UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA “TOR VERGATA”
ESERCIZI D’ESAME DEL CORSO DI
RETI DI TELECOMUNICAZIONI
rev. 1.0
ANDREA DETTI
Reti di Telecomunicazioni – Esercizi d’esame
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Sia data una popolazione di M=10 utenti, i quali offrono dati ad un multiplatore statistico (router)
che ha una capacità d’uscita di C = 1 Mbit/sec. Ogni utente è caratterizzato da periodi di “alta”,
“media” e “bassa” attività che si presentano con le seguenti probabilità: Pr{“alta”} = 0.1;
Pr{“media”} = 0.4; Pr{“bassa”}=0.5.
Durante il periodo di “alta” attività l’utente emette unità informative con frequenza media di
interarrivo λalta =100 (unità/sec) e lunghezza media Lalta = 1000 bytes.
Durante il periodo di “media” attività l’utente emette unità informative con frequenza media di
interarrivo λmedia = 50 (unità/sec) e lunghezza media Lmedia = 500 bytes.
Durante il periodo di “bassa” attività l’utente emette unità informative con frequenza media di
interarrivo λbassa = 10 (unità/sec) e lunghezza media Lbassa = 100 bytes.
Si chiede di determinare il traffico complessivo Ao offerto al multiplatore, evidenziando come si
utilizzano i parametri sopra esposti per ottenere il risultato.
---------------------------------------------------------------------------------------------Ao = M * ( Pr{“alta”} * λalta * Lalta * 8 + Pr{“media”} * λmedia * Lmedia * 8 + Pr{“bassa”} * λbassa * Lbassa * 8 ) /
(C*1000000) = 1.64 Erl
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Un Internet Service Provider (ISP) è connesso mediante un router , da un lato, alla rete telefonica
con M= 50 porte e ,dall’altro lato, alla rete internet con una capacità d’uscita di C= 1 Mbit/sec.
Il generico utente dell’ISP si collega al router utilizzando un modem e quindi, qual’ora la chiamata
sia accettata, impegna in modo indiviso una delle porte telefoniche a disposizione.
Si assuma che la durata media della chiamata telefonica è Tc = 30 min; inoltre, la frequenza media
di interarrivo delle richieste di connessioni che pervengono al router sia λc = 100 (chiamate/ora).
Durante la chiamata, il flusso dati dell’utente è caratterizzato da un bit rate medio
Fm = 11180 bit/sec.
Untente
Router
Modem
Porta #1
Untente
C Mbt/sec
Internet
Modem
Porta #M
Untente
Modem
Rete Telefonica
Si assuma che:
- la rete telefonica, con esclusione delle porte del router, è non bloccante;
- il processo di ingresso delle chiamate telefoniche è Poissoniano;
- la durata della chiamata è distribuita in modo esponenziale negativo;
- il router abbia una coda infinita.
Il candidato determini, evidenziando come si utilizzano i parametri sopra esposti, le seguenti
quantità:
i)
la probabilità Pb che una chiamata modem sia bloccata per assenza di porte libere;
ii)
il coefficiente di utilizzazione ρ della linea del router uscente verso internet.
---------------------------------------------------------------------------------------------Ao=( Tc * 60)*( λc / 3600) = 50 Erl
Pb=ErlangB50 (50) = 0,104787456
As = Ao * (1-Pb) = numero medio di chiamate attive
ρ = (As * Fm)/ (C*1000000)= 0,500423812
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L’amministratore telefonico di una azienda è in possesso di un centralino telefonico ISDN primario,
chiamato ‘A’, che supporta 30 linee telefoniche. Visto che i dipendenti dell’azienda si lamentano sulla
indisponibilità del servizio, l’amministratore ha deciso di raddoppiare le risorse comperando un altro
centralino uguale, chiamato ‘B’.
Ogni volta che una chiamata non trova linee disponibili sul centralino A viene dirottata (“trabocca”)
sul centralino B; solo se anche in quest’ultimo non trova nessuna linea disponibile allora è persa.
Assumendo che il traffico telefonico complessivo sia di 50 Erl e che (per semplicità) il traffico di
trabocco dal centralino A verso il B sia di tipo Poissoniano, il candidato determini il traffico As_A
smaltito dal centralino A ed il traffico As_B smaltito dal centalinoB.
