Insiemi Numerici 1 I Numeri Naturali: definizione assiomatica

Insiemi Numerici
Docente: Francesca Benanti
19 gennaio 2008
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I Numeri Naturali: definizione assiomatica
Sin dall’antichità è stata data una sistemazione rigorosa alla geometria. Euclide (300 a.c.), nella sua opera gli Elementi, enuncia alcuni assiomi e da essi
ricava le proprietà del piano e dello spazio come teoremi.
Non altrettanto è avvenuto per l’algebra e l’aritmetica. Si deve attendere
fino al XIX secolo per avere una sistemazione assiomatica della teoria dei
numeri.
Poichè gli insiemi numerici più ampi, via via storicamente introdotti per esigenze operative, possono essere costruiti a partire dall’insieme più elementare
dei naturali, è proprio quest’ultimo ad essere definito assiomaticamente.
...Dio creò i numeri naturali; tutto il
resto è opera dell’uomo...
Con queste parole L. Kronecker (18231891) indicava il terreno sicuro per
la costruzione dell’intero edificio della
matematica.
Si dà, dunque, una struttura assiomatica all’aritmetica, la teoria matematica
dei numeri naturali, e a partire da questa si ricavano le caratteristiche degli
altri ambienti numerici.
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La definizione dei numeri naturali e gli assiomi che caratterizzano le operazioni definite in N rappresentano, quindi, il fondamento deduttivo per tutte
le strutture numeriche via via costruite con successivi ampliamenti.
La riconduzione degli insiemi numerici all’aritmetica fu avviata dal matematico tedesco F.L.G.Frege (1848-1925)
nei suoi testi I fondamenti dell’aritmetica e I principi dell’aritmetica,
apparsi negli ultimi anni del XIX
secolo.
La caratterizzazione assiomatica di N
si deve, invece, al matematico italiano
G. Peano (1858-1932) che ne diede una
prima formulazione nella sua opera
Arithmetices principia, nova methodo
expositia (1889).
Un’ analoga formulazione fu data negli stessi anni da J.W.R. Dedekind (18311916).
È possibile definire i numeri naturali attraverso tre enti primitivi e cinque
assiomi, noti come Assiomi di Peano.
Enti Primitivi:
• N = l’insieme dei numeri naturali;
• 0;
• n+1=successivo di n.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Assiomi di Peano:
• 0 è un numero naturale:
0∈N
• Se n è un numero naturale allora lo è anche il successivo
n+1:
n∈N ⇒n+1∈N
• Due numeri naturali diversi hanno successivi diversi:
n+1=m+1⇒n=m
• Ogni numero naturale, eccetto lo zero, è il successivo di un
numero naturale:
n ∈ N ⇒ n + 1 6= 0
• Assioma del buon ordinamento. Ogni sottoinsieme non
vuoto T di N ha un elemento minimo:
∃ t ∈ T | t ≤ x, ∀x ∈ T
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Proprietà dei numeri naturali
• N è un insieme infinito.
Definizione: Un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.
Sia K l’insieme dei quadrati perfetti
K = {0, 1, 4, 9, 16, . . .} = {n2 | n ∈ N}
Consideriamo l’applicazione
f :N→K
definita da
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
f (n) = n2 , ∀n ∈ N
f è un’applicazione biunivoca (esercizio).
Dunque N è infinito.
• N è un insieme numerabile.
Si definisce cardinalità del numerabile proprio la cardinalità caratteristica di N e si denota con ℵ (si legge alef-zero).
• N è un insieme totalmente ordinato.
Consideriamo in N la seguente relazione:
nRm ⇔ n ≤ m, n, m ∈ N
R soddisfa le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva (esercizio).
Dunque R è una relazione d’ordine.
Inoltre ∀n, m ∈ N si ha che o n ≤ m oppure m ≤ n.
Allora R è una relazione d’ordine totale e N è un insieme totalmente
ordinato.
• N è un insieme discreto.
È sempre possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento.
3
I Numeri Interi
È ben noto che, mentre l’equazione x − 5 = 0 è risolubile in N, l’equazione
x + 3 = 0 non lo è. Allora si cerca di ampliare l’insieme numerico in modo da
includere tutte le soluzioni di equazioni del tipo x + n = 0, n ∈ N. Si giunge,
quindi, all’insieme dei numeri interi relativi.
A partire dall’insieme dei numeri naturali N definiamo l’insieme degli interi
relativi.
Consideriamo il prodotto cartesiano
N × N = {(n, m) | n, m ∈ N}
e definiamo in esso la seguente relazione
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
(n, m)ρ(n0 , m0 ) ⇔ n + m0 = m + n0 ,
∀(n, m)(n0 , m0 ) ∈ N × N.
