Seguendo il filo conduttore del convegno, queste schede vogliono

Seguendo il filo conduttore del convegno, queste schede vogliono offrire alcuni spunti e
proposte di attività di didattica informale e laboratoriale da svolgere in classe.
Sulle 8 pagine si trovano gli sviluppi di alcuni solidi, accompagnati da alcune domande
relative a particolari caratteristiche degli oggetti costruiti.
Molte domande richiedono di individuare caratteristiche comuni ai solidi costruiti: è
importante sottolineare che una risposta come: “questi solidi sono tutti fatti di carta e sono
tutti stati ritagliati dallo stesso plico di fogli” è perfettamente lecita nell’ambito di un’attività di
laboratorio (oltre che matematicamente corretta!).
Uno dei temi che possono essere introdotti grazie a queste proposte di attività è quello della
classificazione degli oggetti, ossia il problema di individuare quali caratteristiche possano
essere utilizzate per dividere in sottoinsiemi coerenti un gruppo di oggetti dati. In quest’ottica
il classificare gli oggetti in base al materiale con cui sono stati costruiti è una delle tante
possibili scelte. Nel corso dell’attività la caratteristica “materiale di costruzione” sarà
superata, non perché matematicamente inesatta, bensì perché non efficace nel dividere in
classi gli oggetti considerati.
SCHEDA 1: ICOSAEDRO OTTAEDRO E TETRAEDRO
SCHEDA 2: CUBO E DODECAEDRO
Costruisci e osserva i tre solidi della scheda 1:
-Che cosa hanno in comune?
Questa domanda vuol far riflettere i ragazzi su alcuni aspetti legati alla regolarità dei poliedri
e su quali caratteristiche vogliamo osservare per poter definire “regolare” un solido.
I poliedri della scheda hanno tutti per facce dei triangoli equilateri congruenti tra loro.
Non solo: tutti gli angoloidi al vertice sono uguali. Ad esempio, nel tetraedro, in ogni vertice
arrivano sempre 3 triangoli equilateri, nell’ottaedro 4 e nell’icosaedro 5.
-Sapresti costruire un altro solido le cui facce siano solo triangoli equilateri congruenti tra
loro?
Nel rispondere alla prima domanda non è necessario che i ragazzi giungano
all’osservazione relativa ai vertici delle figure. Tuttavia, la costruzione di ulteriori solidi
formati solo da facce triangolari equilatere congruenti tra loro, metterà in luce questo
aspetto. Ad esempio è possibile costruire una bipiramide triangolare, formata da due
tetraedri con una faccia in comune.
In tale solido è possibile osservare due vertici in cui concorrono 3 triangoli equilateri (le due
“punte” ) e tre vertici in cui concorrono invece 4 triangoli (i vertici delle facce incollate).
Costruisci e osserva i cinque solidi delle schede 1 e 2.
Puoi individuare delle caratteristiche comuni a questi cinque solidi?
Cosa puoi dire delle loro facce?
Queste domande mirano nuovamente a far emergere le caratteristiche dei poliedri regolari.
È possibile far osservare che, sebbene la forma delle facce sia mutata nei solidi della
scheda 2, si è conservata la congruenza tra tutte le facce di uno stesso solido, così come si
è conservata l’incidenza dello stesso numero di facce in ogni vertice.
Sapresti trovare altri solidi che rispettino caratteristiche simili a quelle di questi cinque?
Questa domanda, così come la corrispondente domanda della scheda 1, è posta in termini
volutamente generici. La risposta è direttamente dipendente dalle caratteristiche individuate
nel corso dell’attività fin qui svolta.
Un possibile sviluppo per questa domanda è quello di far concentrare i ragazzi sulla ricerca
di caratteristiche che portino a dover formulare una risposta negativa.
Qual è, cioè, una possibile famiglia di caratteristiche che rendano questi cinque solidi gli
unici a posserderle contemporaneamente?
Una possibile risposta è data da questo insieme:
-essere convessi;
-avere tutte le facce congruenti tra loro;
-avere per facce solo poligoni regolari;
-avere vertici in cui concorre lo stesso numero di facce.
SCHEDA 3: ICOSIDODECAEDRO (3,5,3,5) e CUBOTTAEDRO (3,4,3,4)
Costruisci e osserva i solidi della scheda 3
Sapresti trovare una somiglianza tra i due solidi?
Prova a raggruppare in “famiglie” i solidi delle schede da 1 a 3. Sapresti dire quali “rapporti
di parentela” si possono individuare?
Un’importante caratteristica comune a questi due solidi è che entrambi possono essere
ottenuti “tagliando i vertici” di due dei solidi tra quelle delle schede 1 e 2. Anche la
disposizione e il numero delle facce corrisponde a quello dei solidi già osservati: ad esempio
il cubottaedro presenta 6 facce quadrate, come il cubo, e 8 facce triangolari, come
l’ottaedro. Analogamente l’icosidodecaedro presenta, come il dodecaedro, 12 facce
pentagonali e, come l’icosaedro, 20 facce triangolari.
È naturalmente possibile individuare altri criteri di classificazione.
SCHEDA 4: GIROBICUPOLA QUADRATA ELONGATA (POLIEDRO DI MILLER)
SCHEDA 5: ROMBICUBOTTAEDRO (3,4,4,4)
Costruisci e osserva i solidi delle schede 4 e 5
Quali somiglianze noti?
Cosa puoi dire dei loro vertici?
