Appunti di Fisica Tecnica - Fisica Tecnica

AppuntidiFisica
Tecnica
PietroStefanizzi
CorsodiLaureainIngegneriaMeccanica
Taranto
POLITECNICO DI BARI – 2014 Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
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Indice
TERMODINAMICA APPLICATA
4 2.1 Equazioni e diagrammi di stato
5 2.2 Fluidi in cambio di fase
12 2.3 I sistemi contenenti energia
2.3.1 L'equilibrio e le trasformazioni dei sistemi
13 13 2.4 Il principio di conservazione dell'energia
2.4.1 Il primo principio della termodinamica
2.4.2 Il primo principio per i sistemi chiusi
14 14 16 2.5 Equazioni fondamentali
2.5.1 Principio di conservazione della massa
2.5.2 Il primo principio per i sistemi aperti
2.2.1 Grandezze termodinamiche derivate
2.2.2 Miscele di gas
2.2.3 La legge degli stati corrispondenti
2.2.4 Proprietà dei fluidi reali
17 18 20 23 27 27 28 2.3 La qualità dell’energia
2.3.1 Il secondo principio della Termodinamica
2.3.2 Rendimento termodinamico interno
2.3.3 L'attrito meccanico delle macchine
31 32 33 35 2.4 Cicli termodinamici
2.4.1 Ciclo diretto a vapore (Rankine)
36 37 2.5 Cicli inversi
2.5.1 Frigoriferi e pompe di calore
2.5.2 Ciclo inverso a vapore
42 43 44 TRASMISSIONE DEL CALORE
48 3.1 Modalità dello scambio termico
48 3.2 Conduzione
3.2.1 La conduttività termica dei materiali
3.2.2 Equazione generale della conduzione
3.2.2.1 Condizioni al contorno
48 49 51 53 3.3 Mescolamento
55 3.4 Convezione
3.4.1 Lo strato limite
3.4.2 Procedimenti di analisi dimensionale
56 57 62 3.5. Irraggiamento
3.5.1. Scambio radiativo tra due superfici nere
3.5.2 Scambio radiativo in un sistema confinato (cavità)
3.5.3. Scambio liminare
65 69 71 75 3.6 Alettature
75 3.7 Transitori termici
79 3.8 Conduzione in regime periodico stazionario
80 3.9 Isolamento termico delle pareti
3.9.1 Regime termico costante
82 83 Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
TECNICA DEL CLIMA
3
100 4.1 L'aria umida, psicrometria
4.2 Il benessere termoigrometrico
4.3 Il bilancio termoigrometrico degli ambienti condizionati
4.4 Il condizionamento dell'aria estivo ed invernale
4.5 Tipi di impianto di condizionamento
100 108 112 115 117 5.1 Contenuto di umidità nelle pareti
5.2.1 Trasporto di umidità nelle pareti
5.2.2 Il metodo Glaser
119 121 124 6.1 Bilancio energetico dell’edificio
126 4
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
TERMODINAMICA APPLICATA
In Termodinamica si definisce SISTEMA la quantità di materia o regione dello
spazio oggetto di studio. Una volta individuato il sistema è definito l’AMBIENTE,
massa o regione dello spazio esterna al Sistema con la quale esso interagisce, ed il
CONTORNO, superficie reale o immaginaria che separa il Sistema e l’Ambiente. Il
Contorno può essere fisso (ad esempio le pareti di un recipiente rigido ed
indeformabile) o mobile (ad esempio le superfici interne di un dispositivo cilindropistone). Da notare che in entrambi questi casi il sistema termodinamico è il gas
contenuto all’interno del contorno.
Un sistema termodinamico si dice CHIUSO quando attraverso il contorno può
scambiare energia ma non può scambiare massa, si dice APERTO quando può
scambiare sia energia che massa, si dice ISOLATO quando non può scambiare né
energia né massa.
Un sistema è caratterizzato dalle sue proprietà termodinamiche (ad esempio: pressione
p, temperatura T, volume V, massa m). Non tutte le proprietà sono indipendenti, ad
m  kg 
esempio la densità o massa volumica è data dal rapporto  
, ed il volume
V  m 3 
V  m3 
specifico v 
 .
m  kg 
Le proprietà termodinamiche si dicono INTENSIVE se non dipendono dalla
grandezza del sistema (massa): ad esempio la temperatura T [K], la pressione p [Pa],
la densità  [kg/m3]. Si dicono ESTENSIVE se dipendono dalla grandezza del
sistema: ad esempio la massa m [kg], il volume V [m3], l’energia E [J]. Le proprietà
estensive riferite all’unità di massa sono dette SPECIFICHE: ad esempio volume
V  m3 
U J 
.
specifico v 
  , energia interna specifica u 
m  kg 
m  kg 
Lo STATO TERMODINAMICO di un sistema è individuato dal valore assunto
dalle proprietà. La Termodinamica classica tratta solo stati di EQUILIBRIO. Un
sistema si dice in equilibrio se è contemporaneamente in
1) equilibrio TERMICO, tutti i punti del sistema sono alla stessa temperatura;
2) equilibrio MECCANICO, tutti punti del sistema sono alla stessa pressione;
3) equilibrio DI FASE, la massa di ciascuna fase presente nel sistema si mantiene
costante;
4) equilibrio CHIMICO, non sono presenti reazioni chimiche all’interno del sistema.
In assenza di campi di forza esterni (elettrici, magnetici, gravitazionali, cinetici e
di tensione superficiale) i sistemi termodinamici sono detti SISTEMI SEMPLICI
COMPRIMIBILI. Per individuare lo stato di tali sistemi sono sufficienti due proprietà
intensive indipendenti (postulato di stato).
Il cambiamento delle proprietà che porta il sistema da uno stato d’equilibrio ad un
altro stato d’equilibrio è detto PROCESSO o TRASFORMAZIONE. Quando il
cambiamento avviene in modo che il sistema, in ogni istante, è infinitesimamente
lontano da uno stato di equilibrio si parla di processo QUASI-STATICO o di QUASIEQUILIBRIO. Ciò presuppone un’evoluzione lentissima che nei processi reali non è
mai verificata.
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La capacità di produrre cambiamenti di stato è legata all’ENERGIA. L’energia
esiste in numerose forme: termica, meccanica, cinetica, potenziale, elettrica,
magnetica, chimica e nucleare.
La somma di tutte le varie forme costituisce l’ENERGIA TOTALE del sistema.
La termodinamica non fornisce il valore assoluto dell’energia totale, ma solo le sue
variazioni. Tali variazioni sono indipendenti dal punto di riferimento scelto (Er):
E 2  E 1  E 2  E r   E 1  E r  .
L’energia totale è somma di due componenti: Macroscopica e microscopica.
L’energia macroscopica è legata all’azione di campi di forza esterni al sistema:
moto, gravità, elettricità, magnetismo e tensione superficiale. I sistemi termodinamici
oggetto di studio in questo corso presentano solo componenti legate:
2
c2
J  , e specifica c  J  ;
Al moto, ENERGIA CINETICA totale m
2
2  kg 
J 
alla gravità, ENERGIA POTENZIALE totale mgz J  , e specifica gz   .
 kg 
L’energia microscopica è legata alla struttura microscopica interna del sistema e
non dipende da riferimenti esterni. Essa è detta ENERGIA INTERNA (U) ed è somma
di più contributi: energia sensibile legata all’energia cinetica delle molecole, energia
latente legata alle forze intermolecolari tra molecole dipendenti dalla fase del sistema,
energia chimica associata ai legami atomici nelle molecole, ed energia nucleare
associata ai legami nel nucleo dell’atomo.
L’energia totale è dunque data da:
E U  m
c2
 mgz J 
2
2.1 Equazioni e diagrammi di stato
La funzione che correla fra loro le grandezze termodinamiche rappresentative
dello stato termodinamico di un sistema, ad esempio f(p,v,T), viene chiamata funzione
di stato. Non sempre essa può venire espressa matematicamente in modo semplice, in
tali casi essa viene correntemente rappresentata attraverso diagrammi che esplicitano
graficamente le relazioni fra le varie grandezze; tali diagrammi sono detti diagrammi
di stato.
Nel caso in cui sia possibile rappresentare la funzione in modo matematicamente
semplice l'equazione che correla le variabili termodinamiche rappresentative, ad
esempio f(p,v,T)=0, viene chiamata equazione di stato.
La più nota e la più usata delle equazioni di stato mette in correlazione la
pressione, la temperatura ed il volume specifico dei gas in condizioni di notevole
distanza dalla situazione in cui il fluido può condensare, cioè sufficientemente distanti
dalle condizioni critiche e dalle condizioni tipiche di cambiamento di stato.
Tale relazione che risulta valida, come tipo, per qualsiasi sostanza che si trovi
nelle condizioni che si sono precedentemente citate, viene comunemente chiamata
equazione dei gas perfetti (o ideali), nel senso che nelle condizioni citate i gas stessi
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non hanno alcuna attitudine al cambiamento di stato e durante le varie trasformazioni
conservano lo stato fisico di gas.
L'equazione di stato dei gas perfetti assume la forma:
pv = R*T
(2-1)
dove R* rappresenta la costante caratteristica del gas che è collegata alla costante
universale dei gas R dalla relazione:
R* 
R
m
 J 


 kg K 


J
.
 mole K 
con m massa molecolare del gas considerato ed R = 8314 
La relazione (2-1) vale ovviamente solo nei limiti che si sono già citati (gas
perfetti) e deve in tali limiti considerarsi una approssimazione utile a rappresentare il
comportamento reale con sufficiente approssimazione.
Quando l'approssimazione risultasse insufficiente (gas reali) si potrà fare uso di
altre espressioni più complesse (ad esempio quelle di Van der Waals, di Dieterici
ecc.), oppure, per un aeriforme reale, l’equazione di stato può essere espressa nella
forma
pv  ZR 0*T
introducendo il “fattore di comprimibilità” ( Z  R * R0* ), che esprime la variabilità
della costante caratteristica del gas reale intendendo con R *0 la costante caratteristica
del gas perfetto. Questa forma dell’equazione di stato è soprattutto impiegata per
calcoli manuali tramite l’utilizzo di tabelle e grafici che forniscono i valori di cp, cv, R*
e Z.
Per calcoli numerici con calcolatore è preferibile una diversa espressione
dell’equazione di stato, valida per aeriformi reali, che va sotto il nome di “equazione
del viriale”
pv
a T  bT 
 1
 2  ...
*
RT
v
v
la precisione conseguible e l’estensione del campo di validità di questa equazione sono
legate al numero di termini a secondo membro, cosa che rende indispensabile
l’utilizzo del calcolatore. I coefficienti del viriale a(T), b(T), … sono funzioni della
temperatura determinate sperimentalmente e tabellate per ciascun gas.
Si possono costruire diversi diagrammi termodinamici utilizzando per la rappresentazione diverse grandezze fisiche sugli assi coordinati della rappresentazione, in
conseguenza i diagrammi assumeranno forme diverse.
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Fig. 2-1
Diagramma p-v o di Clapeyron
Il diagramma che fa riferimento alle grandezze termodinamiche più immediate
cioè pressione, temperatura e volume specifico è stato il primo ad essere utilizzato,
esso riporta sull'asse delle ascisse il volume specifico e sull'asse delle ordinate la
pressione (diagramma di CLAPEYRON).
Nella figura 2-1 è rappresentato in modo qualitativo il diagramma termodinamico
di stato relativo ad una sostanza, non essendo esso riferito a nessuna sostanza in
particolare le informazioni che esso fornisce sono generiche e non si prestano ad una
utilizzazione effettiva.
Si può osservare che risultano chiaramente definibili le zone nelle quali lo stato di
aggregazione del fluido sono di: gas, liquido o solido; di proposito si è tralasciata la
zona dove il fluido assume lo stato di plasma (cioè si scinde in ioni positivi e negativi
per effetto dell'alta temperatura, rimanendo come media macroscopica elettricamente
neutro) in quanto tale zona non assume interesse pratico per le considerazioni che si
fanno ordinariamente nella termodinamica classica.
Nel diagramma sono rappresentate parametricamente le linee a temperatura
costante, sarebbe però possibile disegnare oltre queste anche altre linee isoparametriche rappresentanti altre grandezze termodinamiche caratteristiche dello
stesso fluido che sono ovviamente definite univocamente punto per punto così come la
temperatura.
Altri diagrammi termodinamici possono essere usati oltre a quello citato; tra i
molti possibili, quelli più usati sono: il diagramma di GIBBS che porta sull'asse delle
ascisse l'entropia e sull'asse delle ordinate la temperatura, il diagramma di MOLLIER
che porta l'entropia sulle ascisse e l'entalpia sulle ordinate e quello noto come
logaritmo della pressione - entalpia che porta l'entalpia sulle ascisse e la pressione in
scala logaritmica sulle ordinate.
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Nelle figure 2-2, 2-3 e 2-4 sono raffigurati, per l’acqua, i diagrammi
termodinamici appena citati.
H2O
Fig. 2-2
Diagramma T-s o di Gibbs per l’acqua
Il punto evidenziato come "K" nei diagrammi rappresenta il punto critico cioè il
punto oltre la temperatura del quale non si verifica più l'evaporazione del fluido
(cambio di fase) in quanto in tali condizioni il fluido ha un comportamento
sistematicamente identificabile con quello di un aeriforme. Al di sopra della
temperatura del punto critico il fluido viene ordinariamente chiamato gas, mentre nella
zona dove il fluido si trova allo stato aeriforme, ma è possibile ottenerne la
condensazione per semplice compressione isoterma il fluido viene chiamato vapore
surriscaldato.
Nella zona dove coesistono liquido e vapore durante il fenomeno di evaporazione
o di condensazione il fluido viene chiamato vapore saturo (umido).
La linea di confine tra il vapore saturo ed il vapore surriscaldato oppure tra il
vapore saturo ed il liquido viene chiamata curva limite e, per la precisione, curva limite superiore il confine fra vapore saturo e vapore surriscaldato, curva limite inferiore il confine fra vapore saturo e liquido; esse si saldano nel punto critico K con
continuità della tangente.
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H2O
Fig. 2-3
Diagramma i-s o di Mollier per l’acqua
A differenza di quanto rappresentato nel diagramma di figura 2-1, nelle figure 22, 2-3 e 2-4 non sono state rappresentate le zone del diagramma che corrispondono
alla solidificazione ed allo stato solido; di solito nei diagrammi per uso tecnico tali
parti non sono rappresentate perchè di scarso o nullo interesse pratico.
Nei diagrammi termodinamici di uso corrente, si verificano alcune proprietà caratteristiche dipendenti dall'accoppiamento dei parametri scelti.
Nel diagramma di Clapeyron l'area compresa fra la linea che rappresenta la
  p dv  è proporzionale, ma di segno opposto,
trasformazione e l'asse delle ascisse 
al lavoro del sistema chiuso, mentre l'area compresa fra la linea di trasformazione e


l'asse delle ordinate  v d p e' proporzionale al "lavoro tecnico" che coincide con
il lavoro di un sistema aperto quando siano trascurabili l'energia cinetica e l'energia del
campo della gravità (figura 2-5) come si vedrà più avanti.
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Nel diagramma di Gibbs l'area compresa fra la linea di trasformazione e l'asse
 
delle ascisse  T ds è proporzionale alla quantità di calore scambiata durante la
trasformazione, essendo ds = q/T.
40
10
S=6.6 kJ/kgK
H2O
1
T=180°C
x=0.7
=0.6 kg/m3
0.1
0.01
0.001
0
800
1600
2400
3200
Entalpia
4000
(kJ/kg)
Fig. 2-4
Diagramma log(p)-i per l’acqua
Come rappresentato nella figura 2-5, la sottotangente cioè il segmento AB
staccato sull'asse delle ascisse tra il piede della perpendicolare all'asse stesso dal punto
considerato B e l'intercetta A dell'asse con la tangente vale:
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Fig. 2-5
T

 dT
tg arctg 
 ds




T
ds δq

c
dT dT
è pari cioè al calore specifico della trasformazione nel punto considerato; perché la
proprietà sia compiutamente sfruttabile è necessario che l'asse delle entropie sia
posizionato a T = 0 K, in quanto la temperatura termodinamica T e non la temperatura
centigrada compare nelle formule che giustificano la proprietà citata. Questa
precisazione è necessaria perchè è consuetudine nei diagrammi T(s) rappresentare
l'asse delle entropie a livello di 0 °C in quanto la parte sottostante del diagramma,
relativa a temperature inferiori, non ha interesse pratico.
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Nel diagramma di Mollier la tangente ad una linea a pressione costante ha una
q
 di 

T , è cioè pari alla temperatura del punto

 ds  p cost q
T
pendenza che vale 
considerato.
2.2 Fluidi in cambio di fase
Le proprietà termodinamiche dei fluidi sono variabili con lo stato termodinamico
del fluido stesso, ma solo due di esse sono necessarie per definire lo stato, tuttavia le
due grandezze devono essere indipendenti fra loro, e tutte le altre si possono ricavare o
con i diagrammi o con le equazioni di stato.
Nel caso di liquido in ebollizione o di vapore in condensazione non si può usare
la coppia di parametri pressione e temperatura, in quanto tra loro biunivocamente in
corrispondenza, si preferisce allora ricorrere ad un nuovo parametro che associato ad
uno dei due precedenti risulta sufficiente e di comodo uso.
Tale parametro è detto titolo del vapore ed è indicato con il simbolo "x", la sua
espressione è:
x
mvapore
mtotale
esso indica la massa di vapore presente riferita alla massa totale di fluido presente,
somma delle quantità di liquido e di vapore.
Essendo noti i parametri delle fasi liquida e vapore di ogni fluido e risultando
proporzionale alla massa di vapore presente, secondo la regola baricentrica, il valore
di ogni grandezza termodinamica estensiva che caratterizza un punto intermedio,
risulta che il valore stesso è calcolabile facilmente per mezzo del titolo:
vx = vliq + x (vvap - vliq)
Infatti, essendo V = Vliq + Vvap, risulta:
mT v  mliq v liq  m vap v vap  mT  m vap v liq  m vap v vap
e dividendo per la massa totale:
m 
m

v   1  vap vliq  vap vvap  1  x vliq  xvvap
mT 
mT

lo stesso vale per le altre grandezze estensive:
i = iliq + x (ivap - iliq);
u = uliq + x (uvap - uliq);
s = sliq + x (svap - sliq).
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2.3 I sistemi contenenti energia
Si definisce sistema uno spazio, cioè un volume in cui è racchiusa una definita
massa associata con una certa energia, il che significa di fatto una definita quantità di
energia parte della quale si manifesta come massa.
Di tali sistemi si dicono "chiusi" quelli per cui si ritiene il contorno impermeabile
al passaggio della massa per cui la massa in essi contenuta risulta immutabile e
costante; si dicono invece "aperti" quelli caratterizzati da un contorno che in tutto o in
parte consente il passaggio della massa, per cui la massa del sistema risulta variabile e
ricambiata.
Sono particolarmente interessanti per il campo dell'ingegneria i sistemi aperti in
cui la massa entrante e la massa uscente si equilibrano fra loro per cui, pur essendo la
massa continuativamente ricambiata, la quantità di massa presente nel sistema risulta
costante nel tempo; chiameremo tali sistemi "sistemi aperti a massa costante" o
"sistemi aperti a flusso stazionario".
2.3.1 L'equilibrio e le trasformazioni dei sistemi
Si ritiene un sistema in equilibrio quando esso, abbandonato a se stesso non tende
a modificare le sue condizioni nel tempo, mentre quando il sistema evolve nel tempo
modificando le sue condizioni, si dice che esso subisce una trasformazione dinamica.
Nelle fasi di equilibrio è possibile definire con semplicità quali siano le condizioni macroscopiche del sistema rappresentandole con i valori assunti dalle proprietà
termodinamiche.
La cosa non è semplice o addirittura impossibile durante le fasi di trasformazione
quando nascono azioni dinamiche.
Le azioni dinamiche provocano e sono provocate da differenze dei valori delle
grandezze fisiche rappresentative del sistema variabili da punto a punto, da ciò nasce
l'impossibilità di definire le condizioni fisiche del sistema che non è più omogeneo.
Supponendo che l'evoluzione dei sistemi, durante le trasformazioni, sia molto
lenta, ogni condizione intermedia risulta una condizione di quasi equilibrio con valori
delle proprietà termodinamiche molto vicini allo stato precedente e seguente, pure essi
praticamente in equilibrio.
Tutta questa messinscena ideologica non ha ovviamente alcuna rispondenza al
reale, è però una approssimazione molto comoda che consente di ottenere uno
sviluppo matematico semplice della teoria.
La sostanziale ragione per cui si vogliono eliminare le azioni dinamiche è che fra
di esse sono compresi fenomeni come l'attrito, la cui evoluzione è difficile da
descrivere matematicamente.
Si definiscono reversibili le trasformazioni senza attrito che in linea teorica
possono essere ripetute in senso inverso lungo lo stesso percorso, mentre si dicono
irreversibili quelle affette da attrito che non possono essere ripercorse in senso
inverso, ma eventualmente solo lungo un percorso diverso, in quanto l'attrito ha
sempre sistematicamente segno positivo di calore introdotto nel sistema, qualsiasi sia
il verso della trasformazione che si sta eseguendo.
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2.4 Il principio di conservazione dell'energia
In un sistema sede di scambi energetici con l'esterno la variazione dell'energia
contenuta dovrà essere pari all'energia scambiata in tutte le sue forme.
Il principio di conservazione dell'energia che sopra è esposto può esprimersi con
la formula:
Ec = Es
dove il pedice "c" indica l'energia contenuta nel sistema ed il pedice "s" indica
l'energia scambiata in tutte le sue forme.
Il principio di conservazione dell'energia non è un assunto dimostrabile direttamente, ma può essere considerato un postulato non contraddetto dall'esperienza.
La singola energia scambiata non può ammettere potenziale, la sua natura e la sua
quantità sono funzioni delle condizioni che si sono imposte al sistema durante la sua
evoluzione, cioè della trasformazione.
In termini matematici ciò si esprime dicendo che la grandezza è funzione di linea
e non di punto e che quindi il suo integrale dipende dal percorso cioè dalla
trasformazione che il sistema subisce.
Il differenziale delle energie scambiate è quindi un differenziale non esatto che
verrà indicato con il simbolo "" anzichè con "d" come si indicano i differenziali
esatti.
2.4.1 Il primo principio della termodinamica
I sistemi termodinamici qui considerati scambiano energia con l’ambiente sotto
forma calore o lavoro. L’energia scambiata in conseguenza di una differenza di
temperatura tra il sistema e l’ambiente in corrispondenza del contorno viene detta
“calore”, mentre l’energia scambiata che non è calore si dice “lavoro”. In pratica
l’unico tipo di lavoro scambiato nei sistemi considerati è quello meccanico legato
all’azione di una forza con spostamento del suo punto di applicazione (L = Fs [Nm
= J]).
F
F-dF
L = - p A ds = -p dV [J]
ds
p
p-dp
Fig. 2-6
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Un esempio di lavoro meccanico è quello scambiato per deformazione del
contorno del sistema come in una trasformazione di quasi equilibrio che ha luogo in
un sistema pistone-cilindro adiabatico (Fig. 2-6).
Considerando le sole applicazioni termodinamiche l'energia contenuta si riduce
alla sola energia termodinamica potenziale e tenuto conto che le energie scambiate
possono essere di due forme diverse (calore e lavoro), l'equazione di conservazione
dell'energia per i sistemi termodinamici risulta:
E = Q + L
(2-2)
dove Q è il calore complessivamente scambiato ed L il lavoro complessivamente
scambiato.
In talune trattazioni tradizionali al lavoro viene attribuito segno negativo nel
senso che si ritiene positivo il lavoro che il sistema cede all'esterno, come è
tradizionale per le macchine che trasformano il calore ricevuto in lavoro; in questa
trattazione però definiremo sempre positive le energie di scambio ricevute dal sistema
e negative quelle cedute dal sistema senza alcuna differenziazione fra le forme di
energia considerate.
La prima espressione del principio di conservazione dell'energia risale
all'espressione dell'equivalenza di lavoro e calore che si può qui interpretare come
caso particolare dell'espressione generale (2-2) quando il sistema compia una serie
ciclica di operazioni ritornando alle condizioni iniziali dopo l'evoluzione.
In tale caso la variazione dell'energia contenuta è nulla e si può scrivere:
Q+L=0
oppure, esprimendo in modo esplicito le trasformazioni da cui ovviamente dipende
l'energia scambiata sotto forma di lavoro e di calore:
  Q    L 0
Nell'ipotesi che si voglia esprimere in modo diretto l'esistenza dell'attrito, si può tenere
conto che una parte del lavoro, nella trasformazione irreversibile, si converte in attrito.
Tale attrito riscalda il fluido come se ci fosse un calore (R) entrante nel sistema
dall’esterno in aggiunta al calore ( Qirr ) effettivamente scambiato nella trasformazione
reale irreversibile:
Qrev  Qirr  R
Oppure l’attrito si può vedere come lavoro che si degrada in energia termica:
Lrev  Lirr  R
Il primo principio della Termodinamica può essere allora scritto in varie forme:
E  Qrev  Lrev  Qirr  Lirr  Qrev  Lirr  R  Qirr  Lrev  R
Una trasformazione adiabatica ( Qirr  0 ) irreversibile è descritta da seguente bilancio
di energia:
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E  Lirr  Lrev  R
(2-3)
Nel caso di una compressione adiabatica irreversibile ( Lirr  0 ) la presenza di attrito fa
aumentare il lavoro necessario. Nel caso di una espansione adiabadica irreversibile (
Lirr  0 ) la presenza dell’attrito fa diminuire il lavoro prodotto. In entrambi i casi il
lavoro ( Lrev ) rappresenta il lavoro scambiato nella trasformazione adiabatica
reversibile, detta isentropica come si vedrà in seguito.
Qirr
Qrev=Qirr+R
Lirr
Lrev=Lirr-R
R
E = Qrev + Lrev = Qirr + Lirr
Fig. 2-7
2.4.2 Il primo principio per i sistemi chiusi
Per i sistemi chiusi si considera ordinariamente solo quella energia contenuta che
è capace di esplicitarsi, negli scambi energetici, sotto forma di calore o di lavoro senza
trasferimento di massa. La sua espressione è:
U = Q + L
dove U è chiamata energia interna ed è misurabile in joule (J) nelle unità del sistema
internazionale (SI).
Le due condizioni cui si fa riferimento nella dicitura compatta U sono le
condizioni iniziale "1" e finale "2" del sistema che si ritrovano nella forma U2 - U1
come conseguenza dell'integrazione fra condizione iniziale e condizione finale.
Le due condizioni riguardano la stessa massa operante M che passa dallo stato "1"
allo stato "2".
L'energia interna ancorchè risulti somma di due energie che non ammettono
potenziale è un'energia contenuta e ammette potenziale.
Se sono definite le condizioni iniziali e finali del sistema in trasformazione, la
variazione dell'energia interna risulterà costante al variare del percorso di
trasformazione (figura 2-8).
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1
a
b
2
Fig. 2-8
Ciò si può esprimere in termini matematici con l'espressione:
 Q  L   Q  L
2
2
a
1
b
1
e quindi:
2
 dU  U
1
2
 U1
.
In forma differenziale si può esprimere:
dU = Q + L = Q – p dV
Quando il sistema che si considera contiene una massa costante anche se ricambiata (cioè quando il sistema è chiuso oppure aperto a massa costante) può
risultare utile e comodo, nella trattazione, prescindere dalla massa del sistema e quindi
usare per le grandezze estensive i valori cosiddetti specifici, cioè riferiti alla massa:
q = Q/M [J/kg] per la quantità di calore,
l = L/M [J/kg] per il lavoro,
u = U/M [J/kg] per l'energia interna,
v = V/M [m3/kg] per il volume,
r = R/M [J/kg] per l'attrito.
"q" sarà detto semplicemente calore e non calore specifico per evitare confusioni
con la grandezza fisica che comunemente possiede tale nome.
Si avrà allora:
du = q + l = q – p dv
(2-4)
2.5 Equazioni fondamentali
A differenza della termodinamica in cui è d'uso considerare solamente quei processi che coinvolgono trasformazioni dell'energia termodinamica, cioè calore e lavoro
in fase di scambio, la fluidodinamica considera sostanzialmente le trasformazioni che
avvengono nei fluidi quando essi sono in fase di trasferimento e possiedono quindi
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
18
una quantità non trascurabile di energia cinetica e di energia di posizione nel campo
della gravità. In questa ipotesi i sistemi si possono considerare sempre e soltanto
aperti.
A causa dell'aumento delle variabili atte a descrivere il sistema risulta spesso
insufficiente l'equazione di conservazione dell'energia o primo principio della
termodinamica per risolvere i problemi fluidodinamici. Si utilizzano pertanto insieme
a quella anche altre equazioni che devono essere rispettate dal sistema fisico. Esse
considerano l'equilibrio del sistema sia sotto l'aspetto dinamico (equazione di
equilibrio delle forze o di conservazione della quantità di moto ed equazione di
equilibrio delle coppie o di conservazione del momento della quantità di moto), sia
sotto l'aspetto della coerenza fisica del sistema (equazione di continuità o di
conservazione della massa).
Nella tecnica i sistemi aperti sono quelli che ricorrono più frequentemente, in
particolare quelli a flusso continuo, cioè caratterizzati da un flusso ininterrotto e costante di massa attraverso il sistema.
Un processo a flusso continuo può essere studiato seguendo l'evoluzione
temporale di una certa massa di fluido (massa di controllo) oppure l'evoluzione
temporale di una certa regione dello spazio occupata dal fluido (volume di controllo).
Molto spesso il sistema aperto oggetto dell'analisi termodinamica è tale da
occupare un volume di controllo che rimane invariato in forma e dimensioni nel tempo
e fisso rispetto all'osservatore. E' questo il caso che prendiamo qui in considerazione.
2.5.1 Principio di conservazione della massa
Considerando un volume di controllo arbitrario V, delimitato da una superficie 
immobile rispetto ad un sistema di riferimento fisso, completamente immerso nel
fluido in moto, la massa di fluido che attraversa tale superficie nell'unità di tempo vale





 c  d  , se con d  si indica un vettore di modulo pari all'area dell'elemento di

superficie e direzione secondo la normale uscente dal volume (figura 2-9), con c la
velocità del fluido in corrispondenza di tale elemento di superficie e con  la densità
del fluido in generale funzione del tempo e della posizione.
La massa totale contenuta in V è ovviamente

