Anno accademico 2014/2015
Corso di Laurea in Scienze Biologiche (canale M-Z)
Corso di FISICA
Docente:
Dr.ssa Alessia Fantini
LEZIONI (aula T8)
Martedì
Mercoledì
Venerdì esercitazioni
ore 11-13
ore 11-13
ore 11-13
Ricevimento studenti
Il Giovedì dalle 14 alle 16 ( se c’è urgenza si può provare
anche in altri giorni … tentar non nuoce )
Testi consigliati
• Serway & Jewett: “Principi di Fisica“ Volume I
EdiSES
• F. Borsa A. Lacialfari:
farmaceutico
EdiSES
“Principi di Fisica“ per indirizzo biomedico e
• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: "Fondamenti di Fisica“
Casa Editrice Ambrosiana, V Edizione.
• Jhon R. Gordon Ralph V.Grew.Raymond A Serway “Esercizi di FISICA”
EdiSES
Che cos’è la fisica.. e perché si studia
q La Fisica è la scienza che:
Ø Studia l’origine dei fenomeni naturali che hanno luogo nel nostro
universo
Ø Indaga la materia, l’energia e il rapporto che le lega
q La Fisica è una scienza sperimentale:
Si enunciano le leggi:
Leggi: relazioni sperimentalmente provate tra le grandezze che
caratterizzano i fenomeni (es: Legge di Hooke: Felastica=k(x-x0))
Si definiscono i principi:
Principi: ipotesi generali non smentite
dall’esperienza
!
!
(es: II Principio della dinamica F = ma )
Si formulano teorie:
Teorie: insieme di equazioni matematiche che basandosi su
un ridotto numero di principi è capace di spiegare non solo il
fenomeno osservato, ma tutti i fenomeni dello stesso tipo che
saranno osservati anche in futuro (es: Meccanica Newtoniana).
Metodo scientifico
Metodo scientifico
Si osserva un fenomeno,
Si identifica un “problema”
Si formula
un’ipotesi…
Si effettua l’esperimento
(si misurano le grandezze in
gioco)
Si effettuano delle
osservazioni
Si analizzano
i dati
gli sperimenti
non verificano
le previsioni
Verifica sperimentale delle
previsioni
Gli sperimenti verificano
le previsioni
Nuovi
esperimenti
Esperimenti
sbagliati???
Ipotesi
sbagliate??
Formulazione
delle
conclusioni
( e di leggi
generali )
Divulgazione
dei risultati
Grandezze Fisiche(1)
Lunghezza, tempo, spostamento, massa, velocità, accelerazione, temperatura,
forza, lavoro…
Grandezza fisica ed osservabile: quantità sulla quale è possibile
eseguire una misura
E’ necessario definire le
Grandezze Fisiche in modo
Operativo
Possibilità
di
Misurarle
Valori numerici che possano
essere raccolti e sottoposti a
calcoli numerici
Ø La misura viene espressa in termini di rapporto tra la quantità in esame ed un
CAMPIONE omogeneo scelto come unità di misura:
Es: se misurando la durata T di un certo fenomeno troviamo il valore 10,5 secondi,
ciò significa che il fenomeno considerato è durato 10 volte e mezza più a lungo
della durata “campione” di 1 secondo.
Le unità di misura identificano “univocamente” la
grandezza stessa.
Grandezze Fisiche(2)
•
Esistono un enorme numero di grandezze fisiche, ma non tutte sono indipendenti tra loro
( es. velocità = lunghezza/tempo)
•
Esistono alcune grandezze “di base” dette
che
rappresentano il numero minimo di grandezze da cui, tramite relazioni matematiche, è
possibile ottenere tutte le altre.
•
Le grandezze fisiche che non sono fondamentali, sono dette
e
vengono descritte mediante relazioni più o meno complesse tra le grandezze fondamentali
•
Le grandezze fisiche si organizzano secondo uno standard internazionale (SISTEMA
INTERNAZIONALE S.I.) basato su poche grandezze fondamentali, per le quali i campioni
di unità (“unità fondamentali”) sono invariabili ed “accessibili”
•
Nell’ambito della Meccanica le grandezze fondamentali sono 3 :
ingredienti base per la descrizione dei fenomeni di movimento
proprietà dei corpi che contribuisce a determinare il movimento
•
Se si vuole studiare l’elettromagnetismo si deve introdurre una quarta grandezza
fondamentale:
(legata alla carica elettrica che rappresenta una proprietà dei corpi indipendente dalla
massa)
Grandezze fisiche fondamentali ed unità di misura
Ø Il
Grandezza
Lunghezza
[L]
Tempo
[T]
Massa
[M]
Unità di misura
Metro
(m)
Secondo
(s)
Kilogrammo
(Kg)
è la lunghezza che la luce percorre nel vuoto in
1
secondi
.
.
299 792 458
Ø Il
è definito come la durata di 9.192.631.770 periodi della radiazione
corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini, dello stato fondamentale
dell'atomo di cesio-133 (orologio atomico)
è definito come la massa di un particolare cilindro di una lega
di platino-iridio depositato presso l'Ufficio internazionale dei pesi e delle misure a
Sevrès (Francia)
Ø Il
Tabella grandezza derivate
Tabella di alcune grandezze derivate, con la corrispondente unità di misura nel sistema SI
g
Conversione delle unità di misura
•
•
Noto il valore di una grandezza in un sistema di unità di misura, è possibile esprimerlo in
qualunque altro sistema per mezzo di una opportuna conversione e la relazione di
conversione delle unità da un sistema all’altro, si chiama
Es
1 inch (pollice) = 25,4 mm
1ounce (oncia) = 28,3495231 g
25,4mm
=1
1inch
28,345g
=1
1oz
Altro esempio
Determinare in km/h ed in m/s la velocità di un’imbarcazione che viaggia a 10 nodi:
1) 1nodo = 1mi/h
mi= miglio marino
2) 1 miglio marino(mi)= 1.852 km => Fattore di conversione da mi a km:
1.852km
=1
1mi
3) 1km =103 m
10 3 m
=1
1km
=> Fattore di conversione da km a m:
4) 1 ora(h) = 3600 s
=> Fattore di conversione da h a s:
1h
=1
3600s
mi 1.852km
km
mi
mi
⋅
1 nodo = 1
=1
⋅1 = 1
= 1.852
h
1mi
h
h
h
km 10 3 m
1h
1852
1 nodo = 1.852
⋅
⋅
=
m s = 0.514 m s
h 1km 3600s
3600
v barca
⎧
⎪10 ⋅1.852 km h = 18.52 km h
= 10 nodi = ⎨
⎪
⎩10 ⋅ 0.514 m s = 5.14 m s
1litro=1 dm3=10-3m3
Ordini di grandezza(1.1)
Ordine di Grandezza (di un numero) => potenza di 10 del numero quando esso è espresso
in notazione scientifica.
Es: A=2300=2.3·103 => 3 è l’ordine di grandezza di A
Walter Lewin:
”Nella fisica esploriamo dall’estremamente piccolo (piccola frazione del protone)
all’estremamente grande (l’universo stesso); e per fare questo utilizziamo 45 ordini di
grandezza: 1 con 45 zeri dietro (1000000000000000000000000000000000000000000000 …
dovrebbero essere 45 zeri)”
1045 ordini di grandezza
http://www.windows2universe.org/the_universe/images/nsf_matter_of_scale/nsf_matter_of_scale.html
10-17 metri
1026 metri
Richiami di Matematica
Nelle pagine successive sono riportate alcune concetti o formule matematiche
indispensabili per seguire il corso.
Mi aspetto che vi andiate a riguardare le operazioni ed i metodi che saranno
per la comprensione degli argomenti che tratteremo.
Ø Regole fondamentali dell’algebra => Moltiplicazione , divisione e addizione
algebriche ( da riguardare da soli)
Ø Potenze
Ø Logaritmi
Ø Equazioni lineari
Ø Fattorizzazioni
Ø Equazioni di secondo grado
Ø Equazioni di curve famose
Ø Un po’ di geometria euclidea
Ø Derivate ed integrali
Potenze
Potenza :
xm
Casi particolari:
x=base m=esponenziale
x0=1, x1=x
Basi particolari:
x=10 => 10m
x=e
=> em
dove e, detto numero di Eulero, è un numero costante irrazionale pari a:
e=2,71828 18284 59045 23536 02874 71352……
Operazioni tra potenze:
Moltiplicazione di due potenze con stessa base:
Divisione tra due potenze con la stessa base:
Una potenza che ha per esponente una frazione
è pari ad una radice come segue:
In particolare:
Potenza di potenza:
x1/ 2 = x
x n x m = x (n + m )
xn
(n − m )
=
x
xm
xn / m = m xn
x1/ 3 = 3 x
n m
(x )
= x n⋅m
Logaritmi
Il logaritmo è l’operazione inversa della potenza.
x =a
y
“il logaritmo y è
l’esponente da dare
ad a per ottenere x”
y = log a x
argomento
base
Affinchè il logaritmo sia definito si deve avere: a≠1
ed x>0
Basi particolari: x=10 (base comune) => 10m
x=e (base naturale) => em
Proprietà dei logaritmi:
log a a = 1
log a 1 = 0
log a a b = b
log c (ab) = logc a + logc b
a loga x = log a a x = x
a
log c = log c a − log c b
b
1
log a = − log a b
b
log b x
log a x =
log b a
( )
log c a n = n log c a
Funzioni esponenziale e logaritmo
Funzione logaritmo f(x)=logbx
Funzione esponenziale
f(x)=ex
la funzione esponenziale è l’elevamento a
potenza con base e
ex
e
e
1
La Funzione logaritmo è definita sulla
semiretta positiva cioè l'insieme entro cui
variano i valori delle x, è compreso nei
valori tra (0,+∞), mentre l’insieme in cui
variano i valori delle y, è (-∞,+ ∞).
x
Per la funzione esponenziale, l'insieme
entro cui variano i valori delle x, è
compreso nei valori tra (- ∞,+∞), mentre il
valore dell’esponenziale varia tra (0,+∞).
