Dispensa 4 - Elettricità e corrente File - Centro studi Pallai

CORSO DI FISICA
dispensa n.4
ELETTROSTATICA/CORRENTE ELETTRICA
Elettrostatica
L’elettrostatica é lo studio dei fenomeni elettrici in presenza di cariche a riposo. Fin
dall’antichitá sono note alcune proprietá della materia come l’attrazione per strofinio
che ora sappiamo dipendere dalla struttura atomica. Alcuni materiali come il vetro
e la berchelite se strofinati si caricano positivamente o negativamente e riescono ad
attrarre altri materiali come la carta. Le cariche positive o negative in eccesso si
posizionano sulla superficie del materiale conduttore.
2.1
Forza di Coulomb
Due o piú cariche esercitano tra loro una forza che puó essere attrativa o repulsiva che é inversamente proporzionale al quadrato della distanza e direttamente
proporzionale al prodotto delle cariche.
F=
1 q1 q2
4π ε / r2
r
dove r é la distanza tra le due cariche q1 q2 e / é la costante dielettrica. Questa
costante nel vuoto ha il valore di
ε0
= 8, 854x10− 12C 2 /N m2 . La precedente
formula é la forza di Coulomb ed é attrattiva se le cariche hanno segno opposto e
repulsiva se il segno é lo stesso.
Si noti bene che nella formula
r
rappresenta il versore (ovvero il vettore di
modulo 1) della congiungente le due cariche.
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La forza che agisce su una carica ad opera di altre cariche (fig.2.1) é uguale
alla somma vettoriale delle forze che le cariche eserciterebbero su di essa da sole
(Principio di sovrapposizione).
Figura 2.1: Principio di sovrapposizione.
2.2
Campo elettrico
Il campo Elettrico definito come
E = F/q
é un campo vettoriale, ad ogni punto viene associato un vettore. La carica q detta
anche carica di prova rappresenta l’unitá di carica. Per una carica puntiforme Q il
campo elettrico sará
E
=
1 Q
4π ε 0 r2
r
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La carica Q é detta anche sorgente del campo.
r rappresenta il versore dell'ipotetica congiungente della carica sonda con la
carica che genera il campo e nella rappresentazione del campo indica le "linee di
forza" che descrivono l'andamento direzionale del campo stesso.
Il campo elettrico si misura nel sistema S.I. in [N/C ]. Se il campo é generato da
una carica positiva le linee di forza sono uscenti, se la carica é negativa le linee di
forza sono entranti (fig.2.2).
Figura 2.2: Linee di un campo generato da
una particella puntiforme carica
positivamente.
Teorema di Gauss
Si definisce flusso di campo elettrico la quantitá
Φ( E ) = E ·S
Figura 2.3: Linee di un campo
generato da una particella puntiforme
carica negativamente.
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S é il vettore superficie, un vettore che ha per modulo la superficie alla quale si
riferisce (fig.2.4) e per direzione e verso la direzione ortogonale alla superficie.
Figura 2.4: Vettore superficie.
Calcoliamo il flusso del campo elettrico generato da una carica puntiforme su
una superficie sferica. Dividiamo la superficie sferica in tante piccole superfici ∆Si
in modo da considerarle piane e calcoliamo il flusso per ogni superficie che risulterá
Φ(Ei ) = Ei · Si perché i due vettori sono paralleli. Il flusso totale sará la somma di
tutti i flussi su tutte le superfici.
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Potenziale elettrico
L’energia potenziale é il lavoro che serve ad una forza per
spostare una carica da un punto A a un punto B.
∆U = UB − UA = LBA
l’energia potenziale é definita cosı́ a meno di una costante k.
Il potenziale elettrico é invece definito come
V (r) =
U (r)
q
e si misura in [J/C = V ].
Le cariche negative si muovono spontaneamente da un potenziale minore a uno
maggiore, viceversa le cariche positive si muovono da un potenziale maggiore a uno
minore.
Esistono poi delle superfici equipotenziale e cioé in ogni punto hanno differenza
di potenziale nulla. In queste superfici i vettori campo elettrico e potenziale sono
ortogonali.
La relazione che lega la differenza di potenziale al campo elettrico é
∆V = - E · ∆s
dove ∆s é una distanza.
