Prof. Antonello Tinti (www.tiby.it)
Elementi di dinamica rotazionale
In questa dispensa studieremo:
Il momento torcente.
Il momento di inerzia.
Il secondo principio della dinamica rotazionale.
L’energia cinetica totale.
Il momento angolare.
La conservazione del momento angolare.
In generale seguire il moto di un corpo è molto difficoltoso perché durante il movimento il corpo si
deforma. Per questa ragione si considerano corpi nei quali la deformazione è trascurabile e tali corpi
si chiamano Corpi Rigidi.
In un corpo rigido le distanze relative tra le varie particelle che lo compongono sono costanti al
trascorrere del tempo.
Il moto di un corpo rigido può essere Traslatorio, Rotatorio oppure Roto-Traslatorio:
Nel moto Traslatorio le particelle del corpo percorrono traiettorie sempre parallele e quindi
con lo stesso vettore velocità.
Nel moto Rotatorio un punto resta fermo (centro di rotazione) e tutte le altre particelle
percorrono circonferenze intorno ad un asse di rotazione, con velocità angolare costante.
Il moto è Roto-Traslatorio quando è una combinazione dei precedenti moti.
Il Momento di una forza (Momento Torcente)
Quando applichiamo una forza ad una particella l’effetto che si ottiene è semplicemente la sua
accelerazione.
Se invece applichiamo la stessa forza ad un corpo
rigido l’effetto potrebbe essere un cambiamento della
velocità di rotazione del corpo cioè una accelerazione
centripeta..
Nel caso di un corpo rigido quando applichiamo una
forza dobbiamo non solo tenere conto del carattere
vettoriale della forza ma anche tenere conto dove si
applica questa forza e in quale direzione.
Se spingiamo una porta con una forza F
perpendicolare osserviamo che essa si aprirà tanto più
velocemente tanto più la forza è intensa. Se usiamo la
stessa forza, però applicata vicino ai cardini, noteremo difficoltà ad aprirla.
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La variazione di velocità angolare è proporzionale non solo al modulo della forza ma anche alla
distanza tra la direzione della forza e l’asse di rotazione.
Chiamiamo braccio b della forza la distanza (sempre perpendicolare) tra la retta d’azione della forza
e l’asse di rotazione.
Bisogna quindi introdurre una nuova grandezza fisica il Momento di un forza.
⃗⃗ è una grandezza fisica vettoriale definita da 𝑀
⃗⃗ = 𝑟 × 𝐹
Il momento 𝑀
Il simbolo definisce un “prodotto vettoriale” che non è commutativo.
Il modulo è 𝑀 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃
La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori 𝑟 ed 𝐹 .
Il verso individuato dalla regola della mano destra: il pollice coincide con il primo vettore 𝑟,
l’indice con il secondo vettore 𝐹 e quindi il dito medio perpendicolare alle prime due dita
⃗⃗ .
rappresenta il verso del vettore 𝑀
Il momento torcente è massimo 𝑀 = 𝑟𝐹 quando 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1 𝑐𝑖𝑜è 𝜃 = 90°
Il momento torcente è nullo 𝑀 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
𝐹 = 0 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑠𝑒 𝑟 = 0
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑐𝑖𝑜è 𝑠𝑒 𝜃 = 0 𝑜 𝜃 = 180°
Il momento torcente e l’accelerazione centripeta: il II Principio della dinamica
rotazionale
L’applicazione di una forza ad un corpo rigido produce una accelerazione centripeta ac solo se la
forza produce un momento M.
In generale l’accelerazione centripeta ac è direttamente proporzionale al momento M; vediamo di
stabilire qual è il fattore di proporzionalità.