Equazioni Lineari (1)
y = mx + b
L’equazione lineare ha la forma generale:
m e b sono costanti
Sul piano cartesiano xy l’equazione rappresenta una retta
b= intercetta della retta (il punto lungo l’asse y in cui la retta
y
m= pendenza della retta (coefficiente angolare)
il coefficiente angolare è dato da:
y2 − y1 Δy
m=
=
x2 − x1 Δx
r
(x1 ,y1 )
Definiti due punti qualsiasi, (x1,y1), (x2,y2) lungo la retta
(x2 ,y2 )
θ
interseca l’asse stesso)
Δy
Δx
(0,b)
Coefficiente
angolare
x
NB: m è anche uguale alla tangente dell’angolo che la retta forma con l’asse delle x
Δy = r sin θ
Δx = r cosθ
Δy r sin θ
m=
=
= tgθ
Δx r cosθ
m = tgθ
Equazioni Lineari (2)
II
y = mx + b
La retta ha una pendenza
positiva (I e III quadrante)
y2 − y1
m=
= 0 ⇔ y2 = y1
x2 − x1
y2 − y1
m=
<0
x2 − x1
2
1
m=0
b>0
2
I
1
1
m>0
b>0
m e b possono essere positivi , negativi o nulli:
y2 − y1
m=
>0
x2 − x1
y
2
x
m=0
b<0
m>0
b<0
III
La retta è parallela all’asse delle x
(I e II quadrante o III e IV quadrante)
La retta ha una pendenza negativa
(II e IV quadrante)
m<0
b>0
IV
Fattorizzazione di un’equazione ed equazioni di
secondo grado
Fattor comune:
ax+ay+az= a(x+y+z)
Quadrato perfetto:
a2+2ab+b2=(a+b)2
Differenza di quadrati:
a2-b2=(a-b)(a+b)
ax2 +bx+c=0
Equazioni di secondo grado:
dove a b e c sono i coefficienti (fattori numerici ) ed x è la grandezza incognita
Le Soluzione dell’equazione di secondo grado sono:
− b ± b 2 − 4ac
x=
2a
Affinché le soluzioni siano reali il termine sotto radice (determinante) deve essere
positivo o nullo.
Δ = b 2 − 4ac ≥ 0
⇒ b 2 ≥ 4ac
Nel caso particolare di determinante nullo le due soluzioni sono coincidenti. (cioè vi è
un’unica soluzione.)
x = − b 2a
Alcune equazioni “famose”
Equazione di una retta:
y
y = mx + b
x
y
Equazione di una circonferenza di
raggio R e centrata nell’origine del
sistema cartesiano xy
2
2
x +y =R
2
R
x
y
Equazione di un’ellisse centrata
nell’origine
a= semiasse maggiore
b= semiasse minore
Equazione di una parabola il cui
vertice si trova in y=b.
Se a>0 la parabola è convessa
Se a<0 la parabola è concava
Equazione di un’iperbole equilatera
2
2
x
y
+ 2 =1
2
a
b
2
y = ax + b
b
a
y
y
a>0
b
a<0
x
b
x
xy = costante
x
y
x
Concetti di base
Teorema di Pitagora:
c= ipotenusa
a=cateto maggiore
b=cateto minore
2
c = a +b
c
2
b
a
La distanza d tra due punti di coordinate (x1,y1) ed (x2,y2) si ottiene
applicando il teorema di pitagora:
y
d = Δx 2 + Δy 2 =
2
2
(x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
d
(x1 ,y1 )
(x2 ,y2 )
Δy
Δx
x
Se una retta interseca due rette parallele,
con esse individua:
Ø coppie di angoli alterni interni
Ø coppie di angoli corrispondenti uguali tra loro
Ø angoli interni la cui somma è pari a 180°
Trigonometria
1°Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura
dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente oppure per il seno dell’angolo
opposto.
x = r cosθ
y = r sinθ
x
cosθ =
r
y
sinθ =
r
2° Teorema
In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto
moltiplicato per la tangente dell’angolo opposto al primo, o per la cotangente
dell’angolo adiacente.
y
P = (x,y)
sinθ
y=x
cosθ
⇒ y = x tgθ
r
y
θ
x
cosθ
x=y
sinθ
⇒ x = y cotgθ
x
Funzioni trigonometriche
Le funzioni trigonometriche (sin, cos, tan, cotan, …) sono funzioni periodiche, cioè
che dopo un determinato periodo si ripetono identiche a loro stesse; per le funzioni
seno e coseno il periodio è pari a 2π (360°), per la tangente e la cotangente il periodo
è pari a π
y
y = tan x
y = cosx
y = sinx
y
x
-π/2
π/2
0
-1 ≤ cosx ≤ 1
1
x
cosx
tanx
-1≤ sinx ≤1
cotanx
sinx
Periodo
Periodo
-∞<tanx<∞
π
x
Identità trigonometriche
a = c cosθ
c
b = c sinθ
b
θ
a
sin 2 θ + cos 2 θ = 1
sin(θ ± φ ) = sin θ cos φ ± cosθ sin φ
sin 2θ = 2 sin θ cosθ
cos(θ ± φ ) = cosθ cos φ ∓ sin θ sin φ
cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ
⎡ 1
⎤
⎡ 1
⎤
sin θ ± sin φ = 2 sin ⎢ (θ ± φ )⎥ cos⎢ (θ ∓ φ )⎥
⎣ 2
⎦
⎣ 2
⎦
sin 2
θ
cos 2
θ
2
2
=
1
(1 − cosθ ) ⇒ (1 − cosθ ) = 2 sin 2 θ
2
2
=
1
(1 + cosθ )
2
tan 2θ =
tan
θ
2
=
2 tan θ
1 − tan 2 θ
1 − cosθ
1 + cosθ
⎡ 1
⎤
⎡ 1
⎤
cosθ + cos φ = 2 cos⎢ (θ + φ )⎥ cos⎢ (θ − φ )⎥
⎣ 2
⎦
⎣ 2
⎦
⎡ 1
⎤ ⎡ 1
⎤
cosθ − cos φ = 2 sin ⎢ (θ + φ )⎥ sin ⎢ (θ − φ )⎥
⎣ 2
⎦ ⎣ 2
⎦
tan 2θ =
2 tan θ
1 − tan 2 θ
Formule di Prostaferesi
Radiante
Il radiante (generalmente indicato rad) è un numero puro ed è l'unità di misura
degli angoli del SI. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza l di un arco
di circonferenza spazzato dall'angolo α, e la lunghezza del raggio r di tale
circonferenza.
α rad
l
=
r
α rad (l = r ) = 1 rad
Se consideriamo una circonferenza di raggio unitario (r=1)
avremo che:
• L’angolo giro (360°), poiché sottende l’intera circonferenza (lunga 2π) misura 2π rad
• L’angolo piatto (180°), poiché sottende una semicirconferenza (lunga π), vale π rad
La conversione radianti- gradi e gradi radianti si ottiene considerando che:
(rad )
(grad )
x
x
2π (grad )
(rad )
(grad )
(rad )
x
: 2π = x
: 360° ⇒
=
⇒ x =
x
rad
360°
2π
360°
x (rad ) =
π (grad )
x
rad
180°
x° =
180° (rad )
x
π
Incertezza sperimentale e cifre significative
q La fisica è una scienza sperimentale e le misure e l’incertezza con cui vengono
effettuate sono il fulcro di ogni esperimento.
q Le misure possono essere dirette o indirette e vengono sempre espresse mediante
un numero seguito dall’errore e dall’unità di misura
1) Misure dirette : la grandezza viene confrontata con campioni multipli (o sottomultipli)
dell’unità fondamentale (es: misura della lunghezza di un tavolo mediante un righello
tarato)
2) Misure indirette: la grandezza è legata ad altre grandezze che possono essere misurate
direttamente ( es: volume di un parallelepipedo che si può ottenere a partire dalla
misura diretta dei suoi lati)
q Se la misura di una stessa grandezza viene ripetuta più volte in genere si
otterranno valori diversi anche se molto vicini tra loro =>
(che può essere sistematico o casuale)
q Se la misura è eseguita con strumenti tarati ( come di solito avviene), alla misura
stessa sarà associato un’incertezza che sarà pari alla minima variazione che lo
strumento stesso riesce a definire
Es: misurando un tavolo con un metro di legno che ha una sensibilità di 1 cm ( tra due
tacche consecutive sullo strumento c’è la distanza di 1 cm) la misura effettuata non
potrà avere una precisione maggiore del centimetro => Ltavolo = 1,50 m ±0.01m
q L’errore sulla misura stabilisce il numero di cifre significative che si possono
garantire come esatte
Analisi Dimensionale(1)
Ø L’analisi dimensionale è uno strumento “teorico” di controllo della correttezza
“dimensionale” delle formule che mettono in relazioni varie grandezze fisiche e di supporto
nell’individuazione delle dimensioni e delle unità di misura corrette dei termini che
compaiono in una formula.