Suggerimento: durante i calcoli approssimare il valore del traffico di trabocco all’intero più vicino
presente in tabella.
----------------------------------------------------------------------------------------------
ErlangB(50,30) = 0.42483
As_A = 50*(1-0.42483) = 28.758 Erl
Traffico perso da A e di trabocco verso B = 50*0.42483 = 21.241 Erl -> approx -> 22 Erl
ErlangB(22,30) = 0.020535
As_B = 21.548 Erl
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Sia dato un multiplatore a pacchetto con una linea d’uscita di capacità C (Mbit/sec) in cui le
contese di utilizzazione sono risolte a ritardo in senso stretto. Il multiplatore è caricato dal traffico
generato da 100 sorgenti di tipo ON-OFF. Durante i periodi di ON la sorgente emette pacchetti di
lunghezza 512 bytes, con tempo medio di interarrivo di 40.96 ms; mentre, durante i periodi di OFF
la sorgente è in silenzio. La durata media dei periodi di ON è Ton=0.5 sec e la durata media dei
periodi di OFF è Toff=1.5 sec. Il candidato valuti il valore della capacità C che garantisce un
coefficiente di utilizzazione (ρ) del multiplatore pari a 0.8.
Con una tale scelta sulla capacità C, si misura un numero medio di pacchetti all’interno del
multiplatore pari a 25. Quanto vale il tempo medio di permanenza T (tempo in fila d’attesa + tempo
di servizio) di un pacchetto all’interno del multiplatore ?
----------------------------------------------------------------------------------------------
traffico offerto dalla singola sorgente durante il periodo di ON
AoON = (1/(40.96e-3))*(512*8/C) = 1e5 / C
Traffico offerto dalla singola sorgente :
ON
Ao = Ao * (Ton/( Ton + Toff)) = 25e3 / C
Traffico offerto al Multiplatore = Traffico Smaltito = ρ
T
T
Ao = As = ρ = Ao * 100 = 2.5e6 / C = 0.8 ---> C = 3.125 Mbit/sec
Il tempo medio di servizio del generico pacchetto è
Tpkt = 512*8/C = 1.3107 ms
La frequenza media con cui arrivano i pacchetti al multiplatore è :
λoT = AoT / Tpkt = 6.1036e2 (sec-1)
Il tempo medio di permanenza T nel sistema è dato da Little come :
T
λo * T = 25 ----> T = 40.959 ms
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Sia dato un centralino telefonico con 4 linee d’uscita che interconnette un piccolo ufficio alla rete
telefonica pubblica. Al centralino arrivano chiamate in accordo ad un processo di Poisson, gestite a
perdita in senso stretto. Attraverso una campagna di misura, si rilevano le probabilità
d’occupazione delle linee riportate nella tabella sottostante. Il candidato determini il numero minimo
S di linee che dovrebbe avere un nuovo centralino, soggetto allo stesso traffico offerto, affinchè
risulti una probabilità di rifiuto minore o uguale del 1%.
SERVENTE PROBABILITA’ DI OCCUPAZIONE
1
0.8
2
0.7
3
0.59
4
0.499
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Si consideri un sistema a coda con due serventi e fila d’attesa composta con due posti. Il processo
di ingresso è Poissoniano di parametro λ ed il processo di servizio è esponenziale negativo di
parametro µ. Si chiede di :
1) tracciare il diagramma delle frequenze di transizione di stato del sistema;
2) impostare (senza risolvere) il sistema per il calcolo delle probabilità di stato Πi;
3) assumendo che le probabilità di stato Πi siano date, determinare simbolicamente l’espressione del
traffico smaltito As.
