Esercizio 1: Resistenza equivalente serie e parallelo ed effetto Joule

Esercizi di Fisica II: Resistenza elettrica
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Legge di Ohm: V=RI,
Legge di Joule: P=VI=V^2/R=I^2R,
Resistenza materiali R=ρL/S
Resistenza serie: somma delle resistenze R=R1+R2+…
-1
-1
-1
Resistenza parallelo: il reciproco e’ la somma dei reciproci R =R1 +R2 +…
Principio di Kirchoff delle maglie: V1+V2+…= E1 + E2 + … (E positive se stesso verso
della corrente)
Principio di Kirchoff dei nodi: I1+I2+..=0 (Correnti positive entranti nei nodi).
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Esercizio 1: Resistenza equivalente serie e parallelo ed effetto
Joule!
Determinare la resistenza equivalente di due cavi connessi in serie, uno di
rame di sezione SCu=0.5mm2 e lunghezza LCu=1km e uno di Ferro di
sezione S Fe =1mm2 e lunghezza L Fe =2km sapendo che ρ Cu =
1.77⋅10-6Ωcm e ρFe= 10-5Ωcm. Quanto sarebbe la resistenza equivalente
se i due cavi fossero messi in parallelo? Quanto sarebbero la caduta di
tensione e la potenza dissipata nei due casi se scorresse una corrente totale
di 12 A?"
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Soluzione!
I due cavi sono assimilabili a due resistenze elettriche di valore RFe=ρFeLFe/SFe=10-7Ωm 2000m /(10-6m^2)=200Ω "
RCu=ρCuLCu/SCu=1.77⋅10-8Ωm 1000m /(0.5⋅10-6m^2)=35.4Ω "
In serie le due resistenze condividono la stessa corrente e quindi si
sommano: Rserie=RFe+RCu=235.4Ω"
In parallelo le due resistenze condividono la stessa tensione e quindi l’inverso
e’ la somma degli inversi: Rparallelo-1=RFe-1+RCu-1("
cioe’ il prodotto diviso la somma: "
Rparallelo=RFeRCu/(RFe-1+RCu-1)=200*35.4/(200+35.4) Ω= 30.1Ω ."
La caduta di tensione e’ V=Requivalente * I "
serie: V=235.4Ω12A=2.825kV"
parallelo: V=30.1Ω12A=0.361kV"
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La potenza dissipata e’:"
serie: P=(12A)^2*235.4Ω=33.9kW"
parallelo: P=(12A)^2*30.1Ω=4.3kW"
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Esercizio 2: Partitore di tensione!
Una batteria con una fem (forza elettromotrice) di 16V e una resistenza
interna di R3=500Ω e’ chiusa su due resistenze disposte in serie dal valore
rispettivo R2=2kΩ e R1=1kΩ. Se la tensione della batteria e’ prelevata sulla
resistenza R1 quanto e’ il valore di partizione della tensione? Come cambia in
percentuale il valore se si collega un carico di 0.2MΩ?"
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Soluzione!
La corrente totale e’ data da I=V/R dove R e’ la resistenza equivalente del
circuito che e’ la serie delle tre resistenze R=R1+R2+R3=3.5kΩ. Quindi
I=16V/(3.5⋅103Ω)=4.57 mA."
La tensione d’uscita e’ data da V=V1=I*R1=4.57⋅10-3A1 03Ω = 4.57V"
Il rapporto di partizione della tensione e’ :
V/E=R1/(R1+R2+R3)=4.57V/16V=0,2857"
Se colleghiamo un carico di resistenza R4 la resistenza equivalente in uscita
e’ il parallelo tra R1 e R4 cioe’:"
RL=R1*R4/(R1+R4)=0.995kΩ, quindi il rapporto di partizione della tensione
diventa: RL/(RL+R2+R3)=0,2847."
La variazione percentuale e’ (0,2847-0,2857)/0,2857*100=-0.1%."
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Esercizio 3: Risoluzione dei circuiti!
Risolvere il circuito in figura con l’interruttore aperto e chiuso sapendo che
E=1kV, R1=30kΩ, R2=2.5MΩ, R3=100kΩ e R4=50kΩ. Quanto e’ la potenza
dissipata dalla batteria?"
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Soluzione!
Ad interruttore aperto il circuito e’ composto dalla serie di R1 e R2 e quindi la
resistenza totale e’ R=R1+R2=0.03MΩ+2.5MΩ=2.53MΩ e la corrente che
circola e’ I=E/R=1kV/2.53MΩ=395uA."
Ad interruttore chiuso la serie di R3 e R4, cioe’ Rs=R3+R4=150kΩ, e’ in
parallelo con R2, a dare una resistenza di Rp=R2*Rs/(R2+Rs)=141kΩ."
La resistenza totale e’ la serie tra R1 e Rp, cioe’ R=R1+Rp=171kΩ e la
corrente tonale sara’ I=V/R=1kV/171kΩ=5.85mA."
La potenza dissipata ad interruttore aperto e’ W=V*I=1kV*395uA=395mW ed
interruttore chiuso W=V*I=1kV*5.85mA=5.85W"
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Esercizio 3: Principi di Kirchoff!
Risolvere il circuito in figura con valori di tensione, resistenza e corrente dati
nella figura, determinando in particolare VAC e VBC."
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Soluzione!
La somma delle correnti entranti nel nodo N e’ nulla dal principio di Kirchoff
dei nodi, assumendo come verso positivo della corrente quello entrante nel
nodo. Quindi IA+IB+IC=0 cioe’ (-2A)+(1.2A)+IB=0 IB=0.8A ed e’ entrante."
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La caduta di tensione sulle resistenza dei rami A e C e’ facilmente valutabile
dalla legge di Ohm."
ramo A: 2A*4Ω=8V con verso opposto alla corrente"
ramo C: 1.2A*(6Ω+3Ω)=10.8V con verso opposto alla corrente"
Nel ramo B non si conosce il valore della resistenza e quindi bisogna ricavare
la caduta di tensione conoscendo VAB=-4V. "
Dal principio di Kirchoff la somma delle cadute di tensione e delle forze
elettromotrici lungo una maglia sono nulle."
Considerando la maglia contenente i punti A e B ed il verso positivo quello
orario otteniamo:"
-Forze elettromotrici E=6V+24V=30V"
-Cadute di potenziale V=-8V-VRB "
-ddp tra A e B=-4V"
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La somma totale e’ nulla: 30V-8V-VRB-(-4V)=0 cioe’ VRB=-26V"
e la resistenza del ramo B vale RB=26V/0.8A=32.5Ω.