Ø L’analisi dimensionale si basa sulle seguenti osservazioni:
q Ogni grandezza fisica ha una sua “dimensione”, cioè può essere espressa come una ben
precisa combinazione delle grandezze fisiche fondamentali [T],[M][L][I]
a
b
c
[ G ] = [ M ] [ L ] [T ] [ I ]
d
q Le dimensioni delle varie grandezze fisiche che compaiono in una relazione
matematica devono rispettare alcune regole formali affinché la formula stessa
abbia una propria coerenza.
q È possibile definire delle quantità adimensionali ( senza dimensioni ),
che si possono ottenere come rapporto tra due quantità fisiche che hanno la stessa
dimensione.
Una quantità adimensionale non ha bisogno di unità di misura, e viene detta numero
puro
Es:
Il coefficiente di attrito dinamico μd per un corpo che striscia su una superficie scabra è dato dal rapporto tra la
forza di attrito dinamico Fa subita dal corpo e la componente N della forza esercitata dal corpo sulla superficie, in
direzione perpendicolare al corpo stesso:
−2
µd =
Fa
N
[µ d ] = [M ][L][T ]−2 = [M ]0 [L]0 [T ]0
[M ][L][T ]
Poichè numeratore e denominatore ( entrambi forze) hanno la stessa dimensione, il coefficiente di attrito dinamico è
adimensionale
Dimensioni delle grandezze derivate
Elenco di alcune grandezze derivate, usate in Meccanica ed in Elettromagnetismo, con le
dimensioni corrispondenti, espresse in funzione delle 4 grandezze fondamentali: lunghezza
(L), tempo (T), massa (M) ed intensità di corrente elettrica A
Analisi dimensionale (2)
Regole formali dell’analisi dimensionale :
Ø Le dimensioni di un prodotto tra grandezze fisiche si ottengono facendo il
prodotto delle dimensioni dei singoli fattori. L’analogo vale anche per le
dimensioni del rapporto;
v=
[v] = [L] = [L][T ]−1
[T ]
s
t
Ø Tutte le grandezze che compaiono in una somma o in una differenza devono
avere le stesse dimensioni;
s+t
[L]+ [T ]
Ø Il primo membro di un’uguaglianza deve avere le stesse dimensioni del
secondo membro;
s=t
[ L ] = [T ]
Ø L’argomento di una funzione trascendente (es. sin, cos, log, exp) deve essere
un numero puro;
t
t
−
=1
τ = T
τ
e
[]
[τ ]
[] [ ]
Ø Il risultato di una funzione trascendente è un numero puro.
Analisi Dimensionale (4)
Es:
Si scrivano le dimensioni di ciascuna delle grandezze che compaiono nell’equazione:
v 2 = 2a(x − x1 ) + v12
e si stabilisca se l’equazione è dimensionalmente corretta sapendo che v = velocità,
a = accelerazione, x = spostamento
Soluzione:
[x] = [x1 ] = [L]
2
[v]2 = [a]([x]− [x1 ]) + [v1 ]2
v 2 = 2a(x − x1 ) + v12
[a] = [L]2 = [L][T ]−2
[T ]
[
L]
[v] = = [L][T ]−1
[T ]
2
⎛ [L] ⎞
⎛ [L] ⎞
[
L]
[!
L] − [L]) + ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ($
#!
" ⎝ [T ] ⎠
⎝ [T ] ⎠ [T ]
[L ]
2
⎛ [L ] ⎞ ⎛ [L ] ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ [T ] ⎠ ⎝ [T ] ⎠
2
Le dimensioni di ciascun termine sono uguali e l’equazione è, almeno dal
punto di vista dimensionale, corretta.
Trigonometria
cosθ =
x
r
sin θ =
y
r
tan θ =
y sin θ
=
x cosθ
y
P = (x,y)
r
y
θ
x
x
Grandezze Scalari e Grandezze Vettoriali
Massa, temperatura, distanza,
intervallo temporale, energia,
lavoro, potenza …
Spostamento, velocità,
accelerazione, forza, momento
angolare, momento di una forza …
Grandezza completamente
definita da un VALORE
NUMERICO (positivo o
negativo) espresso nell’unità di
misura appropriata
Grandezza completamente definita
da un valore numerico positivo,detto
MODULO, espresso nell’unità
appropriata, da una DIREZIONE e
da un VERSO
Scalari
Vettori
Aritmetica ordinaria
somma, sottrazione,
moltiplicazione, divisione,…
Algebra vettoriale
somma e sottrazione di vettori,
proiezioni, prodotto scalare, prodotto
vettoriale, …
Vettori
Ø Un vettore si rappresenta graficamente attraverso una freccia
Ø Si indica:
§ Con una lettera in grassetto :
§ Con una lettera e una freccia :
§ Con gli estremi e una freccia :
a
!
a
B
!
a
AB
a
La lunghezza del corpo della
freccia indica il modulo
La retta su cui giace la freccia
indica la direzione
A
La punta della freccia
indica il verso
Caso particolare di vettore:
Versore: vettore adimensionale di lunghezza unitaria
introdotto per specificare una data direzione orientata:
Es:
Sono i VERSORI della TERNA CARTESIANA x,y,z
iˆ, ˆj , kˆ
Notazione: ⊗ Vettore entrante nel foglio
â
a=1
Vettore uscente
Somma di Vettori(1)
• Non possono essere sommati vettori associati a grandezze diverse
• Non possono essere sommati vettori associati alla stessa grandezza ma espressi con
unità di misura diverse ( bisogna prima effettuare una conversione ad un’unità di
misura comune)
!
!
A(cm ) + B (mm)
!
A(cm )
!
B (mm )
Conversione di unità di misura
!
(moltiplicando il modulo di B per
!
!
A(cm) + B(cm)
1cm
)
10mm
!
A(cm )
!
B (cm )
Somma di Vettori (metodo geometrico)(2)
!
B
!
A
! !
A+ B =
!
B
!
A
Regola del
parallelogramma
! ! !
R = A+ B
!
C
! !
A+ B
! ! ! !
R = A+ B +C
! ! ! !
R = A+ B +C
(
Proprietà
Commutativa della
somma
!
A
! ! ! ! !
R = A+ B = B + A
!
B
!
B
!
A
! ! !
R = B+ A
)
!
B
!
B
! !
B+C
!
A
! ! ! !
R = A+ B +C
(
! ! !
R = A+ B
!
A
)
!
C
Proprietà
associativa della
somma
! ! ! ! ! ! !
R = A+ B +C = A+ B +C
! ! ! ! ! !
= A+ B +C = B + A+C
(
(
)
)
(
)
Vettore opposto
e Differenza di!Vettori
!
Si definisce opposto del vettore A quel vettore che sommato ad A dà come risultato 0
!
Ma quale è quel vettore che sommato ad A mi dà zero?
!
A
!
A
! ! !
R = A+ B
! ! !
R = A+ B
!
B
!
B
!
A
! ! !
R = A+ B = 0
!
B
!
A
!
−A
!
!
A+ − A = 0
( )
!
!
I vettori A e − A hanno stesso modulo e direzione, ma verso opposto
Possiamo vedere la sottrazione come la somma di un vettore con l’opposto dell’altro
!
B
!
A
!
B
!
−B
! ! !
!
A− B = A+ − B
( )
! ! !
R = A− B
!
−B
!
A
!
B
! ! !
R = A− B
Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
!
!
Il prodotto s A di un vettore A per un numero s (scalare) è un vettore avente:
!
Ø direzione uguale a quella! di A ;
Ø verso uguale a quello di A! se s>0;
Ø verso opposto a quello di A se s<0;
Ø se s=0 si ottiene il vettore nullo;
Ø modulo uguale
al prodotto tra il
!
modulo di A e il valore assoluto di s.
s= 2
!
A
!
A
!
sA =
s= -2
!
2A
!
2A
!
