaio; il nostro fattore di interesse è pertanto il diametro e siamo in presenza di cinque
trattamenti.
Se vi fossero solo due metodi di trattamento, l’esperimento potrebbe essere analizzato usando il test
t a due campioni, come abbiamo fatto in precedenza.
I risultati ottenuti nella tabella precedente possono essere descritti per mezzo del seguente modello
statistico lineare
y ij = μ + τ i + ε ij
µ=
media generale della variabile risposta
τ i = effetto sulla media dell’i-esimo livello del fattore (i=1,2,3,4,5)
ε ij =
errore casuale
Gli effetti dei trattamenti sono definiti come scarti dalla media generale µ, pertanto vale la seguente
uguaglianza:
a
∑τ
i =1
i
=0
Lo scopo di questo test è di verificare l’uguaglianza tra le medie μ i e questo equivale ad una
verifica di ipotesi per l’ipotesi nulla: Ho : τ 1 = τ 2 = ... = τ a = 0
L’ipotesi alternativa viceversa risulta essere che almeno uno dei τ i sia non nullo e quindi la
variazione dei livelli del fattore non influenza la risposta media.
L’analisi della varianza suddivide la variabilità dei dati in due parti: una considera la distanza della
media per un trattamento dalla media generale, e l’altra invece la differenza dei dati dalla media del
proprio specifico trattamento, e quindi dovuta all’errore casuale.
SS T = SS Trattamenti + SS E
Dividendo per i gradi di libertà definiamo le seguenti quantità:
MS Trattamenti = SS Trattamenti /(a − 1) media quadratica
MS E = SS E /[ a (n − 1)]
errore quadratico medio
Che ci servono per la verifica di ipotesi per cui useremo la statistica test F:
MS Trattamenti
MS E
e potremo rifiutare l’ipotesi nulla se essa cade nell’intervallo fo > f α ,a −1,a ( n −1) ossia i livelli dei
Fo =
fattori influenzano la variabile risposta.
Col software Minitab abbiamo ottenuto questi risultati:
One-way ANOVA: Rottura versus Diametro
Analysis of Variance for Rottura
Source
DF
SS
MS
Diametro
4
5825
1456
Error
95
18651
196
Total
99
24477
Level
10
12
14
16
18
N
20
20
20
20
20
Mean
604,05
598,15
604,45
606,25
621,05
Pooled StDev =
StDev
11,26
17,59
15,47
14,58
9,68
14,01
F
7,42
P
0,000
Individual 95% CIs For Mean
Based on Pooled StDev
---------+---------+---------+------(-----*-----)
(-----*-----)
(-----*------)
(-----*-----)
(-----*-----)
---------+---------+---------+------600
610
620
Fisher's pairwise comparisons
Family error rate = 0,281
Individual error rate = 0,0500
Critical value = 1,985
Intervals for (column level mean) - (row level mean)
10
12
14
12
-2,90
14,70
14
-9,20
8,40
-15,10
2,50
16
-11,00
6,60
-16,90
0,70
-10,60
7,00
18
-25,80
-8,20
-31,70
-14,10
-25,40
-7,80
16
-23,60
-6,00
Dalla nostra analisi risulta pertanto che i diversi trattamenti influenzano la media; il p-value viene
infatti segnato come 0.
Uno strumento che ci da Minitab per la comparazione diretta tra due campioni è la Fisher pairwise
comparisons: nella matrice che si crea se l’intervallo derivante dal confronto tra un campione e
l’altro comprende lo 0, allora non posso rifiutare l’ipotesi nulla e pertanto le medie sono uguali.
Nel nostro caso si può vedere come il campione avente diametro 18 si discosti da tutti gli altri.
Ora andiamo a verificare l’adeguatezza del modello con i grafici:
Histogram of the Residuals
(response is Rottura)
Frequency
20
10
0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Residual
Residuals Versus the Fitted Values
(response is Rottura)
40
30
Residual
20
10
0
-10
-20
-30
-40
600
610
620
Fitted Value
Residuals Versus the Order of the Data
(response is Rottura)
40
30
Residual
20
10
0
-10
-20
-30
-40
10
20
30
40
50
60
Observation Order
70
80
90
100
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is Rottura)
3
Normal Score
2
1
0
-1
-2
-3
-40
-30
-20
-10
0
Residual
3.2) REGRESSIONE LINEARE MULTIPLA
SiO2
CaO
TiO2
Al2O3
K2O
57,86
4,44
1,01
21,11
2,1
53,98
3,14
0,89
24,67
3,91
62,83
1,99
0,88
17,94
2,38
52,6
1,32
0,95
26,14
3,44
55,35
0,89
0,93
25,53
4,03
57,87
0,51
0,95
23,41
3,29
52,85
1,04
1
26,53
3,58
54,19
0,92
0,96
26,6
4,06
53,98
1,05
0,97
26,81
4,12
52,9
1,39
0,99
27,54
4,02
55,56
1,02
0,94
25,77
4,16
51,59
1,22
1,06
29,31
3,39
53,55
1,06
0,96
26,88
4,09
52,58
3,27
0,84
23,44
3,88
57,92
6,75
0,96
18,24
2,03
55,99
0,99
0,97
25,71
4,06
60,48
1,19
0,94
22,38
3,32
59,68
1,16
1
21,87
3,36
56,78
1,14
1,02
24,97
3,56
57,5
0,98
0,91
23,88
3,92
53,6
0,86
0,94
25,53
4,09
54,53
1,67
0,89
25,13
4,06
56,83
2,3
0,95
23,63
3,68
56,94
1,03
0,98
25,52
3,9
47,84
6,54
0,72
20,44
3,6
60,26
1,06
0,93
21,72
3,09
59,03
4,88
0,97
18,52
1,99
61,7
4,38
0,91
18,33
2,07
60,39
0,57
0,91
21,84
3,15
57,79
4,85
1
20,79
1,94
62,49
2,25
0,84
17,17
2,27
60,18
1,7
0,8
20,91
3,74
57,3
5,44
1,04
20,97
2,11
10
20
30
40
52,27
1,94
0,97
26,94
3,92
La regressione lineare multipla consiste nel trovare una relazione lineare tra una variabile risposta
dipendente e delle variabili indipendenti, dette regressori; formalizzando:
Y = β 0 + β 1 x1 + ... + β n x n +εi
Y variabile risposta
β 0 valore dell’intercetta
β k coefficiente di regressione,
ε i termine di errore casuale
La nostra esercitazione consiste nello svolgere una regressione lineare multipla sui componenti di
un tipo di ceramica. Bisogna selezionare le variabili significative e costruire il modello.
