Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione Università di Milano, 26013 Crema e-mail: [email protected] http://www.dti.unimi.it/˜liberali Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 1 Programma 1. Grandezze elettriche microscopiche. (a) Definizione delle grandezze elettriche microscopiche. (b) Relazioni tra grandezze macroscopiche e grandezze microscopiche. Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 2 1 Richiami di analisi vettoriale (1/4) Operatore vettoriale “nabla”: ∇= ∂ ∂ ∂ ~ux + ~uy + ~uz ∂x ∂y ∂z dove ~ux , ~uy e ~uz sono i tre vettori unitari (versori) di una terna cartesiana destrorsa (cioè diretti come pollice, indice e medio della mano destra). Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 3 Richiami di analisi vettoriale (2/4) L’operatore nabla ∇= ∂ ∂ ∂ ~ux + ~uy + ~uz ∂x ∂y ∂z se è applicato ad una grandezza scalare, produce un vettore le cui componenti sono le derivate parziali lungo gli assi (il gradiente); può essere applicato in due modi ad una grandezza vettoriale: in modo analogo al prodotto scalare, dando come risultato uno scalare (la divergenza); in modo analogo al prodotto vettoriale, dando come risultato un vettore (il rotore). Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 4 2 Richiami di analisi vettoriale (3/4) Gradiente di un campo scalare V : ∂V ∂V ∂V ~ ~ux + ~uy + ~uz F = ∇V = ∂x ∂y ∂z Divergenza di un campo vettoriale ~A: ∂ Ax ∂ Ay ∂ Az + + U = ∇ · ~A = ∂x ∂y ∂z Rotore di un campo vettoriale ~A: ∂ A ∂ A ∂ A ∂ A ∂ A ∂ A y y z x z x ~B = ∇× ~A = ~ux + ~uy + ~uz − − − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y dove Ax , Ay e Az sono le componenti di ~A lungo x, y e z. Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 5 Richiami di analisi vettoriale (4/4) L’operatore laplaciano ∂2 ∂2 ∂2 ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z 2 applicato ad una grandezza scalare, produce uno scalare le cui componenti sono le derivate parziali seconde lungo gli assi. Laplaciano di un campo scalare V : ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V + 2 + 2 U =∇ V = ∂ x2 ∂y ∂z 2 Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 6 3 Forza di Coulomb ~F1 = 1 q1 q2 ~uR12 4πε R212 dove ~uR12 è il vettore unitario (versore) diretto da q2 a q1 . q2 uR12 F1 F2 + + q 1 Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 7 Campo elettrico Campo elettrico dovuto ad una carica Q: 1 Q ~uR E~ = 4πε R2 Il campo elettrico può essere considerato come il rapporto tra la forza che agisce su una carica q0 e la carica q0 medesima: ~ F E~ = (1) q0 Il campo elettrico E~ si misura in volt al metro (V/m): 1 V/m = 1 N/C. Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 8 4 Differenza di potenziale Il campo elettrico E~ è l’opposto del gradiente del potenziale V: ∂ V ∂ V ∂ V ~ux + ~uy + ~uz E~ = −∇V = − ∂x ∂y ∂z Nel caso di campo elettrico uniforme (ad esempio, in uno strato isolante di spessore d posto tra due conduttori), l’espressione si riduce a: E =− ∆V d Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 9 Esempio Calcolare il campo elettrico nell’ossido di gate di un transistore NMOS, sapendo che lo spessore dell’ossido è tox = 15 nm e la tensione applicata è VGS = 3 V. G D S E n n p Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 10 5 Mobilità (1/3) Una carica q0 in un campo elettrico è soggetta alla forza di Coulomb. Se la carica si può muovere, essa subisce una accelerazione ~a = ~ F/m. Supponendo che la carica sia inizialmente ferma, all’istante t la velocità ~v(t) è: ~v(t) = Z t 0 ~a dt = Z t~ F m 0 dt = Z t ~ q0 E 0 m dt (2) Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 11 Mobilità (2/3) In un solido, le cariche mobili (portatori) collidono con gli atomi del cristallo, perdendo energia (e quindi anche