Esercizi sulle derivazioni
in logica proposizionale modale
Sandro Zucchi
2009-10
Alcuni esempi
Prima di introdurre gli esercizi, facciamo qualche esempio di derivazione nei sistemi che abbiamo definito.
Derivazioni in T(NAT)
Iniziamo mostrando che
`T (N AT ) 2p ⊃ p
La derivazione è immediata, data la regola di eliminazione di 2 in T(NAT):
1.
Prova: 2p ⊃ p
2.
2p
3.
p
⊃I
Ass
2E, 2
Proviamo ora a derivare qualche esempio di necessitazione di formule valide in
logica proposizionale:
`T (N AT ) 2(p ⊃ p)
`T (N AT ) 2(p∨ ∼ p)
1
1.
Prova: 2(p ⊃ p)
2I
2.
Prova: p ⊃ p
⊃I
3.
p
Ass
4.
p
R, 3
1.
Prova: 2(p∨ ∼ p)
2I
2.
Prova: p∨ ∼ p
∼E
3.
∼ (p∨ ∼ p)
Ass
4.
Prova: ∼ p
∼I
5.
p
6.
p∨ ∼ p
7.
∼ (p∨ ∼ p)
8.
Ass
∨I, 5
R,3
p∨ ∼ p
∨I, 4
Queste due ultime derivazioni mostrano come, data una tautologia (formula valida)
della logica proposizionale, possiamo provare che la sua necessitazione è valida
in T(NAT) (e dunque in S4(NAT) e S5(NAT)): dal momento che una tautologia
della logica proposizionale può essere derivata senza premesse ausiliarie e le regole
di LP(NAT) sono anche regole di T(NAT) (e di S4(NAT) e S5(NAT)), possiamo
inserire la derivazione in LP della tautologia nella scatola della derivazione per 2I
e ottenere cosı̀ una prova della sua necessitazione
Ora, vediamo un esempio di derivazione in T(NAT) per 3E:
`T (N AT ) 3p ⊃ 3(p∨ ∼ p)
2
1.
Prova: 3p ⊃ 3(p∨ ∼ p)
2.
3p
3.
Prova: 3(p∨ ∼ p))
4.
p
5.
p∨ ∼ p
⊃I
Ass
3E, 2
Ass
∨I, 4
Derivazioni in S4(NAT)
Vediamo ora un esempio di derivazione in S4(NAT):
`S4(N AT ) 2p ⊃ 22p
1.
Prova: 2p ⊃ 22p
2.
2p
3.
Prova: 22p
4.
2p
⊃I
Ass
2I
R, 2
Si noti che alla riga 4 l’applicazione della regola R per importare p2pq nella prova
per 2I è consentita in S4(NAT) (e in S5(NAT)), ma non in T(NAT). Infatti, in
T(NAT) tutti i riferimenti esterni alle prove per 2I e 3E devono essere per mezzo
della regola di 2E. Dunque, in T(NAT) alla riga 4 non è consentito importare per
reiterazione dalla riga 2 la formula p2pq.
Derivazioni in S5(NAT)
Infine, vediamo un esempio di derivazione in S5(NAT):
`S5(N AT ) 3p ⊃ 23p
1.
Prova: 3p ⊃ 23p
2.
3p
3.
Prova: 23p
4.
3p
⊃I
Ass
2I
R, 2
3
Si noti che alla riga 4 l’applicazione della regola R per importare p3pq nella prova per 2I è consentita in S5(NAT), ma non in S4(NAT) (o in T(NAT)). Infatti,
in S4(NAT) tutti i riferimenti esterni alle prove per 2I e 3E devono essere per
reiterazione di formule necessitate o per 2E (in T(NAT) solo per 2E). Dunque,
in S4(NAT) alla riga 4 non è consentito importare per reiterazione dalla riga 2 la
formula p3pq.
Primo esercizio
Prova le affermazioni seguenti (facendo attenzione ai sistemi in cui devi produrre
le derivazioni):
(1)
2(p ⊃ q) ⊃ (2p ⊃ 2q)
22p ⊃ 2p
2p ⊃ 3p
2(p ⊃ 3p)
`T (N AT ) 3p ⊃ 3p
a.
b.
c.
d.
e.
`T (N AT )
`T (N AT )
`T (N AT )
`T (N AT )
2(p ⊃ q)
f.
g.
h.
i.
j.
`S4(N AT )
`S4(N AT )
`S4(N AT )
`S4(N AT )
`S4(N AT )
k.
l.
m.
n.
`S5(N AT ) 32p ≡ 2p
`S5(N AT ) 32p ⊃ 22p
`S5(N AT ) 32p ⊃ p
3p, 2(p ⊃ 2p) `S5(N AT ) 2p
222p ≡ 2p
33p ≡ 3p
333p ≡ 3p
233p ⊃ 23p
23p ⊃ 233p
Secondo esercizio
1. Assumi che la prova seguente sia in T(NAT). La prova contiene un errore.
Dov’è l’errore? Se la prova fosse in S4(NAT) o S5(NAT) sarebbe una prova
corretta?
4
1.
∼ 3p
P
2.
q⊃p
P
3.
Prova: ∼ 3q
∼I
4.
3q
Ass
5.
Prova: 3p
6.
q
Ass
7.
q⊃p
R, 2
8.
p
9.
3E, 4
⊃E, 6, 7
∼ 3p
R, 1
2. Considera l’affermazione f dell’esercizio precedente:
f.
`S4(N AT ) 222p ≡ 2p
La derivazione che hai dato a sostegno di questa affermazione è una derivazione possibile in T(NAT)? Se non lo è, indica i passaggi della tua derivazione che non sono permessi in T(NAT).
Terzo esercizio
Questo non è un esercizio sulle derivazioni, ma fallo comunque. Nel discutere i
linguaggi LK, LT, LS4 e LS5, si è detto che
(a) ogni modello per LS5 è un modello per LS4;
(b) ogni modello per LS4 è un modello per LT;
(c) ogni modello per LT è un modello per LK.
Spiega perché le affermazioni (a)-(c) sono vere.
5
