UNIVERSITA` DEGLI STUDI DI ROMA “LA SAPIENZA” FACOLTA` DI

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA “LA SAPIENZA”
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Esame di Fisica II (modulo unico) – Ingegneria Automatica del 12.01.2006
N.1 – Una vaschetta contenente acqua scivola su un piano liscio inclinato di un angolo α rispetto
all’orizzontale. Assumendo che il liquido sia in condizioni stazionarie all’interno della vaschetta, si
determini l’inclinazione, rispetto all’orizzontale, della superficie di separazione fra aria ed acqua.
N.2 – Una mole di gas ideale monoatomico si trova inizialmente in uno stato A con volume V0 e
pressione p0 a temperatura ambiente (T0 = 300 K) ed è sottoposto alla seguente sequenza di
trasformazioni:
A → B: compressione isocora fino alla pressione 4 p0 ;
B → C: espansione isobara fino al volume 2Vo ;
C → D: espansione isoterma fino alla pressione p0 .
Si calcolino il lavoro compiuto e il calore scambiato dal gas durante la sequenza di trasformazioni.
N.3 – Per sfruttare tutte le fonti energetiche disponibili si vuole costruire una macchina termica
ciclica che assorba calore da una sorgente sotterranea di acqua calda alla temperatura di 50°C. Si
decide di raffreddare la macchina utilizzando un lago che contiene 105 m3 d’acqua a 5°C. Poiché il
lago non è in comunicazione con corsi d’acqua, la sua temperatura aumenterà progressivamente.
Trascurando altri possibili scambi termici del lago e della macchina con l’ambiente, si calcoli il
massimo lavoro che può essere prodotto e il rapporto fra tale lavoro e il calore assorbito dalla
sorgente calda.
N.4 – Discutere il fenomeno dell’interferenza.
N.5 – Dimostrare l’equazione delle lenti sottili.
N.6 – Dimostrare e discutere l’effetto Doppler.
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FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Esame di Fisica II (I modulo e modulo unico) – Ingegneria Automatica del 12.01.2006
Soluzioni
N.1 – L’acqua è in equilibrio in un sistema di riferimento non inerziale solidale con la vaschetta ed
è quindi sottoposta, oltre che al peso, anche ad una forza apparente di trascinamento. E’ immediato
convincersi che, rispetto a un osservatore inerziale solidale col piano, la vaschetta e il suo contenuto
sono in moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione g sin α. L’accelerazione di
trascinamento aT R del sistema di riferimento solidale con la vaschetta è dunque un vettore parallelo
al piano inclinato e rivolto in basso. Poiché le forze apparenti sono proporzionali alla massa, nel
sistema non inerziale l’acqua è sottoposta ad una forza specifica di volume fv data dalla
composizione del peso e della forza di trascinamento (opposta ad aT R):
f v = ρ g − ρ aTR = ρ ( g − aTR ) .
(1)
Poiché la fv è costante, è dotata di potenziale; inoltre, poiché il vettore g – aT R è ortogonale al piano
inclinato, le superfici equipotenziali (ortogonali a fv ) sono parallele al piano. La superficie di
separazione fra aria ed acqua coincide con una superficie equipotenziale ed è quindi inclinata di un
angolo α rispetto all’orizzontale.
N.2 – Procediamo innanzitutto al calcolo di volume, pressione e temperatura del gas in ciascuno
degli stati di equilibrio A, B, C, D.
Stato A: volume VA = V0 , pressione pA = p0 , temperatura TA = T0 .
Equazione di stato:
p0 V0 = n R T0 .
(1)
Stato B: volume VB = VA = V0 , pressione p B = 4 p0 , temperatura TB.
Equazione di stato:
4 p0 V0 = n R TB .
(2)
Confrontando la (2) e la (1) si ottiene:
TB = 4T0 .
(3)
Stato C: volume VC = 2 V0 , pressione pC = pB = 4 p0 , temperatura TC.
Equazione di stato:
4 p0 2V0 = n R TC .
(4)
Confrontando la (4) e la (1) si ottiene:
TC = 8 T0 .
(5)
Stato D: volume VD, pressione pD = p0 , temperatura TD = TC = 8 T0 .
Equazione di stato:
V D p0 = 8 n R T0 .
(6)
Confrontando la (6) e la (1) si ricava:
V D = 8V0 .
(7)
Il lavoro compiuto dal gas durante la sequenza di trasformazioni è la somma dei lavori compiuti
lungo le singole trasformazioni:
W = W AB + WBC + WCD .