V
 dV .
Il principio di conservazione della massa richiede che, in assenza di sorgenti o
pozzi di massa all'interno del volume considerato, deve risultare:
 variazione della massa   flusso netto di massa 

= 

contenuta in V

  attraverso il contorno 
cioè:
d
d

V

 dV     c  d 


Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
19
c
d
V

Fig. 2-9a
Se la velocità c è costante in tutti i punti della sezione  di un condotto, la massa
che attraversa la stessa sezione in un tempo d è quella contenuta nel volumetto
schematizzato in figura 2-9b.
c

dx=c d
Fig. 2-9b
d
nel
volumetto
si
troverà
la
massa
dm   dV     dx     c d , nell’ipotesi di densità costante in tutti i punti
Dopo
il
tempo
del volumetto. Risulta quindi:
dm 
m c
d
 kg 
 s 
 
Nel caso di un tratto di condotto con pareti impermeabili alla massa, denotando
con 1 la sezione di ingresso del fluido e  2 quella di uscita e nell'ipotesi di densità e
velocità costanti in tutti i punti di una data sezione, nonchè di moto stazionario, si ha:


m1  m 2 

m   c   costante
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
20
differenziando:
  dc   c d  c  d  0
e dividendo per  c  :
dc d d


0


c
(2-5)
In talune applicazioni ingegneristiche (cioè con riferimento ai condotti) si
considera oltre all'ingresso ed all'uscita del fluido uno scambio parziale e continuo di
massa della parete del condotto con l'esterno per cui ad un generico tratto dx lungo

l'asse del condotto si abbia un passaggio di portata d m (positiva entrante, negativa
uscente) per cui l'equazione (2-5) diventa:

dc d  d  d m


 
c


m
Essendo l'equazione della massa un'espressione scalare essa risulta applicabile
nelle forme indicate ad un qualsiasi condotto anche ad andamento curvilineo con
sezioni di ingresso e di uscita non parallele o disassate fra loro.
2.5.2 Il primo principio per i sistemi aperti
In figura 2-10 è schematizzato un sistema con una sola sezione di ingresso del
fluido ed una sola di scarico; i risultati dell'analisi che faremo sono comunque
facilmente estendibili a sistemi con più sezioni di ingresso e scarico.
Il principio di conservazione dell’energia applicato al volume di controllo (V) in
un tempo  stabilisce che:
 Energia trasportata
  Energia trasportata
  Energia scambiata


-
+

 dalla massa entrante in V   dalla massa uscente da V   in forma lavoro o calore 
 Variazione di

=

 energia contenuta in V 
E1  E 2  Q  L  E
J 
(2-6)
dividendo per il tempo  e passando al limite per 0:
dE
E 1  E 2  Q  L 
d
W 
(2-7)
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
21
calore Q
nel tempo 
2
1
superficie
di controllo
lavoro L
nel tempo 
Fig. 2-10
La situazione più comune è quella di un sistema con flusso cosiddetto
"permanente" o "stazionario" in cui le condizioni termodinamiche del fluido operante
permangono costanti in ogni punto indipendentemente dal tempo, ma variano
eventualmente solo nello spazio. Tale tipo di movimento è caratteristico dei sistemi
stazionari o permanenti (comunemente si dice "a regime").
Nell'ipotesi che il fluido presenti condizioni termodinamiche nelle sezioni di
scambio di massa 1 e 2 costanti nel tempo (condizioni permanenti) ed uniformi in tutti
i punti della sezione considerata, va osservato che l’ingresso della massa dm1 nel
volume di controllo è provocato dall'azione del campo di pressioni esterno agente sulla
sezione 1 che dà luogo ad una forza, pari a p11, normale alla sezione. Il punto di
applicazione di tale forza si sposta di dx 
dm1 v1
1
, introducendo nel volume di
controllo un'energia pari a p1  1 dx  dm1 p1 v1 .
Tale energia, detta "di spostamento", può essere vista in definitiva come
corrispondente ad un lavoro che la massa che attraversa il contorno del volume di
controllo trasporta con sè. L'energia specifica di spostamento (pv) risulta funzione del
solo stato termodinamico del fluido e come tale ammette potenziale al pari dell'energia
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
22
interna, cinetica e gravitazionale. In definitiva l’energia complessivamente trasportata
dalla massa dm1 risulta:


c2
dm1  u1  p1v1  1  gz1 
2

.
Considerazioni analoghe nella sezione 2 di scarico portano a calcolare come


c2
dm2  u2  p2 v 2  2  gz 2  l'energia trasportata dalla massa dm2.
2


2.5.2.1 L’equazione dell’energia per sistemi a flusso stazionario
Nell'ipotesi di stazionarietà del moto deve risultare lim
 0
dm1

 lim
 0
dm2

 m e
dE
 0 , per cui la (2-10) diventa:
d

 

c2
c2
m  u1  p1v1  1  gz1    u2  p2 v2  2  gz2    Q  L  0
2
2
 


.
Introducendo l'entalpia:

 

c 22
c12






Q  L  m  i2   gz 2    i1   gz1 
2
2
 


(2-8)
ovvero in termini di potenze all'unità di portata di massa (energie specifiche):
 c2 c2 
J 
q  l   i2  i1    2  1   g  z2  z1   
 kg 
2 2
(2-9)
ed in termini differenziali:
J 
 q   l  di  c dc  g dz  
 kg 
(2-10)
Nel caso di processi a flusso continuo quindi si può fare riferimento alle
grandezze specifiche, non più come energie riferite alla massa del sistema, ma come
potenze riferite alla portata di massa del sistema in evoluzione. E' necessario però
considerare che altre energie oltre a quella interna intervengono esplicitamente, per
consentire l'ingresso e lo scarico della massa operante.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
23
Nella realtà la velocità in una sezione può essere variabile da punto a punto;
nell'equazione (2-9) andrà perciò introdotta la velocità mediata. La media dovrebbe
essere fatta rispetto alla massa, però dato che ordinariamente la densità in una sezione
trasversale al condotto è costante o almeno molto poco variabile, la velocità viene
considerata come media ponderata rispetto alla sezione:
c
 c x, y,z d 

(2-11)
Facendo riferimento a questo valore medio della velocità, l'energia cinetica vale
realmente:

c2
c  x , y , z 
c3
d    
 
2 
2
2
3
m
(2-12)
con "" poco diverso da 1 per i casi ordinari (1,15 per canali di forma semplice non
molto scabri con moto turbolento), ma =2 per condotti circolari in moto laminare.
Qualora in un sistema ci siano più di un solo ingresso e più di una sola uscita,
come si è ipotizzato in questo paragrafo, bisognerà computare tutti gli scambi
energetici, quelli entranti con il segno "+" e quelli uscenti con il segno "-"; allo stesso
modo si dovrà tenere conto che i termini q ed l sono i bilanci netti delle energie
scambiate sotto forma di calore e di lavoro, ciascuno con il suo segno, in realtà
possono esserci più scambi di calore e di lavoro.
Nella 2-10 si può far comparire esplicitamente l'attrito:
di + c dc + g dz = qrev +  lirr - r.
(2-13)
Tenendo conto nella 2-10 della relazione 2-4 si può ricavare:
 l  v dp  c dc  g dz
(2-14)
che va sotto il nome di forma meccanica del primo principio per sistemi aperti,
formalmente diversa dalla 2-10 che viene detta forma termica in quanto in essa
compare esplicitamente il calore scambiato.
Da osservare che per i sistemi aperti per i quali risulta trascurabile la variazione
di energia cinetica (c dc  0) e di energia potenziale (g dz  0) si ha:
 l  v dp
L’estrema diffusione nel campo tecnico di questo tipo di sistemi aperti (pompe,
turbine, compressori, …) ha portato a coniare il nome “lavoro tecnico” per
l’espressione “v dp”.
2.2.1 Grandezze termodinamiche derivate
Oltre alle grandezze termodinamiche fin qui considerate, altre presentano
interesse pratico in quanto consentono una più agevole descrizione dei fenomeni
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
24
termodinamici, esse vengono definite grandezze termodinamiche derivate in quanto
assumono la forma di derivate delle precedenti.
In realtà alcune non possono a rigore essere definite derivate, in quanto una
grandezza fisica che non ammette potenziale (quale ad esempio il calore) non può
essere derivata, tuttavia ha interesse e viene usato il rapporto incrementale fra il calore
scambiato e la variazione di temperatura del fluido. Tali rapporti sono definiti calori
specifici:
c
q
dT
La grandezza termodinamica calore specifico non è una grandezza termodinamica
di stato bensì è legata alla trasformazione in corso, ed a seconda di essa assume valori
diversi che possono essere variabili da zero ad infinito per valori sia positivi, sia
negativi.
Assumono particolare interesse i calori specifici corrispondenti alle
trasformazioni a pressione costante ed a volume specifico costante, essi sono chiamati
rispettivamente: calore specifico a pressione costante ed a volume costante, il loro
valore è tipico del fluido e dello stato termodinamico nel quale esso si trova.
Particolarmente utili sono le relazioni tra i calori specifici e le variazioni di
energia interna ed entalpia subite dal fluido in una trasformazione termodinamica. Il
calore specifico a volume costante, per quanto sopra detto, risulta
 q 
cv  

 dT  v cost
il calore scambiato, dal primo principio, vale q  du  p dv , per cui
 du  p dv   du 
cv  
 

 dT
 v  dT  v
Risultando ogni proprietà di stato funzione di altre due, si può ritenere
u  uT , v  , quindi
 u 
 u 
du  
 dT    dv
 v  T
 T  v
Per i fluidi per i quali u  u T  risulta:
 u 
  0
 v  T


 du 
du  
 dT  cv dT

 dT  v
cv  cv T 
qualunque sia la trasformazione.
Un analogo procedimento può essere utilizzato per ricavare una relazione tra
calore specifico a pressione costante ed entalpia.
Il calore specifico a pressione costante risulta
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
25
 q 
cp  

 dT  p cost
il calore scambiato vale q  du  p dv  di  v dp , per cui
 di 
 di  v dp 
cp  
  
 dT  p  dT  p
Ritenendo i  i T , p  si ha
 i 
 i 
di  
 dT    dp
 T  p
 p  T
Per i fluidi per i quali i  i T  risulta:
 i 
   0 
 p  T

 di 
 dT  c p dT
di  
 dT  p

c p  c p T 

qualunque sia la trasformazione.
Il rapporto tra il calore specifico a pressione costante e quello a volume costante è
anch'esso una grandezza molto interessante che viene indicata con il simbolo :
 = cp/cv
cp e cv indicano rispettivamente i due calori specifici a pressione ed a volume costante.
Dal volume specifico e dalla temperatura è possibile definire il coefficiente di
dilatazione o dilatabilità termica del fluido che è la variazione relativa del volume al
variare della temperatura, quando la pressione è costante:
1  v 

v  T  p cost
 
tale coefficiente è misurato in K-1.
Dalla pressione e dal volume specifico è possibile definire la compressibilità
volumica, cioè la variazione relativa del volume al variare della pressione, a
temperatura costante:
1  v 

v  p  T cost
   
misurato in Pa-1.
Dalla pressione e dalla temperatura è possibile definire la compressibilità termica,
cioè la variazione della pressione al variare della temperatura a volume specifico
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
26
 p 
, la quale risulta calcolabile

 T  v cost
costante; essa è definita dalla derivata parziale 
dalle due proprietà precedenti dato che per funzioni continue e derivabili di tre
variabili vale la relazione:
 v 
 T 
 p 
 1
 
 
 
 T  v cost  v  p cost  p  T cost
e cioè:

 p 



 T  v cost 
misurato in Pa/K.
Nel processo di trafilazione, cioè di passaggio di un fluido attraverso una
resistenza al moto con conseguente caduta di pressione, senza scambio con l'esterno
nè di calore nè di lavoro, si associa alla diminuzione di pressione un aumento di
volume specifico, ma anche ordinariamente una variazione di temperatura; tale
fenomeno è detto effetto Joule-Thomson.
Dal fatto che q = l = 0, nell'evenienza ordinaria che siano trascurabili le
variazioni di quota e di energia cinetica, cosa che si verifica quest'ultima ad una certa
distanza dalla zona perturbata dove lo stesso fenomeno si verifica, si conclude che
di = 0, cioè che la trafilazione risulta un processo isoentalpico.
Il fenomeno si descrive attraverso il coefficiente di Joule-Thomson:
 T 
   
 p  i cost
Il valore numerico del coefficiente  può essere positivo, negativo o nullo a
seconda del tipo di fluido che si considera ed a seconda dello stato termodinamico
dello stesso.
Tra le grandezze termodinamiche derivate si può inserire anche la velocità del
suono.
Essa è la velocità di propagazione delle onde elastiche di rarefazione e di compressione nel mezzo fluido considerato (oppure di singoli fenomeni transitori o
impulsivi).
Il fenomeno avviene attraverso una periodica conversione di entalpia (sotto forma
di pressione) in energia cinetica e viceversa per l'elasticità del fluido.
La trasformazione, adiabatica per la rapidità con cui ha luogo, se non sono
presenti fenomeni dissipativi (r=0) risulta essere isentropica. L'equazione di
conservazione della quantità di moto e quella della massa portano a ricavare la
seguente espressione per la velocità del suono:
 p 
c s   
   s cost
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
27
2.2.2 Miscele di gas
Se coesistono nello stesso volume più gas, che risulteranno di fatto intimamente
mescolati tra loro anche per effetto della diffusione spontanea, risulta che il
comportamento della miscela sarà simile al comportamento di una sostanza singola,
per lo meno nei limiti in cui non intervengono variazioni di fase per uno o alcuni dei
componenti.
Nel caso che i gas componenti la miscela si possano descrivere attraverso la legge
dei gas perfetti, si ritiene ordinariamente valida in fase aeriforme la legge di Dalton
che afferma che ogni gas assume una pressione parziale pari a quella che esso avrebbe
se occupasse da solo l'intero volume, ovviamente il volume occupato coincide con
quello totale e la temperatura è comune a tutti i componenti.
Le proprietà estensive del gas risultante (cp, cv, R*, v, i, ecc.) saranno una media
ponderale di quelle componenti.
I casi più importanti, e di fatto gli unici interessanti per le applicazioni tecniche,
sono quelli dell'aria e dei gas di combustione che da essa differiscono in modo non
molto significativo per le basse temperature.
2.2.3 La legge degli stati corrispondenti
I diagrammi di stato relativi a fluidi differenti presentano andamenti simili che
con ragionevole approssimazione si possono portare a coincidere mediante una
rappresentazione grafica che abbia sugli assi coordinati i parametri cosiddetti ridotti
che sono stati concepiti in modo tale che i valori della pressione, della temperatura e
del volume specifico valgano "1" nel punto critico. La legge degli degli stati
corrispondenti esplicita l’evidenza sperimentale che gli stati termodinamici di fluidi
differenti, se espressi in termini di parametri ridotti, coincidono.
La definizione dei parametri ridotti è la seguente:
pressione ridotta pr = p/pK,
temperatura ridotta Tr = T/TK,
volume specifico ridotto vr = v/vK,
e similmente per le altre grandezze.
I valori che portano il pedice K sono quelli relativi al punto critico di ogni singola
sostanza.
La rappresentazione grafica assume la stessa forma delle figure 2-1, 2-2, 2-3, e 24 che però questa volta risulta unica e valida per qualsiasi sostanza chimica.
La rappresentazione così ottenuta non risulta rigorosamente valida, ma è tale
solamente in via di prima approssimazione, in quanto le varie sostanze esistenti hanno
diagrammi solamente simili e non coincidenti.
Per ottenere rappresentazioni più precise, anche se sempre approssimate, si può
osservare che sostanze appartenenti alla stessa classe nella classificazione periodica
degli elementi oppure chimicamente simili, se si tratta di composti, presentano
similitudini assai più spiccate, esistono quindi diagrammi per classi di sostanze
28
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
chimiche la cui affidabilità e precisione è tale da consentire una ragionevole
attendibilità anche per calcoli di buona precisione.
Le informazioni che si ottengono dalla legge degli stati corrispondenti non si
utilizzano ordinariamente per i fluidi più noti, correntemente usati nelle applicazioni
tecniche, bensì per quelle sostanze di uso infrequente per cui non vale la spesa e lo
sforzo di condurre estese indagini per ricavare con adeguata precisione le proprietà
termodinamiche per via sperimentale diretta.
2.2.4 Proprietà dei fluidi reali
Le proprietà dei fluidi così come risultano dalle legge degli stati corrispondenti,
possono agevolmente essere rappresentate su un diagramma termodinamico che evidenzia chiaramente la applicabilità o meno della equazione di stato semplificata per i
gas perfetti.
Tale diagramma, noto come diagramma di Amagat, è rappresentato nella figura
2-11.
Il diagramma di Amagat riporta sulle ascisse la pressione ridotta e sulle ordinate
il prodotto della pressione ridotta per il volume specifico ridotto per cui il punto critico
avrà coordinate unitarie.
E' chiaramente evidente la curva limite o di saturazione, oltre a questa sono
indicate la curva di Boyle (linea B) che unisce tutti i punti in cui le linee a T = cost
hanno tangente parallela all’asse delle ascisse e la curva di inversione (linea J) che
unisce tutti i punti per cui è nullo il coefficiente di Joule-Thomson  = 0.
Nell'intorno della curva B e dove essa interseca l'asse delle ordinate si osserva
che può scriversi con buona approssimazione che il prodotto pv è proporzionale alla
temperatura, anche se il coefficiente di proporzionalità può risultare variabile a
seconda della zona alla quale si fa riferimento, ciò consente di identificare con
ragionevole precisione in quale campo si possa fare uso della legge dei gas perfetti (pv
= R*T).
Nell'intorno della curva J il comportamento del fluido è ideale nel senso che una
trasformazione isentalpica è anche a temperatura costante e si può ritenere che
l'entalpia sia solamente funzione della temperatura, nella zona più interna invece il
fluido durante una espansione isoentalpica diminuisce di temperatura >0, (come
avviene per la gran parte dei fluidi utilizzati nelle condizioni operative ordinarie),
mentre nella zona esterna il fluido durante una espansione isentalpica subisce un
aumento di temperatura <0, (in queste condizioni operano ordinariamente l'idrogeno
e pochi altri fluidi le cui condizioni di temperatura e pressione ambientale si trovano al
di fuori della curva di inversione).
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
29
Fig. 2-11
Diagramma di Amagat
I calori specifici a pressione e volume costante di un fluido possono risultare
fortemente variabili con lo stato termodinamico del fluido stesso.
Ad esempio, nelle figure 2-12a e 2-12b, sono riportati i valori del calore specifico
a pressione costante ed a volume costante dell’acqua sono riportati.
Il valore di cp del gas perfetto è quello praticamente costante che si ha nella zona
asintotica alla destra del diagramma, che corrisponde a valori di T abbastanza elevati e
distanti dalla curva limite.
Quando è possibile fare uso della approssimazione dei gas perfetti, si riscontra
che cp - cv = R* è costante e che le tre energie specifiche fondamentali dipendono
esclusivamente dalla temperatura e le loro variazioni sono esprimibili nelle forme
(vedi §2.2.1):
du = cv dT
di = cp dT
(2-15)
(2-16)
d(pv) = di - du = R*dT
(2-17)
rispettivamente valide per l'energia interna specifica, l'entalpia specifica e l'energia di
spostamento specifica.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
30
Fig. 2-12a
Calore specifico a pressione costante per l’acqua
Nella zona interna alle curve limite (vapore saturo) il valore del calore specifico a
pressione costante e di R* tendono ad infinito e dT tende a zero per cui si ha una forma
di indeterminazione riguardo all'entalpia e all’energia di spostamento, che tuttavia
viene facilmente superata ricordando che la variazione di entalpia durante
l'evaporazione a pressione costante è pari al calore scambiato nell'evaporazione:
i  r x ,  pv   p2 v 2  p1 v1
Il valore di cv è in tale zona fortemente variabile, ma rimane sempre finito.
Nel calcolo degli integrali delle relazioni (2-15), (2-16) e (2-17) se i valori di cp,
cv ed R* non sono costanti, ma variano con la temperatura e la pressione, tali termini
non possono essere estratti dall'integrale.
Valori approssimati per le variazioni delle energie specifiche citate possono
essere ottenuti considerando cp, cv, R* dipendenti solo dalla temperatura, trascurando la
dipendenza dalla pressione.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
31
Fig. 2-12b
Calore specifico a volume costante per l’acqua
2.3 La qualità dell’energia
Il principio di conservazione dell’energia afferma che l’energia nelle varie
trasformazioni nei sistemi si conserva, ma non ci dice nulla sul verso del trasferimento
di energia né sulle variazioni di qualità di essa.
Le risultanze sperimentali, finora mai contradette, ci dicono che l’energia tende
nei processi a degradarsi spontaneamente sottoforma termica. Un esempio è la
trasformazione dell’energia meccanica posseduta da una automobile in movimento in
energia termica prodotta sia dall’attrito con l’aria che dall’attrito dei pneumatici con il
suolo.
L’energia termica prodotta dall’attrito non può essere recuperata per produrre
energia meccanica. L’attrito è un fenomeno non eliminabile e di tipo dissipativo che
converte l’energia di alta qualità (il lavoro meccanico) in una forma degradata di bassa
qualità (l’energia termica). Le trasformazioni con attrito sono quindi “irreversibili” nel
senso che l’energia dissipata non si può recupera integralmente.
Sempre con riferimento all’auto, abbiamo un altro calore ceduto all’ambiente:
quello che passa, nel radiatore, dall’acqua di raffreddamento del motore (circa 90 °C)
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
32
all’aria circostante (ad esempio circa 40°C). Il calore viene spontaneamente trasmesso
dall’acqua all’aria poiché la prima si trova ad una temperatura superiore.
Anche questa trasformazione è irreversibile, nel senso che lo scambio inverso da
bassa ad alta temperatura non può avvenire spontaneamente, a meno di spendere
lavoro, come nel caso del raffrescamento dell’aria dell’abitacolo dell’auto con il
climatizzatore, che utilizza parte del lavoro del motore per trasferire il calore
dall’interno all’ambiente esterno.
Alla fine tutto il calore prodotto dall’auto lo si ritrova nell’ambiente in una forma
degradata, a bassa temperatura, non utilizzabile e che costituisce una forma di
“inquinamento termico” dell’ambiente.
Queste considerazioni vengono studiate in termodinamica nelle diverse
formulazioni del secondo principio della Termodinamica.
2.3.1 Il secondo principio della Termodinamica
Il primo enunciato del secondo principio della Termodinamica è quello di KelvinPlanck che afferma che è impossibile realizzare un motore che, realizzando un ciclo
chiuso di trasformazioni, trasformi tutto il calore assorbito da una sorgente ad alta
temperatura in lavoro meccanico utile.
Infatti sempre nella nostra auto, come abbiamo visto, il calore prodotto dalla
combustione nel cilindro viene in parte trasformato nel lavoro meccanico di
spostamento dell’auto e in parte ceduto in forma termica degradata all’ambiente
esterno.
Il secondo enunciato del secondo principio della Termodinamica è quello di
Clausius che afferma che è impossibile realizzare una macchina che, realizzando un
ciclo chiuso di trasformazioni, ha come unica conseguenza il passaggio di calore dal
sistema a bassa temperatura a quello ad alta temperatura.
Si può dimostrare che i due enunciati sono equivalenti, cioè negando il primo si
nega anche il secondo e viceversa.
Un'altra formulazione del secondo principio della Termodinamica è legata alla
funzione di stato entropia s.
In un sistema chiuso la variazione di entropia s vale:
s  
q
T
 sirr
Il termine sirr è un termine sempre positivo nelle trasformazioni reali che sono
sempre irreversibili perché si sviluppano per esempio sempre con attrito e con
differenze di temperature finite tra i sistemi.
Chiaramente s può essere negativa, ma nei sistemi isolati termicamente
(adiabatici), essendo q nullo, s risulta sempre positiva: questa affermazione
costituisce un’altra formulazione del secondo principio della Termodinamica.
Un esempio di sistema adiabatico è l’universo, nel quale quindi l’entropia
aumenta sempre.
L’unico caso in cui sirr è nullo è ovviamente nel caso di trasformazioni ideali
reversibili.
Un caso esemplificativo importante di sistema isolato per il quale è semplice
verificare l’aumento di entropia è quello formato da 2 sole sorgenti con temperature
T1>T2 che si scambiano il calore Q :
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
S  S 1  S 2  
33
Q Q