− 2A
Vettori (nello spazio tridimensionale)
q Un vettore è rappresentato graficamente da un segmento, la cui lunghezza o “modulo”, una
volta fissata l’unità di misura, definisce l’intensità del vettore stesso
!
A1
!
A
z
!
A2
!
B
P
θ
!
A3
O
y
φ
! ! !
A1 , A2 , A3
!
A=
! ! !
!
A = A1 = A2 = A3
x
Vettore libero
Vettori equipollenti:
Due vettori si dicono uguali se
hanno stesso modulo e puntano
nella stessa direzione e verso
!
B
Vettore definito univocamente
!
dal punto di applicazione (B,P)
!
B
Ø Il modulo del vettore è pari alla lunghezza del segmento OP
!
Ø La direzione del vettore B nello spazio è definita dai due angoli θ e φ che il vettore forma con
all’asse z e con il piano xy (della terna cartesiana scelta) rispettivamente
Componenti di Vettori e Versori(1)
q Il metodo geometrico per la somma di vettori diventa complicato da attuare quando si ha bisogno di
descrivere i vettori nello spazio tridimensionale
q Conviene utilizzare un metodo più analitico che fa uso delle proiezioni di un vettore lungo gli assi
di un sistema cartesiano ( sistema di coordinate ortogonali … sperando che questa sia una
puntualizzazione ovvia)
q Se con la somma troviamo un vettore che rappresenta la combinazione di uno o più vettori,
analogamente si può anche scomporre un vettore nella somma di altri due o più vettori
( Decomposizione)
!
I Valori numerici Ax, Ay, Az sono le proiezioni di A sui
rispettivi assi x, y, z
Az
iˆ, ˆj , kˆ sono i versori,della terna cartesiana.
In particolare:
• iˆ è diretto lungo l’asse positivo delle x
• ĵ è diretto lungo l’asse positivo delle y
• k̂ è diretto lungo l’asse positivo delle z
z
!
A
P
θ
Ax
x
iˆ
k̂
O
ĵ
Ay
y
φ
Axiˆ, Ay ˆj, !Az kˆ
vettore A
!
A
Possiamo quindi riscrivere il vettore
intermini dei tre
versori iˆ, ˆj , kˆ e delle sue proizioni
!
A = Axiˆ + Ay ˆj + Az kˆ
sono a loro volta 3 vettori la cui somma dà il
Vettori e componenti
Un vettore, una volta scelti gli assi cartesiani, può essere individuato anche tramite le sue
componenti lungo tali assi:
!
! !
A = Axiˆ + Ay ĵ = Ax + Ay
y
Ay
!
A
!
Ay = Ay ˆj
ĵ
O iˆ
I vettori componenti: hanno per modulo il valore
assoluto delle componenti e direzione del versore
associato all’asse di proiezione Il verso può essere
lo stesso od opposto del versore associato.
P
Teorema di Pitagora
A
θ
!
Ax = Axiˆ
Ay
q Modulo:
θ
Ax x
Ax = A cosθ $!
Ay sin θ
⇒
=
= tan θ
#
A
cos
θ
x
Ay = A sin θ !"
!
A = A = Ax2 + Ay2
Ax
q Angolo θ : tan θ
NB: le proiezioni di un vettore possono essere anche negative
=
Ay
Ax
Somma per componenti
Abbiamo visto che un vettore può essere espresso mediante le sue componenti lungo gli assi cartesiani
Domanda:
!
!
Come si fa a sommare ad un vettore A di componenti Ax e Ay un vettore B di componenti Bx e By?
Risposta:
Si sommano le componenti lungo x e lungo y separatamente
!
Dati i due vettori A e
!
! ! !
B , sia R = A + B il vettore risultante dalla somma di essi.
!
A = Ax iˆ + Ay ˆj $ ! ! !
! R = A + B = A iˆ + A ˆj + B iˆ + B ˆj = ( A + B )iˆ + A + B ˆj
!
x
y
x
y
x
x
y
y
!
B = Bx iˆ + B y ˆj #
Rx
Ry
!
!
R = Rx iˆ + Ry ˆj!
y
"
(
) (
)
(
Modulo
2
2
R = Rx + R y =
Angolo
(Ax + Bx ) + (Ay + By )
2
Ry Ay + By
tan θ =
=
Rx Ax + Bx
2
Ry
!
R
By
Ay
O
Rx = Ax + Bx
)
R y = Ay + B y
!
B
θ !
A
Ax
Bx
Rx
x
Moltiplicazione di vettori
I vettori sono quantità più complicate degli scalari
‼ la somma di due scalari è una semplice operazione algebrica
( es: 2 s +3 s = 5 s senza ambiguità)
‼ la somma di due vettori non è la semplice somma delle intensità dei due
vettori, ma un’operazione che tiene conto anche della direzione e del verso
che i due vettori hanno l’uno rispetto all’altro
Lo stesso discorso vale per la moltiplicazione tra vettori… tanto che, se per
gli scalari esiste un’unica operazione di moltiplicazione, per i vettori ne
esistono 2.
1) Prodotto scalare
! !
A ⋅ B = Scalare
“A scalar B”
2) Prodotto vettoriale
! !
A × B = Vettore
“A vector B”
Moltiplicazione di vettori-Prodotto scalare(1)
! !
!
!
Il prodotto scalare di due vettori A e B, si scrive A ⋅ B è una grandezza
scalare uguale al prodotto dei moduli dei due vettori con
dell’angolo (θ) formato tra di essi (l’angolo minore dei due)
il coseno
y
!
A≡A
R
θ
!
B
θ
2π-θ
2π-θ
!
A
x
!
!
Prodotto scalare tra A e B
Rcosθ
R
! !
A ⋅ B ≡ AB cosθ
! !
A ⋅ B ≡ A B cos(2π − θ ) = A B cosθ
cos(2π − θ ) = cos
π cosθ + sin
π sin θ = cosθ + 0 = cosθ
#"2!
#"2!
1
0
cos(2π − θ ) = cosθ
Altro modo di vedere il prodotto scalare:
! !
A e B è una grandezza scalare
Il prodotto scalare di due vettori qualsiasi
!
!
!
uguale al prodotto del modulo di A moltiplicato per la proiezione di B su A
!
B
!
B
!
B
Proiezione di
B
!
A
!
A
θ
B cosθ
!
A
!
!
su
B A
! !
A ⋅ B ≡ AB cosθ
Moltiplicazione di vettori-Prodotto scalare(2)
Proprietà del prodotto scalare e casi particolari:
Ø Il prodotto scalare PUÒ avvenire tra vettori con unità di misura diverse e le unità di misura del
risultato del prodotto sono semplicemente il prodotto delle unità di misura (ne vedremo diversi esempi)
Ø Proprietà Commutativa
Ø Proprietà distributiva della moltiplicazione:
! !
Ø Se A // B il loro prodotto scalare è pari ad AB:
! ! ! !
A⋅ B = B ⋅ A
! ! !
! ! ! !
A⋅ B + C = A⋅ B + A⋅C
! !
A ⋅ B = AB cos
0° = A B
!
(
)
=1
! !
Ø Se A ⊥ B il loro prodotto scalare è nullo:
! !
Ø Se A = B = 0 il loro prodotto scalare è nullo:
Ø Se consideriamo i tre versori ortogonali iˆ, ˆj , kˆ
iˆ ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1
iˆ ⋅ ˆj = iˆ ⋅ kˆ = ˆj ⋅ kˆ = 0
! !
A ⋅ B = AB cos
90° = 0
"#$
=0
! ! ! !
A⋅ B = 0 ⋅ 0 = 0
Moltiplicazione di vettori-Prodotto scalare(3)
Definito un sistema di coordinate cartesiane di riferimento, il prodotto scalare si può anche
scrivere nella forma:
! !
A ⋅ B ≡ Ax Bx + Ay By + Az Bz
(dimostrazione alla lavagna)
Ed in particolare:
! !
A ⋅ A ≡ Ax Ax + Ay Ay + Az Az = Ax2 + Ay2 + Az2 = A2
Le due equazioni che descrivono il prodotto scalare:
! !
A ⋅ B ≡ AB cosθ
! !
A ⋅ B ≡ Ax Bx + Ay By + Az Bz
sono del tutto equivalenti
La scelta di una o dell’altra per determinare il prodotto scalare dipende da
come vengono definiti i vettori
Moltiplicazione di vettori-Prodotto vettoriale(2)
! !
!
!
Il prodotto vettoriale di due vettori A e B, si scrive A × B ed è un vettore
che:
Ø ha modulo pari al prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicati per il
seno dell’angolo (α) minore compreso tra essi.
! ! !
C = A× B
!
B
α
2π − α
Modulo
!
A
!
C ≡ C = AB sin α
y
NB: sin α ≠ sin(2π − α )
R
sin (2π − α ) = sin
π cos α − sin α cos
π = − sin α
#"2!
#"2!
0
θ
1
2π-θ
R
Rsinθ
x
Rsin(2π-θ)
!
Ø La direzione di C è PERPENDICOLARE al piano definito dai due vettori
Ø Il verso è quello dato dalla regola della mano destra.
