Esercizio 1
Quale e’ il potere risolutivo λ/Δλ minimo del monocromatore necessario per risolvere la
transizione dallo stato n=1 allo stato n=2 dell’atomo di H da quella analoga per il deuterio
D, in assenza di correzioni relativistiche? Si suppongano le due righe infinitamente strette.
Come dipende questo potere risolutivo dalla transizione presa in considerazione?
Esericizio 2
Disegnare lo schema (di Grotrian) di tutte le transizioni possibili per l’atomo di H, nel caso
di transizioni dai livelli con n=3 a quelli con n=2, tenendo conto della struttura fine. Indicare
la degenerazione.
Esercizio 3
Una ampolla contenente H atomico e’ immersa in un campo magnetico costante B=Bk con
B=500 gauss. Si invia una radiazione non polarizzata che viaggia in direzione parallela a k,
di frequenza compresa fra 50.000 e 90.000 cm-1. La radiazione riemessa in direzione i e
polarizzata lungo k viene osservata con uno spettroscopio di potere risolutivo 106.Si chiede:
i)
Fra quali stati si ha assorbimento?
ii)
Quali righe si osservano in emissione?
Esercizio 4
Discutere le variazioni nell’energia di ionizzazione, nello spettro di emissione e
assorbimento, e la applicabilita’ delle correzioni relativistiche nella forma da noi introdotta
per i sistemi idrogenoidi.
Discutere in particolare il caso del positronio, formato da 1 elettrone e 1 positrone (particella
di massa pari all’elettrone ma carica positiva +e), osservato per la prima volta nel 1951,
degli atomi muonici, ove un muone negativo µ- sostituisce un elettrone, e degli atomi di
Rydberg, costituiti da atomi in cui un elettrone, tipicamente il piu’ esterno, e’ promosso su
di orbitale con numero quantico n estremamente elevato.
Positronio
Il positronio costituisce un tipico sistema idrogenoide ove pero’ la massa (supposta infinita) del
nucleo dell’atomo di idrogeno e’ sostituita dalla massa del positrone (uguale a quella dell’elettrone).
Pertanto bastera’ ricorrere alla formula corretta delle energie (raggi di Bohr, velocita’, etc) in cui la
massa ridotta sostituisce la massa dell’elettrone.
Le correzioni relativistiche variano in valore assoluto, essendo cambiata la massa ridotta, ma non in
percentuale, essendo tale variazione indipendente dalla massa ridotta, in quanto data da
.
Il positronio decade poi dallo stato 1S0 (elettrone +positrone) in uno stato con due fotoni e dallo
stato 3S1 in uno stato a tre fotoni, per conservare la parita’, con una vita media di 125x10-12 s (la
notazione e’ quella valida per atomi a piu’ elettroni, o piu’ particelle con spin ½, come in questo
caso).
Muonio
Se sostituiamo l’elettrone con un muone negativo (particella di massa mµ = 207 me che decade in un
elettrone e due neutrini con una vita media di 2.2 µs) abbiamo un sistema muonico.
In tale caso la massa ridotta del sistema protone-muone e’ pari a
Pertanto crescono di molto le energie di ionizzazione. Per Z molto grandi e orbite del muone interne
o sullo stato fondamentale, talmente piccole da essere confrontabili con il raggio del nucleo, la
approssimazione di un nucleo puntiforme e di una interazione colombiana potrebbe dover essere
abbandonata in quanto una considerevole parte dell’orbita del muone sarebbe interna al nucleo
stesso. Pertanto cambiano anche le energie di ionizzazione e quelle dei livelli discreti del muone.
