relativita` ristretta - Istituto SAN GABRIELE

Da Maxwell a Einstein
Le equazioni di Maxwell forniscono una spiegazione
completa dei fenomeni elettromagnetici e ottici:
La luce è un’onda elettromagnetica e tutte le onde
elettromagnetiche si propagano nel vuoto alla velocità della
luce
 Il concetto centrale della spiegazione è quello di
campo
 Maxwell pensava ancora che le onde
elettromagnetiche si propagassero in un mezzo
meccanico, l’etere
Lentamente si affermò la visione che l’elettromagnetismo
fosse completamente descritto dalle equazioni di Maxwell
senza la necessità di introdurre modelli meccanici per
spiegare la propagazione della onde elettromagnetiche
Contraddizioni apparenti tra meccanica ed
elettromagnetismo
Nella meccanica galileiana e newtoniana non
esistono velocità assolute, ma solamente
velocità relative a un particolare sistema di
riferimento
PROBLEMA: Relativamente a quale sistema di
riferimento la velocità della luce ha il valore
costante di 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟖 𝒎 𝒔 ?
Sappiamo che , in base alle trasformazioni di Galileo, abbiamo
Legge classica di composizione delle velocità
Nel sistema di riferimento solidale con la bicicletta, la pallina
lanciata in avanti dalla ragazza ha velocità u′ = 5 m/s.
Rispetto al suolo, la bicicletta viaggia con velocità v = 7 m/s e
quindi in questo sistema di riferimento la velocità della pallina è
u = u′ + v = 5 m/s + 7 m/s = 12 m/s: le velocità della bicicletta e
della pallina si sommano relativamente a un osservatore in quiete.
La legge classica di composizione delle velocità è basata a sua
volta sulle trasformazioni di Galileo, definite dal sistema di
equazioni:
Trasformazioni
di Galileo
Permettono di calcolare le coordinate spaziali e temporali di
un corpo in un sistema di riferimento 𝑆’ conoscendo le
coordinate del corpo in un altro sistema 𝑆 in moto rettilineo
uniforme con velocità 𝑣 rispetto al primo
Altri interrogativi
– l’esistenza del campo magnetico dipende dal sistema di
riferimento inerziale scelto?
– il campo elettrico e quello magnetico sono invarianti?
Per conciliare le contraddizioni tra elettromagnetismo e principio
di relatività si posero due alternative:
1) Assumere che la velocità della luce non sia una costante
• È necessario trovare il sistema di riferimento relativamente al
quale la velocità della luce è effettivamente uguale a 𝒄 e
quindi rinunciare al principio di relatività che afferma che le
leggi della fisica ( e quindi anche la costanti in esse presenti
1
come la velocità della luce 𝑐 = 𝜀 𝜇 ) devono avere la stessa
0 0
forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali
2) Rinunciare alla legge di composizione delle velocità e alle
trasformazioni di Galileo
• Determinare nuove trasformazioni
L’esperimento di Michelson e Morley (tra il 1881 e il 1887) mostrò
che la velocità della luce risultava indipendente dal moto della
Terra e sempre uguale a c, in contrasto con la prima alternativa
I postulati della relatività ristretta
e le trasformazioni di Lorentz
La seconda delle alternative porta alla teoria della relatività ristretta di Einstein
La teoria della relatività ristretta di Einstein si basa su due principi
Postulati della relatività ristretta
1. È impossibile distinguere con esperimenti fisici due sistemi
di riferimento in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro; in altri
termini, le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti
i sistemi inerziali
2. La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi inerziali,
indipendentemente dallo stato di moto del sistema
e della sorgente luminosa
Esistono grandezze invarianti il cui valore non dipende dal sistema inerziale
di riferimento. La legge fondamentale della dinamica, e in generale le leggi
della meccanica, sono valide in tutti i sistemi di riferimento inerziali e hanno
in tutti la stessa forma.
Le trasformazioni di Lorentz
Affinché due osservatori inerziali misurano la stessa velocità
della luce indipendentemente dal moto relativo dei loro sistemi
di riferimento, è necessario modificare le trasformazioni di
Galileo e determinare nuove trasformazioni.
