Calcolo integrale Regole di integrazione

Analisi matematica I
Regole di integrazione
Calcolo integrale
Regole di integrazione
Linearità dell’integrale
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione
Integrazione di funzioni razionali
2
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1
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Regole di integrazione
Proprietà
Siano
f (x) e g(x) funzioni integrabili su un
intervallo I
⇒ la funzione αf (x) + βg(x) è integrabile su I
per ogni α, β ∈ R e si ha
Z ³
´
αf (x) + βg(x) dx = α
Z
f (x) dx + β
Z
g(x) dx
4
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2
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Dimostrazione
Sia
F (x) una qualunque primitiva di f (x) e
G(x) una qualunque primitiva di g(x)
Ricordando la proprietà di linearità della derivata,
si ha
³
αF (x) + βG(x)
´0
= αF 0 (x) + βG0 (x)
= αf (x) + βg(x),
∀x ∈ I
5
Dimostrazione
⇒ la funzione αF (x) + βG(x) è una
primitiva di αf (x) + βg(x) su I ovvero,
ricordando la definizione di integrale indefinito,
vale la tesi
6
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3
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 1
Si voglia integrare il polinomio
Si ha
Z ³
´
2
5x + 4x − 3 dx = 5
=5
µ
Z
2
5x2 + 4x − 3
x dx + 4
Z
x dx − 3
dx
µ
¶
¶
1 2
1 3
x + c2 −3(x + c3 )
x + c1 +4
2
3
5 3
x + 2x2 − 3x + c
3
=
Z
7
Esempio 2
Si consideri la funzione f (x)
= cos2 x
Si noti che
cos2 x =
e che
Z
1
(1 + cos 2x)
2
D sin 2x = 2 cos 2x; dunque,
1
cos x dx =
2
2
Z
1
dx +
2
Z
cos 2x dx =
1
1
x + sin 2x + c
2
4
Analogamente, si trova
Z
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sin2 x dx =
1
1
x − sin 2x + c
2
4
8
4
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Regole di integrazione
Proprietà
Siano
f (x) e g(x) due funzioni derivabili su un
intervallo I
Se la funzione f 0 (x)g(x) è integrabile su I
⇒ lo è anche la funzione f (x)g 0 (x) e si ha
Z
f (x)g 0 (x) dx = f (x)g(x) −
Z
f 0 (x)g(x) dx
10
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5
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Dimostrazione
Sia
H(x) una qualunque primitiva della funzione
f 0 (x)g(x) su I
Ricordando la formula di derivazione di un
prodotto, abbiamo
[f (x)g(x) − H(x)]0
= (f (x)g(x))0 − H 0 (x)
= f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) − f 0 (x)g(x)
= f (x)g 0 (x)
11
Dimostrazione
Pertanto, la funzione
f (x)g(x) − H(x) è una
primitiva della funzione f (x)g 0 (x), il che è
esattamente la tesi
12
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6
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 1
Si voglia calcolare
Si ponga f (x)
Abbiamo
Z
Z
xex dx
= x e g 0 (x) = ex
f 0 (x) = 1 e g(x) = ex
Usando la formula di integrazione per parti, si ha
xex dx = xex −
Z
ex dx = xex − (ex + c)
= (x − 1)ex + c
13
Esempio 1
f (x) = ex e g 0 (x) = x cioè
1
f 0 (x) = ex e g(x) = x2 , avremmo ottenuto
2
Z
Z
1
1
x2 ex dx
xex dx = x2 ex −
2
2
Con la scelta
che non ci avrebbe permesso di calcolare
l’integrale cercato
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14
7
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 2
Z
Si voglia calcolare
Conviene porre
log x dx
f (x) = log x e g 0 (x) = 1
In tale modo si ha
f 0 (x) =
1
e g(x) = x
x
15
Esempio 2
Pertanto, si ottiene
Z
log x dx = x log x −
= x log x −
Z
Z
1
x dx
x
dx = x log x − (x + c)
= x(log x − 1) + c