Alcune delle somiglianze che possono essere messe in luce dai ragazzi riguardano il tipo di
facce che formano questi poliedri: quadrati e triangoli equilateri. Un’ulteriore caratteristica
che potrà essere notata, soprattutto in conseguenza delle osservazioni fatte nelle schede
precedenti è che, in ogni vertice dei due solidi, concorrono sempre un triangolo equilatero e
tre quadrati. Questo sottolinea come il tipo di facce e l’ordine con cui esse si incontrano nei
vertici non sia sufficiente a descrivere un poliedro.
Sapresti individuare una caratteristica che differenzi i due solidi?
Osserva le posizioni reciproche delle facce quadrate. Che cosa osservi?
Queste due domande sono strettamente legate fra loro; la seconda, infatti, vuole essere un
suggerimento per ricercare una possibile caratteristica che differenzi di due solidi. Nel
poliedro di Miller, ad esempio, è possibile individuare un’unica “cintura equatoriale” di
quadrati, mentre nel rombicubottaedro è possibile individuarne tre. Ciò fa sì che nel poliedro
di Miller sia possibile distinguere “il sopra dal sotto” o “il davanti dal dietro”. Molte rotazioni o
riflessioni che non “fanno cambiare aspetto” al rombicubottaedro, portano invece il poliedro
di Miller in posizioni distinguibili una dall’altra.
SCHEDA 6: CUBO CAMUSO (DESTROGIRO E LEVOGIRO) (3,3,3,3,4)
Costruisci e osserva i due solidi della scheda 6.
Cosa puoi dire delle facce dei solidi?
Questa domanda è analoga a quella affrontata per il rombicubottaedro e per il poliedro di
Miller. I risultati, tuttavia, possono essere notevolmente diversi.
È possibile osservare che, sebbene le facce (e i vertici) si comportino esattamente come nel
caso precedente (stesso tipo di facce nei due solidi e stesse relazioni di incidenza nei
vertici), non è più possibile individuare caratteristiche analoghe alla “cintura” di quadrati, che
permettano di distinguere tra loro i due solidi.
Che differenza puoi osservare tra di essi?
Prova a mettere uno dei due oggetti di fronte a uno specchio. Cosa accade?
Una possibile differenza che si può far notare ai ragazzi è che appoggiando i due poliedri su
di una faccia quadrata e orientando una seconda faccia quadrata verso l’osservatore, si
vede che in uno dei due poliedri essa appare leggermente ruotata in senso orario (“verso
destra”), mentre nell’altro appare leggermente ruotata in senso antiorario (“verso sinistra”).
Disponendo uno dei due poliedri davanti a uno specchio (che ha l’effetto di “scambiare”
destra e sinistra) si può osservare che l’immagine riflessa di uno dei due solidi è congruente
all’altro. Il cubo camuso esiste, cioè, in due forme chirali.
SCHEDA 7: ICOSAEDRO TRONCATO (Pallone da calcio) (5,6,6)
Costruisci e osserva il solido della scheda 7
Immagina di “gonfiarlo” come un palloncino: cosa ricorda?
Sapresti trovare una parentela con uno o più fra i solidi delle schede da 1 a 7?
Questa domanda verte in modo particolare sulla classificazione: anche in questo caso non
esistono una risposta giusta e delle risposte sbagliate, ma sono possibili alcune alternative.
Per esempio è possibile separare i poliedri delle schede 1 e 2 dagli altri, poiché i primi
presentano facce di un solo tipo, mentre tutti gli altri presentano di diversi tipi. Oppure è
possibile dividere icosaedro, dodecaedro, icosidodecaedro e pallone da calcio da cubo,
ottaedro, cubottaedro, cubo camuso e rombicubottaedro in base alle simmetrie dei solidi,
oppure ancora classificare i poliedri in base al numero di facce.
SCHEDA 8: DODECAEDRO ROMBICO e STELLA OCTANGULA
Costruisci e osserva i solidi della scheda 8
Cosa puoi dire delle loro facce?
Quali caratteristiche sono conservate? Quali invece no?
Sapresti individuare almeno una caratteristica posseduta da questi solidi e non da quello
della scheda 5? E una caratteristica in comune?
Entrambi questi poliedri presentano facce tutte congruenti tra loro, analogamente a quanto
accade per i solidi delle schede 1 e 2 e diversamente dal rombicubottaedro nella scheda 5.
Nel caso del dodecaedro rombico non è però conservata la regolarità delle facce, mentre nel
caso della stella octangula non è conservata la convessità.
Oltre al confronto con il rombicubottaedro nella scheda 5 può essere interessante proporre
agli studenti un confronto con il cubottaedro della scheda 3 e provare a far notare come un
dodecaedro rombico possa essere inscritto in un cubottaedro in modo che i vertici del primo
tocchino i centro delle facce del secondo. Anche il viceversa è vero: è possibile inscrivere,
nello stesso modo, anche un cubottaedro in un dodecaedro rombico.
Questo offre spunti di riflessione sul concetto di dualità, riflessione che potrà essere
proposta agli studenti chiedendo di individuare altre relazioni di dualità all’interno dei poliedri
di queste schede (e.g. cubo e ottedro, icosaedro e dodecaedro, tetraedro con se stesso).
In riferimento alla stella octangula:
Concentrati sulle facce colorate in viola. Che solido ti ricordano?
E le facce colorate in arancione?
È qui possibile osservare che la stella octangula può essere vista come unione di due
tetraedri. Naturalmente questo non è l’unico modo possibile per costruire questo solido, che
può essere costruito anche a partire da un ottaedro su cui vengono incollati 8 tetraedri, uno
per faccia.