0
T1 T2
L’irreversibilità è dovuta alla differenza finita di temperatura e l’aumento di
entropia (il degrado del calore) è maggiore al crescere della differenza tra le due
temperature.
Una conseguenza del primo enunciato è che nelle macchine operanti secondo un
ciclo il cui scopo sia di produrre lavoro si può definire un rendimento termodinamico
 (che sarà minore di 1 per il secondo principio):

l
1
q1
con l lavoro netto prodotto (uscente) e q1 calore entrante nella macchina e proveniente
dalla sorgente ad alta temperatura.
Inoltre essendoci per l’enunciato di Kelvin-Planck un calore q2 ceduto ad una
sorgente a bassa temperatura, per il primo principio segue:

 q1  q2   1  q2
q1
q1
 1
q2
q1
Essendo sempre 0  q2  q1 , il rendimento sarà maggiore di zero e minore di
uno.
Si dimostra che il rendimento però al massimo, anche in assenza di irreversibilità
come l’attrito, può raggiungere il valore del rendimento del Ciclo di Carnot C:
C  1 
T2
T1
Il ciclo di Carnot è formato da due isoterme (reversibili) nella prima delle quali il
motore assorbe il calore q1 da una sorgente calda a temperatura T1 e nella seconda
cede il calore q2 ad un pozzo freddo a temperatura T2 e da due adiabatiche reversibili.
2.3.2 Rendimento termodinamico interno
Per un sistema chiuso che subisca una trasformazione tra due stati caratterizzati
da determinati valori del volume e per un sistema aperto che subisca una
trasformazione tra due stati caratterizzati da determinati valori della pressione è
interessante il confronto, dal punto di vista dell’energia pregiata (lavoro) scambiata
con l’ambiente, tra il caso di trasformazione reale con attrito e quello senza.
In Fig. 2-13 si riporta l’andamento di una trasformazione di espansione adiabatica
reversibile (1-2’) a confronto con una adiabatica irreversibile (1-2).
Ovviamente l’andamento 1-2 è solo qualitativo in quanto gli stati intermedi della
trasformazione reale con attrito, non essendo di equilibrio, non sono definibili e quindi
rappresentabili su un diagramma di stato.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
34

2
L’area sottesa dalla curva 1-2 ( v dp ) con l’asse delle ordinate, nel piano p-v,
1
risulta maggiore di quella sottesa dalla linea 1-2’.
In realtà il lavoro ottenibile dalla trasformazione reversibile di espansione è
maggiore di quello dell’espansione irreversibile in quanto in quest’ultimo caso l’attrito
degrada in calore parte del lavoro. La relazione fra i due lavori è di solito espressa
attraverso un parametro detto "rendimento termodinamico interno" della
trasformazione così definito:
i = lirr/lrev,
per le compressioni: i = lrev/lirr.
(2-18)
Nel caso di trasformazione adiabatica si può fare uso dell'equivalenza lavoro salto di entalpia per un sistema aperto a flusso stazionario, essendo di solito
trascurabili le variazioni di energia cinetica e potenziale; in tale caso la trasformazione
reversibile risulta isentropica per cui il rendimento termodinamico interno viene anche
chiamato "rendimento isentropico":
per le espansioni i = iirr/irev,
(2-19)
per le compressioni i = irev/iirr.
Nel caso di sistema chiuso il rapporto risulterà tra variazioni di energia interna.
Le due diverse espressioni sono necessarie per mantenere minore di uno il valore
numerico del rendimento stesso dato che nella compressione il lavoro della
trasformazione irreversibile è maggiore (una parte del lavoro fornito dall'esterno viene
perduto per attrito), mentre nelle espansioni accade l'inverso.
E' da tenere presente che

p2
p1
vdp ha esclusivamente il significato di lavoro
corrispondente alla trasformazione reversibile e che non ha nessuna relazione con il
lavoro scambiato nella trasformazione irreversibile.
In presenza di attrito il calcolo del lavoro scambiato viene svolto utilizzando il
rendimento termodinamico interno:
l12  i l12'
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
T
35
p
1
2
1
2’
2’
2
v
s
Fig. 2-13
2.3.3 L'attrito meccanico delle macchine
Con la trattazione sin qui effettuata si considera l'attrito del fluido nel suo percorso all'interno del sistema (aperto o chiuso), si tralascia però ogni menzione
dell'attrito dissipato dagli organi meccanici delle macchine nel loro funzionamento,
processo che dà origine al rendimento meccanico delle macchine stesse.
Si devono quindi distinguere nei vari passaggi dell'energia le seguenti fasi:
a) l'energia teorica che il fluido potrebbe cedere agli organi mobili della macchina se
esso non avesse attrito,
b) l'energia effettiva che il fluido scambia con gli organi in movimento, tenuto conto
dell'attrito che si manifesta nel fluido, essa differisce dalla precedente per il termine
r .
c) l'energia che le macchine scambiano effettivamente con l'esterno che è diversa da
quella citata in b) perché gli organi (solidi ed in movimento) della macchina sono
soggetti ad attrito meccanico.
Nel caso di macchine che realizzano un ciclo chiuso di trasformazioni è da
osservare che l’attrito meccanico si manifesta singolarmente in ogni fase in cui gli
organi meccanici lo originano; per cui il rendimento meccanico non è semplicemente
il rapporto fra il rendimento della macchina ed il rendimento globale del ciclo
termodinamico.
Il lavoro ceduto all'esterno da una macchina motrice reale risulta:
l = (lrev + r) m
dove lrev è il lavoro del fluido senza attrito, r è l'attrito del fluido reale, m è il
rendimento meccanico della macchina (attrito meccanico degli organi in movimento).
Tenendo conto dei segni, risulta:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
36
lrev > lrev + r
Se la macchina è invece una macchina operatrice reale il lavoro fornito
dall'esterno risulta maggiore del lavoro che effettivamente giunge al fluido e perciò:
l = (lrev + r)/ m
Nel caso della macchina motrice il lavoro assoluto teoricamente disponibile viene
ridotto due volte: dall'attrito del fluido (l è infatti negativo) e dall'attrito meccanico;
nel caso della macchina operatrice viene accresciuto due volte: dall'attrito del fluido (
l è positivo) e dall'attrito meccanico.
Tenuto conto della definizione di rendimento termodinamico interno (2-18),
per macchina motrice:
l = lrev  i m
per macchina operatrice:  l =
 l rev
 i m
Un altro modo di definire il rendimento meccanico è quello di rapporto tra il
lavoro uscente dalla macchina ed il lavoro netto sviluppato dal ciclo tenuto conto
dell’attrito interno del fluido.
Il rendimento meccanico così definito, relativo alla macchina complessivamente,
risulterà ovviamente numericamente diverso da quello relativo alle singole
trasformazioni.
2.4 Cicli termodinamici
I cicli termodinamici sono sequenze di trasformazioni che originano e ritornano
ad uno stesso punto, cioè operano trasformazioni cicliche sul fluido.
Si distinguono in:
diretti se il risultato finale è la conversione di energia termica in energia meccanica;
inversi se danno origine a conversione di energia meccanica in termica e
contemporaneamente producono il trasferimento del calore da una sorgente a data
temperatura verso un'altra a temperatura più elevata.
I cicli che operano con fluidi che non mutano di stato di aggregazione durante le
trasformazioni sono detti "cicli a gas" ed in linea di prima approssimazione sono
calcolati come se il fluido avesse le caratteristiche di un gas perfetto; naturalmente nel
caso che si considerino più approfonditamente i problemi ed in particolare nello studio
delle macchine termiche, che realizzino praticamente le trasformazioni, è necessario
portare le opportune correzioni che consentono di descrivere con più fedeltà il
comportamento dei fluidi (in particolare è di primaria importanza tenere conto della
variabilità dei calori specifici e del loro rapporto ). Inoltre d'ordinario non è
trascurabile l'effetto dell'attrito.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
37
I cicli che operano con trasformazioni che comprendono passaggi di stato di
aggregazione sono detti "cicli a vapore" e per essi le proprietà dei fluidi devono venire
desunte da diagrammi o da tabelle.
Di solito anche per essi l'effetto dell'attrito è trascurabile solo in prima e grossolana approssimazione.
Il primo principio della termodinamica applicato ad un ciclo termodinamico, e
quindi con condizioni termodinamiche iniziale e finale coincidenti, diventa:
 δq   δl 0
sia nel caso dei sistemi aperti, sia nel caso dei sistemi chiusi, infatti risulta:
 c
dc  0,
 g
dz  0 e   p dv   v dp
(2-20)
Nei diagrammi di Clapeyron e di Gibbs l'area dei cicli corrisponde rispettivamente a
 δl ed a  δq se le trasformazioni che compongono i cicli stessi sono tutte
reversibili, in tale caso si ha che l'area del ciclo nel diagramma di Clapeyron equivale
anche al calore scambiato dal ciclo e l'area nel diagramma di Gibbs equivale anche al
lavoro scambiato.
Nelle situazioni dove compare attrito non è detto che l'integrale esteso alle
trasformazioni componenti il ciclo corrisponda con l'area del ciclo (ad esempio se
esistono trasformazioni isentalpiche) e c'è la possibilità che parte delle aree stesse
rappresentino energie convertite in attrito, e non energie scambiate con l'esterno bensì
internamente al sistema con conversione di energia meccanica in energia termica.
Nel caso che anche solo una parte di trasformazione sia affetta da attrito, le aree
vanno quindi computate singolarmente ed aggregate secondo il loro significato.
2.4.1 Ciclo diretto a vapore (Rankine)
I cicli diretti sono i cicli più antichi, i primi che sono stati impiegati per convertire
energia termica in energia meccanica.
Su di essi si è basato Carnot per sviluppare le sue teorie (le due isoterme sono
quelle di evaporazione e di condensazione), tuttavia le loro caratteristiche operative li
fanno esatti corrispondenti del ciclo Joule a gas.
Si ha infatti, come si osserva dalle figure 2-14, una compressione adiabatica AB
(pompa o compressore), un riscaldamento a pressione costante BCD (caldaia),
un'espansione adiabatica DE (turbina) ed un raffreddamento a pressione costante EA
(condensatore).
La prima sistematizzazione del ciclo nella sua forma reale è stata effettuata da
Rankine da cui il ciclo base prende il nome.
Uno schema dell’impianto è riportato in figura 2-14c.
Le peculiari caratteristiche dei fluidi nella zona compresa tra le curve limite fa si
che buona parte del riscaldamento sia anche a temperatura costante (evaporazione) e
che praticamente tutto il raffreddamento sia una condensazione a temperatura
anch'essa costante.
Si osserva dal diagramma di figura 2-14b, nonostante la rappresentazione fuori
scala per poterlo evidenziare, che il lavoro di compressione è molto piccolo rispetto a
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
38
quello di espansione, per cui è spesso trascurato e talvolta non viene neppure tracciato,
confondendo il punto A ed il punto B del diagramma in prima approssimazione.
Tale fatto fa sì che taluni erroneamente dimentichino l'esistenza di tale lavoro,
illudendosi che la dilatazione da liquido a vapore che si ha nella caldaia produca la
messa in pressione del sistema.
Ciò potrebbe verificarsi per una caldaia riempita d'acqua e poi riscaldata a
volume costante, ma naturalmente la produzione di vapore presto cesserebbe per
mancanza di liquido. Realmente l'acqua deve venire continuamente alimentata alla
pressione stessa di esercizio della caldaia e per le più recenti realizzazioni si tratta di
portate di centinaia di kg/s con pressioni di decine di megapascal (MPa).
Le potenze delle pompe sono calcolabili in MW, ciononostante tale valore è
sempre una piccola frazione rispetto alla potenza meccanica prodotta che è di
centinaia o di migliaia di MW.
Fig. 2-14a
Fig. 2-14b
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
39
Q1
D
B
Lesp
Lcomp
E
A
Q2
Fig. 2.14c
L’analisi delle trasformazioni termodinamiche realizzate in ciascun componente
dell’impianto può essere condotta isolando con una superficie di controllo il
componente dal resto dell’impianto. Ad esempio, la caldaia che effettua la
traformazione BD la isoliamo come in Fig. 2-14d.
Q1
D
B
superficie di controllo
Fig. 2.14d
Osserviamo che essendo la superficie di controllo attraversata da massa ed energia si
tratta di un sistema aperto. Se gli stati termodinamici, di ingresso B e scarico D,
restano fissi nel tempo e la portata di fluido resta costante tra ingresso ed uscita, allora
il sitema è aperto a flusso stazionario con un ingresso ed uno scarico di massa.
Applicando il primo principio della termodinamica in forma termica si ha:
D
D
D
D
D
  q    l   di   c dc   g dz
B
B
B
B
B

 c2  c2 
q1   iD  iB    D B   g  z D  z B 
 2 
ed osservando che, solitamente, risulta trascurabile la variazione dell’energia cinetica
e di quella potenziale:
J 
q1   iD  iB   
 kg 
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
40
Con lo stesso procedimento si può calcolare lesp, q2, lcomp verificandoche anche per
gli altri componenti di impianto l’energia scambiata coincide con la variazione di
entalpia del fluido tra ingresso e scarico.
Il rendimento del ciclo termodinamico, è facilmente desumibile anche dai
diagrammi di stato, su cui è rappresentato il ciclo:
per il diagramma di Gibbs (fig. 2-14a):
η 1 
q2
area sotte sa da AE
1 
q1
area sotte sa da BCD
e per il diagramma di Mollier (fig. 2-14b):
η 1 
q2
i -i
1  A E
q1
iD -iB
oppure:
η
 l  lesp  lcompr   iE  iD   iB  i A 
i i


 1 A E
q1
q1
iD  iB
iD  iB
E' da tenere presente che l'area sottesa dalle linee EA e BCD è da intendersi
calcolata fino all'asse di 0 K = - 273,15 °C e non 0°C.
Il rendimento del ciclo evidenziato è piuttosto basso perchè le temperature
raggiunte non sono molto elevate ed anche il funzionamento delle macchine di
espansione sia alternative (a stantuffi) sia rotative (turbine) non è buono per la
presenza di condensa che produce notevoli difficoltà operative ed accelera il degrado
della macchina (corrosione per abrasione prodotta dalle goccioline di condensato in
moto ad alta velocità).
Si riesce ad ovviare ad entrambi gli inconvenienti procedendo a surriscaldare il
vapore oltre la curva limite superiore.
Ciò produce un innalzamento della temperatura media di fornitura del calore
innalzando il rendimento ed insieme un aumento del titolo di vapore al quale si
verifica l'espansione (ove essa non avvenga praticamente tutta nella zona del vapore
surriscaldato), riducendo quindi gli inconvenienti connessi con la presenza di acqua
liquida.
Esistono limiti tecnologici quali il pericolo di snervamento per l'effetto combinato
di pressione e temperatura sui materiali e la loro conseguente limitata prestazione
meccanica, che impediscono al vapore di superare i 600°C.
Se si vuole procedere a grandi surriscaldamenti, dopo aver raggiunto una prima
volta la temperatura massima si effettua una prima espansione in turbina ad alta
pressione cui si fanno seguire uno o più risurriscaldamenti successivi che producono
in ogni caso effetti simili al primo.
Per grandi impianti fissi (centrali termoelettriche) il numero più usato di surriscaldamenti è due.
In figura 2-15 è riportato il diagramma del ciclo termodinamico a vapore con
surriscaldamenti.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
41
Fig. 2-15
Con linea continua è evidenziato il ciclo con due surriscaldamenti, quello con un
solo surriscaldamento si richiude lungo la linea tratteggiata.
Nel caso che la pressione di caldaia sia superiore alla pressione critica non è
possibile che si verifichi l'evaporazione, ma il passaggio di stato avviene senza
soluzione di continuità alla temperatura critica.
Bisogna ricordare infatti che la definizione delle zone che corrispondono ai vari
stati di aggregazione è del tutto convenzionale al di fuori delle curve limite in quanto
non esiste alcun fenomeno o parametro fisico che variando in modo discontinuo possa
consentire una distinzione oggettiva.
Il ciclo è poco utilizzato, tuttavia ne esistono più esempi, esso prende il nome di
sopracritico o ipercritico.
Il rendimento dei cicli con più surriscaldamenti o di quelli ipercritici si ottiene
con gli stessi criteri già utilizzati in precedenza, bisognerà solo porre mente al fatto
che sia la fornitura di calore, sia l'ottenimento del lavoro non avvengono lungo
un'unica trasformazione ininterrotta, bensì lungo due o più trasformazioni dello stesso
tipo (isobare per i riscaldamenti, adiabatiche per il lavoro) di cui bisognerà calcolare in
sommatoria lo scambio complessivo di energie.
Per il caso della figura 2-24 si ha il rendimento:
η 1 
q2
i A iF
area sotte sa da AF
1 
1 
q1
area sotte sa da BCDE
i E  i D  iC  i B .
Come al solito l'area sottesa nel diagramma di Gibbs deve raggiungere l'asse di
0 [K].
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
42
Fig. 2-16
La trasformazione CD è adiabatica ed in presenza di attrito si ha una variazione di
entropia nel tratto CD (fig. 2-16): sC è diverso da sD e quindi esiste un'area sottesa
dalla linea di trasformazione.
Stanti le caratteristiche del diagramma è evidente che tale area ha significato di
una quantità di calore, tuttavia tale calore non è scambiato dal fluido con l'esterno, ma
è ricevuto internamente a causa della conversione in attrito di una frazione del lavoro
che dovrebbe venire prodotto.
Nella trasformazione CD non isentropica, l'area è il calore prodotto nel fluido per
attrito, esso rimane nello stesso fluido e quindi viene introdotto dall'interno stesso;
risulterà quindi diminuito il lavoro scambiato con l'esterno durante tale
trasformazione.
2.5 Cicli inversi
I cicli inversi possono essere a gas oppure a vapore come i cicli diretti.
Essi hanno le stesse caratteristiche dei corrispondenti cicli diretti, salvo che il
motore di espansione è sostituito da un compressore e viceversa, sul diagramma
termodinamico la percorrenza è antioraria anzichè oraria come nei cicli diretti.
In conseguenza lo scopo dei cicli inversi è, come già detto, di sottrarre calore ad
una sorgente a bassa temperatura per riportarlo a temperatura più elevata spendendo
lavoro.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
43
Spesso, anzichè il motore, per effettuare l'espansione si utilizza una trafilazione
isentalpica, in tale modo i componenti risultano più semplici e meno costosi; la resa
tuttavia risulta inferiore a causa dell'attrito che necessariamente si manifesta.
Tale pratica è sostanzialmente utilizzata per i cicli a vapore.
La resa viene quantizzata attraverso il parametro efficienza (termica) definita
come rapporto fra l'energia utilizzabile (in forma di calore) e l'energia spesa (in forma
di lavoro).
L'efficienza non fornisce informazioni sulla utilizzazione dell'energia termica in
forma più pregiata (lavoro), come si ha per il rendimento dei cicli diretti, pertanto la
conversione così ottenuta non è soggetta al secondo principio della termodinamica ed
il limite superiore dell'efficienza non è quello del ciclo di Carnot, l'efficienza può
essere superiore ad 1.
Il rendimento del ciclo di Carnot è il massimo possibile perchè per esso risulta
massimo il lavoro e minima la quantità di calore q2, per un ciclo inverso invece risulta
conveniente che sia grande q2 e piccolo l, quindi possono risultare convenienti i cicli
che non offrono il massimo del rendimento come cicli diretti.
Ciò è vero quando si considerano i cicli ideali senza attrito, in quanto se il calo di
rendimento è conseguente all'attrito, l'attrito stesso, ancora presente nel ciclo inverso,
continua ad avere lo stesso segno e produce dissipazione generando questa volta una
diminuzione dell'efficienza così come nel ciclo diretto produceva un calo del
rendimento.
2.5.1 Frigoriferi e pompe di calore
A seconda dell'utilizzazione che si intende effettuare può essere considerato
effetto utile del ciclo inverso sia il calore sottratto alla sorgente a bassa temperatura,
sia il calore fornito alla sorgente a temperatura più elevata. In corrispondenza si
potranno definire due diverse efficienze che considerano i due diversi modi di
utilizzazione.
Si dicono frigorigeni quei cicli termodinamici che, prelevando calore ad una
temperatura più bassa dell'ambiente, lo riportano ad una temperatura superiore
all'ambiente, scaricandolo di solito nell'ambiente esterno e mantendo così la sorgente
più fredda ad una temperatura inferiore all'ambiente circostante, si dicono pompe di
calore quelle macchine che operano un ciclo inverso che, prelevando calore alla
temperatura ambiente, lo scaricano a temperature superiori all'ambiente.
Il modo di funzionare ed il ciclo termodinamico sono qualitativamente gli stessi,
la differenza consiste nei valori delle temperature fra le quali si opera.
Di conseguenza l'efficienza del ciclo frigorifero risulta:
ε
q2
q2

l q1  q 2
e quella della pompa di calore:
* 
q1 1

l
η
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
44
dove il segno meno tiene conto che la q1 esce dal ciclo ed è pertanto negativa
(naturalmente si vuole * positiva), si nota che l'efficienza della pompa di calore è
l'inverso del rendimento del ciclo diretto (naturalmente a parte gli attriti).
Considerando che dal primo principio q1 = -(l + q2), si ha anche:
ε* 1 
q2
1  ε
l
,
si può osservare che l'efficienza della pompa di calore è sistematicamente di una unità
superiore a quella del corrispondente frigorifero.
Naturalmente questo fatto non deve far illudere troppo sul vantaggio di tale
utilizzazione, esistono casi riscontrati sperimentalmente in cui l'efficienza di una
pompa di calore è così poco diversa da 1 che non vale la pena neppure di prendere in
considerazione la sua applicazione.
E' evidente che di volta in volta si dovrà calcolare accuratamente la prestazione e
non fidarsi mai di una valutazione aprioristica.
2.5.2 Ciclo inverso a vapore
Per i cicli inversi a vapore i fluidi più in uso sono fluidi naturali tipo ammoniaca
(NH3), CO2 (raramente), propano e isobutano (infiammabili) e prodotti di sintesi
derivati dagli idrocarburi per sostituzione degli atomi di idrogeno (H) con alogeni
come cloro (Cl) e fluoro (F); tra questi ultimi si distinguono tre classi:
- Clorofluorocarburi (CFC), nei quali tutti gli H sono sostituiti da cloro, fluoro e
carbonio;
- Idroclorofluorocarburi (HCFC) con sostituzione solo di alcuni H;
- Idrofluorocarburi (HFC) con sostituzione di alcuni H con fluoro.
L’ASHRAE (American Society of Heating, Refrigerating and Air-Conditioning
Engineers) ha introdotto una notazione convenzionale per le sostanze refrigeranti,
adottata in tutto il mondo; secondo tale convenzione i refrigeranti sono indicati con la
sigla R seguita da due o tre lettere: R-xyz. Il valore di x, y e z dipende dal numero di
atomi di carbonio, idrogeno e fluoro rispettivamente presenti nella formula chimica
della sostanza:
x = n C -1 (se x=0 si omette nella sigla Rxyz)
y = n H +1
z=nF
Ad esempio il difluorodiclorometano (CF2Cl2) ha sigla R12.
Per i fluidi inorganici è stata riservata la sigla R7 cui si fa seguire il peso
molecolare della sostanza. Ad esempio R712 per l’ammoniaca, R718 per l’acqua,
R744 per l’anidride carbonica.
Recentemente i problemi connessi con il cosiddetto "buco di ozono" hanno
portato a favorire l'utilizzazione di composti che non producano per scissione sotto
l'effetto della radiazione solare alogeni allo stato nascente, la loro
commercializzazione è però solo agli inizi e non è del tutto certo che la causa diretta e
preminente del buco di ozono siano solamente i suddetti alogeni allo stato nascente.
Nella stratosfera, tra 12 e 40 km di quota, l’ozono (O3) assorbe radiazioni
ultraviolette (0,24    0,32 m), dannose per gli esseri viventi sulla terra:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
45
h
O3 
 O2  O
gli HCFC ed i CFC raggiungono la stratosfera e vengono dissociati dalla radiazione
ultravioletta liberando cloro attivo che innesca reazioni distruttive dell’ozono.
Questo problema ha portato al bando dei CFC e degli HCFC nel cosiddetto
“Protocollo di Montreal” sottoscritto da vari paesi, con la loro sostituzione con
refrigeranti tipo HFC essendo il fluoro meno attivo.
I refrigeranti più diffusi nel campo delle piccole e medie potenze frigorifere sono
l’R12 e l’R22, attualmente è in corso la loro sostituzione con R134a, R407c ed R410a.
Rispetto al ciclo diretto corrispondente si ha abbastanza raramente l'interrefrigerazione (procedimento inverso corrispondente al secondo surriscaldamento), che
tuttavia quando è usata consente di risparmiare una buona percentuale del lavoro
meccanico di compressione.
Si ha per contro l'uso sistematico della trafilazione che, pur riducendo l'efficienza,
non presenta inconvenienti di natura termodinamica dato che il coefficiente Joule Thomson è sempre positivo nelle vicinanze della curva limite; esso consente di ridurre
molto la complicazione ed il costo dell'apparecchiatura.
Un tipico ciclo a vapore inverso risulta costituito da: compressione che parte da
condizioni coincidenti pressappoco con la curva limite superiore (alla fine dello
scambio di calore per evaporazione), desurriscaldamento e successiva condensazione
(seguita talvolta da un sottoraffreddamento del fluido condensato), trafilazione
isentalpica ed infine evaporazione. Uno schema dell’impianto è riportato in Fig. 2.17a.
Q1
B
E
L
A
F
Q2
Fig. 2.17a
I diagrammi del ciclo termodinamico corrispondente sono riportati nella figura 217b rispettivamente nel diagramma di Gibbs e log(p)-i.
L'efficienza del ciclo frigorifero vale:

