Masse e Meccanismo di Higgs

Masse e Meccanismo di Higgs
Fenomenologia delle Interazioni Forti
Diego Bettoni
Anno Accademico 2008-09
Il Meccanismo di Higgs
Si assume che l’universo sia permeato di un campo a spin zero, detto
campo di Higgs, doppietto in SU(2) e con ipercarica U(1), ma privo di
colore. I bosoni di gauge e i fermioni interagiscono con questo campo e
in seguito a questa interazione acquisiscono massa.
I numeri quantici SU(2) e U(1) dello stato di vuoto (lo stato fondamentale)
non sono nulli, quindi le simmetrie SU(2) e U(1) sono rotte (rottura
spontanea della simmetria).
In questo contesto le masse dei bosoni W± e Z0 possono essere
calcolate in termini di parametri misurati.
D. Bettoni
Fenomenologia Interazioni Forti
2
Rottura Spontanea di Simmetria
1
1
⎞
⎛1
L = T − V = ∂ μ φ∂ μ φ − ⎜ μ 2φ 2 + λφ 4 ⎟
2
4
⎠
⎝2
•
•
•
Possiamo imporre λ>0 perchè il potenziale sia limitato
inferioremente per φ → ∞.
La teoria è invariante per φ → -φ.
Per trovare lo spettro è necessario
– trovare il minimo del potenziale (stato fondamentale → vuoto)
– espandere i campi attorno al loro valore al minimo per trovare le
eccitazioni del sistema
•
•
Il termine in φ4 rappresenta un’interazione di intensità λ.
Potenze di φ più elevate di 4 rendono la teoria non rinormalizzabile.
D. Bettoni
Fenomenologia Interazioni Forti
3
Se μ2>0 il vuoto corrisponde a φ=0, che minimizza il potenziale. In tal caso
μ2 si può interpretare come la (massa)2.
Se però μ2<0 troviamo il minimo del potenziale:
(
)
∂V
= 0 ⇒ φ μ 2 + λφ 2 = 0
∂φ
Minimo energia cinetica: φ=costante.
Il valore φ=0 non va bene perchè non
corrisponde a un minimo del potenziale.
φ=±
− μ2
λ
≡v
v viene chiamato il valore di aspettazione sul vuoto di φ, mentre φ viene
chiamato campo di Higgs.
D. Bettoni
Fenomenologia Interazioni Forti
4
Studiamo la teoria nella regione del minimo per determinare lo spettro.
φ (x) = v + η (x)
Espandiamo intorno a η=0.
Sarebbe possibile anche la scelta φ ( x ) = −v + η ( x ) , ma le conclusioni fisiche
sono equivalenti a causa della simmetria per riflessione φ → -φ.
(
)
(
)
[
]
[
]
1
1
⎧1 2 2
⎫
μ
2
L = ∂ μη∂ η − ⎨ μ v + 2ηv + η + λ v 4 + 4v 3η + 6v 2η 2 + 4vη 3 + η 4 ⎬
2
4
⎩2
⎭
⎧v 2 ⎛ 2 1 2 ⎞
1
η2 2
μ
2
2
2
3 1
4⎫
= ∂ μη∂ η − ⎨ ⎜ μ + λv ⎟ + ηv μ + λv +
μ + 3λv + λvη + λη ⎬
2
2
2
4
⎠
⎩2⎝
⎭
1
1
⎧
⎫
L = ∂ μη∂ μη − ⎨λv 2η 2 + λvη 3 + λη 4 ⎬ + costante
2
4
⎩
⎭
(
(
(
)
)
mη = 2λv = −2 μ
2
D. Bettoni
)
2
2
Fenomenologia Interazioni Forti
interazioni
5
•
•
•
•
•
Le descrizioni della teoria in termini di φ o di η devono essere
equivalenti.
E’ essenziale espandere intorno al minimo per avere una soluzione
convergente.
La particella scalare descritta dalla teoria con μ2<0 è uno scalare
reale, la cui massa nasce dall’interazione con altri scalari, perchè al
minimo del potenziale c’è un valore di aspettazione non nullo v.