Un evento è definito dalla quaterna di valori (x; y; z; t) che
rappresentano, in un determinato sistema di riferimento
 le tre coordinate spaziali del punto in cui l’evento si è verificato
 l’istante t in cui è avvenuto
Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali S e S′
supponendo che
 S′ si muova in moto rettilineo uniforme con velocità v rispetto a S
 il moto avvenga lungo l’asse x del sistema S
 all’istante t = 0 i due sistemi di riferimento coincidano
 (x, y, t) siano le coordinate di un evento nel sistema S
 (x ′, y′, t ′) siano le coordinate dell’evento nel sistema S′
𝑆 ed 𝑆′ sono due sistemi di riferimento inerziali le cui origini
coincidono all’istante t = t′ = 0; successivamente S′ trasla con
velocità costante v lungo la direzione delle ascisse.
OSS: Il sistema 𝑆’ è in moto rettilineo uniforme con
velocità 𝑣 rispetto a 𝑆 mentre 𝑆 è in moto rettilineo
uniforme con velocità di – 𝑣 rispetto ad 𝑆’
Le trasformazioni che mantengono costante il valore
della velocità della luce in entrambi i sistemi di
riferimento sono note come trasformazioni di Lorentz
 per v << c le equazioni sono riconducibili
alle trasformazioni di Galileo
 la velocità della luce c è una
velocità limite che non è possibile
raggiungere
La legge relativistica di composizione delle velocità
Dalle trasformazioni di Lorentz possiamo ricavare la nuova legge
relativistica di composizione delle velocità
Per un punto materiale P in moto rettilineo uniforme con velocità
u′ relativamente al sistema S′ e con velocità u relativamente al
sistema S abbiamo
Se i valori di v e u sono molto minori di c la legge relativistica si
riduce all’equazione classica
OSS: Nelle trasformazioni di Lorentz il tempo non è più un
invariante come lo era in quelle di Galileo.
Le trasformazioni di Lorentz e la legge di composizione delle
velocità costituiscono la struttura matematica della
RELATIVITA’ RISTRETTA
Critica al concetto di simultaneità
La nuova definizione operativa di simultaneità
Nelle trasformazioni di Lorentz il tempo non è più un
invariante
La simultaneità di due eventi è un problema centrale
nella relatività ristretta
Eventi simultanei: Due eventi nei punti A e B si
dicono simultanei se un osservatore, posto nel
punto medio M del segmento AB, riceve i segnali
luminosi provenienti dai due punti A e B nello
stesso istante
L’osservatore posto nel punto medio M del segmento AB può
affermare che i due fulmini sono caduti simultaneamente nei
punti A e B se con un orologio verifica che tA = tB.
La simultaneità di eventi
DOMANDA:
Due eventi simultanei per un osservatore 0, sono
simultanei per un altro osservatore 0’, in moto
rettilineo uniforme rispetto a 0?
RISPOSTA:
No, la simultaneità è relativa a un preciso sistema
di riferimento e non ha senso parlare di simultaneità
assoluta di due eventi
– non esiste il tempo assoluto newtoniano, ma tanti
tempi relativi ai particolari sistemi di riferimento
a) L’osservatore a terra sulla banchina
rappresenta il riferimento O, quello
sul treno il riferimento O′.
O e O′ sono equidistanti da A e B,
punti in cui cadono i fulmini.
b) Poiché il treno si muove verso
destra, l’osservatore O′ riceve
prima la luce proveniente da B, poi
quella da A.
I DUE EVENTI, SIMULTANEI RISPETTO ALL’OSSERVATORE O, NON LO SONO
RISPETTO ALL’OSSERVATORE O’ IN MOTO RETTILINEO UNIFORME RISPETTO A O
La sincronizzazione degli orologi
La nuova definizione di simultaneità ci permette
di sincronizzare orologi posti in punti diversi di
uno stesso sistema di riferimento.