Diagramma delle frequenze di transizione
λ
0
λ
1
µ
λ
2
2µ
λ
3
2µ
4
2µ
Variabile di stato = n. richieste di servizio presenti nel sistema
Sistema per il calcolo delle probabilità di stato
λπ 0 = µπ 1
λπ 1 = 2µπ 2
λπ 2 = 2µπ 3
λπ 3 = 2µπ 4
π 0 + π1 + π 2 + π 3 + π 4 = 1
Traffico smaltito
As = π 1 + 2π 2 + 2π 3 + 2π 4
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Sia dato un nodo di rete a pacchetto con una linea d’ingresso e tre linee d’uscita. Le tre linee
d’uscita sono modellabili come tre sistemi a coda senza perdita, denominati Q1,Q2,Q3. Le richieste
di servizio sono offerte all’ingresso del nodo e quindi, attraverso un selettore, sono inoltrate verso
le code Q1,Q2,Q3. Il selettore lavora in modo statistico inoltrando la richiesta di servizio verso Q1
con probabilità r1, verso Q2 con probabilità r2 e verso Q3 con probabilità r3. I tempi di servizio dei
sistemi Q1,Q2 e Q3 sono rispettivamente T1 = 50ms, T2=100ms, T3=200ms. Assumendo che il
processo d’ingresso sia caratterizzato da una frequenza media di richieste di servizio offerte λo, il
candidato determini i valori di r1, r2, r3 tali che il traffico smaltito dai sistemi Q1,Q2,Q3 sia uguale.
λo
selettore
r1
r2
r3
Q1
Q2
Q3
Nodo
----------------------------------------------------------------------------------------------
ri * λo * Ti =Asi (traffico smaltito i-esima coda)
Sistema risolvente
r1 * λo * T1 = r2 * λo * T2
r1 * λo * T1 = r3 * λo * T3
r1 + r2 + r3 =1
Soluzione :
r1 = 1/ (1 + T1 / T2 + T1 / T3) = 1/(1+0.5+0.25) = 0.57143
r2 = (T1 / T2 )/ (1 + T1 / T2 + T1 / T3) = 0.28571
r3 = (T1 / T3 )/ (1 + T1 / T2 + T1 / T3) = 0.14286
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Si consideri un sistema a coda con 4 serventi e fila d’attesa nulla che offre servizio a 30 utenti. Ogni
utente presenta richieste di servizio in accordo ad un processo di Poisson con frequenza media di
interarrivo λ e con frequenza media di terminazione di servzio µ. Si chiede di :
1)
tracciare il diagramma delle frequenze di transizione di stato;
2)
impostare (senza risolvere) il sistema per il calcolo delle probabilità di stato Πi;
3)
valutare il coefficiente di utilizzazione del sistema a coda.
Diagramma delle frequenze di transizione
0
1
µ
28 λ
29 λ
30 λ
2
2µ
27 λ
3
3µ
4
4µ
Variabile di stato = n. richieste di servizio presenti nel sistema
Sistema per il calcolo delle probabilit di stato
30λπ 0 = µπ 1
29λπ 1 = 2µπ 2
28λπ 2 = 3µπ 3
27λπ 3 = 4µπ 4
π 0 + π1 + π 2 + π 3 + π 4 = 1
Coefficiente di utilizzazione
ρ=
π 1 + 2π 2 + 3π 3 + 4π 4
4
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pag. 12/20
Un nodo di commutazione di messaggi (e.s., SMS) riceve mediamente 240 messaggi al minuto. La
lunghezza media dei messaggi è L = 176 caratteri. La capacità trasmissiva del nodo è di C
(caratteri al secondo). Assumendo che il nodo operi sia senza perdita, determinare il limite inferiore
della capacità C che rende il sistema stabile.
----------------------------------------------------------------------------------------------
λ = frequenza media di interarrivo = 240 * 176 / 60 = 704 (caratteri al secondo)
Ts = tempo di servizio del carattere = 1 / C = (secondi per carattere)
ρ < 1 (condizione di stabilità) ⇒ ρ=λ Ts < 1 ⇒ C > 704 (caratteri al secondo)
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pag. 13/20
Sia dato un sistema a coda con due serventi S1 ed S2 e fila d’attesa nulla. La disciplina di coda
prevede che nel caso in cui entrambe i serventi siano liberi, una richiesta di servizio entrante
impegna casualmente uno dei due serventi con uguale probabilità; negli altri casi, è sempre
impegnato il servente libero. Si assuma che :
-
i tempi di interarrivo siano distribuiti in modo esponenziale negativo con la frequenza media
λ
-
i tempi di servizio dei serventi S1 ed S2 siano distribuiti in modo esponenziale negativo ed i
valori medi siano rispettivamente T1 e T2 .
Si chiede di :
1)
tracciare il diagramma delle frequenze di transizione di stato del sistema;
2)
impostare (senza risolvere) il sistema per il calcolo delle probabilità di stato;
3)
assumendo che le probabilità di stato siano date, determinare simbolicamente l’espressione
del traffico smaltito As.