ρ è una relazione di equivalenza:
• Riflessiva: ∀(n, m) ∈ N × N, n + m = m + n. Dunque
(n, m)ρ(n, m).
• Simmetrica: ∀(n, m), (n0 , m0 ) ∈ N × N, se
(n, m)ρ(n0 , m0 ) ⇒ n + m0 = m + n0 ⇒
n0 + m = m0 + n ⇒ (n0 , m0 )ρ(n, m).
• Transitiva: ∀(n, m), (n0 , m0 ), (n00 , m00 ) ∈ N × N, se
(n, m)ρ(n0 , m0 )
n + m0 = m + n0
⇒
⇒
(n0 , m0 )ρ(n00 , m00 )
n0 + m00 = m0 + n00
n + m0 + n0 + m00 = m + n0 + m0 + n00 ⇒
n + m00 = m + n00 ⇒ (n, m)ρ(n00 , m00 ).
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Consideriamo l’insieme quoziente
N × N/ρ = {[(n, m)] | n, m ∈ N}
Osservazione 1: [(n, m)] =?
(n, m)ρ(n0 , m0 ) ⇔ n + m0 = m + n0 ⇔
⇔
n − m = n0 − m0 , n ≥ m
m − n = m0 − n0 , n < m
Esempi:
(3, 0) = (7, 4) = (12, 9) ∈ [(3, 0)]
(4, 8) = (0, 4) = (8, 12) ∈ [(0, 4)]
(0, 0) = (1, 1) = (8, 8) ∈ [(0, 0)]
Osservazione 2:
[(n, m)] = [(n − m, 0)], n ≥ m
[(n, m)] = [(0, m − n)], m > n
Osservazione 3:
[(n, 0)] = [(n0 , 0)] ⇔ n = n0
[(0, m)] = [(0, m0 )] ⇔ m = m0
Allora, si ha
N × N/ρ = {[(n, 0)] | n ∈ N ∗ } ∪ {[(0, 0)]} ∪ {[(0, m)] | m ∈ N ∗ }
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Poniamo per definizione
Z = N × N/ρ
Z risulta, pertanto, decomposto nei seguenti sottoinsiemi
Z = Z+ ∪ {0} ∪ Z−
dove
Z+ = {[(n, 0)] | n ∈ N ∗ }
{0} = {[(0, 0)]}
Z− = {[(0, m)] | m ∈ N ∗ }
Gli elementi di Z+ prendono il nome di interi positivi.
Gli elementi di Z− prendono il nome di interi negativi.
Graficamente:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Osservazione: Z è una estensione di N nel senso che nel suo interno contiene
un sottoinsieme Z+ ∪ {0} identificabile con N. Consideriamo l’applicazione
ϕ : N → Z = Z+ ∪ {0} ∪ Z−
definita
ϕ(n) = [(n, 0)]
dove n ∈ N.
ϕ è iniettiva e ϕ(N) = Z+ ∪ {0}.
Poniamo, ∀n ∈ N∗ ,
[(n, 0)] ≡ n, [(0, n)] ≡ −n, [(0, 0)] ≡ 0.
Allora
Z = {n | n ∈ N ∗ } ∪ {0} ∪ {−n | n ∈ N ∗ }
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Proprietà dei numeri interi
• Z è un insieme infinito.
Z⊃N
e l’insieme N è infinito.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
• Z è un insieme numerabile.
Consideriamo la seguente applicazione:
f :N→Z
f (n) =
n
,
2
n+1
− 2 ,
n = 2k
n = 2k + 1
f è un’applicazione biunivoca (esercizio).
Dunque Z è numerabile.
• Z è un insieme discreto.
È sempre possibile stabilire qual è il successivo di un qualsiasi elemento.
• Z è un insieme totalmente ordinato.
Secondo la sua rappresentazione sulla retta.
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I Numeri Razionali
Per creare uno strumento adeguato ai bisogni della pratica e della teoria,
è necessario estendere il concetto di numero, a partire da quello originario
di numero naturale. In una lunga e lenta evoluzione vennero gradualmente
accettati sullo stesso piano dei numeri naturali positivi, lo zero, i numeri
interi negativi e le frazioni.
I numeri interi sono un’astrazione del processo di contare insiemi finiti di
oggetti. Ma nella vita giornaliera si presenta la necessità non soltanto di
contare singoli oggetti, ma anche di misurare delle quantità, come lunghezze,
aree, pesi e tempo. Se si vuole operare liberamente con le misure di queste
quantità, è necessario estendere l’insieme numerico degli interi.
