Periodi, semiassi e gravità - Digilander

ORBITE E GRAVITA’
Il Sistema Solare: un’overview
Come voi sapete già, la Terra appartiene al Sistema Solare, un insieme
di corpi celesti orbitanti intorno alla stella Sole. A parte il Sole, gli oggetti
più massivi del Sistema Solare sono i pianeti: Mercurio, Venere, Terra,
Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno, Plutone (elencati in ordine
crescente di semiasse maggiore: dal 2005 Plutone non è più considerato
un pianeta a tutti gli effetti ma piuttosto un cosiddetto “pianeta nano” a
causa delle sue ridotte dimensioni ).
Insieme ai pianeti, intorno al Sole ruotano grandi rocce di diametro fino
oltre 500km, i cosiddetti asteroidi, residui della nube primordiale dalla
quale è nato il Sistema Solare che non si sono aggregati in corpi maggiori.
Essi si trovano per lo più fra l’orbita di Marte e di Giove ma molti di loro
sono stati dispersi in altre parti del Sistema Solare dalla gravità dei pianeti
maggiori.
Dalle regioni più esterne del
comete, nuclei di ghiaccio
perturbata dalla gravità dei
penetrare all’interno del
della radiazione del Sole, il
una chioma ed una coda di
Sistema Solare orbitano le
e polveri la cui orbita,
pianeti
maggiori,
può
Sistema Solare dove, a causa
nucleo sublima producendo
gas e polveri.
Nella parte più esterna del Sistema Solare, oltre l’orbita
di Plutone, esiste un’ultima (?) fascia di asteroidi
formanti la cosiddetta Fascia di Kuiper, la cui
dimensione può superare quella di Plutone.
Tutti questi oggetti sono costretti ad orbitare intorno
al Sole a causa… della forza di gravità! Altrimenti
ognuno di essi se ne andrebbe per la sua strada
secondo una linea retta.
Prima della scoperta del telescopio avevamo scarsissime informazioni sul Sistema Solare: tutto ciò che poteva
essere osservato era la presenza di “stelle erranti” nel cielo, cioè il riflesso dei pianeti più vicini alla Terra
(Mercurio, Venere, Marte, Giove, Saturno) che appariva muoversi sullo sfondo delle stelle fisse. La struttura
del Sistema Solare fu dibattuta fin dall’antichità e fin dagli inizi furono proposte due teorie alternative, quella
eliocentrica, che vedeva nel Sole il centro dell’Universo, e quella geocentrica che al centro del mondo poneva
la Terra. Una breve storia dello sviluppo di queste due teorie è data in altri appunti1. Dopo il perfezionamento
del telescopio da parte di Galileo ed il suo utilizzo per le osservazioni del cielo (1609), l’astronomia ha fatto
passi da giganti. Adesso il Sistema Solare è solcato da sonde interplanetarie che lo fotografano e lo analizzano
con un dettaglio che fino a soli pochi decenni fa era del tutto impensabile.
Negli appunti ”TEORIA GEOCENTRICA ED ELIOCENTRICA - breve storia”
1
Le tre leggi di Keplero
La prima grande scoperta riguardante il Sistema Solare avvenne agli inizi del 1600. Lo studio dei pianeti, in
particolare l’osservazioni della posizione di Marte (l’unico pianeta ad avere un’eccentricità così alta da poter
distinguere bene che la sua orbita non era circolare ma ellittica), portarono Keplero a scoprire tre importanti
regolarità nell’orbita dei pianeti (1608 , 1609 , 1619). Tali regolarità hanno il nome di Leggi di Keplero:
(prima legge) L'orbita descritta da un pianeta è
un'ellisse, di cui il Sole occupa uno
dei due fuochi
(seconda legge) Il segmento (raggio vettore) che
unisce il centro del Sole con il
centro del pianeta descrive aree
uguali in tempi uguali
(terza legge) I quadrati dei tempi che i pianeti
impiegano a percorrere le loro orbite
sono proporzionali ai cubi dei loro
semiassi maggiori
(A13 : T12 = A23 : T22)
SFRUTTIAMO LA TERZA LEGGE DI KEPLERO
La terza legge di Keplero è una delle più importanti dell’astronomia: essa infatti permette di determinare
la massa relativa ed assoluta di un corpo celeste; inoltre permette di ottenere il semiasse maggiore di
un pianeta conoscendone il periodo e viceversa. Il calcolo della massa relativa ed assoluta è trattato in altri
appunti2: qui discuteremo il calcolo del periodo e del semiasse maggiore.