Nota : utilizzare come variabile di stato ΠXY , con X ed Y variabili binarie. X = 1 se S1 è occupato; Y
= 1 se S2 è occupato.
Diagramma delle frequenze di transizione
λ
λ/2
µ1
µ2
1,0
0,0
µ1
µ2
λ/2
1,1
0,1
λ
Variabile di stato = (X,Y) , µi = 1/ Ti
Sistema per il calcolo delle probabilità di stato
λπ 0,0 = µ1π 1,0 + µ 2π 0,1
(λ + µ1 )π 1,0 = λ 2 π 0,0 + µ 2π 1,1
(λ + µ 2 )π 0,1 = λ 2 π 0,0 + µ1π 1,1
π 0,0 + π 1,0 + π 0,1 + π 1,1 = 1
Traffico smaltito
As = π 1,0 + π 0,1 + 2π 1,1
Reti di Telecomunicazioni – Esercizi d’esame
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pag. 14/20
Una centrale telefonica T di livello gerarchico superiore serve H centrali telefoniche locali Li (i =
1,..,H) ad essa direttamente collegate. La capacità del collegamento fra la generica centrale locale
Li e la centrale T è di 8 canali telefonici (bi-direzionali). La centrale T dispone di un collegamento
verso la restante parte della rete di capacità pari a 28 canali telefonici (bi-direzionali). Si assuma
che :
-
la generica i-esima centrale locale serve un bacino d’utenza che offre alla centrale stessa un
traffico poissoniano, con intensità media pari a Aoi = 3 Erl;
-
è considerato il solo traffico uscente, ovvero nella direzione bacino d’utenza -> restante parte
della rete;
-
il traffico cumulativamente offerto dalle H centrali locali Li alla centrale T è di tipo Poissoniano;
-
lo stato di occupazione dei circuiti telefonici operanti nella sezione Li – T è statisticamente
indipendente dallo stato di occupazione dei circuiti telefonici fra T e la parte restante di rete.
Si chiede di determinare il numero massimo (Hmax) di centrali locali tale che la probabilità di blocco
di chiamata relativa alla centrale T (PT) sia inferiore a 0,01.
Assumendo inoltre che il blocco da estremo a estremo di una chiamata (PC) sia dovuto
esclusivamente dalle centrali Li e T, determinare, usando un numero di centrali locali pari al
valore di Hmax ricavato al punto precedente, la probabilità PC.
---------------------------------------------------------------------------------------------(probabilità di blocco centrale Li) = E1,8 (Aoi) = PL
(traffico offerto alla centrale T) = H * Aoi * (1- PL) = AoT
(probabilità di blocco centrale T) = E1,180(AoT) = E1,180(H * Aoi * (1- E1,30 (Aoi))) = PT
PL=0,0081
AoT = H * 2,9757 Erl
E1,28( H * 2,9757) < 0,01 soluzione per tentativi -> H = 6 infatti E1,28( 6 * 2,9757)= E1,28(17,854)≈ 0,0071
La probabilità di blocco di chiamata è uguale al negato della probabilità che la chiamata sia accettata su
entrambe le centrali, ovvero PC = 1- [(1-PT)*(1-PL)] = 1-[(1-0,0071)*(1-0,0081)]=0,0151
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pag. 15/20
Sia data la registrazione del traffico offerto puntuale ad una centrale telefonica nell’intervallo
temporale che va da t0=0 a t1=10min e 23 s, riportata in tabella. Si determini il valore dell’intensità
media di traffico offerto Ao alla centrale in questo intervallo di tempo.
