Prerequisiti del corso di Fenomeni di trasporto I

ovviamente, è legato al livello di impacchettamento del letto. Quantitativamente,
il parametro cui si fa comunemente riferimento è il cosiddetto grado di vuoto:
MOTO IN LETTI FISSI
Si consideri un condotto, per esempio un tubo a sezione circolare, che venga
riempito con particelle solide. In generale le particelle non riempiranno
completamente tutto il volume a disposizione. Anche in condizioni di massimo
impacchettamento (ad esempio, per particelle sferiche tutte uguali il massimo
volume occupato dal solido sarebbe il 74% del totale) esistono sempre degli
interstizi vuoti tra particella e particella. Se quindi forziamo un fluido ad
attraversare questo sistema, esso riuscirà a fluire muovendosi intorno alle
particelle proprio attraverso i vuoti lasciati dalle stesse. Ad un sistema di questo
tipo si dà il nome di letto fisso.
I letti fissi hanno applicazioni in numerosi campi dell’ingegneria chimica. Si
pensi, ad esempio, ai reattori chimici catalitici, in cui il catalizzatore viene
deposto sulla superficie delle particelle, oppure ai sistemi di filtrazione, nei quali
il riempimento (cioè la fase particellare) è in grado di trattenere, mediante
interazioni chimiche e/o fisiche, sostanze disciolte o disperse nel fluido,
permettendone così la depurazione.
Il più delle volte il letto è costituito da particelle di forma irregolare,
caratterizzate inoltre da una distribuzione di dimensioni. Vi sono inoltre altri
sistemi il cui comportamento è sostanzialmente riconducibile a quello dei letti
fissi. In generale, tutti i cosiddetti mezzi porosi, cioè sistemi nei quali il flusso
avviene attraverso canali (appunto pori) presenti al loro interno, obbediscono
alle stesse leggi generali di flusso. Esempi in questo campo sono i filtri (di carta,
ceramici, ecc) i setacci, insomma tutti quei mezzi nei quali il fluido deve farsi
strada attraverso degli ostacoli di forma più o meno regolare.
LETTO FISSO DI PARTICELLE SFERICHE
Si consideri un condotto, per esempio un tubo a sezione circolare, che venga
riempito con particelle sferiche tutte uguali di diametro Dp. E’ ovvio che tale letto
fisso è quasi sempre solo una idealizzazione di quanto accade nella realtà, ma le
conclusioni che verranno tratte possono essere facilmente estese a mezzi letti o
mezzi porosi di struttura più complessa. Lo schema del letto è riportato nella
Fig.1 come un tubo di lunghezza L e diametro D. Il tubo è alimentato da un
fluido di densità ρ è viscosità µ con portata volumetrica Q. Ciò significa che, in
assenza di particelle, la velocità media del fluido sarebbe data dal rapporto tra
portata e sezione:
v∞ =
Q 4Q
=
A π D2
(1)
La velocità v∞, definita dalla (1), viene detta velocità superficiale.
Un altro parametro rilevante del letto fisso è il rapporto tra il volume a
disposizione del fluido e quello a disposizione delle particelle. Questo,
ε=
Vvuoto Vtot − V p
=
Vtot
Vtot
(2)
Nella (2) Vvuoto è il volume a disposizione del fluido, Vp quello occupato dalle
particelle. La loro somma, Vtot, è ovviamente il volume totale del tubo.
Figura 1
Tipicamente, il problema del moto in letti fissi richiede la determinazione del
legame tra la portata di fluido e la perdita di carico, o differenza di pressione tra
monte e valle del letto. Siccome valgono, ovviamente, molte delle considerazioni
già fatte per il moto in tubi, la forza spingente effettiva per il flusso è data dalla
differenza di pressione ridotta tra imbocco ed uscita del letto, cioè:
Δ℘ = ( p1 + ρ gh1 ) − ( p2 + ρ gh2 )
(3)
Dove h è, al solito, la quota della sezione rispetto ad un piano orizzontale di
riferimento e i pedici 1 e 2 si riferiscono alle due sezioni di ingresso ed uscita.
L’analisi dimensionale permette di individuare i seguenti parametri
indipendenti:
1. La caduta di pressione ridotta per unità di lunghezza,
Δ℘
;
L
2. La viscosità del fluido, µ;
3. La densità, ρ
4. Il diametro del condotto D
5. Il diametro della particella, Dp;
6. La velocità superficiale, v∞;
7. Il grado di vuoto, ε.
Con 7 parametri e 3 dimensioni (lunghezza, massa e tempo) indipendenti, il
teorema di Buckingham informa che il problema può essere ridotto a quattro
gruppi adimensionali indipendenti. Alcune considerazioni fisiche, tuttavia,
possono permettere di ridurre tale numero.
