Logica e computazione

Logica e computazione
O
Oggetti
tti di studio
t di della
d ll logica
l i
`
`
`
`
il ragionamento
i
DEDUTTIVO
la nozione di INFERENZA
la nozione di DIMOSTRAZIONE
“Il punto di partenza della logica formale è la nozione
tradizionale della logica, il ragionamento: il ragionamento
è un susseguirsi o un fluire di affermazioni che si suppone
g
da certe relazioni, o legami
g
di
siano legate
consequenzialità, che se rispettati danno al ragionamento
g
corretto,, o argomento
g
il carattere di ragionamento
valido.”
G Lolli
G.
Lolli, Introduzione alla logica formale (1991),
(1991) pp. 13
Domande alle quali la logica si incarica
di rispondere
i
d
`
Cosa significa che una proposizione A implica una
proposizione B o, in modo equivalente, che B consegue da
A?
`
Ammettendo di sapere che effettivamente la proposizione
A ‘implica’
p
la proposizione
p p
B, come possiamo
p
ggiustificare
una simile implicazione?
Domande alle quali la logica si incarica
di rispondere
i
d
`
LLe analisi
li i d
della
ll llogica
i a questo lilivello
ll di generalità
li à
risultano indipendenti dal significato delle proposizioni
coinvolte,
l cioèè valgono
l
in virtùù della
d ll sola
l “forma
“f
logica”
l
”
delle proposizioni stesse.
`
Nel caso di una generica implicazione A → B, la logica
mira dunque a isolare le caratteristiche che ogni
implicazione di questo tipo è tenuta a soddisfare, quali
che siano i particolari contenuti e significati impliciti nelle
proposizioni A e B.
L i e calcolo:
Logica
l l cennii storici
t i i
`
Concezione rappresentazionale del pensiero a partire
dalla filosofia
fil s fia m
moderna
derna (Cartesio,
(Cartesi Locke):
L cke): il pensiero
ensier e la
conoscenza consistono in una adeguata
g
manipolazione
p
e
trattamento di rappresentazioni.
L i e calcolo:
Logica
l l L
Leibniz
ib i
`
W.G.
W
G L
Leibniz:
ib i importanza
i
centrale
l d
della
ll logica
l i come
strumento di chiarificazione del pensiero
rappresentazionale:
l
`
“se si lodano gli uomini che hanno determinato il numero di
corpi regolari, che non ha utilità alcuna, se non in quanto è
piacevole a contemplarsi, quanto sarà più meritorio ridurre a
l i matematiche
leggi
i h il ragionamento
i
umano, che
h è ciò
iò che
h di più
iù
eccellente e di più utile possediamo.”
Analisi logica dei concetti da parte di
L ib i
Leibniz
Obiettivo:
Obi
tti
` Costruzione di un “alfabeto del pensiero”, espresso in
forma simbolica, cioè costruzione di un linguaggio ideale (in
) capace
p
di evitare le ambiguità
g
termini moderni, artificiale),
e le imperfezioni delle lingue naturali.
↓
` “Se dovessero sorgere controversie, le discussioni tra due
filosofi non sarebbero più necessarie di quanto lo siano
quelle tra due contabili. Basterebbe infatti che essi
prendessero
d
iin mano lle lloro penne, sii mettessero
tt
aii loro
l
tavoli, e si dicessero a vicenda: calcoliamo.”
L ib i dimostrazioni
Leibniz:
di
t i i e algoritmi
l
it i
`
P i fondamentali:
Punti
f d
li
1
1.
si prefigura ll’importanza
importanza di una nozione rigorosa di
dimostrazione;
2.
si prefigura l’importanza di una nozione rigorosa di
g
una p
procedura inferenziale ‘meccanica’ che
algoritmo,
prescinde dalla comprensione del significato dei termini
coinvolti.
G
George
Boole
B l
`
George B
G
Boole,
l Indagine
I d i sulle
ll lleggii del
d l pensiero,
i
sulle
ll qualili
sono fondate le teorie matematiche della logica e della
probabilità (1854):
`
“Progetto
Progetto del seguente trattato è quello di indagare le leggi
fondamentali di quelle operazioni della mente tramite le quali
g
[...]
[ ] Tali studi destano anche
viene effettuato il ragionamento
interesse di altro tipo, derivato dalla luce che essi fanno sulle
facoltà intellettive. Essi ci istruiscono sul modo in cui il
linguaggio e i numeri servono come strumenti per i processi
del ragionamento.”