Istante di
Durata della chiamata
arrivo della
(min)
richiesta (sec)
3
3 min
6
1 min
10
0,5 min
20
1,7 min
23
10 min
36
4 min
42
6 min
43
3 min
49
5 min
52
6 min
57
2 min
----------------------------------------------------------------------------------------------
11 chiamate in 10 minuti e 23s -> frequenza media di interarrivo = 11/10,38 (ch/min)= 1,056
durata media della chiamata = (3+1+0,5+1,7+10+4+6+3+5+6+2) / 11 = 3.8364
Traffico offerto = * 3.8364 = 4,06 Erl
Reti di Telecomunicazioni – Esercizi d’esame
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pag. 16/20
Si consideri un sistema a coda monoservente con un posto in fila d’attesa e popolazione infinita. La
popolazione presenta richieste di servizio in accordo ad un processo di Poisson con frequenza
media λ=10 (richieste/sec) e frequenza media di terminazione di servizio µ (20 richieste/sec). Si
chiede di :
1) tracciare il diagramma delle frequenze di transizione di stato;
2) calcolare i valori delle probabilità di stato Πi;
3) calcolare l’intensità media di traffico smaltito As
Diagramma delle frequenze di transizione
λ
λ
0
1
µ
2
µ
Variabile di stato = n. richieste di servizio presenti nel sistema
Calcolo delle probabilità di stato
λπ 0 = µπ 1
λπ 1 = µπ 2
π 0 + π1 + π 2 = 1
1
= 0.57143
1+ ρ + ρ 2
λ
con ρ =
π 1 = π 0 ρ = 0.28571
π0 =
π 2 = π 1 ρ = 0.14286
µ
Intensità media di traffico smaltito As
As = π 1 + π 2 = 0.42857 Erlang
Reti di Telecomunicazioni – Esercizi d’esame
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pag. 17/20
Si consideri una comunicazione a pacchetto fra due entità alla pari A e B. Il percorso di rete su cui
tale comunicazione insiste è composto da due nodi intermedi R1 ed R2. La capacità trasmissiva a
disposizione sulle tre tratte A-R1, R1-R2, R2-B è pari a C Mbps. La lunghezza della PCI è LPCI = 20
bytes. Assumendo che si voglia trasferire da A verso B una quantità di dati d’utente pari a Lfile= 225
Kbytes e che i tempi di propagazione siano trascurabili, si determini la lunghezza in bytes della
SDU (LSDU) che minimizza il tempo di trasferimento, inteso come l’intervallo di tempo che va dalla
trasmissione del primo bit di dati d’utente da parte di A alla ricezione dell’ultimo bit da parte di B.
A
R1
R2
B
----------------------------------------------------------------------------------------------
Trasmissione delle PDU nel tempo sui vari nodi
A
PDU
PDU
…
PDU
PDU
PDU
…
PDU
PDU
PDU
…
Ritardo di
immagazzinamento
R1
Ritardo di
immagazzinamento
R2
2*LPDU / C
N = numero di PDU necessare =
T =tempo di trasferimento =
PDU
N*LPDU / C
L file
LSDU
2 LPDU + NLPDU
=
C
Minimizzazione del tempo di trasferimento
2 ( LPCI + LSDU ) +
∂T
=0
∂LSDU
Æ
LSDU
L file
( LPCI + LSDU )
LSDU
C
L file LPCI
=
= 1500 bytes
2
Reti di Telecomunicazioni – Esercizi d’esame
Sia dato un collegamento satellitare per traffico telefonico fra una “postazione” mobile ed una stazione fissa di
terra, in cui il satellite fa da puro ripetitore di bit. La postazione mobile è servita da una popolazione d’utenti
sufficientemente grande da considerarsi infinita. Il traffico telefonico offerto da tale popolazione verso la
T
stazione fissa di terra Ao è pari a 4 Erl. La capacità del collegamento satellitare, identica in salita ed in
discesa, è pari a C=192 Kbps. La banda di picco Fp della singola comunicazione telefonica è 32 Kbps mentre
la sua banda media è Fm = 16 Kbps. Si considerino due soluzioni di modo di trasferimento: a circuito e a
pacchetto. Nel caso di modo di trasferimento a circuito, la multiplazione delle chiamante sulla capacità C è
operata in accordo ad una tecnica statica TDM (senza perdita di bit d’utente).
Viceversa, nel caso di modo di trasferimento a pacchetto si fa uso di un pacchettizzatore vocale all’interno
della postazione mobile. Il pacchettizzatore invia i pacchetti prodotti alla coda infinita del trasmettitore. Il
processo di arrivo dei pacchetti alla coda del trasmettitore è Poissoniano e la lunghezza media dei pacchetti è
distribuita in modo esponenziale negativo con media L = 640 bit. Il criterio di accettazione di chiamata impone
che il ritardo medio di coda (comprensivo della trasmissione) Tq sia inferiore a 8ms.