(8)
La trasformazione A → B è una isocora, lungo la quale il gas non compie lavoro:
W AB = 0 .
(9)
La trasformazione B → C è una isobara a pressione pB = 4 p0 , lungo la quale il gas compie il lavoro
vC
WBC =
vC
∫ p d V = pB ∫
vB
d V = pB (VC − VB ) = 4 p0 V0 = 4 RT0 .
(10)
vB
La trasformazione C → D è una isoterma, per la quale il lavoro compiuto è:
WCD =
vD
∫
pdV =
vC
vD
∫
vC
v
D
nRT
dV
V
dV = n R TC ∫
= n R TC ln D = 8 R T0 ln4 .
V
V
VC
v
(11)
C
Nella (11) è stata usata l’equazione di stato dei gas ideali e si è sfruttato il fato che la trasformazione
è isoterma per portare la variabile T fuori dal segno di integrale. Tramite la (8) si calcola il lavoro
complessivo:
W = RT0 (4+ 8ln4) = 37600 J .
(12)
Il base al primo principio della termodinamica, il calore assorbito nella trasformazione si può
scrivere
Q = ∆U + W .
(13)
Per un gas ideale monoatomico la variazione di energia interna è:
3
21
∆U = n cV (TD − T A ) = n R (8 T0 − T0 ) = RT0 = 26200 J .
2
2
(14)
Inserendo la (12) e la (14) nella (13), si calcola facilmente il calore scambiato dal gas durante la
sequenza di trasformazioni:
Q = 63800 J .
(15)
N.3 – Poiché la macchina cede calore al lago, la temperatura dell’acqua aumenterà
progressivamente finché raggiungerà quella della sorgente calda e la macchina, in accordo con
l’enunciato di Kelvin, non potrà più produrre lavoro. Siccome la macchina è ciclica, al termine del
processo non avrà subito alcuna variazione di energia interna; pertanto l’applicazione del primo
principio alla macchina porta a scrivere
W = Q A − QC ,
(1)
dove QA è il calore assorbito dalla sorgente calda, QC > 0 è quello ceduto al lago e W il lavoro
complessivamente prodotto. Indichiamo con TS = 50°C + 273 = 323 K la temperatura della sorgente
calda, con TL0 = 5°C + 273 = 278 K quella iniziale del lago, con ma = 108 kg la massa d’acqua
contenuta nel lago e con ca = 4180 J/(kg K) il calore specifico dell’acqua. Il calore
complessivamente ceduto si calcola immediatamente considerando che al termine del processo la
temperatura del lago sarà pari a TS:
QC = ma ca (TS − TL 0 ) .
(2)
Per il calcolo del calore assorbito, occorre qualche ulteriore considerazione. Se, per ottenere la
massima efficienza di conversione di calore in lavoro, si utilizza una macchina reversibile, la
variazione di entropia dell’universo termodinamico costituito dalla macchina, dalla sorgente e dal
lago, deve essere nulla. Ciò chiaramente è vero solo se si ipotizza che durante tutto il periodo di
funzionamento della macchina non avvengano scambi di calore fra il lago e l’ambiente o
evaporazione dell’acqua del lago: tali ipotesi non sono realistiche, ma non influenzano
significativamente il calcolo che stiamo eseguendo. Considerato che la variazione di entropia della
macchina (ciclica) è nulla, quella complessiva può essere scritta come:
∆S = ∆SS + ∆SL = −
QA
T
+ ma ca ln S = 0 ,
TS
TL0
(3)
dove ∆S S e ∆SL sono le variazioni antropiche della sorgente calda e del lago. Dalla (3) si ricava il
calore assorbito:
QA = TS ma ca ln
TS
.
TL 0
(4)
Con la (1), la (2) e la (4) e con i dati numerici si calcola il lavoro complessivamente prodotto:

T

W = ma ca  TS ln S − TS + TL 0  = 1.4 ⋅ 1012 J .
TL 0


(5)
Infine, l’efficienza dell’intero processo, cioè il rapporto fra tutto il lavoro prodotto e il calore
assorbito si ottiene dal rapporto fra la (5) e la (4):
W
=
QA
TS ln
TS
− TS + TL 0
TL 0
= 0.071 .
TS
TS ln
TL 0
(6)
La bassa efficienza del processo è dovuta alla modesta differenza fra le temperature del lago e della
sorgente calda. Se si dovesse realizzare una tale macchina si otterrebbe in pratica un’efficienza
decisamente inferiore, sia per l’irreversibilità del processo reale, sia perché è estremamente difficile
realizzare macchine in grado di sfruttare efficacemente salti così modesti di temperatura.
L’eventuale raffreddamento del lago conseguente agli scambi termici con l’atmosfera potrebbe
aumentare l’efficie nza, ma probabilmente non in maniera significativa per una pratica applicazione.