Consideriamo due orologi identici posti in punti
diversi (A e B) di uno stesso sistema di riferimento
– gli orologi sono sincronizzati se un osservatore O, in
quiete rispetto a essi e posto nel punto medio M
del segmento AB, osserva i segnali emessi dai due
orologi giungere contemporaneamente
La dilatazione dei tempi
Analizziamo se la durata di un fenomeno sia costante o dipenda dal sistema di
riferimento come ci aspettiamo dalla relatività ristretta.
Un esperimento ideale
Un osservatore 0 posto nel sistema S misura l’intervallo di tempo ∆𝑡 che la luce
impiega a percorrere, andata e ritorno, una certa distanza L
a) L’osservatore O nel sistema di riferimento S è in quiete. In rosso è indicato il
raggio partito da O e in verde quello che vi ritorna;
b) lo stesso fenomeno rispetto al sistema di riferimento S′. Nel sistema S′ tutto
l’apparato sperimentale è in moto verso destra con velocità v.
Il tempo Dt′ misurato da un osservatore nel
sistema S′ è uguale a
Dilatazione dei tempi
∆t’ =g ∆ t
Poiché g > 1, allora ∆t′ > ∆t
La durata di un fenomeno non è più un invariante
ma dipende dal sistema di riferimento
Definiamo tempo proprio t l’intervallo di tempo
misurato da un osservatore per il quale gli eventi
avvengono nello stesso punto dello spazio
Tempo proprio = Durata minima del fenomeno
Il tempo proprio t rappresenta la durata minima
del fenomeno
– in tutti gli altri sistemi di riferimento la durata del
fenomeno è maggiore
Il calcolo della dilatazione dei tempi
Attraverso le trasformazioni di Lorentz è
possibile calcolare la dilatazione dei tempi
La contrazione delle lunghezze
La contrazione delle lunghezze nella direzione del moto
Nella meccanica classica la lunghezza di un segmento
è invariante
Nell’ambito della relatività ristretta, un corpo che ha lunghezza L in
un sistema di riferimento S solidale con il segmento, ha lunghezza
L′ nel sistema S′ in moto rispetto a S con velocità in modulo uguale
a v e direzione parallela al segmento
La relazione tra L’ ed L è
Poiché g > 1, allora L′ < L
Contrazione
delle lunghezze
La contrazione delle lunghezze
Nei due sistemi di riferimento,
gli assi x e x′ coincidono.
La contrazione delle lunghezze
La lunghezza di un corpo non è più un
invariante ma dipende dal sistema di
riferimento
La lunghezza della sbarra misurata nel sistema di
riferimento in cui la sbarra è in quiete è detta
lunghezza propria.
In conclusione:
Né la durata di un fenomeno né la lunghezza
di un corpo sono invarianti relativistici
Invarianza delle dimensioni trasversali
Dalle trasformazioni di Lorentz si ricava che
Le dimensioni di un corpo perpendicolari alla direzione del
moto relativo di due sistemi inerziali sono invarianti nei due
sistemi
Se così non fosse si creerebbero situazioni
paradossali
Se le dimensioni di un corpo si contraessero anche in direzione perpendicolare
rispetto al suo moto, il corpo A potrebbe passare o meno dall’anello B, a seconda
del sistema di riferimento: sarebbe un paradosso.
L’invariante spazio-temporale
e il principio di causalità
Lunghezza propria, tempo proprio e velocità della luce sono
gli invarianti relativistici che sostituiscono lo spazio e il tempo
assoluto newtoniano
Esiste un altro invariante legato al problema del rapporto di
causalità tra due eventi
Eventi causalmente connessi: Dati due eventi caratterizzati da
due coppie di valori x e t misurati nel sistema S, A(x1; t1) e
B(x2; t2), essi si dicono causalmente connessi se la distanza
Dx = |x2 - x1|che li separa è minore o uguale allo spazio
percorso dalla luce nell’intervallo di tempo Dt = |t2 - t1|
Dx ≤ cDt
Se viceversa Dx > cDt, allora i due eventi A e B sono
causalmente non connessi
L’invariante spazio-temporale e il principio di causalità
Passato, presente e futuro nella relatività
Rappresentazione grafica degli eventi
causalmente connessi
Per semplicità ci limitiamo a
rappresentare uno spazio a
due sole dimensioni, una
spaziale, sull’asse x, e una
temporale, sull’asse y.
