Lavoro ed Energia
Notiamo bene che il lavoro non coincide con la fatica:
trasportando una valigia pesante si fa fatica ma non si
compie lavoro, perché la forza che sostiene la valigia
è verticale e lo spostamento è orizzontale. D’altra parte tale trasporto potrebbe essere svolto senza alcuna
fatica e senza (quasi) consumo di energia, semplicemente ponendo la valigia su un carrello senza attrito
e muovendolo con una forza minima.
Lavoro
Per sollevare di 1 m un peso di 1 N serve necessariamente una forza di 1 N ? No! Se vogliamo impiegare una forza minore possiamo usare una leva con
un braccio doppio dell’altro: ci basterà una forza da
0.5 N , ma dovremo spingere giù la leva per 2 m.
Anche considerando altre macchine semplici (oltre la leva, il piano inclinato, il torchio idraulico, l’argano...),
otterremmo sempre la stessa regola: possiamo dimezzare la forza da impiegare a patto di raddoppiare lo
spostamento da eseguire, oppure possiamo raddoppiare la forza e dimezzare lo spostamento... insomma:
sollevare 1 N di 1 m costa quanto sollevare 0.5 N di
2 m oppure 2 N di 0.5 m etc. Si nota che resta costante
il prodotto tra forza e spostamento.
Dunque: quando una forza F~ agisce su un corpo che
compie uno spostamento ~s chiamiamo lavoro L il prodotto L = F s tra la forza e lo spostamento. NB: questa
definizione però vale solo quando F~ e ~s hanno la stessa direzione e lo stesso verso, come abbiamo sottinteso in
tutte le considerazioni precedenti. (Caso 1)
Energia cinetica
Ora vedremo che un corpo in movimento contiene
una precisa quantità di lavoro, che dipende dalla sua
massa e dalla sua velocità. Tale quantità di lavoro si
chiama energia cinetica (Ec )
Innanzitutto calcoliamo quanto lavoro è necessario
per accelerare un corpo di massa m, inizialmente fermo, fino alla velocità v. Questo lavoro ci darà il valore
di Ec . Per ottenere un’accelerazione a dobbiamo impiegare una forza costante F = ma. Se l’accelerazione
dura un tempo t, il corpo giunge a velocità v = at e
percorre nel frattempo uno spazio s = 12 at2 . Il lavoro
compiuto è L = F ·s = ma· 12 at2 = 12 ma2 t2 = 21 m(at)2 ;
dunque
Consideriamo ora una forza che agisce in senso frenante, cioè con verso opposto allo spostamento del corpo. È naturale attribuire al lavoro un valore negativo:
L = −F s. (Caso 2)
Ec =
1
mv 2
2
Si noti che il lavoro speso non dipende da come il corpo
è stato accelerato (con quale forza, in quanto tempo,
in quanto spazio), ma solo dalla massa e dalla velocità finale. Con un calcolo simile potremmo mostrare
che il corpo può ora compiere un lavoro (per esempio
urtando un altro corpo) esattamente pari a Ec .
E quando la forza ha direzione perpendicolare allo spostamento?. Sembra sensato in questo caso porre L = 0.
Ad esempio si può considerare che in questo caso invertendo la forza essa resta perpendicolare allo spostamento: quindi invertendo il valore del lavoro esso
non dovrebbe cambiare, com’è appunto per L = 0.
(Caso 3)
Dunque l’energia cinetica è lavoro immagazzinato
nella velocità del corpo, e che può essere recuperato
fermandolo.
Ora siamo pronti ad affrontare il caso generale, in cui
la forza agisce con un angolo α qualunque rispetto allo spostamento (per esempio la forza peso che agisce
su un corpo che cade obliquamente). In questo caso
possiamo scomporre la forza F in due parti: F⊥ perpendicolare a s e F// parallela a s; il lavoro totale sarà
la somma dei lavori compiuti dalle due componenti.
Ma F⊥ ricade nel caso 3, quindi non compie lavoro;
resta F// , che ricade nel caso 1 o 2, a seconda del verso: quindi L = ± F⊥ s. Con un po’ di trigonometria si
ottiene
Più in generale, vale il notevole teorema dell’energia
cinetica:
La variazione di energia cinetica ∆Ec di un corpo
è pari al lavoro totale Ltot
di tutte le forze che agiscono su di esso:
∆Ec = Ltot
Energia gravitazionale
Un altro effetto di una forza, anziché accelerare un
corpo, può essere di sollevarlo: vedremo che è possibile immagazzinare lavoro nell’altezza di un corpo, e
chiameremo tale lavoro energia gravitazionale (Eg ).
L = F s · cos α
che è la formula generale per il lavoro compiuto da
una forza. Notiamo che i casi 1, 2, 3 rientrano in
questa formula, per α = 0◦ , 180◦ , 90◦ rispettivamente.
La formula ottenuta vale purché la forza F~ resti costante durante tutto il movimento considerato; se invece fosse variabile, bisognerebbe suddividere il movimento in piccoli passi, su ciascuno dei quali la forza
possa essere considerata costante, e poi sommare tutti
i lavori così ottenuti.