iA  iF
iB  i A
e quella del ciclo pompa di calore:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
46
* 
iB  iE
iB  iA
E' da osservare che il lavoro di compressione della trasformazione AB non
coincide con l'area del ciclo bensì con quella tratteggiata nella figura 2-17b, infatti
essa è ottenibile dal primo principio: l = -(q1 + q2).
Quando l’analisi energetica viene riferita all’impianto, anziché al solo ciclo
termodinamico, intervengono una serie di rendimenti legati alle trasformazioni di
energia. Nel caso di una machina frigorifera azionata da energia elettrica come nel
caso di un condizionatore “split” che raffresca in estate (frigorifero) e riscalda in
inverno (pompa di calore), si definiscono i seguenti indici di prestazione energetica:

effetto utile  Q1
COP 
 
spesa
L el
(Coefficient Of Performance) in funzionamento da pompa di calore;

effetto utile Q 2
EER 
 
spesa
L el
(Energy Efficiency Ratio) in funzionamento da frigorifero.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
47
Fig. 2-17b
Ciclo inverso a vapore
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
48
TRASMISSIONE DEL CALORE
3.1 Modalità dello scambio termico
I fenomeni di scambio termico possono essere descritti sia con trattazioni a livello
microscopico, cioè di forze ed energie a livello atomico o molecolare, sia a livello
macroscopico, cioè di leggi empiriche derivate direttamente dal comportamento di
grandi quantità di materia.
Dal punto di vista ingegneristico interessano i sistemi descritti a livello
macroscopico attraverso le grandezze termodinamiche e cinematiche.
E' tuttavia interessante ed importante chiarire quali motivi e leggi giustificano i
fenomeni a livello microscopico, per cui se ne farà un breve cenno qualitativo in fase
introduttiva.
Si riconoscono quattro principali modalità di scambio termico, dette: conduzione,
mescolamento, convezione ed irraggiamento.
La conduzione è caratteristica dei solidi anche se non esclusiva di essi; essa
avviene per propagazione dell'energia termica da uno strato di materiale al contiguo
per effetto del contatto diretto. Ancorché il materiale possa subire una dilatazione in
conseguenza delle variazioni di temperatura, non è necessario, per la conduzione, che
vi sia spostamento relativo di masse di sostanza per permettere lo scambio.
Il mescolamento è il meccanismo di scambio di calore che si verifica quando due
o più fluidi, che si trovano in diverse condizioni termodinamiche, si scambiano massa,
che trasporta con sé l'energia contenuta. Il fenomeno, per l'intimo contatto che
consegue, tende rapidamente all'equilibrio termodinamico.
La convezione è caratteristica del contatto fra solidi e fluidi, quando il materiale
fluido che subisce variazioni di temperatura, viene allontanato dalla superficie a
differente temperatura; nello spostamento, esso produce trasporto di energia sotto
forma di entalpia contenuta nel fluido stesso.
Quando il movimento è imposto da un apposito sistema di movimentazione
meccanica, la convezione viene detta "forzata"; quando invece, nel campo della
gravità, è la variazione di densità del fluido, conseguente alle sue stesse variazioni di
temperatura per effetto dello scambio termico, che produce un movimento spontaneo
dello stesso fluido, la convezione viene detta "naturale" o "libera".
L'irraggiamento è caratteristico (ancorché non esclusivo) del vuoto, in quanto
corrisponde allo scambio diretto di energia, in forma di radiazione elettromagnetica,
tra superfici o corpi attraverso un mezzo interposto trasparente o parzialmente
trasparente.
3.2 Conduzione
Il livello di energia degli atomi e delle molecole, cioè lo stato di agitazione
termica (il cui potenziale è definito dalla temperatura), tende a propagarsi all'interno di
un corpo in qualsiasi stato di aggregazione (solido, liquido, aeriforme, plasma)
attraverso la cessione di quanti di energia fra atomi o molecole vicini. Questa cessione
può avvenire in modi diversi, ad esempio per cessione o scambio di un elettrone di
valenza avente stato energetico più elevato (conduzione elettronica), oppure attraverso
la propagazione di agitazione termica tra molecole o atomi o loro componenti, situati
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
49
nella struttura cristallina di un solido, attraverso urti elastici o anelastici (conduzione
reticolare); tutti questi eventi di collisione vengono detti anche di conduzione
fononica, dicendosi fonone il quanto energetico legato a tale tipo di scambio
energetico.
A livello macroscopico tutti questi eventi di scambio termico risultano legati al
gradiente di temperatura che si ha nel corpo soggetto a scambio termico.
All'interno di un corpo non isotermo collegando tutti i punti che hanno la stessa
temperatura si ottiene una superficie isoterma. Ovviamente due superfici isoterme a
temperatura differente non si intersecano in nessun punto. Quindi, la temperatura varia
solo in direzione trasversale a dette superfici e la sua variazione per unità di lunghezza
raggiunge il valore massimo in direzione normale alla superficie.
Il flusso termico specifico (riferito alla superficie) scambiato per conduzione è
proporzionale al gradiente termico ed alle caratteristiche intrinseche del materiale
interessato al fenomeno, rappresentate dal parametro  detto conduttività termica:

W
    grad (T )  2 
m 
il segno "meno" ha significato fisico di flusso termico opposto al gradiente termico (il
gradiente termico è positivo nel verso dei valori crescenti della temperatura, il calore
si propaga verso i valori di temperatura decrescenti).
L'espressione citata è chiamata legge di Fourier.
Nel caso frequente di propagazione monodimensionale del flusso termico, nella
direzione "n":
  
dT
,
dn
da cui:

  dn
dT
 W 
 m  K  .
3.2.1 La conduttività termica dei materiali
Il valore di  è costante nelle varie direzioni se il materiale è isotropo, in caso
contrario si avranno valori differenziati a seconda della direzione. Situazioni tipiche di
questo fenomeno si verificano per i cristalli e per i materiali fibrati o trafilati (legno,
lamiere, ecc.).
Se il materiale è omogeneo lo stesso  sarà costante in tutto il dominio, altrimenti
esso andrà definito punto per punto.
La conduttività termica di un materiale, anche omogeneo ed isotropo, non è
costante con la temperatura; ad esempio, nella figura 3-1 si riportano gli andamenti di
(T) per rame, silicio e nichel in a) e zolfo in b).
L'andamento punteggiato per bassissime temperature (fig. 3-1a) è solo qualitativo
e conforme alle previsioni teoriche che, in prossimità di 0 [K], prevedono  crescente
con T3 fino a raggiungere un massimo a 520 [K], per poi decrescere con legge
iperbolica con proporzionalità a 1/T fino al raggiungimento di una zona di minimo a
cui segue un aumento della conduttività in proporzione a T.
50
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
Fig. 8-1
Conduttività termica di alcune sostanze in funzione della temperatura
Nella realtà, spesso, la conduttività decresce in modo continuo all'aumentare di T
senza presentare il valore di minimo relativo. Questo fenomeno è legato sia alla
presenza di impurezze e difetti nella struttura reticolare del materiale sia alla
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
51
interazione tra i due modi fondamentali di conduzione dell'energia termica: quello
elettronico e quello fononico o reticolare.
La parte della conduzione termica dovuta al moto degli elettroni liberi risulta
ovviamente legata alla conduzione elettrica nel materiale. E’ stato dimostrato che tra la
resistività elettrica, la temperatura termodinamica e la conduttività termica, vale la
relazione:

T
 L
dove  è la resistività elettrica ed L è detto numero di Lorenz.
Il valore di L è nominalmente 2,4510-8 [WK-2]; esso però risulta fortemente
variabile se si considera la conduttività termica totale e non la sola componente
elettronica, oppure quando si ha a che fare con semiconduttori elettrici che hanno una
distribuzione anomala dei livelli energetici elettronici.
Nelle sostanze dielettriche la modalità principale di conduzione è quella fononica.
L'influenza, anche in questo caso di impurità e deformazioni nella struttura reticolare,
rende difficilmente prevedibile a livello teorico l'andamento della conduttività termica.
Essa, oltre che dalla temperatura, viene a dipendere anche dai trattamenti
precedentemente subiti dal materiale, nonché dalle modalità di formazione della sua
struttura cristallina. Intorno alla temperatura ambiente la conduttività di queste
sostanze tende a crescere all'aumentare della temperatura e della densità.
I valori numerici della conduttività termica sono fortemente variabili, da circa
40.000 W/(mK) per monocristalli di rame a bassissime temperature criogeniche, fino
a circa 10-3 W/(mK) per gas a bassissime pressioni ed a bassa temperatura.
Nel campo dell'impiego ordinario si distinguono i buoni conduttori per
conduttività maggiori di 10 W/(mK) e gli isolanti o coibenti termici per conduttività
minori di 1 W/(mK).
I materiali isolanti termici sfruttano l'ottima proprietà isolante dei gas:
inglobandoli nella matrice solida dentro piccole cavità chiuse (porosità) come nel
cemento espanso, polietilene, polistirene, poliuretano espansi, ecc.; tra sottili fibre
affastellate tipo lana di vetro o lana di roccia; tra granuli o scaglie sfuse (perlite,
vermiculite, ecc.); tra fogli metallici sottilissimi ed a bassa emissività (multifoils).
In tali materiali isolanti sono in generale presenti i tre modi di scambio termico. Il
calore si propaga infatti per conduzione nella matrice solida, per convezione nel gas e
per irraggiamento diretto tra le pareti delle cavità contenenti il gas. Nei campi di
temperatura tipici dell'applicazione di questi isolanti, il trasporto conduttivo assume un
ruolo quasi trascurabile rispetto alla convezione e soprattutto all'irraggiamento che dà
un contributo proporzionale al cubo della temperatura assoluta.
Nonostante ciò si continua spesso a parlare di conduttività termica aggiungendo a
volte l'aggettivo "equivalente" per ricordare la complessità della trasmissione termica
reale.
3.2.2 Equazione generale della conduzione
In un sistema di riferimento cartesiano, l'andamento della temperatura T(x,y,z,),
all'interno del materiale, deve essere tale da non violare il primo principio della
termodinamica o di conservazione dell'energia.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
52
Considerando una massa infinitesima di materiale sede di conduzione, contenuta
in un volumetto infinitesimo, nel generico punto (x,y,z), la somma algebrica di tutte le
potenze scambiate attraverso la superficie che delimita il volumetto e di quelle create o
distrutte all'interno dello stesso, deve uguagliare la variazione dell'energia contenuta
nel volumetto considerato (Fig. 3-2).
(potenza termica entrante) + (potenza termica generata internamente) – (potenza
termica uscente) = (variazione nel tempo dell’energia contenuta)
z
dz
P(x,y,z)
dx
y
dy
x
Fig. 3-2
La differenza tra la potenza termica entrante e quella uscente lungo l'asse x,
risulta:



  T
d x  d x  dx  d x   d x 
 d x  dx   dx dy dz  x 
x
 x  x 


Una relazione analoga vale per l'asse y e l'asse z. Utilizzando l'operatore
differenziale " (nabla)", la potenza termica scambiata attraverso la superficie di
contenimento del volumetto, si può esprimere in forma compatta:
    T     T     T 

 x

 y

 z
  dV     T  dV
  x   x   y   y   z   z 
La potenza termica generata internamente è  v dV , dove v è il flusso termico
generato (o assorbito) per unità di volume.
La variazione nel tempo di energia contenuta è:
dm
du
T
   dV  cv

d
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
53
dove  è la densità, cv è il calore specifico a volume costante del materiale.
Per il principio di conservazione dell'energia deve risultare quindi:
   T  dV  v dV    dV  cv
T

Se il materiale è omogeneo ed isotropo, l'equazione della conduzione diventa:
  2T  v   cv
T

Nel caso, molto frequente, in cui il termine v è nullo:
 2T 
1T
(3-1)
 

c
 m2 
 .
 s 
Nell’espressione della diffusività termica è stato indicato con c il calore specifico
dove si è introdotto il parametro "diffusività termica",  
perché per i materiali condensati il calore specifico a volume costante e quello a
pressione costante sono sostanzialmente coincidenti.
La (3-1) viene detta equazione di Laplace-Poisson. Nel caso di temperature
costanti nel tempo (regime stazionario), la (3-1) diventa:
 2T  0
(3-2)
detta equazione di Laplace.
3.2.2.1 Condizioni al contorno
La risoluzione delle equazioni differenziali del secondo ordine qui ricavate è
possibile, ovviamente, solo dopo la definizione delle condizioni al contorno e, nel caso
di regime non stazionario, delle condizioni iniziali.
Purtroppo la loro soluzione analitica è disponibile solo in alcuni casi di geometrie
e condizioni al contorno particolarmente semplici. Negli altri casi bisogna procedere a
risoluzioni approssimate di tipo grafico o numerico con l'ausilio del calcolatore
elettronico.
Le condizioni iniziali definiscono la distribuzione di temperatura, su tutto il
dominio interessato alla trasmissione del calore, all'istante iniziale.
Le condizioni al contorno definiscono le condizioni termiche imposte sulle
superfici di contorno del dominio, sia esterne che interne (di interfaccia).
a) Condizioni al contorno del primo tipo (temperatura imposta)
In alcune applicazioni la temperatura superficiale del dominio sede di scambio
termico, è nota, in particolare costante o variabile nel tempo con una legge nota. In
questi casi, la condizione al contorno su tali superfici diventa:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
54
T P ,  T P , 
per ogni punto P della superficie S, nel tempo .
b) Condizioni al contorno del secondo tipo (flusso imposto)
In alcune applicazioni risulta noto il flusso termico scambiato in corrispondenza
di una superficie di contorno. Il caso più comune, anche se difficile da realizzare in
pratica, è quello di flusso imposto nullo, cioè superficie adiabatica.
Questo tipo di condizione al contorno si esplicita imponendo, in corrispondenza
della superficie interessata, l'uguaglianza tra il flusso che per conduzione arriva alla
superficie ed il flusso termico noto imposto sulla stessa superficie:
 T 
 
 
  n S
c) Condizioni al contorno del terzo tipo (convettive)
Si realizza questo tipo di condizione al contorno in quei casi in cui risulta imposta
sulla superficie di contorno una combinazione lineare della sua temperatura e della
derivata normale della stessa.
In pratica è la condizione che si realizza nel caso di scambio termico per
convezione tra la superficie ed un fluido, con coefficiente di scambio convettivo h
costante:
T 
 hTS T f 
 
  n S
dove Ts è la temperatura superficiale e Tf la temperatura del fluido.
d) Condizioni al contorno all'interfaccia (resistenza di contatto)
Il contatto tra le superfici di due corpi solidi sede di conduzione termica è tale da
non garantire una buona continuità, particolarmente tra corpi duri e rugosi.
Si può osservare come il contatto effettivo si manifesti soltanto sulle punte più
sporgenti delle rugosità delle superfici interessate.
La trasmissione del calore attraverso una zona di interfaccia tra due corpi solidi a
contatto, ha luogo con un meccanismo combinato di, conduzione attraverso i punti di
contatto, conduzione attraverso il fluido interstiziale intrappolato e radiazione tra le
superfici affacciate. Ciò corrisponde ad una resistenza termica, localizzata nella zona
di contatto, dipendente appunto dalla qualità del contatto stesso, quindi dalla rugosità,
dalla pressione che si ha tra i corpi in contatto e dal tipo di materiale, principalmente
dalla sua elasticità e durezza.
Si osserva che la resistenza di contatto è elevata per i metalli Rc= 10-410-2
(m2K)/W, mentre è piuttosto bassa e di solito tale da poter essere trascurata per gli
isolanti termici.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
55
1
2
T
Ti
Fig. 3-3
Resistenza termica di contatto
La presenza della resistenza di contatto provoca, in corrispondenza
dell'interfaccia, una caduta di temperatura (Ti), convenzionalmente localizzata nel
piano medio di contatto, tale che:
 T 
  T  Ti
,
   2 
 
  n 1
  n 2 Rc
   1 
indicando con 1 e 2 i due materiali in contatto (Fig. 3-3).
e) Condizioni al contorno non lineari
Oltre alle condizioni al contorno sopra considerate, tutte di tipo lineare, esistono
nella realtà condizioni di tipo non lineare. Ad esempio, condizioni di convezione con
coefficiente h funzione della temperatura, condizioni associate a cambiamento di fase
con interfaccia solido-liquido mobile, condizioni di radiazione termica con flusso
termico superficiale funzione della quarta potenza della temperatura superficiale.
3.3 Mescolamento
Quando due fluidi diversi si mescolano tendono a raggiungere la stessa
temperatura con notevole rapidità, se avviene il consueto rimescolamento turbolento.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
56
Le condizioni di equilibrio possono essere ricavate dall'equazione dell'energia
tenendo conto che di solito l'energia cinetica e di gravità sono trascurabili ed il lavoro
è nullo, mentre può essere presente una certa quantità di calore in conseguenza del
fatto che la mescola può dare origine a soluzioni con assorbimento o sviluppo di
calore, oppure reazioni chimiche endotermiche o esotermiche.
Per un sistema chiuso si può scrivere:
 m1  m2  u3  m1 u1  m2 u2  m
q
J 
se q è la quantità di calore generata o assorbita nel processo (intesa pertanto come
quantità algebrica).
Per un sistema aperto si ha:
 



 
 m1  m 2  i3  m1 i1  m 2 i2  m q


W 

dove m ed m sono la massa e la portata di massa a cui è riferita la quantità di calore
sviluppata.
In questo caso non ha senso parlare di coefficiente di scambio termico come per
le altre modalità di scambio, ma piuttosto di un tempo necessario per raggiungere le
condizioni di equilibrio, tempo che è dipendente dal tipo di moto che si verifica
durante il mescolamento stesso.
Nel caso che si considerino portate di fluidi in mescolamento, dato che la massa
si muove con una certa velocità "c" il tempo può diventare equivalente ad una
lunghezza nella quale si compie il processo di mescolamento, tale lunghezza è
chiaramente collegata con la lunghezza necessaria perché il fluido, uniformandosi il
moto, assuma il profilo di velocità tipico che deve possedere a regime.
Si può osservare che due differenti fluidi portati a contatto con sufficiente
lentezza possono stratificare uno sull'altro e scambiarsi calore per conduzione e
diffusione molecolare, ma tale evento non ha ordinariamente alcun interesse tecnico.
3.4 Convezione
E' il tipo di scambio termico che si verifica tra una superficie solida ed un fluido
ed è legato al moto di masse di fluido.
Quando il movimento del fluido è spontaneo, in conseguenza della dilatazione del
fluido stesso per effetto della variazione di temperatura, in presenza di un campo di
forze (ad esempio gravitazionali o centrifughe), si parla di convezione naturale.
Quando invece tale moto è ottenuto artificialmente con un sistema di
movimentazione specifico (ventilatori, circolatori, ecc.) si parla di convezione forzata.
Il campo termico nel fluido risulta sempre strettamente legato al campo di
velocità nel fluido stesso. Nello scambio termico superficie solida-fluido si verifica
una variazione graduale dalla temperatura detta "di parete" sulla superficie fino alla
temperatura del fluido lontano da essa.
Il flusso termico scambiato tra la superficie ed il fluido, in un sistema di assi
cartesiani con y normale alla superficie, è dato da:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
57
  T ( x, y ) 

  y  y 0
 ( x)   
dove  è la conduttività termica del fluido. Nei calcoli pratici questa espressione è
scomoda da utilizzare, si utilizza la seguente:
 ( x )  h( x ) T f  T p 
definendo un coefficiente locale di scambio termico per convezione h(x):
  T ( x, y ) 
 y 

 y 0
h( x)  
T f  Tp
Il flusso termico scambiato su un tratto L di superficie, per unità di larghezza
della stessa, risulta:
     x  dx  h L T f  T p 
L
0
dove h 
1
L

L
0
h( x) dx è un coefficiente di scambio medio.
Il valore di h può essere ricavato sperimentalmente oppure con teorie e modelli
matematici verificati dalla sperimentazione.
I metodi più usati sono:
- le analogie che sfruttano la similitudine fra strato limite cinematico e termico,
- i procedimenti dell'analisi dimensionale,
- la risoluzione diretta delle equazioni differenziali che descrivono il moto e lo
scambio termico.
Le equazioni differenziali che descrivono il fenomeno sono dette di NavierStokes, esse esprimono la conservazione della massa, dell'energia e della quantità di
moto per un volumetto elementare di fluido.
Più complicata risulta la trattazione dello scambio termico in presenza di moto
turbolento. In questo caso la risoluzione delle equazioni avviene ordinariamente per
via numerica descrivendo la turbolenza in modo approssimato, tuttavia le
complicazioni di tipo matematico connesse con queste soluzioni sono tali che non è il
caso di riferirne qui con maggiore ampiezza.
3.4.1 Lo strato limite
Per i fluidi newtoniani, cioè quelli la cui viscosità dipende solo dalla temperatura,
si riscontrano campi di moto e di temperatura differenti che danno luogo a differenti
perdite di pressione per attrito e coefficienti di scambio termico, il fenomeno è legato
al profilo di velocità che il fluido assume nella direzione normale a quella di efflusso.
58
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
La velocità e la temperatura variano dal valore assunto a contatto della superficie
al valore detto di corrente libera con un gradiente che si attenua allontanandosi dalla
superficie, la zona in cui ciò avviene è detta strato limite.
Si assume convenzionalmente lo spessore  dello strato limite in corrispondenza
del raggiungimento del 99% della differenza tra il valore della variabile di campo sulla
parete e nel fluido lontano da essa.
Il profilo di velocità e temperatura, nel caso di circolazione forzata del fluido,
varia con la distanza dal punto in cui il fluido investe la superficie solida (bordo
d'attacco). Nella figura 3-4 sono rappresentate qualitativamente tre situazioni di moto,
la prima (a) riguarda l'efflusso su lastra piana mentre le ultime due (b, c) l'efflusso in
condotto.
Nella situazione illustrata in figura, lo strato limite, inizialmente laminare, raggiunto
uno spessore massimo si scompone, ovviamente senza soluzione di continuità, in una
parte laminare vicino alla superficie (sottostrato laminare) ed una turbolenta nella
quale la velocità varia in modo molto meno accentuato nella direzione normale al
moto.
Un comportamento simile si verifica nell'efflusso confinato tra due lastre piane
(fig. 3-4 b), o nel caso di simmetria assiale in un tubo (fig. 3-4c). In questo caso il
profilo di velocità definitivo, caratteristico del regime detto "completamente
sviluppato", si stabilisce dopo la cosiddetta regione d'ingresso che si estende per circa
20-30 diametri.
Lo spessore dello strato limite termico, rispetto a quello fluidodinamico, dipende
dalle caratteristiche termofisiche del fluido ed in particolare dal valore del numero di
Prandtl ( Pr 
c p
). Per Pr 1, come nei gas, essi coincidono, per Pr <1, come nei

metalli liquidi, lo strato limite termico è molto più spesso di quello fluidodinamico,
per Pr>1, come negli olii, avviene il contrario.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
59
c
c
c
substrato laminare

strato limite laminare
strato limite turbolento
a)
c
c'
regime turbolento
completamente sviluppato
regione d'ingresso
b)
c
c"
regione d'ingresso
c)
Fig. 3-4
Tipi di moto
regime laminare
completamente sviluppato
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
60
In figura 3-5 si riporta l'andamento dei due strati limite per convezione naturale
laminare su una lastra piana verticale nel caso di un fluido con Pr = 1 e con
temperatura del fluido inferiore a quella di parete in a) e superiore in b).
Fig. 3-5
Strato limite in convezione naturale
Nel caso di moto laminare la grandezza che domina il fenomeno dell'attrito è la
viscosità del fluido che permette scorrimento relativo tra i vari filetti fluidi che
originano il flusso, ma che mette in gioco forze maggiori di quelle corrispondenti
all'energia cinetica, per cui la turbolenza è sostanzialmente impedita.
In questa situazione c'è proporzionalità tra attrito e gradiente di velocità.
L'espressione fondamentale che governa l'attrito viscoso tra due strati vicini a
velocità diversa è:

dF
dc
 
dS
dn
essendo  lo sforzo tangenziale, "F" la forza di attrito, "S" la superficie di contatto, "c"
la velocità nel singolo punto funzione della posizione del punto nel condotto, "n"
l'ascissa lungo la normale alla superficie e "" la viscosità dinamica del fluido.
Si può ricavare la caduta di pressione in regime di moto laminare:

dp 32  c

dx
d2
Nel moto turbolento la velocità possiede componenti sia nel verso del moto lungo
l'asse del condotto, sia nel piano perpendicolare alla direzione del moto; da un punto
di vista pratico, dato che le componenti non utili all'avanzamento del fluido sono
rapidissimamente variabili nel tempo, si tiene solamente conto della componente
efficace ai fini dell'avanzamento trascurando tutte le componenti variabili nel tempo
che danno origine alla turbolenza.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
61
Di queste ultime, che hanno valore medio nullo, si considera di fatto solo il valore
quadratico medio (valore efficace) quando si voglia quantificare la turbolenza del
flusso.
In regime turbolento non è possibile valutare analiticamente la caduta di
pressione per cui si ricorre ai dati sperimentali correlati attraverso l'analisi
dimensionale. In pratica si esprime la caduta di pressione per attrito in termini di
proporzionalità all'energia cinetica attraverso un coefficiente  detto coefficiente di
attrito:

dp   c 2

dx
d 2
(3-3)
Il coefficiente di attrito è funzione, per condotti rettilinei, di Re e della rugosità
del condotto espressa come scabrezza o rugosità relativa =e/d, se "e" è la sporgenza
media della rugosità della parete.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
62
Fig. 3-6
Diagramma di Moody
Il coefficiente di attrito viene solitamente calcolato attraverso la relazione di Colebrook:
 