Sempre per rendere il
diagramma più semplice,
poniamo la velocità della luce
c = 1.
L’osservatore O è collocato nell’origine egli
assi, che rappresenta l’evento (0,0) ovvero
l’evento (qui, ora)
O
I segnali possibili devono viaggiare a
velocità inferiori a quelle della luce e
quindi devono corrispondere a rette che
si trovano all’interno delle due regioni
‘passato’ e ‘futuro’.
EVENTI CAUSALMENTE CONNESSI
CON L’OSSERVATORE 0
Poiché non sono possibili segnali più veloci della luce, le regioni laterali
denominate ‘presente’, non sono raggiungibili con segnali e quindi
corrispondono a eventi non causalmente connessi con 0.
DOMANDA: Che cosa pensa un altro osservatore inerziale O’ della
connessione causale stabilita dall’osservatore 0?
RISPOSTA: Tutti gli osservatori inerziali concordano sul tipo di relazione
causale che lega due eventi
L’invariante spazio-temporale
Definiamo intervallo spazio-temporale l’espressione
(Ds)2 = (Dx) 2 - c2 (Dt)2
Si può dimostrare che questa espressione è invariante
Generalizzando :
Eventi causalmente connessi e intervallo spaziotemporale:
Due eventi sono causalmente connessi se l’intervallo
spazio-temporale che li separa è minore o uguale a 0
(Ds)2 = (Dx) 2 - c2 (Dt)2 ≤ 0
Se in un sistema di riferimento inerziale S due eventi sono
causalmente connessi, lo sono anche in qualunque altro
sistema inerziale S’ perché l’intervallo spazio-temporale
Ds2 è invariante
L’effetto Doppler relativistico
Ricordiamo in cosa consiste l’effetto Doppler per le onde sonore
Effetto Doppler per sorgente in moto e osservatore fermo
Lunghezza d’onda variabile per i punti
prima della sorgente e dopo la sorgente
lungo la direzione parallela al moto
LA FREQUENZA AUMENTA
NEL VERSO DEL MOTO
EFFETTO DOPPLER PER SORGENTE FERMA E OSSERVATORE IN MOTO
EFFETTO DOPPLER PER LE ONDE ELETTROMAGNETICHE
L’effetto Doppler riguarda anche le onde
elettromagnetiche ma con alcune differenze essenziali
– non esiste un mezzo di propagazione per le onde
elettromagnetiche (l’etere non esiste)
– la luce e le onde elettromagnetiche si propagano
alla stessa velocità c in tutti i sistemi di riferimento
inerziali
– il fenomeno dipende solamente dalla velocità
relativa della sorgente e del ricevitore e non vi è
alcuna differenza tra il caso in cui a muoversi sia la
sorgente e il caso in cui a muoversi sia il ricevitore
Consideriamo una sorgente di onde
elettromagnetiche che emette una radiazione di
frequenza f0
Se la sorgente e il ricevitore si allontanano di
moto rettilineo uniforme con velocità relativa v
f è la frequenza osservata
f0 è la frequenza emessa
Se invece la sorgente e il ricevitore si avvicinano
Una conseguenza molto importante dell’effetto
Doppler della luce è il red shift
– è lo spostamento verso il rosso (diminuzione della
frequenza) delle righe spettrali della luce
proveniente dalle stelle e dalle galassie più lontane
da noi
Questa sistematica diminuzione della frequenza
– è stata interpretata come l’effetto
dell’allontanamento delle galassie più lontane
– è alla base del modello cosmologico del Big Bang
secondo cui l’universo è nato da una grande
esplosione iniziale e da allora si espande
indefinitamente
L’effetto Doppler relativistico
Gli spettri di emissione di una determinata sorgente si modificano in funzione del
moto rispetto all’osservatore. In riferimento al caso di movimento nullo (a), si ha uno
spostamento verso il rosso se la sorgente e l’osservatore si allontanano (b) e uno
spostamento verso il blu se si avvicinano (c).
La dinamica relativistica
Nell’ambito della relatività ristretta
– sono ancora valide la legge di conservazione della
quantità di moto classica e la legge fondamentale
della dinamica classica?