E’ ragionevole assumere che il raggio del nucleo vada con il peso atomico A come
In tal caso, la condizione di nucleo non piu’ puntiforme si raggiunge quando
1)
Esercizio 5
I risultati di una esperienza di assorbimento ottico su atomi di elio ionizzato una volta sono
indicativamente riportati nella figura seguente in funzione del campo magnetico B
3+16×10-5
E
(Ry)
ΔE=0.25 cm-1
3+14×10-5
Bm
BM
B
1) Determinare, in cm-1 e con 9 cifre significative, le energie a campo B nullo dei livelli che danno
origine alle transizioni osservate. (Sol.
e
)
2) Per quale direzione del campo magnetico rispetto alla direzione di propagazione del fotone sono
state fatte le misure? La luce era polarizzata? (Sol. Direzione del fotone perpendicolare al
campo magnetico e luce non polarizzata)
3) Stimare il valore del campo magnetico minimo Bm al quale si possono ancora risolvere quattro
righe, sapendo che il potere risolutivo del monocromatore e’ pari a 107. (Sol. 1057,33 gauss)
4) Stimare il valore del campo BM per il quale si misura una differenza di 0.25 cm-1 fra le due righe
di energia piu’ bassa. (Sol. 8031 gauss)
1) L’energia delle righe e’ poco piu’ di 3 Ry, pertanto si tratta delle transizioni fra lo stato
fondamentale n=1 (1s) e quello eccitato n=2 dell’atomo di elio ionizzato una volta. Gli stati eccitati
coinvolti, date le regole di selezione per transizioni ottiche, possono essere sia gli stati 2p1/2 che
2p3/2. Vediamo quali transizioni cadono nell’intervallo di energia dato.
A campo magnetico nullo l’energia dei livelli, tenendo conto degli effetti relativistici (tutti, in
quanto per atomi idrogenoidi i contributi dei tre effetti sono confrontabili), e’ data da
e pertanto
A causa della precisione di 9 cifre richiesta, e’ opportuno utilizzare il Ry corretto per la massa
ridotta nel caso dell’elio, per cui Ry(M)=109.707,123 cm-1).
Le transizioni possibili fra livelli 1s e 2p sono solo le
Pertanto, solo la transizione
puo’ essere responsabile delle linee di assorbimento
riportate nell’esperimento in discussione, dal momento che la variazione di energia dovuta al campo
magnetico (≈ 0.25 cm-1) non modifica la situazione.
L’energia dei livelli coinvolti, a campo nullo e tenendo conto degli effetti relativistici, e’
2) Dato lo splitting massimo osservato per la transizione presa in considerazione (0.25 cm-1), dal
confronto con gli shift relativistici dei livelli in gioco (23,4 e 7,3 cm-1) si osserva che siamo in
presenza di un effetto Zeeman anomalo: in presenza di un campo magnetico le energie dei livelli
determinate tenendo conto degli effetti relativistici vengono perturbate dal campo magnetico, con
Sara’ pertanto
mj
g
ΔE
2p1/2
1/2
- 1/2
1s1/2
1/2
2
µB
-1/2
2
-µB
2/3
1/3µB
2/3 - 1/3µB
e, tenendo conto delle regole di selezione, si osserveranno 4 linee in assorbimento solo se la
direzione di propagazione del fotone e’ perpendicolare alla direzione del campo magnetico (se la
direzione di propagazione fosse parallela a quella di applicazione del campo, si osserverebbero solo
le 2 linee σ, quella a energia maggiore, Δmj=1, e quella a energia minore, Δmj=-1) e la luce non e’
polarizzata (se fosse polarizzata linearmente nella direzione perpendicolare al campo si
osserverebbero solo le due linee σ, se lo fosse nella direzione del campo si osserverebbero solo le
due linee π) .
3) L’energia delle 4 transizioni in funzione del campo magnetico e’ data
per cui la separazione minima fra due linee e’ 2/3µB
Dalla definizione di potere risolutivo R=E/ΔE si ricava
4) Il campo BM sara’ invece determinato dalla relazione
Esercizio 6
Un atomo di litio, di numero atomico Z = 3, si trova nello stato eccitato descritto dalla configurazione elettronica 1s2 9f.