L’esigenza di ampliare l’insieme dei numeri interi sorge, oltre che per esigenze
pratiche legate alla misurazione, anche per esigenze di carattere algebrico
legate alla risoluzione di
equazioni del tipo ax = b, a, b ∈ Z, a 6= 0.
L’insieme Q dei numeri razionali si introduce a partire da Z in modo analogo
a come è stato introdotto Z a partire da N.
Consideriamo il prodotto cartesiano
Z × Z∗ = {(a, b) | a, b ∈ Z, b 6= 0}
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
e definiamo in esso la seguente relazione
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc,
∀(a, b), (c, d) ∈ Z × Z∗ .
∼ è una relazione di equivalenza:
• Riflessiva: ∀(a, b) ∈ Z × Z∗ , ab = ba. Dunque
(a, b) ∼ (a, b).
• Simmetrica: ∀(a, b), (c, d) ∈ Z × Z∗ , se
(a, b) ∼ (c, d) ⇒ ad = bc ⇒
cb = da ⇒ (c, d) ∼ (a, b).
• Transitiva: ∀(a, b), (c, d), (e, f ) ∈ Z × Z∗ , se
(a, b) ∼ (c, d)
ad = bc
⇒
⇒
(c, d) ∼ (e, f )
cf = de
adf = bcf
⇒
bcf = bde
adf = bde ⇒ af = be ⇒ (a, b) ∼ (e, f )
Poniamo per definizione
Q = Z × Z∗ / ∼= {[(a, b)] | a, b ∈ Z, b 6= 0}
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Osservazione 1: [(a, b)] =?
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc
Esempi:
(1, 2), (2, 4), (−1, −2) ∈ [(1, 2)]
(4, 1), (−8, −2), (48, 12) ∈ [(4, 1)]
(6, −9), (−20, 30), (2, −3) ∈ [(−2, 3)]
Graficamente [(1, 2)]:
Osservazione 2:
Non vi è alcuna difficoltà nel riconoscere che ogni coppia può essere rappresentata con una frazione
a
(a, b) ≡
b
Dunque in [(a, b)] vi sono tutte le frazioni equivalenti alla frazione ab .
Esempi:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
1 2 −1
1
, ,
∈
2 4 −2
2
4 −8 48
4
,
,
∈
1 −2 12
1
−2
6 −20 2
,
,
∈
−9 30 −3
3
Dunque
Q = {[ ab ] | a, b ∈ Z, b 6= 0} = { ab | a, b ∈ Z, b 6= 0, a, b coprimi}
Graficamente:
Osservazione: Q è una estensione di Z nel senso che nel suo interno contiene un sottoinsieme identificabile con Z. È sufficiente considerare l’applicazione iniettiva
ϕ:Z→Q
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
definita da
ϕ(a) =
a
1
dove a ∈ Z.
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Proprietà dei numeri razionali
• Q è un insieme infinito.
Q⊃Z
e l’insieme Z è infinito.
• Q è un insieme numerabile.
La scoperta che l’insieme Q è
numerabile e, quindi ha tanti elementi quanti ne ha N, è
dovuta al matematico G. Cantor
(1845-1918). La dimostrazione è
nota come metodo diagonale di
Cantor.
Consideriamo i razionali non negativi disposti come nella seguente tabella
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Sulla tabella è possibile stabilire un percorso che consente i elencare tutti i
suoi elementi. Si evidenzia cosı̀ la corrispondenza biunivoca con N:
0
0
1
2
←→ 0, ←→ 1, ←→ 2, ←→ 3, · · ·
1
2
1
1
Anche le frazioni negative ridotte ai minimi termini sono, come si può dedurre
con un analogo ragionamento, un insieme numerabile.
L’unione di due (in generale di un numero finito) insiemi numerabili è numerabile.
Dunque l’insieme dei numeri razionali è numerabile.
• Q è un insieme denso.
Gli insiemi N, Z, Q, nonostante siano via via più ampi e l’uno immerso
nell’altro, sono tutti e tre insiemi numerabili. Diverse sono invece le
proprietà di ordinamento dei loro elementi. Infatti, mentre N e Z sono
discreti, l’insieme Q non è discreto nel suo ordinamento naturale sulla
retta, bensı̀ denso perchè dati due numeri razionali esiste sempre un
numero razionale compreso tra i due:
∀a, b ∈ Q, a < b, ∃ c ∈ Q tale che a < c < b
Esempio:
5
3
a= , b=
7
4
allora basta considerare la loro media:
c=
5
7
+
2
3
4
=
41
56
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
• Q è un insieme totalmente ordinato.