– sono invarianti per trasformazioni di Lorentz?
La risposta a entrambe le domande è negativa
– è necessaria una revisione dei concetti di massa,
forza, quantità di moto ed energia
La massa relativistica di un corpo non è un invariante
ma è funzione della sua velocità
dove m0 è la massa del corpo a riposo, ovvero la massa
misurata in un sistema in cui il corpo è in quiete
Per velocità v << c la formula relativistica coincide
con la previsione classica
Quando la velocità di un corpo si avvicina a quella
della luce, la sua massa tende a infinito
Andamento approssimativo del rapporto m/m0 in funzione del
rapporto v/c , dove m0 è la massa del corpo a riposo, m la massa alla
velocità v e c la velocità della luce. La linea rossa orizzontale
corrisponde al valore calcolato in base alla meccanica newtoniana per
la quale la massa è un invariante.
Mentre la massa a riposo di un corpo è invariante,
non lo è più la sua inerzia
– dipende dalla velocità del corpo e quindi dal sistema
di riferimento in cui è misurata
Dall’equazione della massa relativistica discende
una nuova definizione relativistica della quantità
di moto di un corpo
La quantità di moto relativistica si conserva
Ricaviamo inoltre una nuova legge fondamentale della
dinamica che sostituisce quella newtoniana
Nuova legge fondamentale
della dinamica relativistica
In conclusione
– né la forza né l’accelerazione sono invarianti
relativistici
– è necessaria una forza crescente per accelerare un
corpo
• questa forza tende a infinito quando la velocità del
corpo si avvicina a quella della luce
L’energia relativistica
Energia cinetica, energia a riposo, energia totale
L’energia totale di un corpo di massa a riposo m0 e
velocità in modulo uguale a v è uguale a
L’energia a riposo del corpo è l’energia di un corpo in
un sistema di riferimento in cui è in quiete ed è uguale
a:
– tale energia è dovuta esclusivamente alla massa
del corpo
Dato un corpo di massa a riposo uguale a m0 e
velocità in modulo uguale a v, l’energia cinetica
relativistica è uguale alla differenza tra l’energia
totale e l’energia a riposo del corpo
Nella nuova visione relativistica l’energia totale
risulta
L’energia relativistica
Il processo di annichilazione elettrone-positrone è una reazione che avviene
quando un elettrone incontra un positrone, cioè una particella identica
all’elettrone ma con carica positiva: il processo di collisione genera la
produzione di due fotoni, emessi in direzioni opposte. Il processo inverso
prende nome di produzione di coppia
L’energia relativistica
Legge di conservazione della massa-energia
«La massa è energia e l’energia possiede massa.
Le due leggi della conservazione della massa e
dell’energia vengono fuse dalla teoria della
relatività in una sola: la legge di conservazione
della massa-energia»
In un sistema isolato non si conserva in generale
né l’energia cinetica né la massa a riposo
– la grandezza che si conserva è l’energia
totale
E = mc2
Una centrale nucleare e il fungo atomico prodotto dalla bomba sganciata su
Nagasaki, al termine della Seconda guerra mondiale.
In entrambi i casi l’energia nucleare proviene direttamente dalla massa delle
particelle coinvolte nelle reazioni: la massa dei prodotti finali è minore della massa
del materiale fissile che dà origine alla reazione. Il “difetto di massa”, ovvero la
differenza tra la massa dei prodotti e la massa del materiale iniziale, si trasforma in
energia secondo la relazione E = mc2
L’invariante energia-quantità di moto
Per un corpo di massa a riposo m0 si definisce una nuova quantità
invariante
m02c4 = E2 - q2c2
Invariante energia-quantità di moto
Poiché un’onda elettromagnetica trasporta energia, possiamo
associare a un’onda di energia E che viaggia alla velocità c anche una
quantità di moto q data dalla relazione
quantità di moto
della radiazione
É quindi possibile dare un significato all’energia e alla quantità di
moto del fotone, una particella con massa a riposo nulla
Si apre la strada all’interpretazione corpuscolare della radiazione
elettromagnetica