Calcoliamo dunque quanto lavoro serve per sollevare un corpo di massa m fino a un’altezza h: in questo caso serve una forza F pari al peso mg del corpo, mentre lo spostamento s è esattamente h; quindi:
L = F · s = mgh. In definitiva:
Eg = mgh
1
Per semplicità abbiamo immaginato di sollevare il
corpo in linea retta verticale, ma avremmo ottenuto
lo stesso risultato anche supponendo ad esempio di
muoverlo lungo una serie di piani inclinati. Il risultato precedente non varia qualunque sia il percorso scelto
per sollevare il corpo!
Notiamo che durante il sollevamento del corpo noi
compiamo un lavoro Eg , contrastando la forza peso
che compie invece un lavoro opposto, cioè −Eg . Più
in generale. vale il teorema dell’energia gravitazionale:
Forze dissipative: sono tutte le altre, il cui lavoro dipende sostanzialmente dai dettagli del percorso
seguito. Per esse non si può definire un’energia potenziale. L’esempio principale è la forza
d’attrito. Infatti, se immaginiamo di spostare un
armadio pesante trascinandolo sul pavimento, è
chiaro che conviene scegliere il percorso più breve tra la posizione iniziale e quella finale: quanto più allunghiamo il percorso tanto più lavoro
(negativo) compirà la forza d’attrito.
La variazione di energia gravitazionale ∆Eg di un
corpo è l’opposto del lavoro Lg della forza peso :
∆Eg = −Lg
Un’osservazione conclusiva molto importante: da
quale livello bisogna misurare l’altezza del corpo? Da
dove vogliamo! Possiamo scegliere un livello di riferimento come ci è più comodo. Dunque il valore di Eg
non è assoluto, ma dipende da questa scelta; invece le
variazioni di Eg sono indipendenti dal livello di riferimento. Inoltre può capitare che un corpo si trovi sotto
il livello scelto: in tal caso Eg è negativa, ma questo
fatto non ha un particolare significato.
Ora si può estendere il concetto di energia meccanica: essa è la somma dell’energia cinetica e di tutte le
energie potenziali presenti:
Em = Ec + Ep1 + Ep2 + ...
Il teorema di conservazione si estende così:
Se agiscono solo forze conservative l’energia
meccanica si conserva.
Questo è ad esempio il caso di un pendolo ideale che
oscilla in assenza di attrito: durante ogni oscillazione
l’energia cinetica si trasforma in energia gravitazionale e viceversa, ma la somma resta invariata e il moto
non termina mai.
Quando invece sono presenti anche forze dissipative, l’energia sembra andare perduta: un pendolo reale a causa dell’attrito smorza progressivamente le sue
oscillazioni fino a fermarsi. In realtà scopriremo che
in questo caso l’energia meccanica si trasforma in un
altro tipo di energia: l’energia termica.
Conservazione dell’energia meccanica –
Forze conservative
Combinando i due teoremi precedenti otteniamo il
teorema di conservazione dell’energia meccanica:
Se l’unica forza che compie lavoro su un corpo è la
forza peso, allora la somma di Ec e di Eg si conserva.
Tale somma si chiama energia meccanica (Em ).
Dunque:
Em = Ec + Ep = costante
Infatti l’ipotesi del teorema dice che Ltot = Lg , per cui
∆Ec = −∆Eg , cioè ∆Ec + ∆Eg = 0, cioè le variazioni
di Ec e di Eg si compensano, per cui ∆Em = 0.
Questo risultato vale sotto l’ipotesi molto precisa che
la forza peso sia l’unica a compiere lavoro; ciò è vero ovviamente quando non ci sono altre forze (corpo
in caduta libera), ma anche quando le altre forze non
compiono lavoro: ad esempio quando oltre alla forza peso ci sono solo forze vincolari prive di attrito (ad
esempio un carrello delle montagne russe con attrito
trascurabile).
E se invece ci sono altre forze attive, cioè che compiono lavoro?
Bisogna distinguere due categorie profondamente
differenti di forze:
Complementi
• I rapporti reciproci tra lavoro ed energia si possono riassumere in due slogan: l’energia è lavoro immagazzinato; il lavoro è trasferimento di
energia.
• L’unità di misura del lavoro e dell’energia è il
joule = J = N · m: il lavoro compiuto da una
forza di 1 N che agisce lungo uno spostamento
di 1 m.
• La potenza è la velocità a cui si compie un lavoro
o si trasforma energia: potenza = L/Deltat oppure ∆E/∆. La sua unità di misura è il watt =
W = J/s (joule al secondo).
Forze conservative: sono quelle come la forza peso,
il cui lavoro non dipende dal percorso, ma solo dagli estremi. Per esse si può definire un’energia
potenziale Ep , pari al lavoro compiuto dalla forza mentre il corpo si muove da dove si trova fino ad un punto di riferimento. Eg è un esempio particolare di energia potenziale: energia
potenziale gravitazionale.
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