Moltiplicazione di vettori-Prodotto vettoriale(2)
! !
a × b = ab
! !
a×b = 0
! !
a×a =0
Se i due vettori sono ORTOGONALI (θ=90° => sin θ=1)
Se i due vettori sono PARALLELI
! !
! !
a×b =− b×a
! ! !
! ! !
a⋅ a×b = b⋅ a×b = 0
(
)
(
(
)
)
(
)
(θ=0° => sin θ=0)
Calcolo differenziale
dove a,b,c,d sono valori costanti fissati.
y può essere definita per ogni valore di x.
Es: x=1 => y(1)=a+b+c+d ;
x=2 => y(2)=8a+4b+2c+d; …
La derivata di y(x) rispetto ad x è definita come il
limite al tendere di Δx a 0 delle corde tracciate fra
due punti sulla curva y:
y+Δy
Definiamo una funzione f(x) che mette in relazione le variabili indipendente x con la
variabile (dipendente) y:
Corda
y(x)
y(x)
f ( x) = y( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d
Δy
y
Δx
x
( x + Δx) − x
NB:La derivata di y(x) risulta essere la pendenza
della tangente alla curva y(x) nel punto x
(lo vedremo meglio tra poco applicato alla velocità)
x
Tangente alla
curva nel punto
(x,y(x))
y(x)
y ( x + Δx) − y ( x)
dy
Δy
y' =
= lim
= lim
dx Δx→0 Δx Δx →0
Δx
Derivata di y(x) rispetto ad x
x+Δx
y
x
x
Derivate definite
da
=0
dx
a = cost
d ax n
= nax n −1
dx
a = cost
d sin x
= cos x
dx
d sin ax
= a cos ax
dx
a = cost
d cos x
= − sin x
dx
d cos ax
= −a sin ax
dx
a = cost
d tan x
1
=
dx
cos2 x
d tan ax
a
=
dx
cos2 ax
de ax
= ae ax
dx
d ln ax 1
=
dx
x
La derivata di una costante è identicamente nulla
dx n
= nx n −1
dx
dx 4
= 4x 3
dx
( )
Proprietà delle derivate
Derivata di una somma(differenza) di funzioni:
d
[ f (x ) ± g (x )] = df ± dg
dx
dx dx
Prodotto di funzioni:
d
[ f (x )g (x )] = f dg + g df
dx
dx
dx
Rapporto di funzioni:
d
[ f (x ) g (x )] =
dx
g
df
dg
−f
dx
dx
g2
Funzione di funzione:
d
df dg
g ( f (x )) =
dx
dx df
d
(4 x 2 + 3 sin 2 x) = 8 x + 6 cos 2 x
dx
d 3
[ x cos 3 x] = − x 3 ⋅ 3 sin 3x + cos 3x ⋅ 3x 2 =
dx
3 x 2 cos 3x − 3x 3 sin x
d ⎡ cos 3x ⎤ − x 3 ⋅ 3 sin 3x − cos 3x ⋅ 3x 2
=
=
3
6
⎢
⎥
dx ⎣ x ⎦
x
x sin 3x + cos 3x
− 3x 2
=
6
x
x sin 3x + cos 3x
−3
x4
y ( x) = cos x,
g ( y) = y 2
d
(cos x) 2 = 2#cos
x⋅−
sin
x = −2 sin x cos x
"
!
#
"
!
dx
d
dy ( x )
dx
g(y)
dx
Calcolo integrale
L’integrazione è da considerare la funzione inversa della derivata
L’integrale I della funzione f(x) tra i limiti a e b si scrive:
x =b
∫ f ( x)dx = I ( x)
b
a
= I (b) − I (a)
f(x)
f(x)
x=a
ed è pari all’area compresa tra la curva f(x) e l’asse delle x
nell’intervallo di valori a≤ x≤b
NB:
Se il limite superiore dell’integrale è una variabile w si ha :
x=w
I ( w) =
∫
f ( x)dx
x=a
allora
a
b
x
x=w
d
d
I ( w) =
f ( x)dx = f ( w)
dw
dw x∫= a
e quindi in generale:
L’integrale indefinito I(x) di f(x) è la funzione la cui derivata è f(x)
Es:
a
b
∫ (ax
1
)
+ bx + c dx = x 3 + x 2 + cx + d
3
2
1
b
b
b
⎛ a
⎞ ⎛ a
⎞ ⎛ a
⎞ a b
ax 2 + bx + c dx = ⎜ x3 + x 2 + cx + d ⎟ = ⎜ 13 + 12 + c1 + d ⎟ − ⎜ 03 + 02 + c0 + d ⎟ = + + c
2
2
2
⎝ 3
⎠ 0 ⎝ 3
⎠ ⎝ 3
⎠ 3 2
∫(
0
2
)
Calcolo Integrale(2)
L’integrale I ( x) = f ( x)dx è detto primitiva di f(x), cioè è quella funzione che
quando derivata dà la funzione f(x)
∫
NB: l’integrale è definito sempre a meno di una costante, cioè esistono infinite
primitive di una stessa funzione, tutte quelle che differiscono tra di loro per una
costante, in quanto la derivata di una costante è comunque nulla.
Proprietà degli integrali:
∫ dx = x + c
df (x )
∫ dx dx = f ( x) + c
∫ af (x)dx = a∫ f ( x)dx
dove a = cost
∫ [af ( x) + bg ( x)]dx = a∫ f ( x)dx + b∫ g ( x)dx
'
'
∫ f ( x) g ( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ g ( x) f ( x)dx
L’integrale di una funzione moltiplicata per una
costante è uguale alla costante per l’integrale della
funzione
L’integrale di una somma di funzioni è uguale alla
somma degli integrali delle singole funzioni
Integrazione per parti: date due funzioni di x f e g
l’integrale della derivata di f moltiplicata per g è uguale
al prodotto delle due funzioni meno l’integrale della
derivata di g moltiplicata per f.
Cinematica del punto materiale
1. La definizione di cinematica.
2.
Posizione e Spostamento
3.
Equazione oraria del moto
4. Traiettoria
5. Moto in una dimensione.
6. Velocità media e velocità istantanea.
7. Moto rettilineo uniforme
8. Accelerazione media e accelerazione istantanea.
9. Moto uniformemente accelerato.
10. Caduta di un grave.
11. Moto in due e tre dimensioni
Branca della fisica che si occupa della descrizione dei
moti dei corpi e delle forze responsabili dei moti stessi
Studia i moti dei corpi
senza tener conto delle
cause
Studia i moti tenendo in
considerazione le forze
responsabili del moto
stesso
Studia le condizioni in cui i
corpi si trovano in
equilibrio
Che cos’è la cinematica
È una branca della Meccanica che descrive il moto di un corpo usando i
concetti di spazio e tempo, senza andare a studiare le cause del moto stesso
( compito assegnato alla “dinamica”)
Assunzioni:
Ø Il corpo in movimento viene assimilato ad una particella puntiforme
(punto materiale)
Ø Il moto è lo spostamento del punto materiale che avviene nello spazio
tridimensionale e nel tempo lungo una certa traiettoria
Ø Il moto di un corpo è completamente determinato se è nota
! ! la sua
posizione in ogni istante t => se quindi è nota l’equazione r = r (t )
che
descrive il moto in funzione del tempo
Ø Le forze non vengono prese in considerazione
Posizione e spostamento
!
Ø Sia r un vettore posizione che individua la posizione del punto materiale P rispetto ad un
sistema di assi cartesiani xyz:
P = (x, y,z)
!
r = xî + yĵ + zk̂
!
r
Ø Il moto del punto materiale è descritto dalla dipendenza dal tempo del vettore posizione (t )
z
Ø L’insieme dei punti dello spazio, occupati dal punto
Δr Traiettoria
3
materiale durante il suo moto, è detto traiettoria.
z
2
!
4
P(x,y,z)
r (t )
Ø La relazione che esprime la dipendenza del vettore posizione
! !
r = r (t )
in funzione del tempo
è detta equazione oraria del
!
moto.
r (t4 )
Ø In generale l’equazione oraria del moto è un sistema
di tre equazioni, una per ogni coordinata cartesiana:
3
1
!
r (t2 ) !
r (t1 )
! x(t) = f (t)
x
##
!
x
equazione
oraria
r(t) = x(t)î + y(t) ĵ + z(t)k̂
dove: " y(t) = fy (t)
del moto
x
#
#$ z(t) = fz (t)
NB:
fx (t), fy (t), fz (t)
!
r (t0 )
y
sono funzioni del tempo tra loro indipendenti.
Ø Il vettore che individua la variazione di posizione della particella viene detto
Vettore spostamento ed è pari alla differenza tra i vettori posizioni negli istanti finali
ed iniziali:
#
x(tf ) − x(ti )
!!" "
%
%
!