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16
8
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 3
Si voglia calcolare
S=
Z
ex sin x dx
Poniamo
f (x) = ex e g 0 (x) = sin x
Abbiamo
f 0 (x) = ex e g(x) = − cos x
Pertanto
S = −ex cos x +
Z
ex cos x dx
17
Esempio 3
Integriamo nuovamente per parti con
f (x) = ex e g 0 (x) = cos x
Si ha f 0 (x)
= ex e g(x) = sin x, da cui
Z
S = −ex cos x + ex sin x − ex sin x dx
= ex (sin x − cos x) − S
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18
9
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 3
Dunque, otteniamo
2S = ex (sin x − cos x) + c
ovvero
S=
1 x
e (sin x − cos x) + c
2
19
Regole di integrazione
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10
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Proprietà
Sia
f (y) una funzione integrabile su un intervallo
J e sia F (y) una sua primitiva
Sia
ϕ(x) una funzione derivabile, definita su un
intervallo I a valori nell’intervallo J
⇒ la funzione f (ϕ(x))ϕ0 (x) è integrabile
sull’intervallo I e si ha
Z
f (ϕ(x))ϕ0 (x) dx = F (ϕ(x)) + c
21
Proprietà
Z
f (ϕ(x))ϕ0 (x) dx = F (ϕ(x)) + c
Tale formula viene sovente scritta, in modo meno
preciso ma più sintetico, come
Z
f (ϕ(x))ϕ0 (x) dx =
Z
f (y) dy
22
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11
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Dimostrazione
È sufficiente ricordare la formula di derivazione di
una funzione composta, ossia
d
dϕ
dF
F (ϕ(x)) =
(ϕ(x))
(x) = f (ϕ(x))ϕ0 (x)
dx
dy
dx
Dunque, F (ϕ(x)) è una primitiva della funzione
f (ϕ(x))ϕ0 (x), il che equivale alla tesi
23
Dimostrazione
A livello mnemonico, la formula
Z
f (ϕ(x))ϕ0 (x) dx =
Z
f (y) dy
può essere ottenuta formalmente nel seguente
modo:
dy
= ϕ0 (x)
y = ϕ(x), derivando si ha
dx
da cui si ottiene dy = ϕ0 (x)dx ;
posto
effettuando le sostituzioni in uno dei due integrali,
si ottiene l’altro
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24
12
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 1
Z
Si voglia calcolare
Poniamo
Z
y = ϕ(x) = x2 , da cui ϕ0 (x) = 2x
Allora
1
xex dx =
2
2
2
xex dx
Z
1
ex 2x dx =
2
2
Ritornando alla variabile
Z
xe
x2
Z
ey dy =
1 y
e +c
2
x, si ottiene
dx =
1 x2
e +c
2
25
Esempio 2
Si voglia calcolare
Z
Ricordiamo che tan x
tan x dx
=
sin x
e che
cos x
(cos x)0 = − sin x
26
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13
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 2
Ponendo
Z
y = ϕ(x) = cos x, si ha
tan x dx = −
Z
1
(cos x)0 dx = −
cos x
Z
1
dy
y
= − log |y| + c = − log | cos x| + c
27
Esempio 3
Z p
Si voglia calcolare S =
1 − x2 dx
Poniamo
y = arcsin x ovvero√x = sin y,
da cui si ha dx = cos y dy e 1 − x2 = cos y
28
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14
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 3
Si ottiene
S=
Z
1
cos2 y dy =
2
Z
(cos 2y + 1) dy
1
1
1
1
sin 2y + y + c = sin y cos y + y + c
2
2
4
2
1 p
1
= x 1 − x2 + arcsin x + c
29
2
2
=
Esempio 4
Si consideri
Poniamo
cioè
Z
1
dx
ex + e−x
y = ex da cui dy = ex dx
dx =
1
dy
y
30
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15
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 4
Dunque
Z
1
dx =
ex + e−x
=
Z
Z
1
y+
1
y
1
dy
y
1
dy = arctan y + c
1 + y2
= arctan ex + c
31
Osservazione
L’esempio 2 è un caso particolare della seguente
formula, che si ottiene dalla
Z
f (ϕ(x))ϕ0 (x) dx =
con la scelta
Z
