Leggi della dinamica

Leggi della dinamica
Daniel Gessuti
indice
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La prima legge della dinamica
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L’impulso di una forza e la quantità di moto di un corpo
La seconda legge della dinamica
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La terza legge della dinamica
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Esercizi
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Di seguito sono richiamate brevemente le tre leggi della dinamica, mentre
svilupperemo in dettaglio nelle prossime sezioni il significato di ciascuna
legge.
⋆ Il primo principio della dinamica (o principio d’inerzia o di Galileo),
già formulato da Leonardo da Vinci, afferma che un corpo preserva il
suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finchè non interviene
una forza all’esterno a modificarlo.
⋆ Il secondo principio della dinamica (o legge di Newton), considerato
come legge fondamentale della meccanica, esprime quantitativamente
e qualitativamente la proporzionalità tra le forze che agiscono su un
corpo e l’accelerazione a questi impressa, tramite l’equazione F = ma,
dove m è la massa inerziale del corpo.
⋆ Il terzo principio della dinamica (o principio di azione e reazione) afferma che ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.
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la prima legge della dinamica
“Un corpo, non sottoposto a forze, mantiene indefinitamente il suo stato di quiete o di moto
rettilineo ed uniforme (con velocità costante)”.
Se teniamo presente che l’inerzia dei corpi, cioè la loro attitudine a mantenere invariato il loro stato di quiete o di moto rettilineo ed uniforme è tanto maggiore quanto
maggiore è la loro massa, cioè la quantità di materia che li caratterizza, deduciamo che
questo principio è una conseguenza diretta dell’inerzia.
Sulla Terra l’effetto della forza di gravità può essere neutralizzato facendo muovere i
corpi su un piano orizzontale rigido e liscio, con caratteristiche tali da consentire di
attenuare notevolmente gli effetti delle forze di attrito, che tendono ad ostacolare il
moto.
Per verificare che un corpo in moto rettilineo, se non è soggetto a forze,continua a
muoversi in linea retta con velocità costante, potremmo fare alcune prove con alcune
biglie d’avorio, come quelle che si adoperano per giocare a bigliardo, facendole muovere su superfici orizzontali, rigide e di differente levigatezza. Cercando di imprimere
alle biglie la stessa velocità iniziale in tutte le prove, potremmo rilevare che lo spazio
percorso prima dell’arresto è tanto più grande quanto più levigata è la superficie. Per
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esempio, potremmo rilevare che la distanza di arresto, a parità di velocità iniziale, è
maggiore se si esegue l’esperienza su una lastra orizzontale di marmo, rispetto alla distanza di arresto su una superficie orizzontale rigida rivestita di stoffa, che presenta un
attrito maggiore. Si deduce, estrapolando i risultati sperimentali, che il moto rettilineo
non cesserebbe mai se si potessero eliminare completamente tutte le resistenze passive
che si oppongono al moto, cioè le forze d’attrito nel punto di contatto tra biglia e superficie e le forze aerodinamiche (resistenza dell’aria). Un’astronave è il laboratorio ideale
per la verifica del principio d’inerzia, poichè in essa il peso dei corpi è neutralizzato
dall’accelerazione centrifuga del moto orbitale. Per rendercene conto, pensiamo agli
astronauti che fanno esperimenti di meccanica in assenza di gravità, imprimendo ai
corpi che “galleggiano” nella navicella spaziale, piccole spinte che producono moti rettilinei con velocità costante fino al momento dell’impatto dei corpi con le pareti della
navicella.
Nel XVII secolo Galilei, facendo rotolare i corpi su un piano inclinato liscio, che gli
consentiva di ridurre notevolmente il valore dell’ accelerazione di gravità (9,8 m/s2 ) per
eseguire agevolmente gli esperimenti, rilevava variazioni di velocità sempre più piccole
al diminuire dell’inclinazione del piano. Ebbe cosı̀ l’intuizione geniale di prevedere,
nel caso del piano orizzontale liscio, il mantenimento indefinito dello stato di moto
rettilineo ed uniforme di un corpo, nelle condizioni ideali di eliminazione di tutte le
forze, svincolandosi definitivamente dalla fisica di Aristotele, il quale, senza ricorrere
ad alcun esperimento, sentenziò che occorre sempre una forza per mantenere il moto
rettilineo ed uniforme di un corpo.
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l’impulso di una forza e la quantit à di
moto di un corpo
L’impulso di una forza è una grandezza fisica vettoriale, caratterizzata cioè da un numero e da una direzione orientata, ed è definita, se la forza è costante,dal prodotto
I = F · t della forza per l’intervallo di tempo t durante il quale essa agisce su un corpo.
Se, per esempio, ad un corpo viene applicata una forza costante di 3 kg-peso in un intervallo di tempo di 10 secondi, l’impulso della forza è pari a 30 kg-peso per secondo.
