Grandezze elettriche microscopiche (parte 1)

Elettronica II – Grandezze elettriche
microscopiche (parte 1)
Valentino Liberali
Dipartimento di Tecnologie dell’Informazione
Università di Milano, 26013 Crema
e-mail: [email protected]
http://www.dti.unimi.it/˜liberali
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 1
Programma
1. Grandezze elettriche microscopiche.
(a) Definizione delle grandezze elettriche
microscopiche.
(b) Relazioni tra grandezze macroscopiche e
grandezze microscopiche.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 2
1
Richiami di analisi vettoriale (1/4)
Operatore vettoriale “nabla”:
∇=
∂
∂
∂
~ux + ~uy + ~uz
∂x
∂y
∂z
dove ~ux , ~uy e ~uz sono i tre vettori unitari (versori) di una
terna cartesiana destrorsa (cioè diretti come pollice, indice
e medio della mano destra).
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 3
Richiami di analisi vettoriale (2/4)
L’operatore nabla
∇=
∂
∂
∂
~ux + ~uy + ~uz
∂x
∂y
∂z
se è applicato ad una grandezza scalare, produce un
vettore le cui componenti sono le derivate parziali
lungo gli assi (il gradiente);
può essere applicato in due modi ad una grandezza
vettoriale:
in modo analogo al prodotto scalare, dando come
risultato uno scalare (la divergenza);
in modo analogo al prodotto vettoriale, dando
come risultato un vettore (il rotore).
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2
Richiami di analisi vettoriale (3/4)
Gradiente di un campo scalare V :
∂V
∂V
∂V
~
~ux +
~uy +
~uz
F = ∇V =
∂x
∂y
∂z
Divergenza di un campo vettoriale ~A:
∂ Ax ∂ Ay ∂ Az
+
+
U = ∇ · ~A =
∂x
∂y
∂z
Rotore di un campo vettoriale ~A:
∂
A
∂
A
∂
A
∂
A
∂
A
∂
A
y
y
z
x
z
x
~B = ∇× ~A =
~ux +
~uy +
~uz
−
−
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
dove Ax , Ay e Az sono le componenti di ~A lungo x, y e z.
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Richiami di analisi vettoriale (4/4)
L’operatore laplaciano
∂2
∂2
∂2
∇ = 2+ 2+ 2
∂x
∂y
∂z
2
applicato ad una grandezza scalare, produce uno scalare
le cui componenti sono le derivate parziali seconde lungo
gli assi.
Laplaciano di un campo scalare V :
∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V
+ 2 + 2
U =∇ V =
∂ x2
∂y
∂z
2
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3
Forza di Coulomb
~F1 = 1 q1 q2 ~uR12
4πε R212
dove ~uR12 è il vettore unitario (versore) diretto da q2 a q1 .
q2
uR12
F1
F2
+
+ q
1
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Campo elettrico
Campo elettrico dovuto ad una carica Q:
1 Q
~uR
E~ =
4πε R2
Il campo elettrico può essere considerato come il rapporto
tra la forza che agisce su una carica q0 e la carica q0
medesima:
~
F
E~ =
(1)
q0
Il campo elettrico E~ si misura in volt al metro (V/m): 1 V/m =
1 N/C.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 8
4
Differenza di potenziale
Il campo elettrico E~ è l’opposto del gradiente del potenziale
V:
∂
V
∂
V
∂
V
~ux +
~uy +
~uz
E~ = −∇V = −
∂x
∂y
∂z
Nel caso di campo elettrico uniforme (ad esempio, in uno
strato isolante di spessore d posto tra due conduttori),
l’espressione si riduce a:
E =−
∆V
d
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 9
Esempio
Calcolare il campo elettrico nell’ossido di gate di un
transistore NMOS, sapendo che lo spessore dell’ossido è
tox = 15 nm e la tensione applicata è VGS = 3 V.