Supponiamo di avere due corpi, M1 e M2, entrambi orbitanti intorno ad un corpo attrattore P: in pratica, sia M1
che M2 sono due satelliti di P. Le loro orbite sono delle ellissi di cui P occupa uno dei fuochi, percorse in modo
che il raggio vettore descriva aree uguali in tempi uguali: ma quello che più ci interessa adesso è che, per
qualunque corpo orbiti intorno a P, il quadrato del suo periodo di rivoluzione (T) è sempre proporzionale al
cubo del semiasse maggiore (A):
A3  T 2
(1a)
L’eq. (1a) si trasforma in un’uguaglianza introducendo la costante di proporzionalità KP:
A3 = KPT2
(1b)
KP è la costante di proporzionalità, che risulta essere a sua volta direttamente proporzionale alla massa del
corpo attrattore (MP) : KP  MP  KP = G/42MP , come già visto in altri appunti3. Nota che KP dipende
solo dalla massa del corpo attrattore e non dal corpo che gli orbita intorno: ciò significa che tutti i satelliti
ruotanti intorno a P possiedono lo stesso valore di KP.
Alternativamente, posso scrivere l’eq. (1a) sotto forma di proporzione:
A13 : T12 = A23 : T22
(1c)
con A1 , A2 e T1 , T2 rispettivamente semiasse maggiore e periodo orbitale dei satelliti M1 e M2.
2
3
Negli appunti “GRAVITA’ E MASSA DEI CORPI CELESTI“
Negli appunti “La forza di gravitazione universale”.
Problema 1
La Luna orbita intorno alla Terra con semiasse maggiore ALUNA= 384.400 km
e periodo TLUNA=27,32 giorni. Un satellite artificiale orbita intorno alla Terra
con periodo TS = 3giorni: qual è il suo semiasse maggiore AS?
Soluz: Esistono due modi per risolvere il problema: trovare la costante KP
della Terra (eq. 1b) o sfruttare direttamente la proporzionalità
semiasse-periodo (eq. 1c).
Troviamo la costante K della Terra. Tutti i corpi orbitanti intorno alla Terra
possiedono lo stesso valore della costante KP perché esso dipende
soltanto dalla massa del corpo attrattore, in questo caso la Terra. Perciò, la prima cosa da fare è il
calcolo della costante KP. Poiché in questo caso P=Terra, indicheremo la costante KP come KTERRA.
Per il calcolo di KTERRA uso i valori A e T della Luna:
KTERRA = ALUNA3/TLUNA2 = (384.000km)3/(27,32g)2 = 76.100.000.000.000 km3/giorni2
Ora uso il valore di KTERRA per calcolare AS:
AS3 = KTERRATS2  AS = 88.150 km
Sfruttiamo la proporzionalità. Per la III Legge di Keplero ho:
ALUNA3 : TLUNA2 = AS3 : TS2
Sostituisco i valori ed ottengo: (384.000km)3 : (27,32g)2 = AS3 : (3g)2
Svolgo i calcoli ed ottengo nuovamente: AS=88.056km !
sono dovute agli arrotondamenti.
Le differenze con il valore precedente
Evitiamo i numeroni…
“ALUNA = 384.000 km …. TLUNA = 27,32g …. Poi dobbiamo elevare al cubo ed al quadrato… i numeri sono troppo
grandi! “ “Così è. Arrangiatevi.” “Profff! Ma così ci confondiamo! Ci insegni un trucco per risolvere i problemi
con numeri più piccoli!” “No.”
“Sìììì!” “Va bene, ve lo insegno. Però non lo dite a nessuno.”
Il trucco per semplificare i calcoli è quello che abbiamo adottato in classe, cioè cambiare unità di misura.
Per la misura del semiasse maggiore possiamo usare il migliaio di chilometri: in questo modo ALUNA =
384,4 migliaia di chilometri. Svolgo i calcoli usando la costante KTERRA:
KTERRA = ALUNA3/TLUNA3 = 384,43/27,322 = 76.100,1 (migliaia di km)3/giorni2 ;
AS3 = KTERRATS2 = 76.100,132 = 684.900,9 
AS =
𝟑
√𝟔𝟖𝟒. 𝟗𝟎𝟎, 𝟗 =
88,1473 migliaia di chilometri = 88.147,3km. Le differenze con il valore
precedente sono dovute agli arrotondamenti.