Quindi
E=- ∆V / ∆s
il campo elettrico è la derivata del potenziale elettrico cambiata di segno,
analogamente come la forza peso (-mg) è la derivata cambiata di segno
dell'energia potenziale (mgh).
In modo simile a come fatto per la forza peso si puó dimistrare che la forza di
Coulomb é conservativa e anche il campo elettrico.
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2.6
Conduttori
Un materiale é conduttore se permette il passaggio di cariche e le cariche in eccesso
si dispongono lungo la superficie con una densitá pari a σ = Q/S. All’interno del
conduttore il campo elettrico é nullo e il potenziale é costante.
La densitá superficiale di carica é costante se la forma del conduttore é regolare,
nel caso di irregolaritá la densitá superficiale di carica é maggiore nei punti con
curvatura piú grande (effetto delle punte).
Di un conduttore possiamo definire la capacitá definita come
Q
C=
V
dove Q é la carica e V é la differenza di potenziale. La capacitá si misura nel sistema
S.I. in Faraday [F ] = [C/V ].
Condensatori
Un condensatore piano é costituito da due lamine conduttrici parallele, chiamate
armature e poste a piccola distanza l’una dall’altra. Se su un’armatura é posta una
carica Q allora l’altra acquisterá una carica−Q.
In maniera analoga al conduttore possiamo definire la capacitá di un condensatore
Q
C=
∆V
dove ∆V é la differenza di potenziale tra le armature.
Possiamo dire che ogni armatura del condensatore produce un campo elettrico
come una distribuzione di cariche su un piano infinito E = σ/2/. All’inetrno del
condensatore le linee di forza del campo hanno la stessa direzione quindi si sommano
e il campo risulterá E = σ//, all’esterno le linee del campo hanno direzioni opposte
e siccome l’intensitá del campo é la stessa si annulla.
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Possiamo esprimere la capacitá di un condensatore anche come
S
C =ε
d
dove d é la distanza e S la superficie delle armature.
Il condensatore é un dispositivo capace di immagazzinare energia. Nei circuiti
compaiono spesso due o piú condensatori. Questi possono essere collegati in serie, uno dietro l’altro, o in parallelo, in modo che abbiano la stessa differenza di
potenziale (fig.2.7).
Figura 2.7: Condensatori in serie.
Figura 2.8: Condensatotori in parallelo.
Condensatori in parallelo
Abbiamo detto che nel caso i condensatori siano in parallelo allora la loro differenza
di potenziale ∆V é la stessa. Dalla definizione di capacitá possiamo ricavare la
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carica presente nel primo e nel secondo condesatore.
Q1 = C1 ∆V, Q2 = C2 ∆V
sommando membro a membro otteniamo
Q1 + Q2 = (C1 + C2 )∆V
C1 + C2 é la capacitá risultante dal parellelo dei due condensatori.
Condensatori in serie
Uno o piú condensatori in serie portano sulle armature le stesse cariche, mentre il
potenziale risultante sará la somma dei potenziali dei condensatori.
Supponiamo per semplicitá di avere solo due condensatori in serie, avremo che
∆V = ∆V1 + ∆V2
dalla definizioni di capacitá segue che
Q
∆V =
C1
1
+
Q
C2
1
è l’inverso della capaciá risultante da due condensatori in parallelo.
+
C1
C2
Corrente elettrica
La corrente elettrica é una migrazione di particelle cariche dovuta a forze elettriche.
Ció che genera il movimento di cariche é il campo elettrico e quindi l’esistenza di
una differenza di potenziale.
L’intensitá di corrente é definita come la quantitá di carica che attraversa il filo
nell’unitá di tempo ∆t
∆Q
∆t
C
e si misura in Ampére [A] = [ S ]. Un Ampére sono 6 · 1018 elettroni che attraversano
in secondo una sezione di filo. Se i = cost allora la corrente si dice continua.
i=
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La corrente per convenzione é il movimento delle cariche positive che si spostano
da potenziali piú bassi a potenziali piú alti.