Secondo la sua rappresentazione sulla retta. Formalmente la relazione
può essere introdotta in questo modo:
(a, b) < (c, d) ⇔ ad < bc
Esempio:
5
3
<
7
4
infatti 5 · 4 = 20 < 21 = 7 · 3.
7
√
2.....
Poichè l’insieme dei numeri razionali è denso sulla retta, si potrebbe credere
che tutti i punti della retta siano punti razionali.
Una delle più sorprendenti scoperte, dovuta ai primi matematici greci e precisamente alla scuola pitagorica, è l’esistenza dei numeri irrazionali, cioè di
numeri che non sono razionali.
La necessità di definire numeri non razionali nasce da alcuni problemi particolari come la ricerca del rapporto tra diagonale e lato di un quadrato, tra
circonferenza e diametro,....
√
Teorema:
2 è un numero irrazionale.
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
dimostrazione:
√
Ragioniamo per assurdo. Supponiamo, dunque, che 2 sia razionale. Allora
esiste ab ∈ Q, con a e b coprimi, tale che
√
a
2=
b
Dunque
2=
a2
⇒ a2 = 2b2 ⇒ a2 pari ⇒
2
b
a pari ⇒ a = 2c ⇒ 4c2 = 2b2 ⇒ 2c2 = b2 ⇒
b2 pari ⇒ b pari ⇒ a, b pari ASSURDO
√
Possiamo concludere che 2 6∈ Q.
L’argomento appena descritto suggerisce
una semplicissima costruzione geo√
metrica del numero irrazionale 2.
√
2 è la misura della diagonale del quadrato di lato unitario.
Infatti, se x denota la misura della diagonale del quadrato di lato unitario,
per il teorema di Pitagora si ha
√
√
x = 12 + 12 = 2
Pertanto
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Dunque dire che Q è un insieme denso significa dire che sulla retta attorno ad
ogni numero, ad esempio a 2, vanno ad addensarsi infiniti numeri, cosicché
non è possibile stabilire qual è il numero razionale immediatamente successivo
√
a 2, ma non significa dire che tutti i numeri razionali riempiono la retta. 2
è sulla retta reale ma non è un numero razionale.
È necessario pertanto costruire un insieme numerico più ampio dell’insieme
dei numeri razionali che comprenda anche i numeri irrazionali e che riempia
tutta la retta.
8
I Numeri Reali
La definizione formale dei numeri reali ha rappresentato uno degli sviluppi più
significativi del diciannovesimo secolo. I numeri reali vengono costruiti, come
una estensione dell’insieme dei numeri razionali, in vari modi equivalenti. Tra
questi, i più noti usano le sezioni di Dedekind e le successioni di Cauchy.
Quella che noi riportiamo è la definizione dovuta a Dedekind.
Ora, in ogni caso in cui c’è una
sezione (A1, A2) che non è prodotta da un numero razionale, allora noi
creiamo un nuovo numero irrazionale
a che riteniamo completamente definito da questa sezione; diremo che
questo numero a corrisponde a questa sezione oppure che produce questa sezione. J. W. Richard Dedekind
(1831 - 1916)
Assioma di Dedekind della continuità della retta: Data una qualsiasi partizione della retta in due classi A e B, in cui ogni elemento di A e
minore di un elemento di B, si ha una delle due seguenti situazioni:
• A ha un massimo e B non ha un minimo
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
oppure
• A non ha un massimo e B ha un minimo
Questo elemento è detto elemento separatore delle due classi.
E l’insieme dei numeri reali?
Definizione: Dato un insieme K totalmente ordinato, un suo elemento x è
detto estremo superiore per un sottoinsieme S se e solo se:
• non esistono elementi di S maggiori di x;
• x è il minore tra gli elementi di K che soddisfano la precedente condizione.
Si scrive x =sup(S).
Se x appartiene all’insieme S allora è detto massimo dell’insieme S e si scrive
x =max (S).
Esempi:
1. sup(Q− ) = 0
2. Sia S il sottoinsieme dei numeri naturali costituito da tutti i naturali
con due cifre. Allora
sup(S) = 99 = max(S)
Definizione: Dato un insieme K totalmente ordinato, un suo elemento x è
detto estremo inferiore per un sottoinsieme S se e solo se:
• non esistono elementi di S minori di x;
• x è il maggiore tra gli elementi di K che soddisfano la precedente
condizione.
Si scrive x =inf (S).
Se x appartiene all’insieme S allora è detto minimo dell’insieme S e si scrive
x =min(S).