Stessa cosa se si usano le proporzioni: ALUNA3 : TLUNA2 = AS3 : TS2  384,43 : 27,322 = AS3 : 32.
Svolgi tu i calcoli per vedere qual è il risultato!
Se Titano, satellite di Saturno, orbita intorno al pianeta con semiasse maggiore AT =
1.221.870 km con un periodo orbitale TT =15,945 giorni, quanto tempo impiega a ruotare intorno a Saturno il
satellite Giapeto, il cui semiasse maggiore è AG=3.560.851 km?
Problema 2
Uso l’eq. (1b):
KSATURNO = AT3/TT2 = 1.221.8703/15,9452 = 7.175.066.962.773.917 km3/giorni2
AG3 = KSATURNOTG2 
3.560.8513 = 7.175.066.962.773.917TG2  TG = 79,3 giorni.
Svolgo lo stesso problema di cui sopra usando però la tecnica di scrivere il
semiasse dell’orbita in milioni di chilometri. “Prof! Ma prima abbiamo
usato il migliaio di chilometri! Adesso il milione di chilometri. O questa che
banda è?” “Mimmo, stai attento: non c’è nessun particolare motivo per
scegliere una unità di misura al posto di un’altra: posso usare il km, il
migliaio di km, il milione di chilometri, il centimetro o il piede inglese! Di
volta in volta conviene scegliere quella unità che appare più comoda. In
questo caso, se uso il milione di chilometri, i semiassi delle orbite sono scritti con numeri prossimi all’unità e
perciò faccio i conti più velocemente.” Avendo spiegato la cosa al mimmo disattento possiamo andare avanti:
AT = 1,221870 milioni di km ; TT = 15,945 giorni ; AM = 3,560851 milioni di chilometri.
Ne segue subito che: KSATURNO = AT3/TT3 = 1,2218703/15,9452 = 0,00717507 ;
Scrivo di nuovo l’eq. (1b):
3,5608513 = 0,00717597TM2  TM = 79,32 giorni.
Con le proporzioni uso invece l’eq. (1c):
AT3 : TT2 = AM3 : TM2 
 1,2218703 : 15,9452 = 3,5608513 : TM2  TM = …. Svolgi tu i conti!
PROBLEMI PER I MIMMI
Bene… adesso datevi da fare e risolvete questi problemi!
computer aspetterà….”
“Nooo! Abbiamo da giocare al computer!”
“Il
Problema 3:
Tre satelliti orbitano intorno ad un pianeta misterioso! Il periodo orbitale del primo
satellite è 3,4 giorni mentre il suo semiasse maggiore risulta 58.000km. Qual è
il periodo di rivoluzione del secondo satellite il cui semiasse maggiore è
120.000km? [R: T=10,12g]. Il terzo satellite orbita con un periodo di 2,3g: qual
è il semiasse maggiore della sua orbita? [R: A=44.695km]. Qual è la massa
di questo pianeta misterioso rispetto alla Terra?4 [R: 0,222 masse terrestri].
Problema 4:
Qual è il periodo orbitale di un satellite che orbita intorno a Nettuno la cui orbita ha semiasse maggiore
500.000km? Usa i dati orbitali di un qualsiasi satellite di Nettuno come riferimento. I sati sui satelliti di
Nettuno li puoi trovare su Internet. [R: T=9,834 giorni].
E qual è il semiasse maggiore di un satellite il cui periodo orbitale è 12,3 giorni?
[R: A=580.452 km].
Qual è la massa di Nettuno rispetto alla Terra? Fai il calcolo… e poi confrontalo
con i valori trovati su Internet!
Problema 5:
Considera il semiasse maggiore ed il periodo orbitale di Ganimede, satellite di
Giove, come dati iniziali. A questo punto considera di conoscere il semiasse
maggiore di Europa, altro satellite di Giove: calcola il suo periodo. Considera poi
di conoscere il periodo di un altro satellite di Giove, Amaltea: trova il suo
semiasse maggiore. Confronta i valori ottenuti con quelli reali.
Qual è la massa di Giove rispetto alla Terra?
4
Vedi gli appunti “GRAVITA’ E MASSA DEI CORPI CELESTI“