velocità). v vmedia t Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 12 6 Mobilità (3/3) Se tc è il tempo medio tra due collisioni successive, la velocità media dei portatori è: ~vmedia = dove µ = m2 /V·s. q0 t c 2m q0 E~ tc = µ E~ 2m è la mobilità dei portatori, che si misura in Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 13 Velocità di deriva e di agitazione termica In condizioni normali, la velocità media dei portatori dovuta al campo elettrico (detta anche velocità di deriva) ~vmedia = µ E~ è MOLTO MINORE della velocità di agitazione termica (dovuta alla temperatura), la quale è pari a circa 100 km/s a temperatura ambiente (T = 300 K). Tuttavia l’agitazione termica produce un moto disordinato a media nulla, mentre il campo elettrico provoca una deriva nella direzione del campo stesso. Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 14 7 Densità di corrente Se la densità dei portatori (cioè il numero di particelle mobili per unità di volume) è n e ciascun portatore possiede una carica q0 , applicando un campo elettrico E~ si produce una densità di corrente: J~ = nq0~vmedia = nq0 µ E~ E v media q0 J La densità di corrente J~ si misura in ampere al metro quadrato (A/m2 ). Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 15 Conducibilità Il prodotto nq0 µ dipende solo dal materiale; pertanto si può definire la conducibilità σ , che è una caratteristica del materiale: σ = nq0 µ e riscrivere la densità di corrente come: J~ = σ E~ che rappresenta la “forma microscopica” della legge di Ohm. La conducibilità si misura in siemens al metro (S/m). Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 16 8 Conducibilità di alcuni materiali Mobilità degli elettroni e conducibilità di alcuni metalli (rame e alluminio) e semiconduttori (silicio e germanio) a temperatura ambiente T = 300 K. Elemento Simbolo Mobilità Conducibilità 2 µn in m /V·s σ in S/m rame Cu 0.0032 5.9 · 107 alluminio Al 0.0012 3.75 · 107 silicio Si 0.15 4.34 · 10−4 0.39 2.12 germanio Ge Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 17 Resistività La resistività ρ di un materiale è l’inverso della sua conducibilità: 1 ρ= σ Quindi la legge di Ohm in forma microscopica si può anche scrivere come: E~ = ρ J~ La resistività si misura in ohm metro (Ω·m). Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 18 9 Corrente elettrica La corrente elettrica (o intensità di corrente) I è il flusso della densità di corrente J~ attraverso la sezione S di un conduttore: Z Z I = J~ · d~S = J~ ·~uS dS S S dove ~uS è il vettore unitario (versore) perpendicolare alla sezione S. x J uS S Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 19 Relazione tra corrente e carica (1/2) Se J~ è costante e perpendicolare a S, allora I = JS = nq0 vS, dove v è la velocità media. Poiché la velocità è v= dx dt allora risulta dx dt La quantità Sdx = dV è il volume del cilindro infinitesimo avente base S e altezza dx; si può dunque scrivere: I = nq0 S I = nq0 dV dt Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 20 10 Relazione tra corrente e carica (2/2) dV dt Infine, osservando che nq0 dV = dQ è la carica contenuta nel volume dV , si ottiene: I = nq0 I= dQ dt Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 21 Esercizio Calcolare il campo elettrico presente all’interno di un filo di rame con sezione 1 mm2 , percorso da una corrente di intensità 1 A. Soluzione: La densità di corrente nel filo è: J= 1A I = −6 2 = 106 A/m2 S 10 m Usando le formule viste e il valore della conducibilità del rame data nella Tabella, si ottiene: J 106 A/m2 = 1.75 10−2 V/m = 17.5 mV/m E = ρJ = = σ 5.9 107 S/m A causa dell’elevata conducibilità del rame, il campo elettrico è basso e la densità di corrente è molto alta. Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 22 11