Shaping dei segnali analogici
da rivelatori di particelle
(Parte 1)
• Perche’ e’ necessario lo shaping?
• Il segnale nei rivelatori
• Un po’ di teoria
• Lo shaping nella rappresentazione delle frequenze
• Esempi di vari tipi di circuiti di “shaping”
– CR e RC
– semi-gaussiano o CR-(RC)n
Perche’ e’ necessario lo shaping?
•
•
•
•
Un esempio: per raccogliere tutta la carica prodotta da un “evento ionizzante” in un
rivelatore, la risposta dei preamplificatori e’ regolata in modo da avere un tempo di
decadimento del segnale abbastanza lungo
Se ci sono molti eventi consecutivi si potranno avere sovrapposizioni dei segnali,
chiamata “pile-up”
Se l’informazione e’ portata dall’ampiezza (V(t) in (a) in questo caso), a causa dello
spostamento (random perche’ gli eventi arrivano in modo casuale) della baseline non
verra’ misurata correttamente l’ampiezza
Di qui la necessita’ di “cambiare” la forma al segnale (farlo diventare come in (b)). Si
dice “formare” il segnale, in inglese “shaping” del segnale.
Qui la durata dei segnali e’
drasticamente diminuita ma
l’ampiezza degli stessi non
viene modificata, in questo
modo l’informazione originale
viene preservata
24-Mar-06
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Il segnale nei rivelatori
+
Rp
Z
-
Rivelatore
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Elettronica
• In molti rivelatori viene raccolta
la carica (gas, silicio, …)
• Una particella ionizzante che
attraversa il rivelatore crea
coppie elettrone-ione (o
elettrone-buca)
• La carica viene raccolta sugli
elettrodi creando una corrente o
una tensione
• Obiettivo: misurare ampiezza e/o
tempo
• L’elettronica deve amplificare il
segnale e “formarlo” e rigettare il
rumore
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Il segnale nei rivelatori (2)
+
Rp
Z
-
Rivelatore
Elettronica
• Se Z e’ grande, la carica e’ raccolta
nella capacita’ (gli elettrodi del
rivelatore) e si crea ai capi degli
elettrodi una differenza di
potenziale che si mantiene fino alla
scarica del condensatore
• Se Z e’ piccola la carica fluisce
nell’impedenza Z sotto forma di
corrente in un tempo breve
• In Fisica delle particelle si usano
tipicamente circuiti a bassa
impedenza per:
– Limitare il pile-up
– Essere poco sensibili a segnali
parassiti
– Limitare l’accoppiamento tra canali
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Il segnale nei rivelatori (3)
Generatore di Tensione
Alto Z
•
•
•
Basso Z
+
-
Rp
•
Adattamento di
impedenza
Risoluzione di ampiezza
Risoluzione temporale
Eliminazione del rumore
Z0
Z
Basso Z
T
• Una bassa impedenza puo’ pilotare qualsiasi carico
• Lo shaping del segnale riduce il rumore rispetto al segnale (N/S)
• La forma del segnale e’ inoltre adattata allo stadio successivo
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Un po’ di teoria
X(t)
H
Y(t)
• In generale, dato un segnale X(t), sia H un sistema che ne
modifica le proprieta’ temporali fornendo in uscita un segnale
Y(t) (H puo’ essere un cavo, un amplificatore, …)
• Se il circuito H e’ lineare (cioe’ se Y1(t) = H(X1(t)) e Y2(t) =
H(X2(t)) allora Y1(t)+Y2(t) = H(X1(t)+X2(t)) ) allora H puo’
essere rappresentato come una funzione lineare del tempo
H(t), e conoscendo X(t) e H(t) si puo’ ottenere Y(t)
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Un po’ di teoria (2)
X(t)
•
H(t)
Y(t)
Nel dominio del tempo la relazione tra X(t), H(t) e Y(t) e’ data
da
+∞
Y (t ) = H (t ) ∗ X (t ) = ∫ H (u ) X (t − u )du
−∞
•
Questa e’ l’operazione di convoluzione e ci permette di definire
completamente Y(t) una volta note H(t) e X(t)
•
Ricavare le Y(t) usando la convoluzione e’ pero’ in generale
complicato...
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Un po’ di teoria (3)
δ(t)
•
H
H(t)
Cosa rappresenta la H(t)?