2,5 
 2log10 



 3,7 Re  
1
che viene anche rappresentata in forma grafica nel diagramma di Moody (Fig. 3.6).
3.4.2 Procedimenti di analisi dimensionale
La teoria adimensionale si basa sulla constatazione che ogni fenomeno risulta
dipendente da un certo numero di variabili, ciascuna caratterizzata da un determinato
aggruppamento di grandezze fisiche, cioè da determinate dimensioni, secondo il
sistema di misura utilizzato (nel nostro caso il Sistema Internazionale SI).
La relazione di dipendenza è di solito espressa in forma di funzione che lega fra
di loro i parametri influenti.
Nel caso specifico si può dire che il fenomeno di scambio termico per
convezione, caratterizzato dal parametro h è funzione dello spessore dello strato
limite, della conduttività e del calore specifico del fluido. Lo spessore dello strato
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
63
limite a sua volta dipende dalla velocità, dalla densità del fluido, dal diametro e dallo
sviluppo rettilineo del condotto a partire dall'ultima perdita concentrata incontrata sul
percorso.
Quest'ultima lunghezza interviene nel caso in cui il moto non sia ancora
completamente sviluppato nella sezione considerata.
Nel caso di convezione forzata risulta nota la velocità della corrente fluida e si ha
perciò una dipendenza:
h  f c p , k, c, μ, ρ d, l 
a priori non nota, che sarà tuttavia possibile sviluppare in serie di potenze:
h  i Ai c Bpi k Ci c Di  Ei  Fi d Gi l H i
sperimentalmente si constata che il solo primo termine è sufficiente per descrivere il
fenomeno,
h  Ac Bp k C c D  E  F d G l H
Gli esponenti dei parametri che vi figurano devono essere tali da far sì che le
dimensioni di h  M T 3  1  siano le stesse del monomio al secondo membro. Le
grandezze fisiche fondamentali del sistema di misura sono: lunghezza, tempo, massa e
temperatura; i loro esponenti in h e nel monomio dovranno risultare uguali.
Si hanno perciò quattro equazioni che legano i sette esponenti incogniti.
Esprimendo quattro di questi in funzione degli altri tre F, B, H e raccogliendo le
grandezze con esponente uguale, si ottiene:
B
F
  c d   cp    l   k 
h  A
    
 
    k  d  d 
H
oltre agli aggruppamenti adimensionali già noti (Re e Pr), intervengono in questa
hd
) ed l'allungamento del condotto (l/d).
trattazione il numero di Nusselt ( Nu 
k
La relazione finale risulta del tipo:
l 
Nu  a Re F Pr B  
d 
H
Sulla base delle misure sperimentali effettuate si sono ricavati valori degli
esponenti in modo tale che la precedente relazione correli i dati sperimentali.
Ovviamente più vasto è il campo di variazione dei parametri al quale si riferiscono i
dati sperimentali, meno precisa risulterà la stima di h ottenibile con la relazione
monomia suddetta.
Per convezione forzata turbolenta parallela a piani o a cilindri:
1
Nu  0,06 Re0,75 Pr 3 , oppure Nu  0,035 Re0,8 Pr
1
3
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
64
per convezione forzata turbolenta normale all'asse di tubi:
Nu  0,07 Re0,75 Pr
1
3
per convezione forzata turbolenta all'interno di tubi rettilinei:
Nu  0,036 Re
0,8
Pr
1
3
l 
d
 
0,05
  
 
 s 
0,14
dove  è la viscosità riferita alla temperatura media della corrente e s è riferita alla
temperatura della superficie del condotto.
Tutte le formule riportate hanno limitazioni d'impiego sia riguardo ai valori di Re,
sia ai valori di Pr, sia alla geometria, per cui risulta opportuno verificarne il campo di
validità sui manuali.
Nel caso di metalli liquidi (Na, K e simili) per i quali il numero di Prandtl vale
pochi millesimi:
1
Pe 2
Nu 
3
dove si definisce il numero di Peclet Pe = Re Pr; la validità della formula è per Pe>50.
Nel caso di convezione naturale la dipendenza deve essere cercata non in
funzione della velocità, ma dei parametri che la originano, cioè al posto della velocità
compariranno la dilatabilità del fluido, l'accelerazione del campo di forza, la
differenza di temperatura che origina la variazione di densità (che è la stessa
differenza di temperatura fra parete e fluido):

h  f c p , k ,  , g , T ,  ,  , d , l

In questo caso il termine d non ha più necessariamente il significato di diametro
equivalente termico del condotto, ma assume il significato di grandezza lineare
fondamentale che determina il problema. Ad esempio, nel caso di una parete verticale
che determina con la sua altezza un moto convettivo spontaneo, il parametro d
significativo sarà l'altezza della parete stessa, oppure l'altezza del tratto riscaldato.
Al posto del numero di Reynolds nella convezione naturale si considera il numero
di Grashof:
Gr 
d 3  2 g  T
2
Per il caso di scambio generico con superfici piane verticali si può utilizzare
l'espressione:
Log ( Nu )  0,0111  6  Log ( Ra )  0, 4
2
dove Ra è il numero di Rayleigh: Ra = Gr Pr e Log è il logaritmo in base 10.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
65
Sui manuali possono reperirsi altre espressioni valide per casi di interesse pratico
in più limitati campi di Ra.
La trattazione adimensionale accennata può adeguarsi alla descrizione di qualsiasi
fenomeno fisico e dà origine di volta in volta ad adeguati parametri adimensionali.
Punto cruciale dell'analisi è l'individuazione dei corretti parametri influenti sul
processo nonché la disponibilità di un adeguato numero di risultati sperimentali.
3.5. Irraggiamento
L'irraggiamento termico corrisponde all'emissione di quanti energetici o fotoni da
parte degli atomi e delle molecole che costituiscono un corpo, solido o fluido, per
effetto della sola temperatura a cui esso si trova.
L'emissione risulta indipendente da altri parametri termodinamici caratteristici del
corpo o dell'ambiente circostante tipo la pressione e dalla presenza o meno di altri
corpi.
Planck ricavò che la densità di flusso emessa da un corpo è funzione della
temperatura a cui esso si trova e della lunghezza d'onda, tutte le lunghezze d'onda sono
emesse anche se con intensità diverse.
100000000
10000000
1000000
100000
eP
10000


W
 2

 m  m str 
1000
5780 K
1600 K
1000 K
600 K
100
10
0
2
campo visibile
4
6
8
 
10
12
m
Fig. 3-7
Potere emissivo monocromatico del corpo nero
Per un corpo nero o di Planck, definito come corpo che emette tutta l'energia
emissibile ed assorbe tutte le radiazioni incidenti senza alcuna riflessione, il potere
emissivo monocromatico (o brillanza energetica monocromatica), cioè il flusso riferito
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
66
alla superficie emettente, all'angolo solido ed alla lunghezza d'onda, risulta essere la
seguente funzione della temperatura T e della lunghezza d'onda :
h
d
 eP   , T   5 h 1 T
dS d  d 
 e 2 1


 W 
 m3 sr 


con h1 ed h2 costanti (universali di Planck); la dipendenza di eP da  e da T è indicata
in Fig. 3-7.
Sulla stessa figura è riportata la curva luogo dei massimi di potenza emessa per ogni
temperatura; la relazione che lega la temperatura alla lunghezza d’onda di massima
emissione è nota come legge di Wien:
maxT  h3
Il potere emissivo totale, cioè quello relativo a tutto lo spettro della lunghezza
d’onda è:

E P (T )   eP   , T  d  
0
 T4

 W 
 m 2 sr 


La costante , detta di Stefan e Boltzmann, è una costante universale ed ha il
valore:
 W 
 m2 K 4 


  5 ,67  10 8
Un corpo alla temperatura T emette, in tutto il semispazio antistante. Il flusso
termico emesso nell’angolo solido d, con riferimento alla Fig. 3-8, è:
d P    E P T  dS cos  d
P 
P
S

2
0

 2
0
E P T  cos  sin  d  d   T 4
W 
 m2 
 
In pratica i corpi non sono neri, ma emettono ed assorbono energia radiante in
quantità minori, il rapporto fra "e" reale e "eP" è detto emissività :
e ,T ,  , 
   ,T ,  , 
e P  ,T ,  , 
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
67

dS cos
dS
R

Fig. 3-8
Sistema di coordinate sferiche
L'emissività  è quindi funzione di , di T e della direzione, cioè dell'angolo
solido . Se la superficie del corpo è diffondente, cioè emette la radiazione in modo
uniforme in tutte le direzioni:   ,T ,  ,     ,T  . Se la superficie è diffondente e
grigia, cioè anche caratterizzata da un valore di emissività costante a tutte le lunghezze
d’onda:   ,T    T  .
Quando una radiazione incide su un corpo reale essa viene in parte riflessa, in
parte assorbita ed in parte trasmessa (Fig. 3-9).

ri
ass
tr
Fig. 3-9
Interazione radiazione-corpo semitrasparente
Per la conservazione dell’energia: ass+ rif + tr = .
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
68
Dividendo per , si ottiene:  + + = 1.
La frazione  di radiazione assorbita è detta coefficiente di assorbimento, la frazione 
di radiazione riflessa è detta coefficiente di riflessione e la frazione  di radiazione
trasmessa è detta coefficiente di trasmissione. Tutti questi coefficienti dipendono dai
parametri (, T, , ) caratteristici della radiazione incidente.
Per un corpo opaco, =0 e quindi: +=1. Bisogna inoltre ricordare che le
modalità di assorbimento sono differenti per i solidi ed i liquidi o gas: mentre nei
solidi l’assorbimento della radiazione è un fenomeno superficiale avvenendo entro
circa 1 m dalla superficie, per i liquidi e soprattutto per i gas esso è un fenomeno
volumetrico in quanto si completa all’interno della massa fluida in un volume finito.
Il valore dell’emissività è uguale al coefficiente di assorbimento, a parità di , T,
 e , per la conservazione dell'energia. Tale fenomeno è noto come legge di
Kirchoff:
  ,T , ,     ,T , , 
Per corpi grigi e diffondenti:  T    T  .
L'emissività è un parametro molto variabile in particolare con la lunghezza d'onda
per cui è difficile poterla ricondurre ad un valore costante salvo che si faccia
riferimento ad un limitato intervallo di lunghezze d'onda per il quale si possa assumere
un opportuno valore mediato.
Tenuto conto della caratteristica di emissione dei corpi come rappresentata in
figura 3-7, si può osservare che il campo di lunghezza d'onda in cui viene emessa la
parte preponderante di energia radiante ad una data temperatura non è molto vasto ed è
possibile, in condizioni normali, considerare l'emissività in intervalli limitati di  pari
ad un valore medio costante.
La definizione, cui si fa spesso riferimento, di "corpo grigio" con emissività
costante su tutte le lunghezze d'onda, non trova nessun riscontro nella realtà come si
può vedere in Fig. 3-10 dove sono riportate le emissività a temperatura ambiente di
alcuni materiali di impiego frequente. In letteratura sono riportate le emissività in
funzione della temperatura, della direzione e della lunghezza d'onda.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
69
Fig. 3-10
Emissività di alcuni materiali
Bisogna tenere presente che pur essendo vero che a pari temperatura e lunghezza
d'onda l'emissività uguaglia il coefficiente di assorbimento, tuttavia normalmente un
corpo riceve radiazione da un altro che emette ad una temperatura diversa da quella
che lo stesso corpo possiede; in tali condizioni bisogna tenere presente che la
caratteristica di emissione del corpo difficilmente uguaglia la caratteristica di
assorbimento che avviene in un campo di lunghezze d'onda completamente diverso.
E' tipico il caso dell'alluminio che a temperatura ambiente ha una emissività
bassissima (è un ottimo riflettore con  = 0,05) che però è in grado di assorbire la
radiazione solare per il 55% dell'energia incidente, ciò perché l’emissione a
temperatura ambiente avviene intorno a lunghezze d'onda di circa 11 m, mentre
l'energia solare ha una distribuzione spettrale simile a quella di un corpo nero a 5780
K, riportata in Fig. 3-7, con il picco intorno a 0,55 m, nel campo del visibile.
3.5.1. Scambio radiativo tra due superfici nere
Lo scambio termico per irraggiamento tra due corpi in generale dipende dalla loro
temperatura, dalla loro estensione superficiale, dalla loro reciproca disposizione nello
spazio, dalle proprietà radiative delle loro superfici e dalle proprietà del mezzo
interposto. Se il mezzo interposto è non partecipante, nel senso che o è il vuoto o è un
gas “trasparente” alla radiazione, e se le superfici dei due corpi presentano un
comportamento identico a quello del corpo nero, con proprietà radiative indipendenti
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
70
dalla lunghezza d’onda e dalla direzione, la potenza termica scambiata dipende
soltanto dalla temperatura e dalla geometria del sistema.
Definite 1 e 2 le superfici in esame come indicato nella figura 3-10 si può
calcolare la potenza termica che, emessa dalla superficie 1, incide e viene assorbita
dalla superficie 2 come segue.
Siano dS1 e dS2 due elementi di area, appartenenti alle superfici S1 ed S2
rispettivamente, distanti r ed orientati secondo gli angoli 1 e 2 tra le normali alle
superfici e la loro congiungente (Fig. 3-11).
La potenza termica emessa dalla superficie dS1, nell'angolo solido d1 sotto cui
da dS1 si vede dS2, risulta:
d 1,2  E P dS 1 cos  1 d 1
dS2
2
R
1
d1 
dS 2 cos  2
R2
dS1
Fig. 3-11
integrando su tutta la superficie S1 e su tutto l’angolo solido:
1,2  E P
  cos 
S1
1
1
d 1 dS1   T14 

S1 S 2
cos 1 cos  2
dS 2 dS1
 r2
W 
La frazione del flusso emesso dalla superficie 1 che incide sulla superficie 2 è
detta fattore di vista della superficie 1 rispetto alla 2:
 1,2
1
 
4
S 1 T1
S1 S
1

S2
cos  1 cos  2
dS 2 dS1  F12
 r2
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
71
Il fattore di vista, detto anche di configurazione o di forma, dipende dalla sola
geometria del sistema ed il suo calcolo risulta complesso anche per geometrie
semplici; sui testi di scambio termico si possono trovare i fattori di vista per le
situazioni più comuni in forma di tabelle o di grafici.
Dalla definizione data discende la relazione, detta di reciprocità, tra i fattori di
vista:
S1 F12  S 2 F21
Come si può osservare, permutando i pedici 1 e 2, il flusso termico  21 non è
uguale a  12 perché la temperatura delle due superfici è diversa pur valendo la
relazione di reciprocità dei fattori di vista.
Bisogna tenere presente che gran parte del flusso emesso da ciascuna superficie si
disperde nello spazio circostante, il calcolo presentato è relativo ai differenti flussi
trasmessi da ciascuna superficie all’altra.
3.5.2 Scambio radiativo in un sistema confinato (cavità)
Nel caso che le superfici che si scambiano energia per irraggiamento siano
opache e costituiscano un sistema confinato che si trova in una condizione di
equilibrio termico permanente, si può usare un procedimento di calcolo detto delle
cavità perchè esse ne sono l'esempio tipico.
Allo scopo di non rendere troppo difficoltosa la trattazione analitica, si suppone
che l'emissività e l'assorbanza di ciascuna superficie siano uguali, come si è già fatto
notare tale approssimazione non è sempre valida, tuttavia spesso le differenze di
temperatura sono abbastanza limitate e tali da non produrre variazioni significative dei
parametri di emissione e assorbimento.
Si suppone inoltre che le superfici siano diffondenti, cioè che riflettano in modo
uniforme l'energia comunque ricevuta (sono cioè escluse le superfici riflettenti
specularmente, che richiedono una trattazione apposita).
ek
uk
k
Fig. 3-12
Scambio in cavità
La situazione di sistema confinato in equilibrio termico corrisponde alla
condizione (principio di conservazione dell'energia):
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
72
N

k 1
k
0
se n sono le superfici affacciate fra loro che costituiscono la cavità e k è il flusso
termico che dall'esterno viene scambiato con la superficie k per mantenerne costante la
temperatura Tk (figura 3-12).
Si indica con il simbolo  il flusso termico (potenza) e con il simbolo  il flusso
termico specifico (riferito alla superficie).
Il flusso termico scambiato con l'esterno per mantenere in equilibrio termico
ciascuna superficie è legato ai flussi scambiati per irraggiamento tra la superficie ed il
resto della cavità:
 k   uk   ek  S k
(3-4)
il flusso radiante specifico uscente è somma dell'emissione diretta del corpo per effetto
di temperatura più il flusso riflesso:
 uk   k  Tk4  1   k  ek
(3-5)
il flusso di irraggiamento che il resto della cavità invia alla superficie k è la somma di
quello emesso dalle varie superfici "j" secondo i relativi fattori di vista già definiti:
N
S k  ek   F jk  uj S j
j 1
e tenendo conto che F jk S j  Fkj S k risulta:
N
 ek   Fkj  uj
(3-6)
j 1
Il flusso di equilibrio sulla superficie k risulta quindi combinando le (3-4) e (3-5)
con l'eliminazione di ek:
 k  Sk
k

 Tk4   uk 
1  k
e combinando le (3-4) e (3-6):

N


j 1

 k  S k  uk   Fkj  uj 
sistema di 2N equazioni in 2N incognite: k e uk per k = 1,N.
Eliminando uk fra le due espressioni precedenti si ricava un sistema di N
equazioni nelle sole incognite k.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
73
N
  kj 1   j
 j


 kj  Fkj T j4

F



kj 

j
j 1   j
 S j j 1
N
k=1,...,N
(3-7)
dove l’operatore kj vale 1 se k=j e vale zero se k j.
Nel caso che il sistema non sia completamente confinato, ma esistano delle
aperture che tuttavia siano di una dimensione così limitata da poterle ritenere
insignificanti dal punto di vista dell'energia che da esse può sfuggire al sistema le
equazioni appena ricavate continuano a valere.
Per situazioni ingegneristiche di uso frequente risulta spesso utilizzabile la
formula generale delle cavità, bisogna però tenere sempre ben presenti le ipotesi fatte
di  =  e riflessione diffusa e non speculare per ciascuna superficie.
Quando le superfici che costituiscono la cavità sono solo due, risulta:
1   2 

S1  T14  F11 T14  F12 T24
1
1

1  1
1

1   2 S1
F11 
F
 2 S 2 12
W 
A titolo di esempio per superfici piane parallele illimitate (Fig. 3-13a) si ha:
F11  0
F12  F21  1
S1  S 2
 1  S1  12 T14  T24 

1
1
con  12   
 1

 1  2
W 
1
se S2 è cava e contiene internamente S1 (Fig. 3-13b,c):
F11  0
F12  1
 1  S1  12 T14  T24 
con  12
W 
1 S  1

   1   1

 1 S2   2
1
il fattore 12 è detto coefficiente di emissione mutua, mentre si definisce coefficiente di
mutuo scambio il fattore 12= 12.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
74
2
1
2
1
1
c)
b)
a)
2
Fig. 3-13
Configurazioni tipiche di scambio per irraggiamento
Molto diffusa è la situazione di scambio per irraggiamento tra due superfici
costituenti una cavità con una di esse molto più piccola rispetto all’altra. Due esempi
tipici sono lo scambio tra la parete esterna di un edificio e tutto l’ambiente esterno
(considerato generalmente a temperatura uniforme con valore pari a quello dell’aria
esterna) e lo scambio tra la superficie esterna di un tubo che attraversa un locale dove
tutte le superfici del locale di solito vengono considerate a temperatura uniforme con
valore pari a quello dell’aria interna al locale:
F11  0
F12  1
S1
0
S2
 1  S1  1 T14  T24 
W 
cioè il flusso scambiato dipende solo dall’emissività della superficie ed è indipendente
dalle proprietà emissive delle superfici che costituiscono il suo orizzonte.
Un’altra situazione di interesse pratico è quella in cui una superficie ad elevata
temperatura è in vista di un’altra superficie a temperatura ambiente. Il calcolo del
flusso termico scambiato dalla superficie calda si può condurre schematizzando il
sistema come una cavità composta da tre superfici: le due citate (superfici 1 e 2) e
l’ambiente circostante (superficie 3).
Esplicitando il sistema di equazioni (3-7) per k =1,2,3 e imponendo che T1  T2, T1  T3
e 3=1 si ricava la seguente espressione per il flusso termico scambiato dalla superficie
calda:

 21S1 F12 T14
1  1   2 1  1  F12 F21
W 
dove i valori 1 e 2 sono valori riferiti oltre che a superfici diverse anche a
temperature notevolmente diverse.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
75
3.5.3. Scambio liminare
Nel caso in cui T1  5 T2 il termine T2 risulta molto piccolo rispetto a T1 ,
pertanto può essere tralasciato.
Quando la differenza di temperatura tra le due superfici scambianti non è troppo
4
elevata, T1  T2 
4
T2
, si può osservare che la relazione
5
T14  T24  T12  T22 T1  T2 T1  T2 
è approssimabile con ottima precisione da:
4Tm3 T1  T2 
se Tm 
T1  T2
; in tale caso l'espressione:
2
 12   12 S T14  T24 
è molto ben approssimata dalla:
 12   12 S 4Tm3 T1  T2   hirr S T1  T2 
ponendo hirr   12 4Tm3 .
Quest'ultima espressione risulta molto comoda quando si deve calcolare lo
scambio termico combinato per irraggiamento e convezione tra una superficie e
l’ambiente che la circonda; in tale condizione lo scambio termico combinato, di
convezione con il fluido a contatto della superficie e di irraggiamento tra la superficie
ed i corpi che occupano l’orizzonte della stessa (supposti alla temperatura uniforme
uguale a quella del fluido), viene detto scambio termico "liminare" ed il flusso
scambiato si calcola come:
  hconv S T1  T2   hirr S T1  T2   h S T1  T2 
dove:
h = hconv + hirr
(3-8)
è detto coefficiente di scambio termico liminare.
3.6 Alettature
Il coefficiente di scambio liminare tra parete ed aria è piuttosto basso, in
conseguenza di ciò si ricorre spesso ad alettature per aumentare la superficie di
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
76
scambio, ovviamente quando risulti impossibile aumentare per altra via il coefficiente
di scambio.
Nella figura 3-14 è indicata con linea tratteggiata la superficie di scambio
originale non alettata e con linea continua la superficie alettata.
In realtà la temperatura dell'aletta non è in tutti i punti uguale a quella della
superficie originale, ma essendoci conduzione deve gradualmente variare per
consentire lo scambio termico, perciò il calore trasmesso è minore di quello che
corrisponderebbe alla semplice proporzionalità all'aumento delle superfici
geometriche.
Fig. 3-14
Sezione di parete alettata
Di ciò si tiene conto introducendo un coefficiente correttivo  detto efficienza
dell'alettatura:
   h S TP  T f 
dove TP è la temperatura della parete senza alette, Tf è la temperatura del fluido ed S è
la superficie alettata.
L'alettatura è tanto migliore quanto più  è prossimo ad 1. Al crescere della
lunghezza dell'aletta l'efficienza diminuisce, in quanto la temperatura lungo l'aletta
tende asintoticamente al valore della temperatura del fluido nel quale è immersa al
tendere ad infinito della lunghezza.
Nel caso di un'aletta piana indefinita inserita perpendicolarmente ad una
superficie piana (figura 3-15) si può calcolare facilmente l'effettivo scambio termico
se lo spessore dell'aletta è abbastanza piccolo da poter considerare il flusso termico
lungo l'aletta monodimensionale.
Nella sezione x (ascissa generica lungo l'aletta) entra il flusso termico:
 dT 

 dx  x
 x   s l 
ed alla sezione x+dx esce:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
77
 dT 
d  dT  
 dT 
   s l 

  
 dx 
 dx  x  dx
 dx  x dx  dx  
 x  dx   s l 
La differenza esce per convezione lungo le facce superiore ed inferiore dell'aletta
verso l'ambiente esterno a temperatura Tf:
d 2T
dx  2 h l dx T  T f 
dx 2
d   x   x  dx   s l
Fig. 3-15
da cui:
d 2T 2 h

T  T f  ,
dx 2 s 
d 2 T  T f
dx 2
ed essendo T f  costante:
  2 h T  T 
s
f
La soluzione di questa equazione differenziale è del tipo:
T  T f  A e x m  B e x m
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
78
dove m 
1)
2)
2h
, con le condizioni al contorno:
s
T = Tf per x che tende ad infinito, che da A = 0,
T = T0 per x = 0, che da B = T0 - Tf,
quindi:
T  T f  T0  T f  e  x m
Nel caso che l'aletta abbia una lunghezza finita L, le condizioni al contorno
diventano:
1)
T = T0 per x = 0
2)
 dT 
 s l 
  h s l TL  T f 
 dx  L
per
xL
e la soluzione diventa:
T  T f  T0  T f


em  L  x   e m  L  x   em  L  x   e m  L  x 

em L  e m L  em L  e m L
 hm
 hm
Si può ottenere una soluzione analitica del problema anche per altre geometrie,
tali soluzioni si ritrovano sui manuali specifici, tuttavia è ormai consuetudine fare
riferimento a soluzioni numeriche che possono facilmente tenere conto anche del fatto
che il flusso termico non avviene nella realtà lungo quello che è stato definito asse x,
ma anche in direzione perpendicolare in una situazione di flusso bidimensionale.
Se si indica con "p" il passo dell'alettatura, cioè la distanza alla quale sono
inserite le alette, ed "l" la lunghezza trasversale dell'aletta, il flusso termico
complessivamente scambiato da ogni aletta è:
  h  p  s  l T0  T f   2 h l
 T  T 
L
0
f
dx  h l s TL  T f
 h  Stotale  S aletta  T0  T f   a h S aletta T0  T f
  h Stotale T0  T f



dove Stotale è la superficie totale alettata, Saletta è la superficie della sola aletta ed  è
una efficienza complessiva della superficie alettata, ottenuta dalla seguente relazione:
 Stotale  Stotale  S aletta   a S aletta
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
79
Nelle situazioni pratiche il contributo dello scambio della parte libera da alette
della superficie iniziale e dello scambio della punta dell'aletta sono insignificanti e
possono essere trascurati.
Dai manuali si possono ricavare i valori di  idonei per le varie geometrie
utilizzate.
3.7 Transitori termici
Un corpo solido a temperatura T superiore a quella dell'ambiente circostante cede
gradualmente l'energia interna posseduta per convezione e/o irraggiamento sulla sua
superficie esterna; nel caso di temperatura minore cambia solamente il segno delle
potenze termiche.
Nel corpo stesso il calore si trasferisce dall'interno verso la superficie per effetto
di conduzione legata al gradiente termico.
Per risolvere il problema in modo completo è necessario determinare l'evoluzione
temporale del campo termico nel corpo solido risolvendo l'equazione differenziale:
 2T 
1T
 
valida per materiale omogeneo ed isotropo in assenza di generazione interna di calore.
La condizione al contorno di solito è di tipo convettivo o liminare:
 T 
 
  h TS  T f
  n S

dove si intende con "n" la normale alla superficie esterna e con il pedice "S" le
grandezze relative alla superficie stessa, oppure:
T 
   s  TS4  T f4 
  

n

S
nel caso di scambio per irraggiamento tra la superficie del corpo ed una fittizia
superficie "equivalente" che occupa tutto il suo orizzonte ed è caratterizzata da
emissività unitaria e temperatura uguale a quella del fluido in cui il corpo è immerso.
Nella trattazione di questo problema di scambio termico, come nel problema
dello scambio termico convettivo, si usa adimensionalizzare le grandezze. Il flusso
termico viene adimensionalizzato introducendo il
numero di Biot: Bi 
hd

avente la stessa forma del numero di Nusselt, ma da esso differente perché la
conduttività è quella del solido e non del fluido; esso mette in relazione il fenomeno
conduttivo nel solido con lo scambio convettivo nel fluido (d come al solito è la
grandezza lineare che influenza il fenomeno, in pratica è il rapporto tra il volume del
corpo e la sua superficie esterna). Il tempo viene adimensionalizzato con il
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
80
numero di Fourier: Fo 

d2
Se il numero di Biot è grande, di solito se Bi>100, la differenza di temperatura tra
la superficie ed il fluido diventa trascurabile per cui è possibile sostituire la condizione
al contorno con questa più semplice: Ts = Tf.
La soluzione viene di solito ricercata per via numerica ma si trova anche
catalogata per molte geometrie di interesse pratico su manuali specifici.
Se il numero di Biot è piccolo, di solito Bi < 0,1, il gradiente termico all'interno
del corpo solido diventa trascurabile per cui lo stesso si può considerare con ottima
approssimazione isotermo e quindi il calore scambiato con l'esterno si può uguagliare
alla perdita di entalpia di tutto il corpo considerato come una capacità termica
concentrata:
m cp
dT
 h S T  T f   0
d
dove m è la massa del corpo e cp il suo calore specifico, T è la temperatura uniforme
del corpo ad un tempo generico.
L'equazione è risolubile per separazione delle variabili considerando che
dT  d ( T  T f ) , la soluzione è:
T  Tf  A e

hS

m cp
per  = 0, T = T0 e perciò:
T  T f  T0  T f  e
dove il gruppo

hS

mc p
hS
 è adimensionale, moltiplicando e dividendo per VS, si
m cp
ottiene:
hS
h S  VS   hd