G
George
Boole:
B l l’algebra
l’ l b
`
Riprodurre
Ri
d
le
l operazioni
i i llogiche
i h mediante
di
operazioni
i i
algebriche: progetto di ‘algebrizzazione’ della logica
(d f
(definizione
della
d ll struttura nota come algebra
l b ddi B
Boole)
l )
`
Le operazioni introdotte in tale algebra - che
rappresentano astrattamente operazioni logiche come la
congiunzione ((‘E’)
E ) o la disgiunzione non esclusiva ((‘O’)
O)rappresentano il modello formale delle porte logiche di un
circuito elettronico di un moderno calcolatore.
calcolatore
G ttl b Frege
Gottlob
F
`
Gottlob
G
l b FFrege, Ideografia
Id
fi (1879):
(1879) prima
i fformulazione
l i
di
una logica dei predicati e della nozione logica di sistema
f
formale
l (o
( teoria formalizzata).
f
l
)
↓
`
Individuazione di condizioni che q
qualunque
q successione di
simboli logici deve soddisfare per risultare una
dimostrazione.
G ttl b Frege
Gottlob
F
`
Ciò permette
tt una definizione
d fi i i
rigorosa
i
d
della
ll nozione
i
di
dimostrazione.
`
`
“L’ideografia deve dunque servire anzitutto a esaminare nel modo più
sicuro la connessione di una catena deduttiva e a mettere in evidenza
ognii ipotesi
i
i che
h voglia
li iinavvertitamente
i
insinuarvisi,
i i
i i affinché,
ffi hé
successivamente, si possa indagare sulla sua origine. [...]
Eliminando qualsiasi lacuna dal concatenamento dei
ragionamenti, si riesce a porre in luce ogni assioma, ogni
presupposto, ogni ipotesi (o in qual altro modo la si voglia
chiamare) su cui riposano le dimostrazioni; e così si raggiunge
una base sicura dalla quale valutare la natura conoscitiva delle
leggi dimostrate.”
L soluzione
La
l i
effettiva
ff tti di problemi
bl i logici
l i i
`
LLo sviluppo
il
rigoroso
i
della
d ll nozione
i
di teoria
t i fformalizzata
li t o
sistema formale, che è alla base della logica moderna e che va
attribuito in larga parte al matematico e logico tedesco
Gottlob Frege (1848-1925), permette di mettere in una
prospettiva rigorosa anche un
un’altra
altra questione generale: la
questione della soluzione effettiva dei problemi logici.
`
La formulazione della logica in termini di teorie formalizzate e
di derivazioni all’interno di tali teorie formalizzate ha allora
aperto la strada verso una concezione delle dimostrazioni
come calcoli o computazioni condotte in accordo con un
insieme finito di regole.
L soluzione
La
l i
effettiva
ff tti di problemi
bl i logici
l i i
`
“Con l’ideografia
“C
l’id
fi (Begriffsschrift)
(B iff h ift) di FFrege non solo
l nasce ((nell
1879) la logica dei quantificatori, ma si compie un passo
decisivo nello sviluppo della logica matematica moderna.
moderna
L’ideografia costituisce infatti il primo esempio compiuto di
sistema formale,
formale e cioè di un sistema che vincola il processo
dimostrativo in modo tale che, data una qualsiasi
configurazione finita di simboli,
simboli è sempre possibile riconoscere
mediante un procedimento algoritmico se essa sia oppure non
sia una dimostrazione che soddisfa tali vincoli.
vincoli ”
(G. Tamburrini, I matematici e le macchine intelligenti, Bruno
Mondadori 2002, p. 44) .
Il problema
bl
della
d ll decisione
d i i
`
In questa prospettiva fu possibile porre quello che è stato
definito problema della decisione (Entscheidungsproblem):
`
“L’Entscheidungsproblem [il problema della decisione] è
risolto
i lt se sii conosce una procedura
d
che
h permette
tt di
decidere la validità (rispettivamente, la soddisfacibilità) di
una data
d espressione
i
logica
l i mediante
di
un numero finito
fi i di
operazioni.” (D. Hilbert, W. Ackermann, Grundzüge der
theoretischen Logik, Springer,
S
Berlin (1928),
( 928) pp. 72-3)
2 3)
E t h id
Entscheidungsproblem
bl
e algoritmi
l
it i
`
Il problema è che non si sa esattamente cosa sia una
procedura: la teoria formale degli algoritmi nasce proprio
per rispondere a questa domanda.
domanda