Δr = r(tf ) − r(ti ) = $ y(tf ) − y(ti )
%
%
& z(tf ) − z(ti )
NB: Lo spostamento nel SI si misura in metri (m)
y
Esempio di utilizzo dell’equazione del moto (provare a fare a casa)
Tramite le equazioni del moto è possibile determinare la posizione occupata dal
corpo in movimento in ogni stante t.
Supponiamo che una slitta stia scivolando su un pendio nevoso dritto; la slitta si
muove sempre più lentamente via via che sale lungo la china; poi si arresta per un
istante e comincia a scivolare all’indietro giù per il pendio.
Un’analisi del moto della slitta fornisce la sua coordinata x come funzione del
tempo t:
x(t) = 18m + (12m s)t − (1.2m s2 )t2
x è misurata lungo il percorso della slitta con il semiasse positivo verso la salita.
a) Costruire un grafico della coordinata della slitta in funzione del tempo t da
t=0.0 a t=8.0 s (riportando intervalli di 1.0 s)
b) Determinare lo spostamento della slitta tra ti=1.0 s e tf=7.s
c) Determinare lo spazio percorso tra gli istanti ti=1.0 s e tf=7.s (modulo del
vettore spostamento tra gli istanti t=1.0s e t=7.0s)
Posizione-Spostamento-velocità media
Consideriamo un punto materiale che si muove nel tempo lungo una retta (moto unidimensionale)
t3
xt3
x
t4
t2
xt2
t5
t1
t1 < t2 < t3 < t4 < t5
xt4
⎧ xt1 < xt2 < xt3
⎪
⎨ xt4 < xt3
⎪⎩ xt5 ≡ xt1
x
xt1 t5
Ø Se la particella si muove nell’intervallo di tempo Δt=tʹ′-t lo spostamento della
! ! !
particella è definito:
Δr = rtʹ′ − rt
caso particolare di moto
unidimensionale
Δx = xt ʹ′ − xt
Ø La velocità media della particella è data dal rapporto tra lo spostamento
l’intervallo di tempo Δt in cui esso è avvenuto:
! ! !
!
Δr rt ' − rt
vt,t! =
=
Δt t '− t
vxt1 ,t2 =
xt2 − xt1
t2 − t1
>0
caso particolare di moto
unidimensionale
vxt4 ,t5 =
xt5 − xt4
t5 − t 4
vx t ,tʹ′
<0
e
xt ' − xt
=
t '−t
vx t ,t =
1 5
xt5 − xt1
t5 − t1
=0
NB: la scelta ( arbitraria) della direzione positiva del moto determina il segno delle velocità
la velocità media nel SI si misura in m/s
Posizione-Spostamento-velocità media (2)
t3
xt3
x
t4
t5
t1
xt1
xt5
t2
xt2
xt4
Δx
xt4
y = tan x
!> 0 Se α>0
#
tan α "= 0 Se α=0
#< 0 Se α<0
$
α<0
x
Ø L a linea curva è una delle possibili
rappresentazioni grafiche della posizione del
punto materiale -π/2<x<0
per tutti 0<x<π/2
gli istanti di tempo
compresi nell’intervallo tra t1 e t5
Ø Il moto è esattamente determinato se e
solo se è definito in ogni istante
Δx
v=
=
Δt
x
xt3
α
xt2
Δt
xt1=xt5
t1
t2
t3
t4
t
t5 t
Velocità scalare media (2)
NB:
La velocità media è differente dal concetto comune di velocità, che in fisica viene
chiamata velocità scalare media.
La velocità scalare media ( in inglese “speed”) ( quella che segna il contachilometri)
è pari al rapporto tra il percorso effettuato ed il tempo impiegato per farlo.
La velocità media ( in inglese “velocity” è invece il rapporto tra lo spostamento ed il
tempo in cui è avvenuto lo spostamento).
vscalare
v=
Es:
Δp
=
Δt
Δx
Δt
x
Velocità scalare media
Velocità media
se p= 300 m e t5-t1=30 s
vscalare =
xt3
p
Δx
xt4
α
xt2
p 300
=
m s = 10m s
Δt 30
Δx 0
v=
=
m s = 0m s
Δt 30
xt1=xt5
t1
t2
t3
t4
t5 t
Velocità istantanea
Δt= tʹ′-t
Δx=xtʹ′-xt
La velocità
istantanea
all’istante t è
l’inclinazione
della retta
tangente alla
curva nel punto xt
Δx
v=
= tan α
Δt
Ma quanto vale la velocità in un istante particolare
all’interno dell’intervallo di tempo Δt?
x
xtʹ′
xtʹ′
xtʹ′
xt
Δx
α
Δx
α
Δx
α
Determiniamo per esempio la velocità istantanea all’istante t
Riduciamo l’intervallo di tempo in cui andiamo a considerare la
velocità media fino al limite tendente a 0
Velocità istantanea:
Δx dx
=
Δt→0 Δt
dt
v = lim
La velocità istantanea può essere
positiva, negativa o nulla
A
v>0
Se la curva è crescente, cioè se lo spostamento
è positivo
B
v=0
Se la curva ha un massimo o un minimo, cioè
se il moto sta cambiando verso
C
v<0
Se la curva è decrescente, cioè se lo
spostamento è verso le x negative
t tʹ′
tʹ′
tʹ′
Δt Δt Δt
Derivata di x rispetto al tempo
t
Moto rettilineo uniforme
Ø Immaginiamo una particella che si muova lungo un asse (x) con velocità costante:
Se la velocità rimane costante nel tempo la velocità istantanea in un qualsiasi
istante e quella media presa in un qualsiasi intervallo di tempo sono uguali
vx = vx = costante
La pendenza della funzione x(t), che rappresenta
l’equazione oraria del moto, rimane costante
Indichiamo:
Ø con xi la posizione della particella all’istante t=0,
Ø con x la posizione della particella al generico istante t,
Ø con v0 la velocità costante
vx = vo =
x − xi
t!
−0
x
vot = x − xi
t
t
x = xi + vot
Equazione di una retta di
intercetta xi e pendenza v0
L’equazione che descrive un moto rettilineo uniforme
è una retta di intercetta xi e pendenza v0
L’equazione che descrive la velocità (in funzione del
tempo) di un moto rettilineo uniforme è una retta
parallela all’asse delle t
v
v0
t
Accelerazione media ed accelerazione istantanea
Ø Quando la velocità di una particella cambia nel tempo si dice che
Supponiamo che una particella in moto lungo l’asse x abbia velocità vxi all’istante ti e
velocità vxf all’istante tf
vx
!
a x della particella
Si definisce
nell’intervallo di tempo Δt=tf -ti il vettore dato dal
rapporto:
!
ax =
!
Δvx
Δt
=
Δvx
Δt
î =
vx − vx
f
tf − ti
i
î
vx(t)
vxf
Δvx
vxi
accelerazione
media
Δt
Δvx = variazione di vx
ti
nell'intervallo di tempo Δt
tf
Ø L’accelerazione media in un certo intervallo Δt misura la variazione della velocità
nell’intervallo di tempo stesso
Ø L’accelerazione media è uguale alla pendenza della retta che congiunge le velocità
corrispondenti agli istanti iniziale e finale nel grafico velocità-tempo
!
a x della particella il limite per Δt→0
Si definisce
dell’accelerazione media:
accelerazione
istantanea
!
ax = lim
Δt→0
!
Δvx
Δt
= lim
Δt→0
vx − vx
f
tf − ti
i
î =
dvx
dt
î
t
Accelerazione
NB : L’accelerazione, come la velocità può essere positiva, negativa o nulla.
Ø L’accelerazione è diretta lungo l’asse delle x positive
Ø La velocità aumenta se il corpo si sta muovendo nel
ax > 0
verso delle x positive
Ø La velocità diminuisce se il corpo si sta muovendo in
verso delle x negative
ax < 0
Ø L’accelerazione va nella direzione delle x negative
Ø La velocità aumenta se il corpo si sta muovendo nel
verso delle x negative
Ø La velocità diminuisce se il corpo si sta muovendo in
verso le x positive
NB: Un’accelerazione negativa NON SIGNIFICA
NECESSARIAMENTE che la particella si stia muovendo
nel verso delle x negative, né che la particella stia
rallentando; ma che l’accelerazione TENDE a far andare la
particella nel verso delle x negative.
In generale:
² l’accelerazione fa rallentare la particella se accelerazione
e spostamento (e velocità) hanno verso opposto
² L’accelerazione fa aumentare la velocità se accelerazione e
spostamento ( e velocità) hanno stesso verso
Ulteriore informazione sull’accelerazione
Ø L’accelerazione di un corpo può essere determinata anche a partire dal grafico di
x(t).
Ø In questo tipo di diagramma abbiamo visto che vx =dx/dt rappresenta è la
pendenza del grafico.
Ø L’accelerazione ax dà la rapidità con cui varia questa pendenza… si ha infatti che:
dvx
d2x
ax =
=
dt
dt
x
x
x
ax = 0
ax < 0
ax > 0
t
t
t
Esempio
Supponiamo che l’equazione del moto di una particella sia data da:
3 3
x(t) = (4.0m
s)
t
+
(1.1m
s
!#"#
$ !#"#$) t
A
B
1) Determinare le espressioni della velocità vx e dell’accelerazione ax.