 Fo  Bi .
m cp
m c p VS  d 2 
3.8 Conduzione in regime periodico stazionario
Il solo caso di regime periodico stazionario che tratteremo è quello relativamente
semplice di mezzo seminfinito con temperatura al contorno variabile con legge
sinusoidale.
In un mezzo omogeneo, isotropo e seminfinito, quando sulla faccia limite (x=0) la
temperatura varia nel tempo con legge sinusoidale del tipo:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
81
T    Tm   0 sin 
(3-9)
Tm = valore medio della temperatura sulla faccia [°C],
0 = ampiezza della oscillazione di temperatura ad x=0 [°C],
 = 2/P0 = 2   = pulsazione [rad/s],
 = frequenza [s-1],
P0 = 1/ = periodo dell’oscillazione [s].
con
T
0e-x
=1
20
=2
Tm
x
Fig. 3-16
Campo termico per due istanti di tempo
Il campo termico si può ricavare risolvendo l’equazione della diffusione (3-2) con
la condizione al contorno (3-9). Si ottiene:
T  x,   Tm   0 e   x sin    x 
dove,


 P0
m ,
1
 = diffusività termica del mezzo [m/s2],
 x = ritardo di fase [rad],
il termine  x rappresenta lo sfasamento in radianti fra l’oscillazione termica alla
profondità x e quella sulla faccia limite (x = 0).
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
82
Come si nota le oscillazioni termiche nel materiale seguono ancora una legge
sinusoidale ma con ampiezza decrescente con x (Fig. 3-16):
C 
  x    0 e  x
Il termine e   x viene detto “fattore di smorzamento”.
Un altro parametro interessante è il “tempo di ritardo” r, pari all’intervallo di
tempo che intercorre fra gli istanti in cui si verificano i valori massimi all’ascissa x e
quelli nei quali si verificano sulla faccia limite (x=0).
   x   0
 r    0 
 x x P0

 2 
s
La velocità di propagazione dell’onda termica nel mezzo risulta perciò:
c
x
r


4


P0
m s
Il flusso termico sulla faccia limite (x=0) risulta:
  
dT
dx
x 0
  0  sin  t   cos  t  
I risultati ottenuti consentono di fare alcune osservazioni importanti:
1) Un materiale con elevata diffusività termica presenta  basso, e  x elevato e
quindi un basso potere di smorzamento dell’ampiezza dell’oscillazione termica;
2) oscillazioni caratterizzate da un valore del periodo basso (alta frequenza) danno
luogo ad uno smorzamento elevato. Si dice allora che il mezzo si comporta come
filtro passa-basso in quanto lascia passare solo oscillazioni di bassa frequenza;
3) un mezzo con capacità termica volumica c più elevata presenta diffusività
termica più bassa, un più basso fattore di smorzamento ed un più elevato tempo di
ritardo (effetto “volano termico”).
3.9 Isolamento termico delle pareti
Le pareti che separano un ambiente esterno libero da uno interno a clima
controllato devono, tra le altre caratteristiche, possedere un isolamento termico tale da
contenere in limiti ragionevoli la trasmissione di calore conseguente alla differenza di
temperatura che si ha tra i due ambienti.
In particolare ciò è vero per le pareti degli edifici, dove la temperatura interna
deve essere mantenuta a livello tale da garantire il benessere con il minimo dispendio
energetico.
Le normali pareti isolanti sono costituite da una successione di materiali diversi,
in forma di strati, ciascuno dei quali svolge una funzione specifica, è interessante per
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
83
le applicazioni tecniche ricavare un coefficiente di scambio globale che ne quantifichi
il comportamento.
E’ frequente la situazione di temperature ambiente poco variabili nel tempo nel
qual caso si parla di regime termico costante, tuttavia, specie nel calcolo degli impianti
di condizionamento e in condizioni estive risulta importante l’influenza della capacità
termica che richiede la considerazione della variabilità nel tempo delle temperature.
3.9.1 Regime termico costante
3.9.1.1 Parete piana
In regime di temperature costanti si introduce un parametro globale di scambio
detto trasmittanza termica specifica definita come rapporto tra il flusso termico
specifico scambiato e la differenza di temperatura fra i due fluidi che si scambiano
calore.
La situazione più frequente corrisponde ad una parete composta di più strati di
materiali differenti fra loro, interessati da un unico flusso termico perpendicolare alle
superfici di separazione, che quindi si possono considerare isoterme.
Nelle applicazioni tecniche ricorre frequentemente il caso di strati piani paralleli
fra loro (caso tipico delle pareti degli edifici o dei forni) e quello degli strati cilindrici
concentrici (caso tipico dell'isolamento delle tubazioni).
Una situazione di particolare interesse si verifica quando due fluidi devono
scambiarsi calore attraverso una parete che li separa costituita da uno strato
omogeneo; in tale caso il fluido caldo scambia un flusso termico liminare con la
parete, successivamente la parete trasmette per conduzione da una superficie a quella
opposta ed infine la parete cede un flusso termico liminare al secondo fluido (Fig. 317).
Per uno strato di materiale delimitato da due superfici piane parallele a distanza
"s" e tali che su ciascuna di esse la temperatura si mantenga costante nel tempo ed
uniforme in tutti i punti, indicando con x l'asse normale a dette superfici isoterme (fig.
3-17), l'equazione di Laplace:
d 2T
0
d x2
integrata due volte consente di valutare la temperatura in funzione dell'ascissa:
T  Ax  B
dove le costanti di integrazione A e B possono ricavarsi imponendo le condizioni al
contorno, cioè che per x=0 risulti T=T1 e per x=s risulti T=T2, da cui,
 T T 
T  2 1  x T1
 s 
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
84

T
i
T
1
T
2
e
s
0
R1
Ti
T
R2
R
T1
x
T2
T
e
Fig. 3-17
Trasmissione del calore in parete piana monostrato
Il flusso termico che attraversa lo strato di materiale si ricava dalla legge di
Fourier,
  
dT 
 T1 T2 
dx s
W 
 m 2 
costante lungo tutto il percorso tra le due superfici isoterme limiti.
Il valore del flusso termico trasmesso risulta quindi direttamente proporzionale
sia alla differenza di temperatura presente, sia al rapporto tra la conduttività termica e
lo spessore dello strato di materiale. Questo rapporto viene detto “conduttanza termica
specifica” dello strato,
C

s
 W 
 m2 K 


il suo reciproco invece prende il nome di “resistenza termica specifica”,
1
s
R 
C 
 m2 K 
 W 


Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
85
I termini "resistenza" e "conduttanza" richiamano le analoghe grandezze del
campo elettrico in conseguenza dell'analogia formale tra la legge di Fourier nel campo
termico e quella di Ohm nel campo elettrico.
In presenza di scambi termici liminari sulle superfici estreme il flusso termico
specifico è sempre lo stesso, ma subisce passaggi successivi che sono descritti dalle
seguenti equazioni:
  hi Ti  T1  

s
T1  T2   he T2  Te 
W 
 m 2 
dove Ti e Te sono le temperature dei fluidi caldo e freddo, T1 e T2 sono le temperature
delle superfici calda e fredda della parete.
Ricavando le differenze di temperatura e sommando membro a membro si ottiene
la differenza di temperatura complessiva e riordinando:
W 
  U Ti  Te   2 
m 
dove,
1 s 1
U    
 hi  he 
1
 W 
 2 
m K 
è il coefficiente globale di trasmissione termica detto "trasmittanza termica specifica".
Ricordando l'analogia elettrica si può vedere il termine 1/h, inverso del
coefficiente liminare, come una resistenza termica aggiuntiva a cui è legata la caduta
di temperatura necessaria per il passaggio del flusso termico dal fluido alla parete, o
viceversa, per scambio termico liminare.
Nel caso di parete costituita da più strati piani e paralleli la superficie di
trasmissione del calore rimane costante e ciascuno strato contribuisce una sua quota
alla resistenza termica complessiva offerta al passaggio del calore. Con la simbologia
di figura 3-18 si ha allora che per lo scambio liminare fra parete e fluido sui due
confini esterni della parete si può scrivere:
  hi Ti  T1 
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
86


1
Ti
2
3
T
1
T
2
T3
T4
Te
x
Fig. 3-18
Trasmissione del calore in parete piana multistrato
  he T4  Te 
Per lo scambio termico conduttivo in un generico strato intermedio, ad esempio lo
strato 1:

1
s1
T1  T2 
Per gli strati per i quali è nota la conduttanza termica specifica, ad esempio se il
secondo strato fosse una intercapedine d'aria, si dovrebbe scrivere:
  C2 T2  T3 
dove si è indicato con C2 la conduttanza termica specifica dell'intercapedine d'aria
ricavata nel paragrafo seguente.
Ricavando dalle espressioni precedenti le differenze di temperatura e sommando
poi membro a membro, risulta:
  U Ti  Te 
con U, trasmittanza termica specifica della parete, che nel caso in cui questa risultasse
composta da un numero NC di strati con conduttanza specifica nota ed un numero NS
di strati di conducibilità termica e spessore noti, assume la forma seguente:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
NS
 1 1 NC 1
s
U   
 k
h h
j 1 C j
k 1 k
e
 i
87




1
 W 
m2 K 


(3-10)
Se la superficie della parete è S, il flusso termico totale trasmesso sarà
ovviamente:
  U S Ti  Te 
W 
Nel caso che la parete non presenti una composizione uniforme su tutta la
superficie termicamente trasmettente, ma si presenti come una combinazione di
elementi diversi tra loro, si può procedere ad ottenere un risultato approssimato
effettuando una media ponderale delle caratteristiche dei vari elementi in proporzione
alla superficie termicamente trasmettente di ciascun elemento:
U
U S
S
k
k
k
In alternativa si può procedere ritenendo ciascuno strato costituito da un materiale
che ha come conducibilità termica un valore medio fra quelli dei componenti,
effettuando poi il calcolo di composizione degli strati aventi caratteristiche mediate.
E' evidente che il risultato cui si perviene con questi metodi è solo una stima
approssimata del flusso termico trasmesso. La disomogeneità del materiale nel piano
di giacitura della parete rende il flusso non monodimensionale facendo venir meno
l'ipotesi fondamentale su cui si basano le ultime conclusioni.
I due procedimenti portano a risultati non necessariamente coincidenti o anche
solo simili, volta per volta si potrà esaminare quale ipotesi sia più vicina al reale.
L'ipotesi di flusso termico monodimensionale per linee di flusso parallele fra di loro
corrisponde alla seconda modalità illustrata.
Non avendo altra indicazione si potrà ritenere approssimazione più probabile la
media fra i due risultati ottenibili.
Un caso particolarmente interessante e frequente è quello dei cosiddetti ponti
termici, i quali si verificano ogni volta che, per variazioni di materiale o di forma, le
pareti sono soggette a flussi termici bi- e tri-dimensionali anziché mono-dimensionali
(Fig. 3-19).
In tale caso si preferisce per semplicità ritenere ancora accettabile
l'approssimazione fin qui proposta, ma tenendo conto con opportune correzioni delle
perturbazioni presenti nella realtà.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
88
T
Taria
Tsuperficie
Fig. 3-19
Ponti termici
Il ponte termico si verifica ordinariamente nella zona di confine tra due materiali
diversi (ad esempio un pilastro di calcestruzzo armato in una parete di laterizio oppure
nell'angolo dove si incontrano due pareti fra loro ortogonali), a titolo di correzione si
aggiunge allora un flusso termico proporzionale allo sviluppo lineare del ponte
termico stesso con un coefficiente di proporzionalità che dipende dalla geometria e dai
materiali impiegati secondo tabelle che si ritrovano sui manuali e normative
appositamente predisposte (UNI EN ISO 10211-1, EN ISO 14683):
  U S   L  Ti  Te 
(3-11)
con  coefficiente di ponte termico ed L sviluppo lineare dello stesso.
I ponti termici oltre che per il flusso termico aggiuntivo trasmesso sono
importanti perché costituiscono regioni di superficie dove, in inverno, la temperatura è
più bassa che nel resto della parete e pertanto costituiscono la zona dove per prima si
verifica una eventuale condensazione dell'umidità sempre presente nell'aria.
Questo fenomeno è particolarmente probabile nei triedri (all'intersezione di due
pareti verticali ortogonali con un solaio) dove le temperature raggiunte sono ancora
più basse.
Un altro esempio di flusso termico non monodimensionale si ha nelle strutture
composite come i solai in laterocemento, dove i blocchi di laterizio si alternano alle
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
89
travi in calcestruzzo armato. Con riferimento alla struttura riportata in Fig. 3-20 sono
possibili due modelli di flusso monodimensionale come approssimazioni del reale
campo termico nella struttura; esse corrispondono a considerare l’ipotesi di
adiabaticità delle sezioni indicate in Fig. 3-21a o quella di isotermicità delle sezioni in
Fig. 3-21b. Nel primo caso la resistenza specifica della struttura risulta 0,312 (m2K)/W
e nel secondo 0,277 (m2K)/W.
Un calcolo della resistenza basato sulla soluzione dell’equazione della
conduzione in due dimensioni con un metodo numerico agli elementi finiti (isoterme
in fig. 3-22), porta al valore di resistenza 0,318 (m2K)/W.
2
1
4
2
3
16
4
2
38
50 cm
1 - piastrelle di marmo 1 W/(mK)
2 - calcestruzzo armato 1,91 W/(mK)
3 - blocco in laterizio 0,38 W/(mK)
4 - intonaco 0,9 W/(mK)
Fig. 3-20
Solaio in latero-cemento
adiabatico



0,38 
0,12
1
1

R

0,02 0,16 0,04 0,02 0,5 
 0,02  0,2  0,02 0,5



 0,9 191

0,9 0,38 191
1
1
,
,
1
 0,312
Fig. 3-21a
Modello monodimensionale con piani adiabatici
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
90
isotermo
R
0,02
1
0,04 0,02



 0,277
1,91 0,12 0,38 0,38 1,91
0,9
1

0,16 0,5 0,16 0,5
Fig. 3-21b
Modello monodimensionale con piani isotermi
Fig. 3-22
Modello bidimensionale. Isoterme nella struttura solaio
3.9.1.2 Intercapedini d'aria
In molte applicazioni si usa come isolante termico uno strato lasciato vuoto in cui
l'aria atmosferica presente funge da materiale isolante, il suo spessore è determinato
dalla distanza delle due superfici solide che lo delimitano.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
91
Tale strato prende il nome di cavità o intercapedine d'aria ed è soggetto ad uno
scambio termico composto che comprende conduzione, convezione ed irraggiamento.
L'irraggiamento e la conduzione sono sempre presenti, mentre la convezione
assume valori sensibili solo quando lo spessore supera un limite minimo che rende
praticamente possibile il movimento dell'aria per convezione libera.
La trattazione di questo tipo misto di scambio termico fa sempre capo a
trattazioni di tipo adimensionale.
Si ritiene che la convezione sia trascurabile quando il numero di Rayleigh è
inferiore a 2000.
Per Ra = Gr Pr < 2000:
Nu  1 
hconv d

1 
hconv 

d
con "d" spessore dell'intercapedine.
Anche nel caso in cui questa approssimazione sia verificata rimane un contributo
significativo dell'irraggiamento termico, per cui lo scambio termico completo si può
descrivere solo introducendo una conduttanza termica specifica equivalente dello
strato, pari a:
C  hirr 

d
indicando con hirr il coefficiente definito in precedenza nel caso che si possa ricorrere
all'approssimazione linearizzata per lo scambio termico per irraggiamento.
Nel caso di pareti piane affacciate con un rapporto distanza-dimensioni trasversali
tale da presentare un flusso termico disperso per irraggiamento lungo l'apertura di
contorno trascurabile, si ha:
hirr  4  12  Tm3
con:
1
 12

1
1

1
2
1
Se Ra > 2000 bisogno considerare il contributo della convezione:
C  hirr  hconv 

d
con hconv calcolato attraverso formulazioni adimensionali; è tuttavia possibile
conglobare il contributo della conduzione e quello della convezione in un unico
coefficiente di scambio:
h  hconv 

d
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
92
ricavandolo da un'espressione adimensionale del tipo:
Nu  1  f ( Ra ,...)
ponendo Nu 
hd

.
Dall'elaborazione dei dati sperimentali si ottengono tre diverse espressioni
adimensionali, una valida per intercapedini d'aria verticali con flusso termico ad
andamento orizzontale, le altre per flusso termico verticale.
Per intercapedini a flusso verticale verso il basso si ha:
Nu = 1
cioè sola conduzione.
T1
T2
a)
T2
T1
c)
T1
T2
b)
Fig. 3-23
Resistenza termica di intercapedini d’aria
(T1=285 K, T2=265 K,  =0,95)
Per intercapedini a flusso verticale verso l'alto si ha:
*
3

 1708   Ra 
Nu  1  1,44 1 
  1
  
Ra   5830 


1
*
dove il segno "*" significa che il termine nella parentesi va posto a zero se il valore
calcolato risulta negativo.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
93
Per intercapedini a flusso orizzontale si ha:
Nu  1  0 ,014 Ra
0 ,39
 L
 
d 
0 ,18
con L altezza dell'intercapedine.
Nella Fig. 3-23 è riportato l’andamento della resistenza termica
 m2 K 
1
1
R 

 di una intercapedine d’aria al variare dello spessore.
C h  hirr  W 
Particolarmente nel caso delle intercapedini d'aria utilizzate come isolanti nelle
murature, è illusorio ritenere che non ci sia scambio d'aria tra l'intercapedine e
l'esterno, lo scambio di massa è sempre presente a causa dei difetti di tenuta, della
porosità e delle cavillature che risultano inevitabilmente presenti. In questo caso i
valori calcolati sono valori minimi che per situazioni reali possono risultare
maggiorati approssimativamente del 15%.
3.9.1.3 Parete cilindrica
Nel caso di una parete costituita da strati cilindrici coassiali il procedimento di
calcolo è simile a quello per la parete piana, salvo che per il fatto che la superficie
scambiante risulta crescente con il raggio dell'isolamento cilindrico per cui nella
formula complessiva bisogna usare valori diversi della trasmittanza a seconda del
diametro al quale si fa riferimento.
4
3
2
r1
1
r2
r3
r4
Fig. 3-24
Parete cilindrica multistrato
In un sistema di coordinate cilindriche (r, , z), nell'ipotesi che
T(r,,z)=T(r), cioè che la temperatura risulti funzione solo del raggio,
l'equazione della conduzione diventa:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
94
d 2T 1 d T

0
d r2 r d r
ovvero,
d  dT 
r
0
d r  d r 
che integrata due volte consente di valutare la temperatura in funzione del raggio:
T  A ln r  B
dove le costanti di integrazione A e B possono ricavarsi imponendo le condizioni al
contorno, cioè, ad esempio, che per r = r1 risulti T = T1 e per r = r2 risulti T = T2, da
cui,


 T T  r
T   2 1  ln  T1
 ln r2  r1

r1 

Il flusso termico che attraversa lo strato di materiale si ricava dalla legge di
Fourier,
   2 r L 
dT  2 L
T1 T2 

r2
dr
ln
r1
W 
costante lungo tutto il percorso tra le due superfici isoterme limiti.
Il valore del flusso termico trasmesso risulta quindi direttamente proporzionale
alla differenza di temperatura presente e ad un fattore che in analogia al caso di strato
piano viene definito “conduttanza termica totale” dello strato,
C1 
 2 L
ln
W 
 K 
r2
r1
il suo reciproco invece prende il nome di “resistenza termica totale”,
ln
R1 
r2
r1
1

C1  2 L
K 
W 
L'espressione per il calcolo del flusso trasmesso attraverso uno strato cilindrico
degenera in quella per uno strato piano di spessore r2-r1 quando risulti r2-r1<< r1,
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
95
infatti in tal caso nello sviluppo in serie del logaritmo si possono trascurare i termini
oltre il primo:
ln
 r r  r r
r2
 ln 1  2 1   2 1
r1 
r1
r1

e quindi



T1 T2   W2 

2 r1 L r2 r1
m 
Con la simbologia di figura 3-24 ed indicando con Ti ed hi rispettivamente la
temperatura ed il coefficiente liminare di scambio termico relativi al fluido a contatto
della superficie di minor diametro e Te ed he quelli relativi al fluido a contatto della
superficie di maggior diametro, risulta:
  hi 2 Lr1 Ti  T1 
  he 2 Lr4 T4  Te 
per lo scambio liminare fra parete e fluido sulle due superfici di confine, con L
lunghezza della parete cilindrica.
Per lo scambio conduttivo in un generico strato intermedio, ad esempio lo strato
k, si ha:

k 2 L
r
ln k 1
rk
Tk Tk 1 
ricavando le differenze di temperatura in funzione di  e sommandole, risulta
  U S Ti Te 
dove
US 
W 
2 L
N
1
1
1 r

  l n k 1
r1 hi r4 he k 1 k
rk
W 
 K 
dove è da intendersi N = numero di strati (N = 3 in Fig. 3-23).
Per la conservazione del flusso termico ovviamente US = costante in tutte le
superfici attraversate dal flusso. In particolare, nella sezione 1:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
96
S1  2 L r1
U1 
m 
2
1
N
r
r
r
1
 1   1 ln k 1
hi he re k 1 k
rk
 W 
 m2 K 


e nella sezione 4:
S 4  2 Lr4
U4 
m 
2
1
N
r4
r
r
1
   4 ln k 1
hi r1 he k 1 k
rk
 W 
 m2 K 


Un caso di particolare interesse in cui si ha una significativa variazione tra
superficie interna e superficie esterna è quello in presenza di alettatura; in tale caso
facendo riferimento alla superficie alettata si utilizza per U l'espressione:
1
 1

s
1
 per parete piana monostrato,


U S al  
 hi S i  S i  hal S al 


r 


l n  e 
ri 

 1
1

U S al  


h S  2 L  hal S al 

 i




1
(3-12)
dove S è la superficie interna, Sal è la superficie totale alettata, h è il coefficiente
convettivo sulla superficie interna, s è lo spessore dello strato piano, re ed ri sono il
raggio esterno ed interno dello strato cilindrico,  è l'efficienza dell'alettatura, hal è il
coefficiente convettivo sulla superficie alettata.
Il flusso termico risulta:
  U S al Ti  Te 
3.9.1.3.1 Raggio critico
Rivestendo un tubo di piccolo diametro, un filo o un cavo, con un materiale
termicamente isolante può accadere di avere un aumento di flusso termico trasmesso
anziché una riduzione. Considerando ad esempio un cavo di raggio r0 con temperatura
superficiale costante nota T0, se lo si riveste con uno spessore r - r0 di isolante termico
con conduttività termica , il flusso termico trasmesso al fluido esterno risulta:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica

T0  T f
97
W 
Ris  Rlim
dove
Ris 
r
1
ln 
2 L   r0 
è la resistenza termica dello strato di isolante e
Rlim 
1
2 L r h
è la resistenza termica legata allo scambio termico liminare sulla superficie esterna
con coefficiente di scambio h.
Rtotale
Risolante

Rliminare
r [m]
r0
rc
Fig. 3-25
Raggio critico
All'aumentare del raggio r aumenta la resistenza dell'isolante e diminuisce la
resistenza liminare in conseguenza dell'aumentata superficie esterna disperdente. La
funzione Ris + Rlim ammette un minino, infatti:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
98
d
Ris  Rlim   1
dr
2 L 
si annulla per r  rc 

h
1
 

 
2 
r h r 
, detto raggio critico, con derivata seconda positiva in tale
punto.
In conclusione per r0 < r <rc il flusso termico trasmesso in presenza dell'isolante
è maggiore di quello disperso dal cavo nudo; per r > rc il flusso termico diminuisce
all’aumentare dello spessore di isolante.
3.9.1.4 Il procedimento aria-sole
Quando una parete è investita da radiazione solare di intensità I (W/m2), la parete
assorbe parzialmente l'energia incidente secondo il suo coefficiente "" di
assorbimento producendo un innalzamento della temperatura della superficie stessa.
Tale variazione di temperatura produce variazione del flusso termico che
interessa la parete rispetto alla situazione di assenza della radiazione solare, al punto
che la superficie potrebbe riscaldarsi fino ad invertire il flusso termico scambiato con
l'aria esterna, in condizioni estive uscente anziché entrante ed in condizioni invernali
entrante anziché uscente.
In pratica tutto avviene come se l'aria esterna avesse una temperatura fittizia più
elevata, tale da fornire per scambio liminare anche il flusso termico corrispondente
alla radiazione solare secondo l'equivalenza:
h S Ta  T p    I S  h S Ta  T p 
dove:
h
S
Ta
Tp