H (t ) = H (t ) ∗ δ (t )
•
Se si inietta quindi un segnale a delta di “Dirac” nel
nostro sistema lineare, H(t) e’ proprio il segnale che
si osserva in uscita
•
H(t) e’ detta la funzione di trasferimento nel
dominio del tempo del nostro sistema H
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Un po’ di teoria (4)
x(f)
h(f)
y(f)
Se ci mettiamo invece nel dominio delle frequenze e si considera
x(f) come la trasformata di Fourier di X(t)
+∞
x( f ) = ∫ X (t ) exp(−i 2πft )dt
−∞
si puo’ ottenere una semplice relazione tra le trasformate di
Fourier delle rappresentazioni temporali dei segnali e di quella
della funzione di trasferimento
y ( f ) = h( f ) ⋅ x ( f )
La rappresentazione nel campo delle frequenze, molto piu’ semplice,
puo’ essere utilizzata per predire le risposte temporali dei sistemi
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Un po’ di teoria (5)
+∞
x ( f ) ⋅ h( f ) =
+∞
−i 2πfτ
−i 2πfλ
(
)
(
)
τ
τ
λ
X
e
d
H
e
dλ
∫
∫
−∞
−∞
+∞+ ∞
=
∫
−i 2πf (τ + λ )
(
)
(
)
λ
τ
H
X
e
dτdλ
∫
−∞−∞
+∞+ ∞
imponendo t=τ+λ
=
∫
−i 2πft
(
)
(
)
τ
τ
H
t
−
H
e
dτdt
∫
−∞−∞
−i 2πft
= ∫ ∫ H (t − τ ) X (τ )dτ e
dt
−∞ −∞
+∞ + ∞
+∞
= ∫ Y (t )e−i 2πft dt
−∞
= y( f )
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come volevasi dimostrare
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Un po’ di teoria (6)
X(t)
H(t)
Y(t)
x(f)
h(f)
y(f)
C’e’ quindi una completa equivalenza tra le
rappresentazioni temporali e in frequenza
dei segnali e dei circuiti
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Shaping
• Nella rappresentazione delle frequenze, il sistema
h e’ un elemento che cambia la forma della x(f) (fa
uno “shaping” del dominio di frequenza)
δ(f)
h(f)
h(f)
f
f
• Nel caso in cui h rappresenti un filtro verra’
selezionato un particolare intervallo di frequenze
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Shaping (2)
• Anche il rumore viene filtrato dal sistema h
• Come vedremo piu’ avanti, le componenti di rumore
sono spesso rappresentate da una componente
costante nel dominio delle frequenze (rumore
“bianco”, “white noise”)
noisein(f)
f
Potenza di rumore “illimitata”
noiseout(f)
h(f)
f
Potenza di rumore limitata dal filtro
• Il filtro h(f) puo’ essere scelto in modo tale che
esso rimuova le componenti del rumore fuori dalla
banda di frequenze di interesse del segnale
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Shaping (3)
signal(f)
+
noise(f)
f0
f0
output(f)
h(f)
f
f
f0
f
Esempio di filtro
in questo caso solo il rumore viene filtrato,
migliorando il rapporto segnale/rumore del
segnale in uscita
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Shaping (4)
signal(f)
+
noise(f)
output(f)
h(f)
f
f0
f
f0
f
• In fisica delle particelle i segnali tipici dei rivelatori sono
spesso impulsi molto rapidi, simili ad una delta di “Dirac”. La
loro rappresentazione nel dominio delle frequenze compre un
ampio intervallo
• Il filtro (“shaper”) provvede a limitare la banda passante e di
conseguenza all’uscita del filtro il segnale e’ diverso da quello
in ingresso
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Shaping (5)
signal(f)
+
noise(f)
output(f)
h(f)
f
f0
f
f0
f
• La forma del segnale di uscita, diversa da quella proveniente
dal rivelatore, viene scelta in base a come il segnale verra’
utilizzato:
–
–
–
–
Misura di tempo
Misura di ampiezza
Riduzione del pile-up
Ottimizzazione del rapporto segnale-rumore
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Shaping (6)
Il filtro taglia solo il
rumore: la forma del
segnale non cambia
Il filtro taglia
all’interno della
banda passante del
segnale: variazione
di forma del
segnale
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Shaping con RC e CR
• Stiamo parlando in generale di una rete passiva di
capacita’ e resistenza capace di modificare la forma
del segnale (spesso in realta’ abbiamo a che fare con
circuiti attivi, ma in realta’ i concetti di base restano
gli stessi)
• Distingueremo nel seguito il circuito differenziatore
(o rete CR) e il circuito integratore (o rete RC)
• Entrambe queste operazioni possono essere pensate
anche come filtraggi nel dominio delle frequenze, con
lo scopo di migliorare il rapporto segnale-rumore
riducendo la trasmissione di frequenze alle quali il
segnale non contribuisce
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CR: il filtro passa-alto
•
Nel caso limite in cui τ e’ piccolo questo
circuito produce un segnale Eout
proporzionale alla derivata nel tempo di
Ein, da qui il nome di derivatore
•