2) Costruire il grafico di vx in funzione di t nell’intervallo tra t = 0s e t = 4.0s
3) Determinare ax per t=1.0 s e tracciare la retta tangente al grafico vx – t, la cui
pendenza è pari a questo valore di ax
vx
3
1) vx =
(
dx d At + Bt
=
dt
dt
) = A + 3Bt
2
3
= 4.0 m s + 3.3 m s ⋅ t 2
A = 4.0 m s
3
B = 1.1 m s
(
)
d x x dv x d A + 3Bt 2
3
=
= 6 Bt = 6.6 m s t
2) a x = 2 =
dt
dt
dt
A = 4.0 m s
3
B = 1.1 m s
3
3) ax (1.0s) = 6.6 m s ⋅1s = 6.6 m s
2
t(s)
vx(m/s)
0,0
4.0
1,0
7,3
2,0
17
3,0
33
4,0
57
50
40
30
20
10
1
2
3
4
t
Moto uniformemente accelerato(1)
Quando l’accelerazione è costante nel tempo il moto si dice “uniformemente accelerato”
Ø L’accelerazione media e quella istantanea sono uguali in ogni istante
Ø La velocità cresce o decresce con la stessa “rapidità” per tutto il tempo.
a = a = costante
SE:
vx0=vx(0) => velocità della particella all’istante t=0
vx =vx(t) => velocità della particella al generico istante t
ax = a0= cost => accelerazione costante in t
vx = vx + a0t
0
Δv vx − vx0
ax = a0 =
=
Δt
t!
−0
Equazione di una retta di
intercetta vx0 e pendenza a0
vx
t
vx0
t
In un moto uniformemente accelerato:
la velocità vx ad un instante t è la somma della velocità all’istante iniziale vx0 e della
variazione di velocità (a0t) dovuta alla presenza di un’accelerazione
La velocità è la derivata rispetto al tempo dello spostamento : v =
costanti
Lo spostamento è l’integrale della velocità:
x(t) =
∫v
x
dt + c = ∫
dx
dt
1 2
v
dt
+
a
t
dt
+
c
=
v
t
+
a0t + c
∫
vx + a0t dt + c = ∫ x0
0
x0
# #
$
!"
# #
$ !"
2
0
(
)
vx ∫ dt
0
a0 ∫ t dt
Moto uniformemente accelerato(2)
1 2
x(t) = x0 + vx t + a0t
0
2
!
#
#
#
"
#
#
#
$
1 2
x(t) = x0 + v0t + a0t
2
vx (t) = vx + a0t
x(t = 0) = c
⇒
c = x0
Eq. di una parabola
Eq. di una retta
0
ax = a0 = costante
Retta parallela all’asse delle t
NB: nel caso particolare di a=0 si ritorna al caso di moto rettilineo uniforme infatti:
1
x(t) = x0 + vx t + a0 t2 = x0 + vx t
0
0
2!
0
()
vx t = vx + a0 t = vx = costante
0
0
!
0
Caduta libera del grave
Caso particolare di moto
uniformemente accelerato
Approssimazione: assenza della resistenza dell’aria
un corpo qualsiasi lasciato cadere da una certa altezza (con velocità iniziale
nulla) raggiungerà il suolo sempre nello stesso tempo, indipendentemente
dalla sua massa e forma
!
g
= Accelerazione gravitazionale,
costante sempre diretta verso il
suolo ( centro della terra)
!
g = 9.81 m s 2
Esempio
y
Una pietra è lanciata dal punto A di un edificio con una velocità
iniziale vy0 di 20 m/s. L’edificio è alto 50m e la pietra sfiora il bordo
dell’edificio quando torna giù.
a)Determinare il tempo impiegato dalla pietra per raggiungere la
sua altezza massima.
b)Determinare l’altezza massima al di sopra dell’edificio
c)Determinare il tempo impiegato dalla pietra per ritornare al
livello del lanciatore
d) Determinare la velocità in quell’istante
e)Determinare la velocità e la posizione della pietra quando t=5.00s
f)Determinare la posizione della pietra per t=6.00 s
La pietra (assimilabile ad una particella) sale arriva al punto B e comincia a
riscendere verso il basso perché l’accelerazione gravitazionale è sempre
diretta verso il suolo. (approssimazione assenza resistenza dell’aria => moto
uniformemente accelerato)
tB = ?
vB = v y 0 − gt B = 0
yB = ?
v y = v y 0 + at = v y 0 − gt
gt B = v y 0
tB =
vy0
g
=
20.0
s = 2.04s
9.81
1
1
y = y0 + v y 0t + at 2 = y0 + v y 0t − gt 2
2
2
1
1
2
yB = y A + v y 0tb − gt B2 = 0 + (20.0 ⋅ 2.04 )m − 9.81 ⋅ (2.04 ) m = 20.4m
2
2
(
)
Esempio(continua)
…………..
a)Determinare il tempo impiegato dalla pietra per raggiungere la
sua altezza massima. t B = 2.04s
b)Determinare l’altezza massima al di sopra dell’edificio yB = 20.4m
c)Determinare il tempo impiegato dalla pietra per ritornare al
livello del lanciatore
d) Determinare la velocità in quell’istante
e)Determinare la velocità e la posizione della pietra quando t=5.00s
f)Determinare la posizione della pietra per t=6.00 s
tC = ?
1
yC = y0 + v y 0t − gt 2 = 0
! !
2
0
0
1
1 ⎞
⎛
v y 0t − gt 2 = t ⎜ v y 0 − gt ⎟ = 0
2
2 ⎠
⎝
2) t = 2
2 soluzioni: 1) t=0,
Istante in cui
la pietra è in A
vC = ?
Questa dovreste saperla al volo …
vy0
g
= 2 ⋅ 2.04 s = 4.08s
vC = v y 0 − gt C
vC = v y 0 − gt C = 20.0 m s − 9.81 ⋅ 4.08 m s = −20.0 m s
vD = ?
vD = v y 0 − gt D = 20.0 m s − 9.81 ⋅ 5.0 m s = −29.05 m s
yD = ?
1 2
9.81 ⋅ 52
yD = +v y 0t − gt = 20.0 ⋅ 5.00m −
m = −22.6m
2
2
yE = ?
1 2
9.81 ⋅ 62
yD = +v y 0t − gt = 20.0 ⋅ 6.00m −
m = −50m
2
2
NB: yE verrebbe -56m ma dopo 50 metri ha raggiunto il suolo => non può andare più giù
Moto del proiettile-velocità(2)
Moto del proiettile → si sceglie il sistema di riferimento in modo tale che:
Ø asse x sia l’asse orizzontale
Ø asse y sia l’asse verticale con y positive verso l’alto (una delle scelte possibili)
Accelerazione: solo la componente lungo y è non nulla ed è identicamente uguale a -g
!
g = − gˆj
Istante iniziale:
!
Il proiettile lascia l’origine del sistema con una velocità iniziale v
0
che forma un angolo θ0 con l’asse orizzontale
! ! #%ax ≡ 0
a= g =$
%&a y ≡ −g
! !#v0x = v0 cosθ 0
x0 = y0 = 0 v0 = "
#$v0 y = v0 sin θ 0
Velocità: cambia continuamente in direzione e modulo secondo l’equazione:
Rimane sempre
uguale a se stessa
(vx=costante)
! !
! !
v = v t = v0 + gt
()
⎧ vx = vx (t) = vx 0 = v0 cosθ0
⎨
⎩vy = vy (t) = vy0 - gt = v0 sin θ0 − gt
y
θ
θ0
NB:
La componente lungo x della velocità rimane costante nel tempo, mentre la componente lungo
y segue l’andamento della velocità di un moto rettilineo uniformemente accelerato con
accelerazione –g (caduta libera)
Moto del proiettile-posizione(3)
Posizione del proiettile per ogni istante t:
! !
! !
1!
r = r t = r0 + v0t + gt2
2
()
" x = x t = x + v t = (v cosθ ) t
0
$
!0 0x !0#"#$
0
v0 x
$
#
$ y = y t = y + v t − 1 gt2 = (v sin θ ) t − 1 gt2
0
!0 0 y 2
!0#"#$
$
2
0
v
%
oy
()
()
NB:
La componente lungo x della posizione del proiettile varia linearmente con il tempo (moto
rettilineo uniforme), mentre la componente lungo y segue l’andamento della caduta libera di un
grave.