La prima considerazione riguarda le condizioni di flusso che si instaurano nel
letto fisso. Tale flusso può considerarsi un “ibrido” tra il moto in condotti e quello
intorno ad oggetto sommerso. In realtà, in tutte le applicazioni pratiche le
dimensioni delle particelle e il loro grado di vuoto sono tali che la superficie
complessiva bagnata dal fluido sia in massima parte costituita da quella delle
particelle, e solo in minima parte dalla superficie laterale del tubo. Ciò significa
che il contributo alle perdite di carico proveniente dall’attrito viscoso tra fluido e
pareti del condotto può considerarsi marginale rispetto a quello determinato
dall’attrito tra fluido e particelle. Ciò consente di eliminare le dimensioni del
tubo, e quindi il suo diametro D, dall’elenco dei parametri indipendenti.
Ci si riduce in questo modo a tre gruppi adimensionali indipendenti che, in
analogia con il moto in tubi, possono essere scelti come:
− Il grado di vuoto, ε
− Un numero di Reynolds riferito alla velocità superficiale e al diametro della
particella:
valutato facilmente osservando che, nel suo moto all’interno del letto, il fluido ha
a disposizione una sezione ridotta rispetto a quella complessiva. Se A è la
superficie complessiva della sezione, è facile verificare che la sezione realmente a
disposizione del fluido vale Aeff=εA. La velocità caratteristica del fluido nel letto
vale quindi:
Re =
Deq = 4
−
ρ v∞ D p
μ
(4)
Un fattore di attrito relativo anch’esso alla velocità superficiale e al diametro
della particella:
f =
Δ℘D p
L ρ v∞2
(5)
Quindi, con questa definizione dei gruppi adimensionali, il problema del moto in
letti fissi può essere descritto da una relazione del tipo:
f = f ( Re, ε )
(6)
La (6), tuttavia non rappresenta la soluzione più soddisfacente del problema. In
primo luogo, essa rappresenta una relazione fra tre parametri indipendenti: ciò
significa che, anche fissato il numero di Reynolds, il fattore di attrito non è
univocamente determinato, ma continua a dipendere dal valore del grado di
vuoto.
In secondo luogo, nella (6) i parametri adimensionali sono costruiti a partire da
grandezze che non rappresentano in maniera del tutto significativa il problema.
Infatti, in particolare, la velocità superficiale non rappresenta la effettiva
velocità caratteristica del flusso, che risulta più elevata in quanto il fluido è
costretto a muoversi in una sezione più piccola a causa della presenza delle
particelle del letto. Inoltre, anche il diametro della particella non rappresenta
effettivamente la dimensione significativa del problema, in quanto il flusso
avviene negli interstizi tra particella e particella, quindi in canali tortuosi le cui
dimensioni medie dipendono anche dal grado di vuoto del sistema.
In considerazione di quanto detto si possono modificare le (4)-(6) cercando di
introdurre i valori caratteristici dei parametri che effettivamente descrivono il
problema.
L’ordine di grandezza della velocità affettiva del fluido nel letto fisso può essere
v=
Q
Q v∞
=
=
Aeff ε A ε
(7)
Per quanto riguarda la dimensione caratteristica del flusso, si consideri come già
detto che il fluido si muove negli interstizi tra le particelle. Volendo
approssimare tale flusso a quello attraverso un canale, ovviamente a sezione non
circolare, è possibile definire un diametro equivalente medio come:
V fluido
(8)
Abagnata
Nella (8) Vfluido è il volume effettivamente a disposizione del fluido, mentre
Abagnata è la superficie bagnata dal fluido, che è proprio pari alla superficie
complessiva di tutte le particelle. Entrambi questi termini possono essere
espressi in funzione delle caratteristiche delle particelle e del grado di vuoto.
Infatti, il volume di fluido può essere scritto come:
V fluido = V p
Vf
Vp
= Vp
Vt − V p
Vp
= Vp
ε
1− ε
= Np
π D p3 ε
6 1− ε
(9)
Dove Np è il numero totale di particelle nel letto. La superficie bagnata, invece,
può essere scritta come:
Abagnata = N pπ D p2
(10)
Inserendo le (9) e (10) nella (8) si ottiene infine:
Deq = 4
V fluido
Abagnata
=4
Np
π D 3p ε
6 1− ε = 2 ε D
p
N pπ D p2
3 1− ε
(11)
Avendo definito la velocità caratteristica con la (7) e il diametro caratteristico del
canale di flusso con la (11), è possibile riaggiornare i gruppi adimensionali (4) e
(5) nel seguente modo (i fattori numerici sono omessi):
Re p =
ρ v∞ D p
μ (1 − ε )
(12)
e
fp =
Δ℘D pε 3
L ρ v∞2 (1 − ε )
(13)
Si noti che nelle (12) e (13) è presente adesso esplicitamente il grado di vuoto del
letto. Ciò fa pensare che la correlazione tra i gruppi adimensionali Rep e fp sia di
fatto univoca, e non più dipendente parametricamente dal terzo parametro
adimensionale ε. Questa affermazione è confermata dalla Figura 2, nella quale il
fattore di attrito (13) è riportato in funzione del Numero di Reynolds (12) per un
elevato numero di esperimenti condotti a diversi valori del grado di vuoto. Si può
notare come tutti i dati sperimentali cadano su una stessa curva
indipendentemente dal valore del grado di vuoto, a conferma che i due parametri
adimensionali espressi dalle (12)-(13) sono sufficienti a rappresentare
correttamente il flusso nel letto fisso.