I
Ta
= coefficiente liminare di scambio
= superficie della parete
= temperatura dell'aria esterna
= temperatura della superficie esterna della parete
= assorbanza della superficie esterna della parete
= intensità della radiazione solare
= temperatura equivalente aria-sole.
Le grandezze risultano tutte note eccetto Ta , per cui:
Ta  Ta 
I
h
Se l’aria dell’ambiente delimitato dalla parete in esame è a temperatura Ti il
flusso termico che attraversa la parete è
  US Ta*  Ti 
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
99
Attraverso l'uso della temperatura aria-sole si possono facilmente eseguire calcoli
di scambio termico in pareti soggette a radiazione solare anche se è il caso di ricordare
che la radiazione solare è variabile nel tempo e la sua intensità va quindi
opportunamente mediata per effettuare i calcoli in regime termico stazionario.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
100
TECNICA DEL CLIMA
4.1 L'aria umida, psicrometria
L'unico caso tecnicamente interessante e praticamente frequente in cui si debba
tenere conto della separazione di uno degli elementi in una miscela di gas, è quello
dell'aria umida, cioè dell'aria contenente vapore acqueo che durante le trasformazioni
può subire variazioni di temperatura tali che provochino la condensazione di almeno
una parte dell'acqua contenuta nella miscela.
Le trasformazioni nelle quali ha rilevanza il fenomeno detto sono quelle che si
verificano nelle macchine per il condizionamento dell'aria o negli ambienti condizionati. In tali casi le differenze di pressione prodotte dai ventilatori e dall'attrito sono
relativamente piccole e quindi tutti i fenomeni possono essere studiati ad una pressione costante, coincidente con la pressione atmosferica.
Sono interessanti, per descrivere il comportamento e le trasformazioni dell'aria
umida, alcune grandezze specifiche oltre alle generali proprietà termodinamiche dell'aria, considerata come gas perfetto avente le caratteristiche medie della miscela senza
acqua, e quelle dell'acqua.
Tra tali grandezze specifiche sono:
1) “umidità assoluta” pari alla densità del vapore d'acqua contenuto nella miscela: v;
2) contenuto di vapore d'acqua nell'aria detto “umidità specifica” o “titolo”:
x

massa di vapore
 v
massa di aria secca  a
(4-1)
essendo a la densità dell'aria secca; tale grandezza non è da confondere con quella
omonima relativa ai vapori saturi (titolo del vapore);
3) “grado igrometrico”, pari al rapporto tra l'umidità assoluta e la densità di vapore
che alla stessa temperatura corrisponde alle condizioni di saturazione (cioè alla curva
limite superiore dell'acqua):

v
s
(4-2)
Nella pratica si usa spesso al posto di questo parametro la “umidità relativa” definita come:
UR     
% 
E' d'uso, considerata la maggiore semplicità delle calcolazioni che si eseguono,
ricordare che, nella zona delle bassissime pressioni parziali del vapore d'acqua nelle
quali si opera, esso segue con ottima approssimazione la legge dei gas perfetti, per cui:
ps
s
 Rv*T 
pv
v
  
pv
ps
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
 pv
*
   Rv T
v
p
a

 Ra*T
  a

101
 ps
Ra* p v 287 pv

 0 ,622
x *
p  p s
Rv pa 462 p  pv
Sono in uso tabelle che riportano molto dettagliatamente per il corrente campo
d'impiego dell’aria umida (da -15 a +50 °C) il valore della pressione di saturazione del
vapore d'acqua.
Per i calcoli energetici si usa ordinariamente l'entalpia, che per vantaggio nell'utilizzazione non viene riferita alla massa della miscela di aria ed umidità, bensì alla sola
aria secca; ciò semplifica i calcoli in quanto la massa di umidità può variare per l'evaporazione e la condensazione, ma non i gas che costituiscono l'aria (cosiddetti incondensabili perché si trovano a temperatura superiore al punto critico). Si introduce una
entalpia i1+x definita in modo tale che l’entalpia totale della miscela aria umida risulta:
I  ma i1 x  ma ia  mv iv
L'entalpia di un kg di aria secca cui è associato un quantitativo variabile "x" di
umidità è esprimibile quindi come:
i1+x= ia + x iv
Preso, come d'uso, a riferimento il valore di 0°C, l'entalpia dell'aria è valutabile
come ia = cpa t, se "t" è la temperatura in °C.
Fig. 4-1
Stato termodinamico del vapore d’acqua nell’aria umida
L'entalpia del vapore, iv, è esprimibile in diverso modo a seconda che si intenda a
0 °C l'acqua solida, liquida o vapore. Stante l'interesse dei processi di condizionamento nei quali l'acqua esegue correntemente passaggi liquido - vapore o viceversa, ma non solidificazioni o sublimazioni, si usa come entalpia zero la condizione
di liquido saturo a 0 °C.
Nel campo del vapore d'acqua surriscaldato a bassa pressione (minore di quella
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
102
atmosferica) le linee isoterme sono con ottima approssimazione coincidenti con le
isoentalpiche per cui non esiste dipendenza dell’entalpia dalla pressione, come succede invece per le pressioni elevate, per cui è sufficiente conoscere la temperatura per
ricavare l'entalpia prefissando una convenzionale trasformazione a pressione costante
per giungere ad essa (Fig. 4-1).
Fig. 4-2
Diagramma di Mollier per l’aria umida
La pressione di riferimento è quella che corrisponde alla saturazione a 0 °C per
cui, per ricavare l'entalpia, si opera dapprima l'evaporazione a 0 °C e poi un surriscaldamento, cioè:
iv = r0 + cpv t
risultando infine:
i1+x = cpa t + x (r0 +cpv t) = x r0 + (cpa + x cpv) t
(4-3)
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
103
Il diagramma di Mollier per l'aria umida rappresenta l'entalpia così ottenuta in
funzione del titolo "x".
Su di esso sono facilmente rappresentabili tutte le trasformazioni che riguardano
il condizionamento dell'aria. I valori numerici che compaiono nella formula di i1+x
sono, nel sistema SI:
r0 = 2500 kJ/kg, cpa = 1 kJ/(kgK), cpv = 1,9 kJ/(kgK),
il campo di ragionevole attendibilità della formula è compreso tra le temperature di
-15 e +50 °C.
Ciò significa che il termine (x r0) diventa regolarmente predominante rispetto agli
altri e si riduce il campo utile per la rappresentazione a piccola parte del diagramma
tra gli assi coordinati.
Si ricorre allora ad una rappresentazione ad assi angolati fra loro di un angolo
maggiore di 90° facendo in modo che il termine (2500 x) risulti compreso tra l'asse
inclinato e l'orizzontale, mediante una opportuna scelta della scala della rappresentazione.
Il diagramma assume allora l'andamento di figura 4-2, dove compaiono: isotitolo,
isoentalpiche, isoterme e linee di uguale umidità relativa. Sul bordo del diagramma è
riportata la scala dei rapporti
i
utile per rappresentare, come si vedrà in seguito,
x
particolari trasformazioni dell’aria umida. Per individuare sul diagramma una retta
i
 cost si congiunge il punto “0” con il punto
caratterizzata da un certo valore di
x
sul bordo esterno del diagramma caratterizzato dal valore della costante assegnata.
Si può osservare che le linee a t = cost dal punto di vista grafico sono rette che
fanno fascio (sulla linea i1+x = 2500 x) dove è:
c pa  x c pv  0 
x
c pa
c pv
 0,52
Si definisce “temperatura di rugiada” (tr) la temperatura alla quale il vapore
d’acqua presente nell’aria umida comincia a condensare durante un raffreddamento
isobaro (x=costante). Si parla invece di “temperatura di bulbo umido” (tbu) con riferimento alla temperatura che l’aria umida raggiunge durante un processo di umidificazione adiabatica (fino alla saturazione); si può dimostrare che un tale processo risulta
circa isoentalpico. Nella Fig. 4-3 si riportano le temperature sinora introdotte, caratteristiche di una miscela di aria umida in un dato stato termodinamico.
Il volume specifico dell’aria umida si può calcolare dall’equazione di stato:
v
R* T
p
Rv*
Ra* *
 mi Ri*  ma Ra*  mv Rv* 
*

R
Ra , per cui:
dove
mT
ma  mv
1 x
1 x
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
104
Rv*
Ra* Ra*T Ra*T
v

p
p
1 x
1 x
l’aria umida presenta quindi un volume specifico maggiore di quello dell’aria secca
risultando così più leggera di quest’ultima.
t
tbu
tr
i1+x=cost
x=cost
Fig. 4-3
Temperatura al bulbo secco ed umido e temperatura di rugiada
Le principali trasformazioni eseguibili sull'aria umida sono: raffreddamento, riscaldamento ed umidificazione.
La deumidificazione è possibile per adsorbimento da parte di sostanze igroscopiche ma anche attraverso il raffreddamento come si vedrà in seguito.
Una trasformazione particolare è quella conseguente al miscelamento di due portate d’aria in condizioni termoigrometriche differenti. Miscelando una portata d’aria


M 1 in condizioni “1” con una M 2 in condizioni “2”, la miscela risultante avrà le
proprietà caratteristiche del punto “m” collocato sul segmento di retta (1-2) secondo la
regola baricentrica, infatti, con riferimento alla Fig. 4-4:



massa vapore: M 1 x1  M 2 x2  M m xm



massa aria secca: M 1  M 2  M m



energia: M 1 i1  M 2 i2  M m im
sostituendo la seconda relazione nella prima e nella terza:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
105

 
 M 1  xm  x1   M 2  x2  xm 
 

 M 1  im  i1   M 2  i2  im 


da cui,
M2

M1

im  i1 xm  x1 1m


i2  im x2  xm m2
1
1
m
m
2
2
Fig. 4-4
Miscelamento
Le trasformazioni di riscaldamento e di raffreddamento corrispondono a fornire o
a togliere all'aria una certa potenza termica per mezzo ad esempio di una batteria alettata. L'entalpia ovviamente cresce o diminuisce, ma la caratteristica fondamentale è
che il contenuto di vapore d'acqua, cioè il titolo, rimane costante.
Ciò accade sempre durante i riscaldamenti e sino al raggiungimento della saturazione durante i raffreddamenti. Con riferimento al volume di controllo a linea tratteggiata in Fig. 4-5, le equazioni di bilancio portano a scrivere:



massa aria secca: M 1  M 2  M


massa vapore: M x2  M x1


energia:   M i  M  i2  i1 
Quando la temperatura superficiale della batteria di scambio termico è inferiore
alla temperatura di rugiada dell’aria, in un raffreddamento, accade che l'acqua si separa diventando liquida e la trasformazione procede nel senso di abbassare il titolo oltre
che la temperatura. In realtà la trasformazione 1-r-s (Fig. 4-6) viene subita solo da quei
filetti di fluido a diretto contatto con la superficie delle alette della batteria di scambio
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
106
termico, parte del fluido invece non lambisce le alette ed attraversa la batteria senza
riuscire a raggiungere la temperatura ts. Il fenomeno è assimilabile ad un miscelamento a valle della batteria tra una portata di aria in condizioni “s” ed una portata in condizioni “1”, come se quest’ultima aggirasse la batteria senza scambio di calore.
2

1
2
M
1
i=i2-i1

Fig. 4-5
Riscaldamento/Raffreddamento a titolo costante
Le condizioni finali all’uscita dalla batteria di raffreddamento risultano solo prossime alla saturazione ( 2  100% ) e sono rappresentabili sul diagramma da un punto 2
sul segmento di retta 1-s (miscelamento).
Il rapporto BF 
 2s   i2  is
1s  i1  is
x2  xs
viene detto fattore di by-pass e dipenx1  xs

de da fattori geometrici e fluidodinamici (ad esempio diminuisce all’aumentare della
superficie di scambio nella direzione del moto ed al diminuire della velocità frontale
dell’aria).
Le equazioni di bilancio diventano:



massa aria secca: M 1  M 2  M



massa vapore: M x1  M x2  m H 2O



energia: M i1    M i2  m H 2O iH 2O  0

e risultando di solito trascurabile il termine m H 2O iH 2O si ha che:


m H 2O  M  x

  M i
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
107
Se sono necessari una temperatura superiore ed un grado igrometrico inferiore a
quelli di saturazione, si procede ad un cosiddetto post-riscaldamento a partire dalla
condizione di saturazione a titolo appropriato.
L'umidificazione si effettua con spruzzamento di acqua liquida o vapore d’acqua.
Quando si utilizza l’acqua liquida essa in parte evapora sino a saturare l'aria; l'energia
richiesta per l'evaporazione è presa dall'aria che si raffredda. L'entalpia rimane costante e la trasformazione procede verso grado igrometrico crescente (Fig. 4-7).
Le equazioni di bilancio in questo caso diventano:



massa aria secca : M 1  M 2  M

massa vapore : M  x2  x1   m H 2O


energia : M  i2  i1   m H 2O iH 2O

1
1
2

M
tr
r
2
ts
HO
m
2
i=i1-i2

s
Fig. 4-6
Raffreddamento con deumidificazione
facendo il rapporto membro a membro della terza equazione rispetto alla prima, si ha:
i
i
x H O
2


per l’acqua liquida a 20°C iH 2O  c p ,H 2O t  80 kJ kg la trasformazione risulta approssimativamente isoentalpica (1-2i in figura); se si utilizza vapore d’acqua saturo
secco o leggermente surriscaldato i H 2O  2500  3000 kJ kg la trasformazione
risulta circa isoterma (1-2t in figura). In entrambi i casi le condizioni finali dell’aria si
avvicinano soltanto a quelle di saturazione in conseguenza di un fenomeno simile a


Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
108
quello riscontrato nella deumidificazione per raffreddamento: anche qui le condizioni
finali si possono vedere come un miscelamento a valle dell’umidificatore con una
parte di aria in condizioni 1 (by-pass).
2t
1
1
2i
2

M
HO
m
2
Fig. 4-7
Umidificazione isoentalpica (1-2i) ed isoterma (1-2t)
4.2 Il benessere termoigrometrico
Di solito si associa la sensazione di caldo e di freddo dell'organismo umano alla
temperatura dell'aria; tuttavia ciò è inesatto ed insufficiente perchè la reale sensazione
di benessere dipende anche da altri parametri.
Il corpo umano è una macchina termica che riceve calore dal cibo e con esso produce lavoro meccanico, deve pertanto scaricare il calore residuo inutilizzabile a bassa
temperatura, mantenendo contemporaneamente la temperatura corporea al valore di
circa 37°C, ottimale per le funzioni fisiologiche.
Lo scarico del calore deve quindi avvenire in modo tale da mantenere la temperatura costante, ma con flusso termico variabile per tenere conto delle diverse esigenze
che nascono in funzione della diversa potenza richiesta in funzione dell'attività che
l'individuo svolge.
La potenza termica da scaricare, che prende il nome di metabolismo, è quindi
funzione dell'attività svolta, ad essa corrisponderà una sensazione di benessere o meno
a seconda delle condizioni termoigrometriche dell'ambiente.
Se c'è coincidenza del flusso termico scambiato con il metabolismo, il corpo ha la
sensazione cosiddetta di benessere, se il metabolismo supera lo scambio termico si ha
sensazione di caldo perchè il corpo deve accumulare calore aumentando di temperatura, mentre se il metabolismo è inferiore al flusso scambiato si ha sensazione di freddo
per la ragione opposta.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
109
Il flusso termico scambiato dipende sia dallo scambio termico convettivo tra corpo ed aria, quindi dal coefficiente di scambio (cioè dall'abbigliamento e dalla velocità
dell'aria) e dalla temperatura dell'ambiente, sia dallo scambio termico radiativo e
quindi, oltre che dall'abbigliamento, dalla temperatura delle superfici circostanti (che
può essere diversa dalla temperatura dell'aria anche in modo notevole), sia infine dallo
scambio evaporativo che dipende dal grado igrometrico dell'ambiente (l'acqua evapora
tanto più difficilmente quanto più si è vicini alla saturazione).
Tutto sommato quindi la condizione di benessere dipende oltre che dalla temperatura dell'aria, come si crede comunemente, anche dalla velocità dell'aria, dal tipo di
attività fisica, dalla temperatura delle superfici dell'ambiente (comprendendo fra di
esse anche il sole), dall'umidità relativa e dall'abbigliamento (che di solito è legato al
tipo di attività fisica in corso).
Riducendo il fenomeno in formula si può scrivere:
B=MCR–E
(4-4)
dove B è il bilancio termico del corpo che dà origine a benessere solo quando è uguale
a zero, M è il metabolismo, C è la potenza termica scambiata convettivamente, R è la
potenza termica scambiata radiativamente, E è la potenza termica scambiata per evaporazione. Il segno  significa che il termine può assumere valori sia positivi che negativi.
Passando ad esprimere le grandezze della formula sopra esposta in funzione dei
parametri misurabili che le condizionano, si ritrova che questi ultimi sono sei, di cui
quattro dipendenti dall'ambiente:
- temperatura dell'aria (Ta),
- velocità dell'aria (ca),
- umidità relativa dell'aria (a),
- temperatura media radiante (Tmr),
ed altri due dipendenti dalla persona:
- metabolismo (funzione dell'attività svolta, M),
- abbigliamento (Iclo).
La temperatura media radiante è la temperatura uniforme di un corpo nero che
scambia con l'ambiente la stessa quantità di energia radiante di una persona che occupa la stessa posizione nell'ambiente considerato:
P
Tmr4   Fcj T j4
j 1
per un ambiente costituito da P superfici, indicando con Fcj il fattore di vista tra il
corpo umano e la j-esima superficie a temperatura Tj.
Lo scambio di calore tra la superficie esterna dei vestiti e l’ambiente è dato da
due contributi: convezione ed irraggiamento. Nel caso in cui, come di solito accade,
l’irraggiamento sia linearizzabile:
  hc S TC  Ta   hirr S TC  Tmr 
Se si definisce temperatura operativa (To) quella di una cavità nera nella quale un
occupante scambia per convezione ed irraggiamento la stessa potenza termica , si ha:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
110
  hc  hirr  S Tc  To 
per cui To 
To 
W
hcTa  hirr Tmr
, che nel caso ordinario di hc  hirr  4 2 , diventa:
m K
hc  hirr
Ta  Tmr
.
2
L'indice di abbigliamento è un parametro adimensionale legato alla resistenza
termica totale tra la pelle e la superficie esterna dell'abbigliamento espressa da:
I clo 
Rclo
0 ,155
dove Rclo [m2K/W] è la resistenza termica sopra definita; l'indice Iclo risulta variabile
da 0 per la persona nuda, a 1,50 per la persona con abbigliamento invernale pesante, a
3-4 per la persona con abbigliamento polare. L'unità di misura dell'indice Iclo è il "clo".
L’unità di misura del metabolismo è il “met” definito pari a 58,2 W/m2 quanto
vale la potenza metabolica media di una persona seduta a riposo.
Essendo ordinariamente noto il tipo di attività che viene svolto in un determinato
ambiente, risulta possibile definire i valori o i campi ottimali delle variabili atti a garantire il benessere per la maggior parte degli occupanti; naturalmente la sensazione di
benessere è un fatto soggettivo e quindi non si potrà ottenere altro che soddisfare le
esigenze di un numero sufficientemente grande di persone senza raggiungere la totalità.
In conseguenza di queste considerazioni si ritiene raggiunta la condizione di benessere quando il numero di persone insoddisfatte è il minimo (PPD = percentuale
prevista di insoddisfatti).
Associato al livello probabilistico appena definito è il voto medio previsto (PMV)
basato su una scala di sensazioni data dalla media delle persone che si trovano nelle
stesse condizioni di abbigliamento e di attività ed operanti in un ambiente uniforme
rispetto alle quattro caratteristiche fisiche che lo individuano.
I livelli usati per definire il PMV sono sette:
-3 molto freddo
-2 freddo
-1 leggermente fresco
0 neutro
+1 leggermente caldo
+2 caldo
+3 molto caldo
Il voto medio previsto è una media, quindi può assumere anche tutti i valori intermedi. In Fig. 4-20 è riportata la percentuale di insoddisfatti in funzione del voto
medio previsto. Di solito si assume PPD=10% come condizione limite accettabile cui
corrisponde –0,5<PMV<+0,5.
Esistono formule piuttosto complesse che correlano il PMV con le grandezze
caratterizzanti l'ambiente e la persona. In modo esplicito si occupano di questo problema le norme ISO 7726, la UNI EN ISO 7730 e la ASHRAE 55-92.
La rappresentazione grafica della correlazione PMV = f(M, Ta, Tmr, a, ca, Iclo) è
complicata dalla presenza di sei variabili. E’ possibile costruire una serie di diagrammi
in corrispondenza di valori costanti di alcune variabili. Nella Fig. 4-21, ad esem pio, si
riporta il diagramma valido per a=50% con ca=0 se M<1 e ca=0,3(M-1) se M>1.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
111
PPD
PMV
Fig. 4-8
Percentuale prevista di insoddisfatti in funzione del voto medio previsto
Il diagramma riporta la temperatura operativa ottimale (PMV=0) in funzione
dell’attività e dell’abbigliamento. Le aree ombreggiate corrispondono ad un intervallo
T, intorno alla temperatura operativa ottimale, che dà luogo a –0,5<PMV<0,5.
Fig. 4-9
Temperatura operativa ottimale in funzione dell’attività e dell’abbigliamento
Da osservare che l'organismo umano è in grado di produrre automaticamente un
adattamento alle condizioni termoigrometriche esterne attraverso procedimenti di vasodilatazione, vasocostrizione, sudorazione e tremiti involontari (battere i denti), tuttavia solo un margine abbastanza ristretto di variazione può essere associato a condizio-
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
112
ni di effettivo benessere.
Va considerato che gli ambienti reali, in particolare quelli molto grandi e quelli
industriali, non sono affatto caratterizzati da uniformità di temperature né dell'aria né
delle pareti, che i flussi di energia radiante sono direzionali e che quindi di volta in
volta sarà necessario analizzare le condizioni di benessere con riferimento alle reali
situazioni.
In particolare si tratta di adattare gli indici di benessere a sollecitazioni termiche
asimmetriche o meglio anisotrope, inoltre i valori medi delle grandezze rappresentative dell'ambiente dovranno perlomeno (se significativi) risultare medie integrali ed
essere riferiti alla specifica posizione che le persone possono occupare nell'ambiente.
4.3 Il bilancio termoigrometrico degli ambienti condizionati
Si dice condizionamento l'insieme dei provvedimenti che è necessario attuare per
mantenere a livello adatto al raggiungimento del benessere fisiologico le condizioni
termoigrometriche di un ambiente (abitativo, di lavoro, ecc.).
Ciò significa controbilanciare con adeguati impianti le modificazioni che tendono
a verificarsi nello stesso ambiente; da qui si ricava che le caratteristiche degli impianti
devono essere ottenute da un bilancio termoigrometrico che pone a zero l'effetto somma delle variazioni spontanee e di quelle indotte dagli impianti.
Nella figura 4-10 è schematizzato l'ambiente in cui si introducono dall'esterno il

flusso termico  e la portata di umidità m (esse, come tutte le seguenti, sono da intendersi grandezze algebriche positive se corrispondenti a termini entranti); nell'interno stesso le attività generano un flusso termico ' e producono una portata di umidità

m' .

L'impianto introduce la portata M di aria secca alle condizioni di temperatura Ti
e grado igrometrico i da determinarsi; ad esse corrispondono sul diagramma dell'aria
umida l'entalpia ii ed il titolo xi.
Nell'ambiente si vuole mantenere la temperatura Ta ed il grado igrometrico  a
cui corrispondono ia ed xa.

La stessa portata M introdotta, se il sistema funziona a regime, deve uscire e le
sue condizioni sono le stesse dell'aria ambiente, caratterizzate dal pedice "a".
Per il principio di conservazione dell'energia:

   '  M  ia  ii 
ii  ia 
(4-5)
  '

M
e dalla conservazione della massa di vapore:

m m '  M  xa  xi 


(4-6)
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica

xi  xa 
113

m m '

M
Da questi dati ii ed xi è possibile ricavare Ti e i e progettare un impianto adeguato al bisogno.
Prendere completamente dall'esterno tutta l'aria necessaria per effettuare il condizionamento non è conveniente dal punto di vista energetico perchè la potenza necessaria per passare tutta la portata dalle condizioni "e" alle condizioni "i" è molto grande,
tuttavia non è possibile neppure riciclare completamente su se stessa l'aria dell'ambiente sostanzialmente per ragioni igieniche; si raggiunge un ragionevole compromesso ricorrendo al parziale ricambio dell'aria secondo lo schema della figura 4-10, nella
quale risulta evidente che una parte dell'aria ambientale (viziata) viene scaricata con
portata M ed il rimanente, reintegrato della stessa portata di aria esterna viene trattato per riportarlo nelle condizioni "i" volute.
'

m


M
Ti ,  i , i i , x i
'
m
'
Ta ,  a , i a , x a
Ta ,  a

M
Fig. 4-10
Schema ambiente condizionato
Le condizioni "r" dell'aria che entra nella macchina che opera le trasformazioni di
condizionamento possono essere ricavate con i soliti procedimenti di bilancio termoigrometrico:
 
 '
 '

 M  M  ia  M ie  M ir


 
 '
 '

 M  M  xa  M xe  M xr


Le condizioni ir ed xr ricavate dalle espressioni soprascritte saranno quelle cui si
fa riferimento per il progetto della macchina di condizionamento che deve riportare
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
114
l'aria fino alle condizioni ii ed xi.
 rappresenta il flusso termico che attraversa la frontiera che separa l’ambiente
condizionato dall’esterno (pareti opache, pareti vetrate, serramenti, ponti termici).
Il calcolo del fabbisogno termico per il condizionamento, in particolare estivo
viene fatto in funzione della risposta dell'edificio a sollecitazioni termiche esterne
variabili nel tempo; la cosa riveste particolare interesse in quanto un edificio presenta
di solito diverse esposizioni ed il contributo solare risulta variabile in modo notevole
nel tempo con queste.
Ti
i

M
Ta ,  a

M
Condizionatore
Tr ,  r
Te
e
 '
M
 '
M
Fig. 4-11
Schema condizionamento con ricircolo
La contemporaneità o meno dei carichi delle varie zone con esposizioni diverse
porta a dimensionamenti dell'impianto notevolmente diversi rispetto alla somma aritmetica dei carichi massimi, per cui il ricorso a metodi di calcolo più sofisticati e precisi in funzione del tempo diventa una esigenza imprescindibile.
’ rappresenta il flusso termico dovuto ai cosiddetti apporti gratuiti, i cui termini
principali sono il calore generato all’interno dell’ambiente da persone ed apparecchiature e gli apporti solari.

m rappresenta la portata di vapore d’acqua scambiata dall’ambiente condizionato
con l’esterno attraverso la frontiera.

m ' rappresenta la portata di vapore d’acqua generata nell’ambiente condizionato
da persone ed apparecchiature.