Generatore di corrente
Affinché ci sia movimento di cariche elettriche é necessario mantenere una certa
differenza di potenziale. Il dispositivo che mantiene questa differenza di potenziale
si chiama generatore di tensione. Nel generatore ci sono forze non elettriche che
costringono le cariche a spostarsi in posti dove spontaneamente non andrebbero. Il
simobolo del generatore é a fig.2.9.
Un generatore ideale mantiene la differenza di potenziale costante ∆V = cost.
Circuiti elettrici
Un circuito elettrico é costituito da un generatore e da componenti legati in modo
continuo. La corrente si muove nel circuito dal polo positivo al polo negativo del
generatore.
I componenti del circuito possono essere collegati in serie e in parallelo. Se
sono collegati in serie saranno attraversati dalla stessa corrente i, mentre se sono in
parallelo avranno ai loro capi la stessa differenza di potenziale ∆V .
Prima legge di Ohm
Non esiste una legge generale che mette in relazione l’intensitá di corrente con la
differenza di potenziale. In ogni conduttore queste due grandezze si legano in modo
differente. Ma se teniamo il materiale conduttore in condizioni stabili di temperatura
e pressione scopriamo che per la maggior parte dei metalli, acidi, sali e basi la curva
caretteristica che lega i e ∆V é una retta passante per l’origine(fig.2.9)
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Figura 2.9: Generatore di tensione.
Questo significa che le due grandezze sono direttamente proporzionali.
∆V
i=
R
dove R é la resistenza elettrica, esprime la difficoltá che la corrente incontra a passare
all’interno del conduttore. La resistenza elettrica si misura in Ohm [Ω] = [ VA].
L’equazione 2.20 prende il nome di prima legge di Ohm.
Anche la seconda legge di Ohm ci da informazioni sulla resistenza
l
R=ρ
A
dove l é la lunghezza e A la sezione del filo, ρ invece é la resistivitá e si misura in
[Ω · m].
Resistenze
Le resistenze o resistori elettriche sono conduttori con un un determinato valore di
R. Il suo simbolo é riportato in fig.2.10 2.11
Come tutti i componenti di un circuito anche queste possono essere poste in serie
o in parallelo. Se una o piú resistenze sono in serie allora la resistenza risultante
sará uguale alla somma di tutti i resistori
R = R1 + R2 + R3 + ...
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Figura 2.10: Resistenze in parallelo.
Figura 2.11: Resistenze in serie.
Se invece i resistori si trovano in parallelo allora la somma dei loro inversi sará uguale
all’inverso del resistore risultante
1
1
=
R
2.13
1
+
+
R1
1
R2
+ ...
R3
Leggi di Kirchhoff
Le leggi di Kirchhoff esprimono le proprietá fondamentali di qualunque circuito
ohmico, cioé che sia alimentato da un generatore di tensione ideale e che sia formato
da soli resistori.
Iniziamo con il definire un nodo e una maglia di un circuito. Con riferimento
alla fig.2.12 un nodo é un punto dove convergono due o piú conduttori. Una maglia
invece é un tratto chiuso di di circuito.
Figura 2.12: Nodi e maglie.
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La prima legge di Kirchhoff, chiamata anche legge dei nodi, dice che la somma delle
correnti entranti in un nodo é uguale alla somma delle correnti uscenti.
i1 + i2 + i3 + ... = 0
La seconda legge di Kirchhoff, chiamata legge delle maglie, afferma che la somma delle
differenze di potenziali che si trovano in una maglia é sempre uguale a zero.
∆V1 + ∆V2 + ∆V3 + ... = 0
2.14
Potenza elettrica
Il passaggio di corrente provoca riscaldamento e reazioni chimiche.
Ricordiamo che la potenza é la rapiditá con la quale si trasforma l’energia, in questo caso
é l’energia potenziale elettrica a trasformarsi.
L’energia potenziale di una carica che si sposta da un capo A a un capo B di un conduttore
é uguale al lavoro compiuto dalla forza che le permette di spostarsi
LAB = ∆Q(VA − VB )
Ricordando la definizione dell’intensitá di corrente possiamo riscrivere l’equazione precedente
come
L = i∆t(VA − VB )
Trovata l’espressione del lavoro possiamo calcolare la potenza
L
P=
∆t
= i(VA − VB )
che ricordando la prima legge di Ohm si puó riscrivere come
P = Ri
2
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