spingente che, nel caso del moto in mezzi porosi, è costituita dalla perdita di
carico per unità di lunghezza. Inoltre, in tali condizioni, la velocità risulta essere
anche inversamente proporzionale alla viscosità del fluido. Detto in altri termini,
in condizioni di flusso puramente viscoso (numeri di Reynolds sufficientemente
bassi), vale la seguente relazione di proporzionalità:
v∝
1 Δ℘
μ L
(15)
La (15) non è ovviamente una relazione strettamente quantitativa, ma esprime
un comportamento fisico di validità generale. I coefficienti numerici che
trasformano tale relazione in una vera e propria equazione quantitativa
dipenderanno ovviamente volta per volta dalle effettive condizioni di flusso. Ad
esempio, nel caso del letto fisso di particelle sferiche esaminato in precedenza, il
comportamento limite in regime viscoso è dato da:
fp =
150
Re p
(16)
Sostituendo nella (16) le espressioni (12) e (13) per il numero di Reynolds e il
fattore di attrito si ottiene:
v∞ =
Figura 2
La linea continua che interpola ottimamente i dati sperimentali (appena visibile
al di sotto dei dati stessi) è una relazione empirica della forma:
fp =
150
+ 1.75
Re p
(14)
La (14) è la cosiddetta Equazione di Ergun, e rappresenta appunto una buona
correlazione per il moto in letti fissi di particelle sferiche
FLUSSO IN MEZZI POROSI. LEGGE DI DARCY
Come oramai ci si può attendere per tutte le condizioni di flusso dominate dalle
forze viscose, anche per il moto in letti fissi il comportamento a bassi numeri di
Reynolds è ben descritto da una legge di proporzionalità inversa tra il fattore di
attrito e il numero di Reynolds. Tale comportamento può in generale essere
esteso al flusso in mezzi porosi diversi dal caso specifico sopra considerato (letto
di particelle sferiche tutte uguali). In realtà, come è facile verificare, qualunque,
relazione di proporzionalità inversa tra un fattore di attrito ed un numero di
Reynolds determina una dipendenza lineare tra la velocità del fluido e la forza
D p2ε 3
150 (1 − ε )
2
1 Δ℘
μ L
(17)
La (17), per il caso di letti fissi di particelle sferiche, mette in relazione nella
forma generale della (15) la velocità superficiale alla perdita di carico per unità
di lunghezza e alla viscosità del fluido.
Quando si abbia a che fare con geometrie diverse e/o non regolari delle particelle,
o con mezzi porosi analoghi ai letti fissi (come filtri o membrane), la
proporzionalità indicata dalla (15) continua a valere. Tutta l’”ignoranza” sui
dettagli delle condizioni di flusso viene allora inglobata nel coefficiente di
proporzionalità, che andrà di volta in volta valutato. Tutto ciò si traduce nella
usatissima legge di Darcy:
v∞ = κ
1 Δ℘
μ L
(18)
Dove il coefficiente κ prende il nome di permeabilità del letto fisso o del mezzo
poroso.
L’analisi dimensionale della (18) indica che la permeabilità ha le dimensioni di
una lunghezza al quadrato. Per ragioni storiche la permeabilità viene spesso
tabellata in unità di misura “ibride”, utilizzando cioè i cm/s per la velocità
superficiale, i centipoise (cP, 1cP=10-2 Poise) per la viscosità e i bar/cm per la
perdita di carico per unità di lunghezza. Quando espressa in questi termini,
l’unità di misura della permeabilità prende il nome di Darcy. In altri termini, la
permeabilità di 1 Darcy è quella di un letto di lunghezza 1 cm nel quale un fluido
di viscosità 1 cP (per esempio l’acqua), sotto l’azione di una differenza di
pressione di 1 bar, sviluppa una velocità superficiale di 1 cm/s. Per passare dal
Darcy alle unità di misura del sistema cgs o del sistema S.I. sono utili le seguenti
equivalenze:
1 Darcy = 10−8 cm 2 = 10−12 m 2
(19)
Come già detto detto la permeabilità è un parametro che dipende dalle
caratteristiche del mezzo. Nel caso del letto fisso di particelle sferiche, ad
esempio, la (17) indica che la permeabilità vale:
κ=
D p2ε 3
150 (1 − ε )
2
(20)
Valori di permeabilità per altre tipologie di letti fissi sono reperibili in
letteratura o sui manuali. Inoltre, nel caso di filtri, membrane o altri mezzi
porosi, la permeabilità è uno dei dati tecnici più rilevanti. Esso viene
generalmente fornito direttamente dal produttore ed è reperibile nella
documentazione tecnica di accompagnamento del prodotto.