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Matematica B
Differenziali esatti
Data la funzione di due variabili f(x,y) si dice
differenziale esatto di f
Chimica
Matematica B
Chimica
Differenziali di funzioni a variabili dipendenti e indipendenti
Spesso ho più variabili (es P, V, T) e penso alcune dipendenti
altre indipendenti (es. P=P(T,V), V=V(P,T) etc)
Problema: trovare relazioni tra i differenziali (o le derivate parziali)
Esempio: T= temperatura funzione della posizione x,y,z e del
tempo t; inoltre la posizione è funzione del tempo t: T=T(x,y,z,t),
x=x(t), y=y(t), z=z(t). Trovo T(t)=T(x(t),y(t),z(t),t) Voglio
Tecnica: faccio uno schema ad albero delle dipendenze
T
x
y
z
t
t
t
t
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Chimica
T
Seguo i percorsi che portano a t
x
y
z
t
t
t
t
4
1
2
3
è la somma dei prodotti delle derivate parziali degli
elementi dei vari percorsi che mi portano a t
T
x
y
z
t
t
t
t
1
Nota:
etc.
Es. il percorso 1 dà:
+
il percorso 2 dà:
+
il percorso 3 dà:
+
il percorso 4 dà:
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Formula della derivata totale
z
x
y
t
t
Chimica
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Derivazione delle funzioni composte: chain rule
cioè ho lo schema ad albero
z
u
x
y
x
y
Chimica
Matematica B
Caso particolare della chain rule:
cioè ho lo schema ad albero
z
x
y
y
w
Chimica
Matematica B
Chimica
Caso particolare della chain rule:
relazione tra derivate parziali con variabili fissate diverse
cioè ho lo schema ad albero
z
x
y
Nota bene:
y
w
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Cyclic rule (sempre caso particolare della chain rule)
cioè ho lo schema ad albero
z
x
y
x
z
Chimica
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Reciprocal rule
z
x
z
y
y
Reciprocal rule
Chimica
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Esercizi: 1)
con
calcolare
2) Sia
trovare
3) Sia
trovare
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