Non c’è più traccia della simmetria per riflessione della lagrangiana
originale. La simmetria è stata rotta quando abbiamo scelto un vuoto
specifico intorno a cui espandere (+v invece di –v): il vuoto non ha la
simmetria della lagrangiana originale, quindi nemmeno le soluzioni
ce l’hanno.
Si parla di rottura spontanea della simmetria.
D. Bettoni
Fenomenologia Interazioni Forti
6
Campo Scalare Complesso
φ=
φ1 + iφ2
2
( )
( )
L = (∂ μ φ ) ∂ φ − μ φ φ − λ φ φ
*
μ
2 *
*
φ → φ ′ = e iχ φ
(
Simmetria globale U(1)
) (
1
(∂ μφ1 )2 + 1 (∂ μφ2 )2 − 1 μ 2 φ12 + φ 22 − λ φ12 + φ 22
2
2
2
4
Per μ2>0 il minimo è nell’origine
− μ2
2
2
2
Per μ <0 il minimo si trova lungo φ1 + φ 2 =
= v2
L=
la circonferenza di raggio v.
Scegliamo φ1=v, φ2=0
2
)2
λ
v + η ( x ) + iρ ( x )
φ (x) =
2
Mexican Hat Potential
D. Bettoni
Fenomenologia Interazioni Forti
7
L=
(
)
1
(∂ μ ρ )2 + 1 (∂ μη )2 + μ 2η 2 − λv ηρ 2 + η 3 − λ η 2 ρ 2 − λ η 4 − λ ρ 4 + costante
2
2
2
4
4
m η 2 = | μ|
•
•
•
•
•
η corrisponde a un campo massivo
I termini in ρ2 si annullano, quindi ρ ha massa nulla: bosone di
Goldstone !
Teorema di Goldstone: quando si ha rottura spontanea di una
simmetria globale continua, nello spettro c’e’ un bosone di massa
nulla.
In questo caso la simmetria globale U(1) è rotta spontaneamente
perchè abbiamo dovuto scegliere un punto sulla circonferenza
intorno a cui effettuare l’espansione.
Il potenziale è minimo lungo una circonferenza: le eccitazioni radiali
corrispondono a particelle massive (curvatura del potenziale) mentre
lungo la circonferenza il potenziale è piatto.
D. Bettoni
Fenomenologia Interazioni Forti
8
Il Meccanismo di Higgs Abeliano
Richiediamo invarianza di gauge locale:
∂ μ → D μ = ∂ μ − igA μ
φ ( x ) → φ ′( x ) = e iχ ( x )φ ( x )
1
∂ μ χ (x)
g
2 1
L = (Dμ φ )* D μ φ − μ 2φ *φ − λ φ *φ − Fμν F μν
4
A μ → A′μ = A μ −
(
•
•
•
•
)
( )
Per μ2>0 descrive l’interazione di una particella scalare con un campo Aμ.
Non ci sono termini di massa per Aμ.
Questa lagrangiana contiene quattro campi indipendenti: i due scalari φ1 e
φ2 e le due polarizzazioni trasverse del campo Aμ (che ha massa nulla).
Anche in questo caso cerchiamo soluzioni per μ2<0.
φ ( x ) = η ( x )e −iρ ( x )
η,ρ e h reali, utilizzando una χ opportuna.
D. Bettoni
φ (x) =
v + h( x )
2
Fenomenologia Interazioni Forti
9
[(
)
]
1
μ
μ
L = ⎡⎛⎜ ∂ + igA ⎞⎟(v + h )⎤ ∂ μ − igA μ (v + h )
⎥⎦
⎠
2 ⎢⎣⎝
1
v2
λ
− (v + h )2 − (v + h )4 − Fμν F μν
2
4
4
1
1
= (∂ μ h ) ∂ μ h + g 2 v 2 Aμ A μ − λv 2 h 2 − λvh 3
2
2
1
1
λ
− h 4 + g 2 vhAμ A μ + g 2 h 2 Aμ A μ − Fμν F μν
4
2
4
( )
Il bosone di gauge
ha acquisito una massa !!!