Trascurando qualsiasi tipo di informazione di controllo aggiuntiva, si determinino le probabilità di blocco di
chiamata nei due casi di modo di trasferimento: a circuito (Πbc) e a pacchetto (Πbp).
E1,S(A0)
Postazione mobile
A0
Satellite
C = 192 Kb/s
TDM
C = 192 Kb/s
TX
Stazione di terra
soluzione a circuito
1
4
4,5
5
6
7
S
0
1
1
1
1
1
1
1
0,5
0,8 0,818182 0,833333 0,857143
0,875
2
0,2 0,615385
0,648 0,675676
0,72 0,753846
3
0,0625 0,450704 0,492901 0,529661 0,590164 0,637546
4 0,015385 0,31068 0,356712 0,398343 0,469565 0,527345
5 0,003067 0,199067 0,243021 0,284868
0,3604 0,424719
6 0,000511 0,117162 0,154166 0,191847 0,264922 0,33133
7
7,3E-05 0,062749 0,09017 0,120519 0,185055 0,248871
8 9,12E-06 0,03042 0,048272 0,070048 0,121876 0,178822
9 1,01E-06 0,01334 0,023567 0,037458 0,075145 0,122101
10 1,01E-07 0,005308 0,010494 0,018385 0,043142 0,078741
Suggerimento : valutare il numero massimo di
Postazione mobile
Satellite
pkt
chiamate accettabili nei due casi
pkt
Pacchettizzatore
C = 192 Kb/s
C = 192 Kb/s
TX
pk
t
Coda
infinita
Stazione di terra
pk
t
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pag. 18/20
soluzione a pacchetto
---------------------------------------------------------------------------------------------Poiché nel caso della soluzione a circuito la strategia di riservazione di banda è statica e quindi per non aver perdita è
necessario allocare ad una chiamata una quota parte di banda C pari alla sua banda di picco Fp; allora il numero massimo
di chiamate accettabili dal multiplatore TDM è S=192e3/32e3=6 ovvero il multiplatore TDM è modellabile come un sistema a
coda con S serventi e zero posti in fila d’attesa per il quale la probabilità di perdita è :
c
Πb =E1,6(4)=0.117
Nel caso di soluzione a pacchetto il numero massimo di chiamate accettabili S è tale che il ritardo medio di coda Tq non
superi 8 ms. Essendo Tq = L / (C-S*Fm) risolvendo “T=8ms” per S si ottiene S = 7. Quindi in questo caso a parità di risorsa C
p
sono accettabili più chiamate e la probabilità di blocco vale Πb = E1,7(4) = 0.062
Reti di Telecomunicazioni – Esercizi d’esame
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pag. 20/20
Si considerino N sorgenti di traffico dati. Ogni sorgente emette un traffico di tipo poissoniano con
ritmo binario medio pari a Fm bit/s e lunghezza dei pacchetti con distribuzione esponenziale negativa di
media L bit. Il traffico prodotto da tali sorgenti è inoltrato verso un multiplatore che ha una capacità di
smaltimento globale pari a C bit/s. Si considerino due diverse tecniche di multiplazione, una statica e
una dinamica, riportate in figura e si assuma N* Fm <C. Nel caso di multiplazione statica, il multiplatore
assegna un canale di capacità C/N ed un buffer di dimensione infinita ad ogni sorgente. Nel caso di
multiplazione dinamica, tutta la capacità C è dinamicamente condivisa fra tutte le sorgenti mentre un
buffer di dimensione infinita è condiviso fra tutte le sorgenti. Il candidato valuti e discuta le prestazioni di
queste due soluzioni in termini di coefficiente di utilizzazione ρ della capacità C e del tempo medio di
coda Tq dei pacchetti di dati (tempo di coda=tempo di attesa più tempo di servizio).
Multiplazione statica
Multiplazione dinamica
---------------------------------------------------------------------------------------------ρ statica = ρ dinamica = N*Fm / C
Tq statica = L / (C/N - Fm)
Tq dinamica = L / (C – N*Fm)
Discussione :
essendo in entrambe i casi il sistema stabile e senza perdita il traffico smaltito e quindi
l’utilizzazione della linea risulta la stessa;
viceversa, le differenze prestazionali si hanno sul tempo di coda ed in particolare la multiplazione
dinamica presenta sempre un tempo medio di coda inferiore per N>1.