Si risponda alle seguenti domande motivando esaurientemente le risposte:
a. Si fornisca una approssimazione ragionevole e giustificata dell'energia minima necessaria per
estrarre l'elettrone piu’ esterno. (Sol. 1355 cm-1)
b. In seguito ad un singolo processo di emissione spontanea, quale sarebbe lo stato finale piu’
probabile? (Sol. 9d)
a. L'elettrone esterno nello stato 9f, ossia con numero quantico principale n = 9 e numero
quantico orbitale l= 3, vede il nucleo quasi completamente schermato dai due elettroni
1s e quindi una carica efficace nucleare sferica pari a Z = 1. Pertanto, una buona stima
dell'energia minima necessaria ad estrarlo dall'atomo e’ data dall'analoga espressione calcolata
nel semplice caso di un atomo di idrogeno:
b. Le transizioni piu’ probabili sono quelle che ubbidiscono alle regole di selezione di dipolo. Da
cui, lo stato finale dovra’ essere uno stato d, con l = 2 oppure uno stato g con l = 4. Inoltre,
lo stato finale piu’ probabile e’ quello cui corrisponde una funzione d'onda con parte radiale
che piu’ si sovrappone con quella dello stato 9f in modo da massimizzare la parte radiale
dell'elemento di matrice di dipolo
. Questo stato e’ da cercare tra quelli piu’ vicini in
energia allo stato iniziale. Quindi la transizione cercata si avra’ verso lo stato 9d, che per via
della presenza di piu’ di un elettrone intorno al nucleo non e’ degenere allo stato 9f seppur di
un'inezia:
Lo stato 9g ha energia lievemente superiore al 9f (cfr. gli stati 3s, 3p e 3d del sodio che
sono disposti ad energie via via crescenti rispetto al numero quantico orbitale) e quindi non
e’ coinvolto nella transizione.
Esercizio 8
Si abbia una ampolla contenente vapori di Ca+ a 300 K in un campo magnetico B=5000 Gauss.
L’ampolla viene investita da luce non polarizzata, diretta perpendicolarmente al campo B e con
spettro di intensita’ costante fra 15.000 e 26.000 cm-1, pari a zero al di fuori di questo intervallo.
La luce riemessa dall’ampolla viene osservata con due spettroscopi A e B, disposti il primo lungo la
direzione della luce incidente, il secondo perpendicolarmente a essa e lungo la direzione del campo
B.
-Indicare tipo di spettro, energia ed eventuale polarizzazione delle righe osservate dai due
spettroscopi nella ipotesi che abbiano potere risolutivo infinito. (spettroscopio A, in assorbimento, 6
righe con polarizzazione lineare perpendicolare a B e 4 con polarizzazione lineare parallela a B;
inoltre, in emissione e a energia diversa, 22 righe con polarizzazione lineare perpendicolare a B
piu’ 12 righe con polarizzazione lineare parallela a B; spettroscopio B, in emissione, 28 righe con
polarizzazione circolare, 14 destra e 14 sinistra)
Dati: EII ionizz = 95.000 cm-1. Difetti quantici: mp=1.5; md=1.5=0.7, indipendenti da n e valutati
rispetto al baricentro del doppietto dovuto allo s-o.
Splitting s-o: DEs-o(4p) = 223 cm-1; DEs-o(3d) = 120 cm-1
Esercizio 9
Una ampolla contiene atomi di Be, eccitati in parte nello stato 31S0, in parte nello stato 33S0 .
- Quali e quante transizioni si osservano nella diseccitazione allo stato fondamentale (2s)2 se si
considerano solo transizioni a un solo elettrone in interazione SO non nulla e si utilizza uno
spettroscopio con potere risolutivo infinito? (5 righe in assenza di campo magnetico, 3 in assenza di
interazione s-o)
- In presenza di un campo magnetico forte e costante, quali e quante delle precedenti transizioni
danno luogo a emissione di fotoni con polarizzazione del fotone // B? [8 transizioni con
polarizzazione del fotone parallela a B (+ 16 con polarizzazione perpendicolare a B)]
- Quali righe di emissione si hanno alla stessa energia di quelle che si osservano in assenza di
campo magnetico? (4 righe)