𝑣
Dalla relazione tra v e 𝜔 = 𝑟
si ottiene: 𝑎𝑡 = 𝑎𝑐 ∙ 𝑟
cioè
𝑣 =𝜔∙𝑟
𝑎𝑐 =
da cui si ottiene
dividendo per il tempo t
𝑣
𝑡
=
𝜔
𝑡
∙𝑟
𝑎𝑡
𝑟
𝐹
Per il secondo principio della dinamica 𝑎𝑡 = 𝑚
𝐹
Sostituendo abbiamo 𝑎𝑐 = 𝑚𝑟
Considerando il modulo del momento torcente
𝑎𝑐 =
𝑀
𝑟
𝑚𝑟
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Infine
Da cui
𝑀
𝑎𝑐 = 𝑚𝑟 2
𝑀 = 𝑚𝑟 2 𝑎𝑐
Quindi il fattore di proporzionalità, che regola la produzione dell’accelerazione centripeta a partire
dall’applicazione di una forza e del relativo momento torcente, è chiamato Momento d’Inerzia I
𝑰 = 𝒎𝒓𝟐
Dove m è la massa del corpo rigido ed r la distanza del punto di applicazione della forza dal centro
di rotazione. La sua unità di misura è 𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 .
Abbiamo perciò la seguente equazione
dinamica per la dinamica rotazionale.
𝑴 = 𝑰𝒂𝒄 che rappresenta il secondo principio della
Se il momento torcente M è costante allora il momento di inerzia I è inversamente proporzionale
all’accelerazione centripeta ac; quindi all’aumentare del momento di inerzia I diminuisce
l’accelerazione centripeta e viceversa.
È importante rendersi conto di una interessante analogia tra la dinamica traslazionale e quella
rotazionale, riguardo alla forma del Secondo principio della dinamica:
Nella dinamica traslazionale ad ogni forza corrisponde un’accelerazione tangenziale 𝑭 = 𝒎𝒂𝒕
Nella dinamica rotazionale ad ogni momento torcente corrisponde un’accelerazione centripeta
𝑴 = 𝑰𝒂𝒄
Osserva e compara la forma delle due equazioni: il ruolo della forza è qui giocato dal momento
torcente, e il ruolo della massa è giocato dal momento di Inerzia.
Però nella dinamica rotazionale non solo è importante la quantità di massa ma anche come essa è
disposta intorno al corpo (secondo il parametro r nell’espressone del momento di inerzia).
L’energia cinetica rotazionale
Passiamo ad esaminare alcune questioni circa l’energia cinetica, cioè l’energia associata al
movimento.
Durante la rotazione del corpo rigido ogni particella di massa mi posta a distanza ri dal centro di
rotazione assume una energia cinetica “rotazionale” Ki . Ricordando la relazione che lega la velocità
tangenziale alla velocità angolare, possiamo scrivere:
1
1
1
𝐾𝑖 = 𝑚𝑖 𝑣𝑖 2 = 𝑚𝑖 (𝑟𝑖 𝜔)2 = 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 𝜔2
2
2
2
Esplicitando l’equazione per ogni particella otteniamo:
1
1
𝐾 = 𝑚1 𝑟12 𝜔2 + 𝑚2 𝑟22 𝜔2 + ⋯
2
2
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Raccogliendo a fattor comune….
1
𝐾 = (𝑚1 𝑟12 + 𝑚2 𝑟22 + ⋯ )𝜔2
2
Indichiamo il “Momento di Inerzia Totale” del corpo rigido 𝐼 = (𝑚1 𝑟12 + 𝑚2 𝑟22 + ⋯ )
𝟏
Quindi l’energia cinetica rotazionale del corpo rigido in rotazione è 𝑲 = 𝟐 𝑰𝝎𝟐
C’era da aspettarselo visto che in dinamica rotazionale il ruolo della massa m è giocato dal
momento di inerzia I.
In generale l’energia cinetica totale di un corpo rigido in movimento si calcola sommando la sua
energia cinetica traslazionale con l’energia cinetica rotazionale:
𝐾 = 𝐾𝑡 + 𝐾𝑟
In particolare se il corpo possiede una qualche simmetria possiamo agevolmente usare il suo centro
di massa:
𝐾=
1
1
2
𝑚𝑣𝑐𝑚
+ 𝐼𝑐𝑚 𝜔2
2
2
Il momento angolare
In dinamica rotazionale c’è una grandezza fisica analoga alla quantità di moto, essa si chiama
momento angolare.
Continuiamo ad andare per analogia. Sappiamo che la quantità di moto 𝑞 = 𝑚𝑣 è uguale al
prodotto della massa del corpo per la sua velocità.