G
D
S
E
n
n
p
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Mobilità (1/3)
Una carica q0 in un campo elettrico è soggetta alla forza di
Coulomb. Se la carica si può muovere, essa subisce una
accelerazione ~a = ~
F/m. Supponendo che la carica sia
inizialmente ferma, all’istante t la velocità ~v(t) è:
~v(t) =
Z t
0
~a dt =
Z t~
F
m
0
dt =
Z t ~
q0 E
0
m
dt
(2)
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 11
Mobilità (2/3)
In un solido, le cariche mobili (portatori) collidono con gli
atomi del cristallo, perdendo energia (e quindi anche
velocità).
v
vmedia
t
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Mobilità (3/3)
Se tc è il tempo medio tra due collisioni successive, la
velocità media dei portatori è:
~vmedia =
dove µ =
m2 /V·s.
q0 t c
2m
q0 E~
tc = µ E~
2m
è la mobilità dei portatori, che si misura in
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 13
Velocità di deriva e di agitazione termica
In condizioni normali, la velocità media dei portatori dovuta
al campo elettrico (detta anche velocità di deriva)
~vmedia = µ E~ è MOLTO MINORE della velocità di agitazione
termica (dovuta alla temperatura), la quale è pari a circa
100 km/s a temperatura ambiente (T = 300 K).
Tuttavia l’agitazione termica produce un moto disordinato a
media nulla, mentre il campo elettrico provoca una deriva
nella direzione del campo stesso.
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 14
7
Densità di corrente
Se la densità dei portatori (cioè il numero di particelle mobili
per unità di volume) è n e ciascun portatore possiede una
carica q0 , applicando un campo elettrico E~ si produce una
densità di corrente:
J~ = nq0~vmedia = nq0 µ E~
E
v media
q0
J
La densità di corrente J~ si misura in ampere al metro
quadrato (A/m2 ).
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 15
Conducibilità
Il prodotto nq0 µ dipende solo dal materiale; pertanto si può
definire la conducibilità σ , che è una caratteristica del
materiale:
σ = nq0 µ
e riscrivere la densità di corrente come:
J~ = σ E~
che rappresenta la “forma microscopica” della legge di
Ohm.
La conducibilità si misura in siemens al metro (S/m).
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 16
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Conducibilità di alcuni materiali
Mobilità degli elettroni e conducibilità di alcuni metalli (rame
e alluminio) e semiconduttori (silicio e germanio) a
temperatura ambiente T = 300 K.
Elemento Simbolo Mobilità
Conducibilità
2
µn in m /V·s σ in S/m
rame
Cu
0.0032
5.9 · 107
alluminio
Al
0.0012
3.75 · 107
silicio
Si
0.15
4.34 · 10−4
0.39
2.12
germanio Ge
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Resistività
La resistività ρ di un materiale è l’inverso della sua
conducibilità:
1
ρ=
σ
Quindi la legge di Ohm in forma microscopica si può anche
scrivere come:
E~ = ρ J~
La resistività si misura in ohm metro (Ω·m).
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Corrente elettrica
La corrente elettrica (o intensità di corrente) I è il flusso
della densità di corrente J~ attraverso la sezione S di un
conduttore:
Z
Z
I = J~ · d~S = J~ ·~uS dS
S
S
dove ~uS è il vettore unitario (versore) perpendicolare alla
sezione S.
x
J
uS
S
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Relazione tra corrente e carica (1/2)
Se J~ è costante e perpendicolare a S, allora I = JS = nq0 vS,
dove v è la velocità media. Poiché la velocità è
v=
dx
dt
allora risulta
dx
dt
La quantità Sdx = dV è il volume del cilindro infinitesimo
avente base S e altezza dx; si può dunque scrivere:
I = nq0 S
I = nq0
dV
dt
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 20
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Relazione tra corrente e carica (2/2)
dV
dt
Infine, osservando che nq0 dV = dQ è la carica contenuta
nel volume dV , si ottiene:
I = nq0
I=
dQ
dt
Elettronica II – Grandezze elettriche microscopiche (parte 1) – p. 21
Esercizio
Calcolare il campo elettrico presente all’interno di un filo di
rame con sezione 1 mm2 , percorso da una corrente di
intensità 1 A.
Soluzione: La densità di corrente nel filo è:
J=
1A
I
= −6 2 = 106 A/m2
S 10 m
Usando le formule viste e il valore della conducibilità del
rame data nella Tabella, si ottiene:
J
106 A/m2
= 1.75 10−2 V/m = 17.5 mV/m
E = ρJ = =
σ
5.9 107 S/m
A causa dell’elevata conducibilità del rame, il campo
elettrico è basso e la densità di corrente è molto alta.
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