•
•
•
•
•
•
M A = gv
Il bosone di Higgs con massa 2λv 2
Anche in questo caso la lagrangiana è invariante, ma non lo stato di vuoto.
I gradi di libertà sono sempre 4: il bosone di Higgs e le tre polarizzazioni del bosone
di gauge massivo.
Il bosone di Goldstone del caso precedente (simmetria U(1) globale) è diventato lo
stato di polarizzazione longitudinale del bosone di gauge.
Meccanismo di Higgs.
Il bosone di Higgs dovrebbe esistere come particella fisica.
La massa del bosone di gauge è fissata se sono noti g2 e v, ma non la massa dello
Higgs che dipende dal parametro ignoto λ.
D. Bettoni
Fenomenologia Interazioni Forti
10
Il Meccanismo di Higgs nel Modello Standard
⎛φ + ⎞
φ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝φ ⎠
Nel modello standard il campo
di Higgs è un doppietto in SU(2)
φ+ =
φ1 + iφ2
2
φ0 =
φ 3 + iφ 4
( )
Campi complessi
2
( )2
L = (∂ μ φ )† ∂ μ φ − μ 2φ †φ − λ φ †φ
(
φ φ=φ
†
+*
φ φ=
†
D. Bettoni
φ
0*
⎛φ + ⎞
⎜ ⎟ = φ +*φ + + φ 0*φ 0
⎜φ 0 ⎟
⎝ ⎠
)
φ12 + φ 22 + φ32 + φ42
2
Fenomenologia Interazioni Forti
11
( )2
2 †
†
Studiamo il potenziale: V (φ ) = μ φ φ + λ φ φ
V(φ) è invariante sotto la trasformazione di gauge locale:
φ ( x ) → φ ′( x ) = e
r
r
iα ( x )⋅τ / 2
φ (x)
Per μ2 < 0 V(φ) ha un minimo per:
− μ 2 v2
φ φ=
=
2λ
2
†
Scegliamo una direzione:
φ0 =
1 ⎛0⎞
⎜ ⎟
2 ⎝v⎠
0
⎞
1 ⎛
φ (x) =
⎜
⎟
2 ⎝ v + H ( x )⎠
φ3 = v, φ1 = φ2 = φ4 = 0
Cerchiamo equazioni con H(x).
Questa scelta è sempre possibile
grazie all’invarianza di gauge locale.
La simmetria originale era:
φ12 + φ 22 + φ32 + φ42 = invariante
Scegliendo la direzione abbiamo rotto tre simmetrie: a queste corrispondono
altrettanti bosoni di Goldstone, che verranno assorbiti nei gradi di polarizzazione
longitudinale di W± e Z0.
D. Bettoni
Fenomenologia Interazioni Forti
12
La carica elettrica, l’isospin debole e l’ipercarica U(1) del campo di Higgs sono
legati dalla seguente relazione:
Q = T3 +
YH
2
Si ha YH=1.
La scelta di φ0 come componente che sviluppa un valore di aspettazione sul
vuoto garantisce la conservazione della carica elettrica.
Se il vuoto φ0 è invariante per trasformazioni in un sottogruppo del gruppo
originale SU(2)×U(1) il bosone di gauge associato a quel sottogruppo rimane
privo di massa. Dato che una sola componente del doppietto di Higgs ha un
valore di aspettazione sul vuoto la simmetria SU(2) è rotta. Poichè YH≠0 anche
la simmetria U(1) è rotta. Tuttavia operando con la carica elettrica Q:
Y⎞
⎛
Qφ0 = ⎜ T3 + ⎟φ0
2⎠
⎝
cioè il vuoto è invariante per la trasformazione φ0 → φ0′ = e iα ( x )Qφ0 = φ0
Trasformazione U′(1) corrispondente all’interazione elettromagnetica: il fotone
rimane privo di massa.