Equazioni del moto di un proiettile:
y
θ0
" x = (v cosθ )t
0
0
! $
r =#
1
$ y = (v0 sin θ 0 )t − gt2
%
2
! "$ v x = v0 cosθ 0
v=#
$% v y = v0 sin θ 0 − gt
! "$ax = 0
a=#
$%a y = −g
Moto del proiettile-traiettoria (4)
Da queste espressioni possiamo ricavare diverse informazioni riguardo al moto del proiettile:
1) TRAIETTORIA (equazione in xy che descrive il percorso del proiettile nello spazio)
=> dobbiamo trovare l’equazione che descrive y in funziona di x
a) Dall’equazione di x mi ricavo il tempo in funzione di x:
x
t=
(v0 cosθ0 )
x = (v0 cosθ 0 )t
b) Sostituisco questa espressione di t nella componente y della posizione:
1
y = (v0 sin θ 0 )t − gt2
2
y = tan θ 0 x −
1
g
2 v cosθ
0
0
(
)
2
x
2
2
%
x
1 "$
x
'
y = (v0 sin θ 0 )
− g$
v0 cosθ 0 2 # v0 cosθ 0 '&
=
v0 sin θ 0
v0 cosθ 0
x−
0 < θ0 < π 2
Equazione di una
parabola passante per
l’origine
y
y = ax − bx 2
1
g
x2
2 v0 cosθ 0
La traiettoria che compie un proiettile è una parabola
ed è completamente definita se si conoscono la velocità
iniziale v0 e l’angolo θ0 che essa forma con l’asse
orizzontale
TRAIETTORIA:
v0 θ
0
x
Moto del proiettile-altezza massima(5)
2) ALTEZZA MASSIMA della traiettoria
y = tan θ 0 x −
y
vy = 0
Ø Corrisponde al punto della traiettoria in cui vy si annulla
!
v
1
g
2 v cosθ
0
0
(
)
2
x2
Ø La coordinata x di questo punto si trova a metà della
distanza orizzontale (gittata) che percorre il proiettile
Imponendo che la vy si anulli ci ricaviamo l’istante in cui
La traiettria raggiunge il massimo:
v y=h = v0 sin θ 0 − gt = 0
t y=h =
v0 sin θ 0
h
v0 θ
0
g
R/2
Sostituendo in y(t) il valore di ty=h troviamo l’altezza massima
th
x
R
2
(v0 sin θ 0 ) 1 " (v0 sin θ 0 ) %
1 2
'
y = h = (v0 sin θ 0 )th − gth= (v0 sin θ 0 )
− g $$
'
2
g
2 #
g
&
h=
(v0 sin θ 0 )
g
2
1 (v0 sin θ 0 )
−
2
g
2
h=
(v0 sin θ 0 ) 2
2g
Altezza
Massima
NB: Si può aumentare l’altezza massima sia aumentando la velocità iniziale sia
aumentando l’angolo θ0, oppure lanciando il proiettile da un luogo con accelerazione
gravitazionale minore
Moto del proiettile-Gittata(6)
3) GITTATA: si può ricavare dall’equazione
della traiettoria imponendo y=0.
1
g
y = tan θ 0 x −
2 v cosθ
0
0
(
)
y = tan θ 0 x −
y
!
v
vy = 0
)
x2
h
v0 θ
0
#
&
%
(
1
g
1
g
2
tan θ 0 x −
x
=
x
⋅
tan
θ
−
x
%
(=0
0
2
2
2 v cosθ
2 v cosθ
%
(
0
0
0
0
$
$!!!#!!!"'
)
(
2
2
x
=0
2
(
)
x
R
R/2
(
1
g
2 v cosθ
0
0
!x = 0
##
"
tan θ 0 v0 cosθ 0
#x = R = 2
#$
g
(
)
=0
2
0
2
sin θ v 2cos θ 0
2 2sin θ cos θ 0
R=2
= v0
cosθ
g
g
sin 2θ
R=
v02 sin 2θ 0
g
Gittata
NB: La gittata massima (a parità di modulo della velocità iniziale) si ha quando
l’inclinazione con cui viene lanciato il proiettile è di 45° ( sin90=1) ed è Rmax=vo2/g
2
Esempio alla lavagna
Moto circolare uniforme(1)
Il moto di una particella che si muove lungo una traiettoria circolare di raggio r con
velocità costante in modulo, viene chiamato
!!!
la tangente in un punto ad una circonferenza è sempre
perpendicolare al raggio della circonferenza in quel punto
Ø la direzione del vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria della particella
ed è perpendicolare al raggio del percorso.
Ø La direzione della velocità cambia in ogni istante
!
v
!
v
!
a
!
a
Ø Il modulo della velocità resta costante
Ø Poiché il vettore velocità varia ( in direzione)
l’accelerazione deve essere non nulla
r
!
v
Ø L’accelerazione risulta essere in ogni istante perpendicolare alla traiettoria ( e
quindi alla velocità) e rivolta verso il centro della traiettoria
Ø Il modulo dell’accelerazione è:
! v2
a=
r
Moto circolare uniforme(2)
Intuitivamente si può capire perché nel moto circolare uniforme l’accelerazione deve
essere perpendicolare alla velocità, cioè avere solo componente perpendicolare alla
traiettoria:
Se ci fosse una componente parallela alla velocità! la velocità dovrebbe cambiare
! in
modulo ( in particolare
dovrebbe aumentare
se a avesse stesso verso di v
e
!
!
tan
diminuire se atan avesse verso opposto a v )
Come si determina il modulo dell’accelerazione?
Consideriamo che la nostra particella si trovi:
§ nel punto
! A della traiettoria all’istante ti ed abbia
velocità vi
!
§ nel punto B all’istante tf con velocità vf
Velocità costante in modulo
!
!
vi = vf = v
L’accelerazione media della particella tra l’istante ti e l’istante tf sarà:
!
amedia
! !
vf − vi
!
Δv
=
=
tf − ti
Δt
!
Δv!
Dove il vettore
si !ottiene congiungendo le due
punte dei vettori vi e v
f
!
amedia
!
Δv
=
Δt
Moto circolare uniforme(3)
!
!
v sempre perpendicolare ad r
O
! !
! !
L’angolo Δθ tra ri e rf è uguale a quello formato dai due vettori vi e vf
i due triangoli isosceli in figura sono simili ( stesso angolo e stesso rapporto tra le
lunghezze dei due lati che lo contengono) quindi il rapporto tra la base ed uno dei
due lati uguali è lo stesso per i due triangoli
Usiamo i moduli poiché
!
Δv
Vale quindi la relazione:
!
Mettendo in evidenza Δv
! v !
Δv = Δr
r
:
v
=
!
Δr
stiamo parlando di
lunghezze di lati
r
!
amedia
!
Δv
!
!
v = vi = vf
! !
r = ri = rf
!
v Δr
=
=
Δt r Δt
Moto circolare uniforme(4)
!
amedia
!
Δv
!
v Δr
=
=
Δt r Δt
Passando al limite di Δt→0 si ha che:
!
$ a!
→a
&& media
Δt → 0 ⇒ % Δr!
&
→v
&' Δt
! v
a= v
r
! v2
a=
r
Accelerazione
centripeta
!
!
Δr
v = lim
Δt→0 Δt
Il modulo dell’accelerazione centripeta è
costante nel tempo e pari a v2/r e la direzione
è sempre rivolta verso il centro della
traiettoria
! v2
a=
−r̂
r
( )
Moto circolare uniforme(5)
Introduciamo alcun grandezze necessarie per descrivere il
moto circolare:
!
v
Ø T = periodo (s) = tempo impiegato dalla particella per
compiere un giro completo ( che è pari a 2πr )
Ø Il modulo della velocità è quindi:
!
v
!
a
!
a
2π R
v=
T
r
Ø f = frequenza (s-1=Hz )= numero di rotazioni al secondo, quindi f=1/T
Ø ω=velocità angolare (rad/s) = > quanti radianti vengono spazzati al secondo
2π
ω=
T
v = ωR
ω = 2π f
2
ac = ω R
v
ω=
r
v2 ac
ω = 2=
r
r
2
ω=
2π R v
=
T R r
Accelerazione tangenziale e radiale
Consideriamo una traiettoria curva, in cui la particella istante dopo istante vari la sua velocità
sia in direzione che in modulo.
La velocità è sempre tangente alla traiettoria
L’accelerazione forma un certo angolo con la
tangente alla traiettoria e varia di punto in
punto sia in modulo che direzione
Si approssima in ogni punto la traiettoria con una circonferenza il cui raggio rappresenti il
raggio di curvatura della traiettoria stessa in quel punto e si studia il moto scomponendo, in
ogni punto, l’accelerazione nelle sue componenti tangenziale e radiale rispetto alla traiettoria
!
dv
! ! !
a = at + ar
L’accelerazione tangenziale è associata alla variazione
del modulo della velocità della particella è parallela
(o antiparallela) alla velocità stessa
⎧a =
⎪ t dt
⎨
v2
⎪ar = −ac = −
⎩
r
!
a = a = at2 + ar2
L’accelerazione radiale è associata alla
variazione della direzione della velocità
ed è rivolta in verso opposto alla direzione
del versore radiale (segno -)
Se |v|=costante ar è inversamente proporzionale al
raggio di curvatura, più è piccolo il raggio più è grande ar
NB:
Se at=0, il moto è circolare uniforme, se ar=0 il moto è rettilineo (unidimensionale)