Esempi:
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
1. Sia
1
S = { | n ∈ N, n 6= 0} ⊂ Q
n
allora
inf(S) = 0
Definizione: Una partizione di un insieme X è una famiglia di sottoinsiemi
di X non vuoti, disgiunti e tali che la loro unione è l’insieme X stesso.
Definizione: Un insieme X totalmente ordinato è detto continuo se
• ha infiniti elementi;
• è denso;
• per ogni partizione di X in due sottinsiemi A e B ordinata (ogni elemento del primo sottoinsieme è minore di ogni elemento del secondo)
si ha che A ha un massimo e B non ha un minimo oppure A non ha
un massimo e B ha un minimo ossia esiste, ed è unico, un elemento
separatore
Esempi:
1. La retta è un insieme continuo.
2. L’insieme dei numeri razionali pur essendo un insieme ordinato, infinito
e denso non è un insieme continuo, infatti consideriamo la seguente
partizione in due sottoinsiemi
A = Q− ∪ {0} ∪ {x ∈ Q+ | x2 ≤ 2}
B = {x ∈ Q+ | x2 > 2}
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
Il sottoinsieme B non ha minimo: dato un numero razionale positivo il cui
quadrato sia maggiore di 2, se ne può sempre trovare un altro, che sia minore
e che abbia la stessa caratteristica e quindi sta in B. Ad esempio 1.42 e 1.419
Il sottoinsieme A non ha massimo: dato un numero razionale positivo il cui
quadrato sia minore di 2, se ne può sempre trovare un altro, che sia maggiore
e che abbia la stessa caratteristica e quindi sta in A. Ad esempio 1.41 e 1.412
√
√
In tale situazione è evidente che 2 = sup(A) = inf(B), ma 2 non è un
numero razionale dunque non è né il massimo di A, né il minimo di B.
Definizione: Un numero reale è una partizione dell’insieme Q in due sottoinsiemi (A, B) in cui ogni elemento del primo insieme è minore di ogni
elemento del secondo.
L’insieme dei numeri reali R è l’insieme delle partizioni di Q in sottoinsiemi
di questo tipo.
Si hanno due casi
• La partizione (A, B) individua un elemento di Q (elemento separatore)
ed allora è un numero razionale;
• La partizione (A, B) individua un ’buco’ dell’insieme Q (non si ha
elemento separatore in Q) ed allora è un numero irrazionale;
Osservazione: R è una estensione di Q nel senso che nel suo interno
contiene un sottoinsieme identificabile con Q.
9
Proprietà dei numeri reali
• R è un insieme infinito.
R⊃Q
e l’insieme Q è infinito.
• R ha la cardinalità del continuo.
Teorema: L’insieme dei numeri reali compresi tra 0 e 1 non è numerabile.
dimostrazione: La dimostrazione viene condotta per assurdo. Supponiamo che i numeri reali dell’intervallo formino un insieme numerabile. In questo caso sarà possibile scriverli in un ”elenco” numerabile
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
in cui ciascun numero reale tra 0 e 1 sarà contrassegnato da un numero
naturale n.
Costruiamo ora, seguendo il procedimento di Cantor, un nuovo numero
reale compreso tra 0 ed 1, che non è nell’elenco considerato.
Il numero ha come prima cifra 0. Al primo posto dopo la virgola si
sceglie una cifra diversa da a1, al secondo posto si sceglie una cifra diversa da b2, al terzo posto si sceglie una cifra diversa da c3, e cosı̀ via...
Con questo procedimento, detto ’diagonale’, viene costruito un numero
reale compreso tra 0 e 1, che però è diverso da tutti quelli dell’elenco
precedente, contro l’ipotesi che l’elenco indicasse tutti i numeri compresi tra 0 e 1. Si è arrivati dunque ad un assurdo. Pertanto l’insieme
dei numeri reali dell’intervallo ]0, 1[ non è ”numerabile”.
Osservazione: l’insieme dei numeri reali non può essere posto in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. La ’cardinalità’ (o ’potenza’) dei numeri reali è quindi maggiore della cardinalità del numerabile.
La cardinalità dei numeri reali si chiama cardinalità del ’continuo’ e si
indica con la lettera gotica C.
• R è un insieme denso.
• R è un insieme totalmente ordinato.
• R è un insieme continuo.
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Forma decimale
Vedi il seguente File tratto da: E-school di Arrigo Amadori
formadecimale
Modulo Didattico: Complementi di Algebra
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Reali Algebrici e Trascendenti
Vedi il seguente File tratto da: Progetto Polymath - I numeri reali
algebricitrascendenti
Modulo Didattico: Complementi di Algebra