D. Bettoni
Fenomenologia Interazioni Forti
13
r
Y
τ r
D μ = ∂ μ − ig1 B μ − ig 2 ⋅ Wμ
2
2
Quando φ acquisisce un valore di aspettazione sul vuoto, procedendo in modo
analogo a quanto fatto in precedenza si hanno nella lagrangiana i termini:
r r †
r r
τ
τ
Y
Y
μ
φ † ⎛⎜ ig1 B μ + ig 2 ⋅ Wμ ⎞⎟ ⎛⎜ ig1 B + ig 2 ⋅ W μ ⎞⎟φ
2
2
2
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
1 ⎛0⎞
Utilizzando φ 0 =
⎜ ⎟ otteniamo:
2 ⎝v⎠
1 ⎛⎜ g1 Bμ + g 2Wμ
8 ⎜⎝ g 2 Wμ1 + iWμ2
(
)
2
g 2 Wμ − iWμ ⎞⎛ 0 ⎞
⎟⎜ ⎟
3⎟
g1 Bμ + g 2Wμ ⎠⎝ v ⎠
1 2 2⎛ 1 2
2 2⎞ 1 2
= v g 2 ⎜ Wμ + Wμ ⎟ + v g1 Bμ − g 2Wμ3
⎝
⎠ 8
8
3
(
)
( ) ( )
1
2
(
)
2
2
⎛1
⎞
+ −μ
⎜ vg 2 ⎟ Wμ W
⎝2
⎠
D. Bettoni
2
Fenomenologia Interazioni Forti
1⎛1
2
2⎞
μ
⎜ v g1 + g 2 ⎟ Z μ Z
2⎝2
⎠
14
Per un bosone carica il termine di massa è della forma m2W+W-.
2
Confrontando con:
1
⎛
⎞
+ −μ
⎜ vg 2 ⎟ Wμ W
⎠
⎝2
Otteniamo:
MW =
vg 2
2
Per un bosone carica il termine di massa è della forma m2ZZ/2.
1
M Z = v g12 + g 22
2
Mγ = 0
MW
= cos θW
MZ
ρ=
D. Bettoni
MW
M Z cos θW
Fenomenologia Interazioni Forti
15
Masse dei Fermioni
Lagrangiana di interazione dei fermioni con il campo di Higgs:
(
Lint = g e L φeR− + φ † eR− L
)
Invariante in SU(2). ge costante arbitraria.
1 ⎛ 0 ⎞
φ→
⎟
⎜
2 ⎝v + H ⎠
Lint =
Termine di massa per e
(
)
(
)
gev − −
g
eL eR + eR− eL− + e e L− eR− + e R− eL− H
2
2
me =
gev
2
Lint = me e e +
Vertice H-e
g e me
=
v
2
me
e eH
v
Non c’è termine di massa per il neutrino, a causa dell’assenza del νR. Ciò implica che
il neutrino non interagisce con lo Higgs. Se esistesse un νR. avrebbe T3=0, Q=0 per
cui non si accoppierebbe a W±, Z0, γ, per cui sarebbe difficile da osservare.
D. Bettoni
Fenomenologia Interazioni Forti
16
Per le masse dei quarks bisogna tener conto anche dell’esistenza di uR.
⎛a⎞
ψ = ⎜ ⎟ doppietto in SU(2)
⎝b⎠
⎛ − φ 0* ⎞
φc = ⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ φ ⎠
⎛ − b* ⎞
⎟ doppietto in SU(2)
ψ c = −iτ 2ψ = ⎜⎜
⎟
⎝ a* ⎠
*
⎛ v+H ⎞
φc → ⎜ − 2 ⎟
⎜
⎟
0
⎝
⎠
Lint = g d QLφd R + g u QLφc u R + h.c.
Lint = md d d + mu u u +
m
md
d dH + u u uH
v
v
Anche in questo caso i parametri gd e gu sono arbitrari. Le masse vengono
incluse nel modello standard, ma non vengono predette: è necessario misurarle.
Questo procedimento si può ripetere per i fermioni della seconda e terza famiglia.
Lo Higgs interagisce con i fermioni con una intensità proporzionale alla massa mf,
per cui si accoppia più fortemente ai fermioni più pesanti.
D. Bettoni
Fenomenologia Interazioni Forti
17