Bisogna che la costante tempo RC sia
piccola rispetto alla durata dell’impulso
da differenziare
•
Se invece RC e’ grande, il segnale non
viene modificato
24-Mar-06
Q
Ein = + E out derivando :
C
dEin 1 dQ dEout
=
+
dt
C dt
dt
dEin 1
dEout Eout = iR
= i+
sia τ = RC
dt
dt
C
dEout
dEin
Eout + τ
=τ
dt
dt
dEin
Eout ≅ τ
se τ e' piccolo
dt
dEout
dEin
e cioe'
≅τ
τ
dt
dt
Eout ≅ Ein se τ e' grande
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CR: il filtro passa-alto (2)
• La figura mosta la risposta di un filtro CR ad uno scalino,
cioe’ ad un segnale molto rapido con una coda molto lunga
• Notare che la salita rapida non e’ modificata perche’ RC e’
grande rispetto al tempo di salita (anche l’ampiezza non e’
toccata nel limite di cui sopra)
• Lo shaping consiste nel “differenziare” la lunga coda
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RC: il filtro passa-basso
Ein = iR + E out abbiamo anche che :
dQ
dE
= C out combinando le due :
dt
dt
dE
Ein = τ out + Eout avendo posto τ = RC
dt
riarrangiando :
i=
•
•
Nel caso limite in cui τ e’ grande
questo circuito produce un segnale
Eout proporzionale all’integrale nel
tempo di Ein, da qui il nome di
integratore
Se invece RC e’ piccolo, il segnale
non viene modificato
24-Mar-06
dEout 1
1
+ Eout = Ein
τ
τ
dt
dEout 1
≅ Ein o identicamente
τ
dt
1
Eout ≅ ∫ Ein dt se τ e' grande
τ
1
τ
Eout =
1
τ
Ein e cioe'
Eout ≅ Ein se τ e' piccolo
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RC: il filtro passa-basso (2)
• La figura mosta la risposta di un filtro RC ad uno scalino,
cioe’ ad un segnale molto rapido con una coda molto lunga
• Notare che per piccoli tempi il sistema si comporta come un
vero integratore analitico
• Per tempi piu’ lunghi l’approssimazione di RC grande non e’ piu’
valida e l’integrazione comincia a fallire, e il segnale in uscita
tende ad avvicinarsi a quello in ingresso
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Shaping CR-RC
• L’uscita del circuito differenziatore CR non e’
particolarmente indicata qualora si voglia studiare
l’ampiezza dei segnali
– Il breve picco rende difficile l’analisi in ampiezza perche’
il picco dura per un tempo troppo breve
– La differenziazione fa passare le componenti ad alta
frequenza del rumore, riducendo il rapporto segnalerumore
• L’idea seguente e’ quella di aggiungere al CR uno
stadio integratore realizzando quello che si dice
uno shaper CR-RC
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Shaping CR-RC: risposta ad uno scalino
Eout =
Einτ 1 −t /τ1 −t /τ 2
e
−e
se τ 1 ≠ τ 2
τ1 − τ 2
(
)
t
Eout = Ein e −t /τ se τ 1 = τ 2 = τ
τ
τ i = RiCi i = 1,2
Viene aggiunto uno stadio di
amplificazione per rendere
indipendenti i due stadi di “shaping”
Risposta di un CR-RC al variare delle
costanti tempo derivatore+integratore
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Shaper CR+RC: scelta costanti tempo
•
Per ridurre il pile-up si vorrebbero avere tempi caratteristici molto brevi
•
Purtroppo quando il tempo di salita del segnale all’ingresso del CR-RC
diventa confrontabile con il tempo caratteristico del derivatore il segnale
non e’ piu’ uno scalino infinitamente ripido e si perde in ampiezza! Questo e’
il “ballistic deficit”, che si cura tenendo le costanti tempo maggiori del
tempo di raccolta delle cariche nel rivelatore
•
In realta’ vedremo nelle lezioni successive che il rapporto segnale-rumore
viene influenzato anche dalla scelta del tempo di shaping e che esiste un
valore per il quale il rapporto segnale-rumore viene massimizzato
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Shaping gaussiano o CR-(RC)n
•
Se un singolo stadio di differenziazione e’ seguito da n stadi indentici di integrazione
il segnale in uscita dallo shaper tende ad avere la forma di una gaussiana
•
Se tutti gli stadi hanno gli stessi tempi caratteristici il segnale in uscita per uno
scalino in ingresso e’ dato da
n
t
Eout = Ein e −t /τ
τ
•
In pratica sono sufficienti 4 stadi di integrazione per approssimare molto bene una
gaussiana
•
Il tempo necessario all’impulso di uscita per arrivare al massimo (il cosiddetto
“peaking time”) e’ pari a nτ
•
Per un CR-(RC)4 il peaking time e’ 4 volte maggiore rispetto ad un semplice CR-RC. Il
vantaggio pero’ e’ che a parita’ di peaking time l’impulso in uscita da uno shaper
gaussiano ritorna alla baseline piu’ velocemente, riducendo il pile-up ad alte frequenze
di conteggio
•
Lo shaping gaussiano inoltre ha ottime caratteristiche di rumore
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