In dinamica rotazionale chi gioca il ruolo della massa ? Il momento di inerzia 𝑰 = 𝒎𝒓𝟐
Chi gioca il ruolo della velocità tangenziale ? La velocità angolare 𝝎 =
𝚫𝜶
𝚫𝒕
Ebbene possiamo dire che il momento angolare L in modulo è uguale al prodotto del momento di
inerzia per la velocità angolare.
𝑳 = 𝑰𝝎
L’unità di misura è
𝑘𝑔∙𝑚2
𝑠
Vediamo che relazione c’è tra il momento angolare e la quantità di
moto
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Sostituendo le rispettive definizioni abbiamo: 𝑳 = 𝒓𝒎𝒗
𝑣
Infatti 𝐿 = 𝐼𝜔 = 𝑚𝑟 2 𝑟 = 𝑟𝑚𝑣
Però il Momento angolare come la quantità di moto è una grandezza fisica vettoriale definita
attraverso il prodotto vettoriale già visto a proposito del momento torcente
⃗ ×𝒗
⃗
Vettore momento angolare ⃗𝑳 = 𝒎𝒓
Il modulo è dato da 𝐿 = 𝑚𝑟𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃
La direzione è perpendicolare ai vettori 𝑟⃗⃗ e 𝑣
Il verso si determina con la regola della mano destra: ponendo il pollice con ⃗⃗𝑟 l’indice con 𝑣 e
⃗.
quindi il dito medio ortogonale alle altre due dita darà il verso di 𝐿
Il momento angolare è massimo 𝐿 = 𝑚𝑟𝑣 quando 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1 𝑐𝑖𝑜è 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜃 = 90°
Il momento angolare è nullo quando:
𝑟⃗⃗ = 0 oppure se 𝑣 = 0 oppure se 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑐𝑖𝑜è 𝜃 = 0° 𝑜 180°.
Analogamente a quanto visto per il caso traslazionale, vediamo un’altra formulazione del
Secondo principio della dinamica.
Consideriamo un corpo rigido soggetto ad un momento torcente che lo pone in rotazione con
accelerazione centripeta ac . Abbiamo visto che vale il secondo principio della dinamica
rotazionale 𝑴 = 𝑰𝒂𝒄 andiamo in profondità nell’analisi:
𝑀=𝐼
𝑀=
Quindi 𝑴 =
𝜟𝑳
𝜟𝒕
Δ𝜔
𝜔2 − 𝜔1
=𝐼
Δ𝑡
Δ𝑡
𝐼𝜔2 − 𝐼𝜔1 𝐿2 − 𝐿1 Δ𝐿
=
=
Δ𝑡
Δ𝑡
Δ𝑡
il che significa che il momento torcente applicato ad un corpo rigido ne cambia
il momento angolare.
Questa formulazione del secondo principio della dinamica l’abbiamo già incontrata parlando
del teorema dell’impulso 𝑭 =
𝜟𝒒
𝜟𝒕
(una forza applicata ad un corpo ne cambia la quantità di
moto).
Infine possiamo fornire un principio di conservazione del momento angolare, proprio come
esiste il principio di conservazione della quantità di moto.
Se il momento torcente applicato ad un corpo rigido è nullo allora la variazione del momento
angolare è nulla 𝑀 = 0 𝑎𝑙𝑙𝑜𝑟𝑎
𝛥𝐿
𝛥𝑡
= 0 cioè Δ𝐿 = 0 che significa 𝐿2 − 𝐿1 = 0 e infine 𝑳𝟐 = 𝑳𝟏
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Il momento angolare L di un corpo si conserva quando è nullo il momento torcente totale che
agisce sul corpo.
𝑴 = 𝟎 ⇒ 𝑳𝟐 = 𝑳𝟏
Questo principio è molto importante perché ci dice come si può variare la velocità angolare di
un corpo agendo sul momento di inerzia.
𝐼
Infatti da 𝐼2 𝜔2 = 𝐼1 𝜔1 si può scrivere 𝜔2 = 𝐼1 𝜔1
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Quando
𝐼1
𝐼2
> 1 cioè 𝐼1 > 𝐼2 avremo un aumento della velocità angolare.
𝐼
Quando 𝐼1 < 1 cioè 𝐼1 < 𝐼2 avremo una diminuzione della velocità angolare.
2
6