L’impulso della forza è in sostanza un vettore parallelo e concorde con la forza, ed
ha un valore (modulo) proporzionale al tempo durante il quale la forza agisce.
La quantità di moto di un corpo è una grandezza fisica vettoriale, parallela alla velocità, ed ha un modulo P = m · v direttamente proporzionale sia alla massa m del corpo,
che alla sua velocità v.
Se, per esempio, un autotreno da trenta tonnellate si muove alla stessa velocità di un’
auto da una tonnellata, il primo possiede una quantità di moto trenta volte maggiore
di quella dell’ auto.
Una forza applicata ad un corpo in movimento, lo accelera se è parallela e concorde
in verso con il vettore velocità, oppure se forma con esso un angolo minore di 90◦ , lo
decelera se è invece parallela e discorde in verso con il vettore velocità, oppure se forma con esso un angolo maggiore di 90◦ . Mentre nel primo caso aumentano la velocità
e la quantità di moto,in quanto il corpo viene accelerato nel verso della velocità iniziale
, nel secondo caso invece la velocità e la quantità di moto diminuiscono, in quanto il
corpo viene decelerato nel verso della velocità iniziale, finchè non si fermerà per essere
subito dopo accelerato nella direzione e nel verso della forza.
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Pertanto una o più forze applicate ad un corpo, sostituibili con la relativa risultante,
hanno come effetto una variazione della velocità e della quantità di moto del corpo.
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la seconda legge della dinamica
La seconda legge della dinamica consente di esprimere numericamente la dipendenza
dell’accelerazione dalla forza e dalla massa.
Lord Kelvin, eminente scienziato inglese dell’era vittoriana, disse una volta
“Quando potete misurare quello che state dicendo e lo esprimete in numeri, ne saprete qualcosa, ma quando non potete esprimerlo in numeri, la vostra conoscenza sarà scarsa e insoddisfacente... ”
Dalla seconda legge di Newton (o secondo principio della dinamica), l’accelerazione di un oggetto è proporzionale alla forza F che agisce su di esso e inversamente
proporzionale alla sua massa m. Esprimendo F in Newton otteniamo la formula
a=
F
m
Occorre notare che sia a che F non hanno solo una grandezza ma anche una direzione,
esse infatti sono entrambe quantità vettoriali. Utilizzando la notazione vettoriale la
seconda legge di Newton assume la forma:
−
→
F
−
→
a =
m
In questo modo si esprime la precedente affermazione “l’oggetto accelera nella direzione della forza”.
Su molti libri di testo si trova scritto
F = m·a
ma in realtà l’equazione
−
→
F
−
→
a =
m
−
→
→
è la forma più corretta, poiché F e m sono i dati di ingresso, mentre −
a è il risultato.
La seconda legge della dinamica è una legge fondamentale della natura, scoperta
da Galileo Galilei ed enunciata matematicamente da Newton dopo l’introduzione del
calcolo differenziale; essa comprende come caso particolare il principio d’ inerzia.
Se, per esempio, si applicasse ad un corpo inizialmente fermo o in moto rettilineo
uniforme, una forza costante di 10 kg p per 5 secondi, ottenendo un certo aumento della quantità di moto, si potrebbe verificare che, ripetendo l’esperimento con lo stesso
corpo e con una forza costante di 30 Kg p , si otterrebbe nello stesso intervallo di tempo
una variazione della quantità di moto tripla della precedente.
Poichè la quantità di moto di un corpo varia sia al variare della velocità, sia se
la massa del corpo aumenta o diminuisce durante il moto, la seconda legge della
dinamica, enunciata attraverso la variazione della quantità di moto
F=
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∆v
∆t
è valida anche nei casi particolari in cui un corpo acquista o cede materia durante il
moto, come accade nel caso di un missile, la cui massa al momento del lancio, quando
i serbatoi sono pieni di combustibile e di comburente (idrogeno e ossigeno liquidi), è
maggiore della massa relativa alla fase finale del volo, quando i serbatoi sono quasi
vuoti.
Nei casi più comuni, quando la massa del corpo rimane costante durante il moto, la
seconda legge della dinamica si può esprimere attraverso la variazione della velocità
nell’intervallo di tempo durante il quale il corpo subisce l’azione della forza o della
risultante delle forze.
Se teniamo presente che l’accelerazione media di un corpo in moto si definisce come il rapporto tra la variazione di velocità dello stesso e l’intervallo di tempo che si
considera, possiamo enunciare la seconda legge dell dinamica affermando che laccelerazione a acquisita da un corpo sotto l’azione di una forza F o della risultante delle
forze esterne applicate ad esso, è parallela e concorde con la forza o con la risultante
delle forze, ed ha un valore inversamente proporzionale alla massa del corpo, cioè si
dimezza se raddoppia la massa del corpo, mantenendo costante la forza, e raddoppia
se invece si dimezza la massa del corpo: a = F/m.