Regression Analysis: SiO2 versus CaO; TiO2; Al2O3; K2O
The regression equation is
SiO2 = 72,5 - 1,40 CaO + 22,9 TiO2 - 1,58 Al2O3 + 0,701 K2O
Predictor
Constant
CaO
TiO2
Al2O3
K2O
Coef
72,475
-1,4012
22,892
-1,5753
0,7011
S = 1,102
SE Coef
4,300
0,1556
5,414
0,1856
0,7953
R-Sq = 91,3%
T
16,86
-9,00
4,23
-8,49
0,88
P
0,000
0,000
0,000
0,000
0,385
R-Sq(adj) = 90,0%
Analysis of Variance
Source
Regression
Residual Error
Total
DF
4
29
33
SS
367,309
35,198
402,508
MS
91,827
1,214
F
75,66
P
0,000
Il primo modello costruito presenta tutte quattro le variabili; dal test-t risulta che una di queste non è
significativa, e pertanto la scartiamo e costruiamo un nuovo modello con tre variabili.
Regression Analysis: SiO2 versus CaO; TiO2; Al2O3
The regression equation is
SiO2 = 75,2 - 1,46 CaO + 19,0 TiO2 - 1,43 Al2O3
Predictor
Constant
CaO
TiO2
Al2O3
Coef
75,246
-1,4650
18,950
-1,42861
SE Coef
2,923
0,1373
3,042
0,08193
T
25,74
-10,67
6,23
-17,44
P
0,000
0,000
0,000
0,000
S = 1,098
R-Sq = 91,0%
R-Sq(adj) = 90,1%
Analysis of Variance
Source
Regression
Residual Error
Total
DF
3
30
33
SS
366,37
36,14
402,51
MS
122,12
1,20
F
101,37
P
0,000
La verifica mi dice che tutte le tre variabili sono significative, quindi posso fermare la procedura ed
ho ottenuto il modello lineare che volevo. Minitab da la possibilità di selezionare automaticamente
le variabili significative; basta impostare il programma sul metodo stepwise e lui produce un
risultato uguale a quello da noi ottenuto.
Stepwise Regression: SiO2 versus CaO; TiO2; Al2O3; K2O
Backward elimination.
Response is
SiO2
Alpha-to-Remove: 0,05
on
4 predictors, with N =
Step
Constant
1
72,48
2
75,25
CaO
T-Value
P-Value
-1,40
-9,00
0,000
-1,46
-10,67
0,000
TiO2
T-Value
P-Value
22,9
4,23
0,000
19,0
6,23
0,000
Al2O3
T-Value
P-Value
-1,575
-8,49
0,000
-1,429
-17,44
0,000
K2O
T-Value
P-Value
0,70
0,88
0,385
S
R-Sq
R-Sq(adj)
C-p
1,10
91,26
90,05
5,0
34
1,10
91,02
90,12
3,8
Ora per verificare il modello andiamo ad osservare i grafici dei residui:
Histogram of the Residuals
(response is SiO2)
8
7
Frequency
6
5
4
3
2
1
0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
-0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Residual
I residui si distribuiscono approssimativamente in maniera normale. Nel grafico dei quantili
per i residui possiamo notare un andamento lineare.
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is SiO2)
Normal Score
2
1
0
-1
-2
-2
-1
0
1
2
Residual
Gli altri grafici ci mostrano che sono verificate l’omoschedasticità e l’indipendenza dei
valori dei residui.
Residuals Versus the Fitted Values
(response is SiO2)
2
Residual
1
0
-1
-2
50
52
54
56
58
Fitted Value
60
62
64
Residuals Versus the Order of the Data
(response is SiO2)
2
Residual
1
0
-1
-2
5
10
15
20
Observation Order
25
30