M rappresenta la portata di aria secca che viene introdotta nell’ambiente
dall’impianto; il suo valore viene stabilito in relazione al volume ed alla destinazione
d’uso dell’ambiente. Il valore di questa portata deve essere tale da non originare temperature d’immissione dell’aria troppo alte o troppo basse onde evitare schock termici
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
115
alle persone presenti.

M ' rappresenta la portata di aria secca ricambiata in rapporto alle esigenze di
purezza dell’aria e di igiene proporzionalmente al volume dell’ambiente oppure al
numero di persone presenti nell’ambiente.
Facendo il rapporto membro a membro delle (4-5) e (4-6) si ricava:
i ia  ii
  '


 x xa  xi

 '
m m
questo rapporto rappresenta la pendenza di una retta nel diagramma psicrometrico;
essa viene detta retta di carico ed evidenzia la trasformazione dell’aria
nell’attraversamento dell’ambiente (Fig. 4-12).
4.4 Il condizionamento dell'aria estivo ed invernale
Le condizioni termoigrometriche estive sono tali che per effettuare un efficiente
condizionamento estivo bisogna asportare sia calore, sia umidità.
Dalle equazioni di bilancio di massa ed energia (4-5, 4-6) risulta evidente che al
variare del valore di portata d’aria movimentata dall’impianto di condizionamento
variano le condizioni termoigrometriche “i” di ingresso dell’aria in ambiente. Il valore
minimo di portata coincide con condizioni di immissione corrispondenti ad aria satura
sulla retta di carico caratteristica dell’ambiente considerato (Fig. 4-12).
a
is
i    '
 

x
m m '
Fig. 4-12
Condizioni di immissione di minima portata
Purtroppo di solito tali condizioni non sono realizzabili in quanto corrispondenti
a temperatura dell’aria immessa in ambiente troppo bassa. Per non avere schock termici sulle persone investite dalla corrente d’aria immessa in ambiente, la differenza di
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
116
temperatura
deve
essere
contenuta
Ta  Ti  6  10C
in
in
estate
e
Ti  Ta  15  20C in inverno. Un altro vincolo sul valore di portata da movimentare può essere dato da esigenze di ventilazione dell’ambiente.

Tenuto conto di tutti i vincoli si fissa un valore di portata ( M ) minimo possibile per
rendere minime le spese di installazione ed esercizio dell’impianto.
retta di carico
a
e
r
i
s
e
a
r
filtro
s
i
separatore
 H O batteria di gocce
m
2
raffredd.
ventilatore
batteria
riscald.
Fig. 4-13
Condizionamento estivo con ricircolo
Nel caso di condizionamento estivo con ricircolo (Fig. 4-11) al raffreddamento
con deumidificazione (r-s in Fig. 4-13) segue un post-riscaldamento a titolo costante
(s-i). Il condizionatore risulta costituito da una sezione di miscelamento, un filtro per
trattenere il pulviscolo atmosferico, una batteria di raffreddamento e deumidificazione,
un separatore di gocce che deve impedire al condensato di essere trascinato sulla batteria calda, dove sarebbe evaporato e reintrodotto nella corrente d'aria, una batteria di
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
117
riscaldamento, un ventilatore per muovere l'aria non solo nella macchina, ma anche in
tutto l'impianto di distribuzione.
Con riferimento alla Fig. 4-13 si può ricavare immediatamente:

potenza batteria fredda:  F  M  ir  is 

potenza batteria calda:  C  M  ii  is 

 H O  M  xr  xs 
portata d ' acqua condensata: m
2
Nel caso di condizionamento invernale sarebbe necessario fornire sia calore, sia
umidità.
L'introduzione di umidità avviene mediante spruzzamento di acqua liquida che
evapora nel sistema sottraendo il calore necessario all'evaporazione dall'aria che quindi si raffredda; la trasformazione è di tipo isoentalpico.
Di solito non si effettua la fornitura del calore in un'unica soluzione, bensì in due
riprese intervallate dall'umidificazione (Fig. 4-14) per evitare di far raggiungere all'aria temperature troppo elevate che possono produrre la carbonizzazione del pulviscolo
che il filtro non è riuscito a trattenere, essa darebbe origine ad odori sgradevoli ed alla
probabile formazione di sostanze cancerogene.
Data la non grande differenza di struttura delle due macchine adatte per il funzionamento estivo ed invernale, sono frequenti le macchine combinate aventi la costituzione di quella invernale, che però hanno la possibilità di convertire in batteria refrigerante il primo scambiatore; in tal caso se si blocca il funzionamento dello spruzzatore
la macchina può lavorare anche come condizionatore estivo.
Quando si deve operare solo riscaldamento invernale spesso non si effettua alcuna umidificazione e ci si accontenta dell'umidità che si stabilisce spontaneamente
nell'edificio.
In alcune situazioni anziché installare la prima batteria (raffreddante d'estate e
riscaldante d'inverno) si procede ad iniettare acqua rispettivamente refrigerata o riscaldata fino ad un idoneo livello di temperatura con portata rilevante (dello stesso ordine
della portata d'aria).
Se l'acqua è fredda si ha un raffreddamento dell'aria (i negativo) associato ad
una deumidificazione (la portata d'acqua iniettata è minore di quella che si estrae), se
l'acqua è calda si ha un riscaldamento dell'aria (i positivo) associato ad una umidificazione.
4.5 Tipi di impianto di condizionamento
Nel caso del condizionamento di singoli grandi locali (auditori, supermercati,
officine, …) si ricorre ordinariamente agli impianti detti a tutt’aria con procedure di
calcolo e struttura del condizionatore del tipo sopra descritto. La distribuzione e la
ripresa dell’aria devono essere curate in modo da ottenere un’adeguata uniformità
nell’ambiente.
Nel caso più frequente di edifici costituiti da più ambienti si può verificare la
condizione che i differenti locali presentino differenti rette di carico nonché non contemporaneità dei carichi e d’uso.
Esistono diverse soluzioni impiantistiche in grado di soddisfare queste esigenze,
di seguito se ne indicano alcune tra le più adottate ricordando che quelle possibili sono
molteplici.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
118
La differenziazione di base è relativa al tipo di fluido termovettore utilizzato,
aria (impianti a tutt’aria) o aria-acqua.
Nel caso di impianti a tutt’aria la stessa aria viene utilizzata per il controllo sia
della temperatura che dell’umidità relativa, il metodo concettualmente più semplice
per realizzare ciò è di ottenere la condizione termoigrometrica richiesta nel singolo
ambiente attraverso la miscelazione di due idonee portate d’aria aventi appropriate
condizioni termoigrometriche. Le due portate d’aria vengono convogliate dalla centrale di condizionamento ai singoli ambienti attraverso due canali indipendenti. La ripresa d’aria dai locali è fatta da un terzo canale. Da cui il nome dell’impianto: “impianto
a tre canali”.
i
a
b
retta di carico
r
s
e
e
a
r
filtro
batteria
riscald.
b
s
i
separatore
ventilatore
di gocce batteria
post-riscald.
umidificatore
HO
m
2
Fig. 4-14
Condizionamento invernale con ricircolo
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
119
La miscelazione dell’aria avviene in opportune “cassette miscelatrici” a servizio
di ogni ambiente, ovviamente le condizioni termoigrometriche dell’aria miscelata
hanno un limite minimo e massimo corrispondente a quello dell’aria nei due canali di
mandata.
Questo tipo di impianto risulta abbastanza costoso per cui è frequente il ricorso
all’impianto cosiddetto “a due canali” in cui l’aria mandata dalla centrale ha caratteristiche medie opportune in relazione alle condizioni climatiche del momento. Ciascun
locale preleva una portata idonea al proprio fabbisogno. In queste condizioni il controllo dell’umidità può non essere pienamente idoneo e non è facile soddisfare contemporanee esigenze di tipo diverso (raffreddamento e riscaldamento contemporaneo
in locali diversi).
Nel caso di impianti aria-acqua per ridurre la dimensione dei canali d’aria si utilizza l’aria solo per il controllo del carico igrometrico mentre il carico termico viene
soddisfatto mediante terminali scambianti alimentati ad acqua.
L’aria di opportuna umidità e temperatura, a seconda delle esigenze termiche
stagionali ed igrometriche medie di tutti i locali condizionati, viene convogliata da un
unico canale in partenza dalla centrale termica e si disperde per difetto di tenuta nei
singoli locali, svolgendo così anche il compito di ventilazione per scopi igienici. Il
valore della portata d’aria detta “primaria” mandata al singolo locale è legato a
quest’ultima esigenza.
La soluzione più economica prevede acqua calda o fredda a seconda delle esigenze stagionali con adeguamento al carico attraverso variazione della portata d’acqua.
Le limitazioni di questo impianto sono:
impossibilità di differenziare significativamente il controllo dell’umidità nei singoli
ambienti;
impossibilità di avere riscaldamento e raffreddamento contemporanei in ambienti diversi;
necessità di commutazione stagionale raffreddamento/riscaldamento.
Per eliminare alcuni di questi inconvenienti è possibile passare alla soluzione
detta “a tre tubi” in cui esistono due mandate di acqua, una calda ed una refrigerata,
che vengono miscelate all’ingresso del terminale posto nell’ambiente, di solito per
mezzo di valvola automatica termostatica. Il ritorno avviene attraverso un unico tubo.
Esistono anche altre soluzioni impiantistiche, ad esempio quelle dette “a quattro
canali” e “a quattro tubi”, per le quali si rinvia ai manuali specializzati.
5.1 Contenuto di umidità nelle pareti
Come ogni sostanza pura, l'acqua può esistere nei tre stati della materia: solido
(ghiaccio), liquido (acqua) e aeriforme (vapore). I materiali porosi possono catturare le
molecole d'acqua dall'aria circostante fissandole sulla loro superficie; in questo caso
l'acqua si dice essere nello stato adsorbito. In conseguenza di variazioni della temperatura e/o della pressione di vapore, l'acqua può subire cambiamenti di stato.
In assenza di interazioni con altri materiali, l'equilibrio tra solido, liquido e vapore è ben definito e ad ogni temperatura esiste un ben definito valore della pressione di
vapore al di sopra del quale può esistere acqua in forma liquida o solida; tale valore
viene detto pressione di saturazione, ps = f(T).
Tutti i materiali sono più o meno porosi presentando cavità con dimensioni variabili (10-910-3 m). Questo rende disponibili enormi superfici libere per l'adsorbimento
dell'acqua.
Lo spessore dello strato d'acqua adsorbita è dell'ordine di pochi diametri moleco-
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
120
lari, dopo di che, all'aumentare della pressione di vapore, i pori di dimensioni più piccole diventano sede di un altro fenomeno fisico fondamentale: la condensazione capillare.
La pressione di vapore d’acqua in equilibrio a contatto con una superficie liquida
curva è più bassa che su una superficie piana. Infatti l'acqua è un liquido bagnante che
in un capillare assume un menisco concavo.
In un capillare di raggio r, alla temperatura T, la pressione di vapore d'acqua sulla
superficie curva liquida p*s è data dalla relazione di Thomson
ln
p*s  2 

p s Rv T r
(5-1)
dove  è la tensione superficiale, ps la pressione di saturazione alla temperatura T
(cioè la pressione di equilibrio su una superficie piana) ed Rv la costante caratteristica
del gas vapore d'acqua, a queste pressioni approssimabile ad un gas perfetto.
La saturazione dell’aria in tali condizioni (superficie curva) avviene quando il
valore di pressione parziale del vapore è p*s e non ps.
Facendo riferimento all’umidità relativa  in relazione al valore di ps, si raggiunge la saturazione quando
  100
p*s
, cioè con una umidità relativa inferiore a
ps
100%.
Ad esempio a 10 °C nei capillari di raggio inferiore a 10-7 m si verifica <100%,
cioè l'acqua condensa a pressioni di vapore p*s inferiori a quelli di saturazione
nell’aria ambiente (Fig. 5-1).
100
90
80
70
 [%]
60
50
40
30
20
10
0
1.0E-11
1.0E-09
1.0E-07
1.0E-05
1.0E-03
r [m]
Fig. 5-1 Legge di Thomson
L'utilizzo della (5-1) per il calcolo del contenuto di umidità di un materiale poroso è impossibile stante la difficoltà di conoscere la forma e grandezza effettiva dei pori
presenti nella struttura del materiale. Al posto di tale relazione, nella pratica si utilizza
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
121
una proprietà del materiale, determinata sperimentalmente, detta curva di assorbimento isotermo. Tale curva, il cui andamento più frequente è indicato in Fig. 5-2, rappresenta il contenuto di umidità w del materiale, espresso in kg di acqua per m3 di materiale secco, in funzione dell'umidità relativa dell'aria in equilibrio con esso. Per ogni
temperatura ci sarà ovviamente una curva w().
w [kg/m
3
]
0
0


[%]
100
Fig. 5-2
Curva di assorbimento isotermo
La pendenza della curva di assorbimento isotermo
w
rappresenta la capacità di

accumulo del materiale, essa risulta funzione dell'umidità relativa dell'aria in equilibrio con il materiale stesso.
In prossimità di  = 100% il valore del contenuto di umidità aumenta rapidamente raggiungendo valori molto elevati in corrispondenza della completa saturazione dei
pori.
5.2.1 Trasporto di umidità nelle pareti
Il trasporto di umidità all'interno di un materiale poroso è influenzato dalla presenza di gradienti di potenziali diversi quali: temperatura, pressione di vapore, pressione dell'aria, gravità, pressione del liquido, ecc.
Ordinariamente nel campo igroscopico, cioè con materiale in equilibrio con aria a
<100%, i potenziali più importanti sono la temperatura e la pressione di vapore. Il
gradiente di temperatura genera un trasporto di massa nel momento in cui dà luogo ad
un fenomeno di evaporazione nelle zone calde del materiale e di condensazione in
quelle fredde. Il gradiente di pressione di vapore dà luogo ad una diffusione del vapore
dalle zone ad alta verso quelle a bassa pressione di vapore, provocando il trasporto di
una portata il cui valore risulta proporzionale al gradiente di pressione presente, secondo la relazione, analoga alla legge di Fick per la diffusione di un gas in un altro:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
122

 kg 
g v   p grad  p   2 
m s
nel caso di diffusione monodimensionale in una parete, cioè nel materiale compreso
tra due piani paralleli infiniti nella direzione dell'asse x ortogonale ad essi, diventa:
g v   p
p
x
(5-8)
 kg 
Il coefficiente di proporzionalità  p 
 viene detto di diffusione o per m s Pa 
meabilità al vapore. Esso oltre che dalla temperatura, come nella diffusione di un gas
nell'altro, dipende anche dalla struttura porosa del materiale e dalla pressione di vapore stessa. Il suo valore in definitiva è variabile lungo la traiettoria di propagazione del
flusso di vapore. L'entità della sua variazione, le complicazioni che risulterebbero nei
calcoli nel tenerla in conto e la difficoltà della sua misura sperimentale portano a considerarne un valore medio costante nei calcoli di prima approssimazione.
La (5-8) può essere riscritta in funzione del contenuto di umidità del materiale:
w
g v   v
x
 p ps  m 2 
con  v 
 w  s 

Nell'aria ambiente il flusso di vapore è legato più ai moti convettivi che non alla
diffusione, al contrario di ciò che avviene nello strato limite di aria stagnante a contatto con la superficie esterna di un materiale poroso dove il trasporto del vapore avviene
solo per diffusione. Se p0 è la pressione di vapore sulla superficie del materiale e pe la
pressione di vapore nell'aria ambiente, risulta:
g v   p  p0  pe 
il coefficiente di proporzionalità  p  s/ m  viene detto coefficiente di scambio superficiale di massa.
In funzione del gradiente di concentrazione di vapore d'acqua si può scrivere:
g v   v v0  ve 
indicando con v la concentrazione in kg di vapore per m3 di aria umida e v in m/s.
La misura sperimentale diretta, di p e di v, è molto difficoltosa; si ricorre allora
ad espressioni di tipo adimensionale che correlano i dati sperimentali. Questo consente
di sfruttare i dati disponibili sullo scambio termico in conseguenza della perfetta analogia dei due fenomeni di scambio evidente nel sistema di equazioni che li reggono:
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
123
  2T  T
  x 2   

calore 
    T  h T  T 
s
e
 x


s

Al numero di Prandtl Pr 
numero di Nusselt Nu 
Sh 
 2p  p
 v  x 2   

vapore 
(5-9)
    p     p  p 
p
s
e
 p   x 
s



corrisponde il numero di Schmidt Sc 
, al

v
L

 f  Re, Pr,  corrisponde il numero di Sherwood
d


h d
v d
L

 f  Re, Sc,  .
v
d

L'analogia formale tra queste due ultime espressioni porta a scrivere:
Nu  Pr 

Sh  Sc 
n
cioè:
h v
 
 v 
 v   
n
Pr
= Le si dà il noSc
me di numero di Lewis; per miscele aria-vapore d'acqua in condizioni normali esso
assume un valore prossimo all'unità. Quindi:
con l'esponente n da determinare sperimentalmente. Al rapporto
v 
p 
h v
 103 h

v
RvT
m
s
 
 7, 4  109 h
s
m
 
Come già osservato, l'analogia tra le equazioni di trasmissione del vapore e di
trasmissione del calore (5-9) permette di estendere le soluzioni già trovate per alcuni
problemi di scambio termico tipici, agli analoghi problemi di scambio di massa.
Ad esempio, nel caso di una parete piana multistrato, in condizioni stazionarie,
separante due ambienti a differente pressione di vapore, si ha:
 1
gv   
 i

N
si

i 1
pi
1 


 e 
1
 pi  pe 
 kg 
 2 
m s
Solitamente le resistenze superficiali 1/ risultano trascurabili rispetto a quelle
interne s/p.
124
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
L'analisi dell'andamento della pressione di vapore nel materiale non può prescindere dalla determinazione dell'andamento della temperatura, in conseguenza del
fatto che non possono fisicamente realizzarsi pressioni di vapore maggiori della pressione di saturazione ad una data temperatura.
Nei punti in cui la pressione diventa quella di saturazione si verificherà condensa.
Questo significa che se non intervengono variazioni nelle condizioni al contorno di
temperatura o umidità relativa dell'aria, il materiale sede della condensazione subirà
un aumento di contenuto di umidità sempre più rapido, in quanto, materiale più umido
significa materiale termicamente più conduttivo, quindi abbassamento della temperatura nella zona interessata, quindi più intensa condensazione di vapore d'acqua.
E' ovvio che, dal momento in cui questo si verifica, il sistema si allontana dalle
condizioni stazionarie innescandosi un processo di adattamento dinamico alle condizioni variabili di temperatura e pressione di vapore interna con intervento della capaciw
tà di assorbimento 
 caratteristica del materiale e rilevabile dalla sua curva di
  
assorbimento isotermo.
Ulteriore complicazione nei calcoli nasce poi se la temperatura scende sotto 0 °C
con conseguente congelamento dell'acqua liquida e possibilità, a causa dell’aumento
di volume, di lesioni nella matrice porosa del materiale (gelività).
L'analisi termoigrometrica delle pareti degli edifici ha acquistato negli ultimi anni
sempre maggiore importanza perchè l'adozione di nuovi materiali leggeri e di spessori
di parete sempre più piccoli ha reso più facile il realizzarsi di condizioni critiche di
condensazione. La dannosità del fenomeno si manifesta con l'aumento dei costi per il
riscaldamento degli ambienti per la maggiore dispersione termica, con il degrado strutturale ed estetico (comparsa di muffe) del manufatto e con il peggioramento delle
condizioni igieniche nei locali umidi.
Purtroppo, la complessità del fenomeno di trasporto combinato di calore e vapore
d'acqua nei materiali porosi rende il calcolo rigoroso praticamente impossibile, in
quanto, alla disponibilità di sofisticati e complessi algoritmi di calcolo numerico fa
riscontro la difficile, se non impossibile, determinazione sperimentale di tutti i parametri occorrenti.
Risulta così che a tutt’oggi, il metodo più usato per valutare il comportamento
termoigrometrico di una parete è un metodo grafico messo a punto nel 1959 e noto
come metodo Glaser.
5.2.2 Il metodo Glaser
In condizioni stazionarie ed in assenza di condensazione, la portata di vapore è
costante attraverso tutta la parete. Tracciando lo spessore di ciascuno strato proporziosi
anzichè al suo spessore geometrico si, il grafico
nale alla sua resistenza al vapore
 pi
delle pressioni di vapore diventa una linea retta che attraversa tutta la parete con inclinazione proporzionale al flusso di vapore gv.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
125
zona di
condensazione
p
s
p
vi
p
s1
p
v
p
ve
p
s2
g
ve
g
ve
s2
s1
p
p
s
p
Fig. 5-3
Applicazione del metodo Glaser
Riportando sullo stesso grafico le pressioni di saturazione calcolate a partire dalla
distribuzione della temperatura nella parete è possibile stabilire se si verificano condizioni di condensazione del vapore d'acqua. Se la linea retta delle pressioni di vapore
interseca la linea delle pressioni di saturazione allora si verifica condensazione nella
parete e la linea delle pressioni di vapore va corretta mandando, dai punti estremi rappresentanti le pressioni di vapore sulle superfici esterne, le rette tangenti alla curva di
saturazione.
Ad esempio nella figura 5-3 si sono individuati, con il metodo suddetto, i due
punti di tangenza, ps1 e ps2. La portata di vapore a destra della zona di condensazione
p

 pvi  ps1  , mentre vale gve  p  ps 2  pve  a sinistra di tale zona.
vale g vi 
s1
s2
La differenza g vi  g ve rappresenta la portata di acqua condensata nella parete,
infatti, per la conservazione della portata di massa, la portata di vapore entrante nella
zona di condensazione meno la portata di vapore uscente deve uguagliare la portata
condensata.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
126
ps
ps
ps
pv
pv
pv
non condensa
s/p
s/p
s/p
condensa
all’interfaccia
condensa
in uno strato
Fig. 5-4
Configurazioni termoigrometriche possibili
Il valore di portata così determinato costituisce solo un indice della gravità della
condizione di condensazione nella parete. Esso non ha in realtà un preciso significato
quantitativo e fisico, perchè, per quanto detto prima, nell'istante in cui si realizzano
condizioni di condensazione, si instaura un processo dinamico caratterizzato da leggi
differenti da quelle che sono alla base del metodo grafico di Glaser.
Nel caso di una parete costituita da più strati si procede in modo analogo a quanto
già fatto per lo scambio termico, ma utilizzando l'ascissa x/p anzichè l'ascissa x nel
diagramma.
Il grafico di Fig. 5-3 è solo qualitativo, in realtà l’andamento della pressione di
saturazione, in conseguenza della limitata escursione di temperatura nei vari strati
della parete, risulta praticamente rettilineo; tenuto conto di ciò le situazioni pratiche
che possono verificarsi sono riassunte in Fig. 5-4.
L’importanza del comportamento termoigrometrico delle pareti degli edifici ai
fini della salute e della buona conservazione del manufatto è tale da richiedere un accurato calcolo dello stesso.
6.1 Bilancio energetico dell’edificio
Il comportamento termoigrometrico dell’edificio viene descritto analizzando il
bilancio di energia e massa per i singoli ambienti che lo costituiscono.
Il bilancio di energia per un ambiente si esplicita scrivendo il primo principio
della termodinamica per il sistema “aria” contenuta nell’ambiente. Tale sistema può
essere visto come un sistema aperto con scambi di massa ed energia sul contorno. La
variazione nel tempo dell’energia interna dell’aria deve uguagliare la somma algebrica
di flussi termici e portate entalpiche scambiati attraverso il contorno.
Stefanizzi – Appunti di Fisica Tecnica
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Nel caso del riscaldamento invernale bisogna distinguere tra il calcolo della potenza termica che deve fornire il generatore di calore ed il calcolo del consumo medio
stagionale di energia per il riscaldamento.
Il calcolo della potenza del generatore viene fatto, in accordo alla UNI EN 12831,
in condizioni stazionarie, ipotizzando una temperatura dell’aria esterna pari al valore
minimo registrato nella località considerata su un certo numero di anni. Si trascura,
inoltre, la presenza di apporti gratuiti e solari e si applicano dei coefficienti maggiorativi per tenere conto di particolari fenomeni negativi tipo l’esposizione e
l’intermittenza di funzionamento dell’impianto di riscaldamento. Esposizioni diverse
da quella Sud presentano incrementi dei coefficienti di scambio termico che aumentano la potenza dispersa dalle superfici esterne delle pareti. L’intermittenza di funzionamento dell’impianto di riscaldamento richiede fasi di carica e scarica della capacità
termica posseduta dalle masse riscaldate che assorbono potenza termica.
La potenza termica da fornire all’aria per mantenere la sua temperatura al valore
costante Ta con l’aria esterna alla temperatura Te si può calcolare quindi come segue



    U S   L  M c p  Ta  Te 



dove M è la portata di massa dell'aria di ventilazione (dovuta ad infiltrazioni o ad un
vero e proprio impianto di ventilazione forzata); spesso questo dato viene fornito in
modo equivalente attraverso il numero di ricambi “n” che si vogliono realizzare nel
locale in esame in un’ora, questa informazione è equivalente ad una portata volumetrica che dà la portata di massa se moltiplicata per la densità dell'aria:

M
nV 
3600
 kg 
 s .
 
Per un calcolo più preciso si tende recentemente a considerare la risposta dell'edificio a sollecitazioni esterne variabili nel tempo ed a considerare come potenza
dell'impianto il massimo carico variabile nel tempo, richiesto dall'edificio.
Per il calcolo del consumo di combustibile per l’intera stagione di riscaldamento
si tiene conto sia degli apporti gratuiti che dei vari rendimenti presenti nelle varie fasi
della generazione, trasporto ed utilizzazione dell’energia termica, vale a dire della
prestazione complessiva del sistema edificio-impianto.
In condizioni estive il calcolo è complicato ulteriormente dalla importanza che ha
in tale stagione l’umidità dell’aria.
All’equazione di bilancio dell’energia va allora aggiunta quella di bilancio della
massa vapore d’acqua e l’impianto diventa di solito più complesso ed ingombrante
rispetto a quello di riscaldamento invernale.