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la terza legge della dinamica
La terza legge delle dinamica, nota come principio di azione e reazione, fu enunciata
da Newton, ed afferma che: “Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria”.
Questo principio esprime che la forza che un corpo esercita su un secondo corpo
è sempre uguale e di verso opposto a quella che il secondo corpo esercita sul primo.
Numerosi sono gli esempi di applicazione di questo principio:
1. Quando camminiamo, la forza (azione) che i nostri piedi esercitano all’indietro
sul suolo, è sempre uguale e contraria a quella (reazione) che il suolo esercita sui
nostri piedi, e che ci consente di muoverci in avanti;
2. L’elica di una nave o di un elicottero esercita una forza (azione), rispettivamente sull’acqua o sull’aria, uguale e contraria alla forza (reazione) che l’acqua o
l’aria esercitano rispettivamente sulla nave, facendola avanzare, o sull’elicottero,
equilibrandone il peso;
3. Un missile esercita una forza (azione) sui gas infuocati che escono dagli ugelli dei
suoi motori a reazione, uguale e contraria a quella (reazione) che i gas infuocati
esercitano sul missile, facendolo avanzare;
4. I pneumatici di un veicolo esercitano, nei punti di contatto col suolo, delle forze
(di azione) dirette all’indietro, uguali e contrarie alle forze di attrito (di reazione) che il suolo esercita sui pneumatici, impedendone lo slittamento e facendo
avanzare il veicolo;
5. Un’arma da fuoco, lanciando il proiettile, esercita su di esso una forza (azione),
uguale e contraria (reazione) a quella che il proiettile esercita sull’arma da fuoco
provocandone il rinculo.
Esempi: Quando si verifica un urto tra due corpi, uno dei due corpi esercita sull’altro
una forza, di azione, uguale e contraria a quella di reazione che esso subisce da parte
dell’altro corpo.
Le forze di azione e reazione agiscono sempre nella stessa direzione ed hanno versi
opposti.
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Un altro esempio di forze di azione e reazione ci viene fornito dalle forze di attrazione gravitazionale tra due masse, per esempio tra il Sole ed un pianeta: il Sole attrae
un pianeta con una forza gravitazionale uguale e contraria a quella con cui esso viene
attratto dal pianeta.
E’ evidente che, essendo la massa del Sole molto maggiore di quella del pianeta,
l’accelerazione subita dal Sole è molto più piccola di quella subita dal pianeta. Una
situazione analoga si verifica nel caso delle forze attrattive o repulsive tra cariche elettriche. Un altro esempio ci viene fornito dalla forza centripeta, forza di azione, che fa
muovere di moto circolare uniforme un corpo legato ad una mano con un filo, e dalla
forza centrifuga, forza di reazione, che la mano subisce da parte del corpo che ruota.
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esercizi
Esempio 1. Una cassa di peso 300 N viene spinta con una forza di intensità F su un piano
orizzontale privo di attrito e subisce un’accelerazione pari a 3 m/s2 . Si calcoli l’intensità della
forza F.
[91,8 N]
Esempio 2. Un corpo di massa 10 kg viene sollevato verso l’alto applicando una forza costante
e pari a 300 N. Si calcoli l’accelerazione del corpo.
[20,19 m/s2 ]
Esempio 3. Un dinamometro posto in un ascensore fermo misura il peso di un oggetto. Quando
l’ascensore parte l’allungamento prodotto sulla molla del dinamometro è metà di quello prodotto
da fermo. Come si sta muovendo l’ascensore?
Supponendo che l’ascensore si fermi esattamente con la stessa dinamica (in senso opposto) rispetto a quella con cui è partito, quale sarà il peso segnato dal dinamometro nel momento della
frenata?
[Verso il basso; 3/2Fp ]
Esempio 4. Un camion di quattro tonnellate e una automobile di una tonnellata sono legati
da una fune. I due mezzi sono trainati da una forza di 1000 N. Come si muove il “trenino”
costituito da camion e automobile?
[0,2 m/s2 ]
Esempio 5. Due persone stanno spingendo un tavolo di massa 50 kg una verso Est con una
forza di 4 N, l’altra verso Nord con una forza di 3 N. Come si muoverà il tavolo?
[0,1 m/s2 ]
Esempio 6. Una navicella spaziale avente una massa di 500 kg scende sulla Luna con velocità
costante pari a 2,0 m/s. A 4.0 m dal suolo lunare si spengono i razzi e la navicella alluna a 4,1
m/s con moto uniformemente accelerato. Qual’è la forza di propulsione dei razzi?
[800 N]
Esempio 7. Un pattinatore, m, che pesa 70 kg, spinge una pattinatrice, f , che pesa 50 kg. La
pattinatrice subisce un’accelerazione pari a 0,5 m/s2 . Cosa succede al pattinatore?
[0,36 m/s2 ]
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