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f (y) =
Z
f (y) dy
1
y
ϕ0 (x)
dx = log |ϕ(x)| + c
ϕ(x)
32
16
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Regole di integrazione
Integrazione di funzioni razionali
Consideriamo la generica funzione razionale
f (x) =
P (x)
Q(x)
con
P (x) e Q(x) polinomi di grado
rispettivamente n ed m (m ≥ 1)
34
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17
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Integrazione di funzioni razionali
Facciamo vedere che essa ammette primitive
esprimibili in termini di funzioni razionali, logaritmi
e arcotangenti
35
Integrazione di funzioni razionali
Notiamo innanzitutto che se
n ≥ m, si ha
P (x) = Q(x)D(x) + R(x)
con
D(x) polinomio di grado n − m e R(x)
polinomio di grado ≤ m − 1
36
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18
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Integrazione di funzioni razionali
P (x) = Q(x)D(x) + R(x)
Possiamo scrivere
Z
P (x)
dx =
Q(x)
Z
D(x) dx +
Z
R(x)
dx
Q(x)
37
Integrazione di funzioni razionali
Possiamo scrivere
Z
P (x)
dx =
Q(x)
Z
D(x) dx +
Z
R(x)
dx
Q(x)
Il problema è ridotto al calcolo dell’integrale di una
funzione razionale
g(x) =
R(x)
Q(x)
in cui il grado del polinomio a numeratore è minore
del grado del polinomio a denominatore
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38
19
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 1
Sia
g(x) =
Z
1
, con α ∈ R; otteniamo
x−α
1
dx = log |x − α| + c
x−α
Ad esempio, si ha
Z
1
1
dx = log |x − 2| + c
2x − 4
2
39
Esempio 2
1
, con r > 1; otteniamo
(x − α)r
Sia
g(x) =
Z
1
1
1
dx
=
+c
(x − α)r
1 − r (x − α)r−1
Ad esempio, si ha
Z
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1
1
dx
=
−
+c
(3x + 5)2
3(3x + 5)
40
20
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 3
Sia
g(x) =
1
, con p2 − q < 0
2
x + 2px + q
notiamo che il polinomio a denominatore non ha
radici reali ed è sempre
>0
41
Esempio 3
Con semplici passaggi algebrici, ponendo
p
s = q − p2 > 0
42
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21
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 3
abbiamo
x2 + 2px + q = x2 + 2px + p2 + (q − p2 )
= (x + p)2 + s2
"
µ
¶2 #
x+p
= s2 1 +
s
43
Esempio 3
Eseguendo la sostituzione
otteniamo
Z
dy =
y = ϕ(x) =
1
dx e
s
1
1
dx
=
x2 + 2px + q
s2
Z
x+p
,
s
1
s dy
1 + y2
44
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22
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 3
Eseguendo la sostituzione
otteniamo
Z
dy =
y = ϕ(x) =
1
dx e
s
1
1
dx
=
x2 + 2px + q
s2
Z
x+p
,
s
1
s dy
1 + y2
e dunque, concludiamo che
Z
1
x+p
1
dx
=
arctan
+c
x2 + 2px + q
s
s
45
Esempio 4
Sia g(x) =
ax + b
, ancora con p2 − q < 0
2
x + 2px + q
Grazie all’identità
ax + b = ax + ap + b − ap =
abbiamo
Z
a
=
2
a
(2x + 2p) + (b − ap)
2
ax + b
dx =
x2 + 2px + q
Z
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2x + 2p
dx + (b − ap)
x2 + 2px + q
Z
1
dx
x2 + 2px + q
46
23
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 4
Pertanto, otteniamo
Z
=
ax + b
dx =
x2 + 2px + q
x+p
a
b − ap
log(x2 + 2px + q) +
arctan
+c
2
s
s
47
Esempio 4
Ad esempio, si ha
Z
=2
Z
4x − 5
dx =
x2 − 2x + 10
2x − 2
dx −
x2 − 2x + 10
= 2 log(x2 − 2x + 10) −
Z
1
dx
(x − 1)2 + 9
1
x−1
arctan
+c
3
3
48
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24
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 5
Sia
g(x) =
ed
r>1
ax + b
, con p2 − q < 0
2
r
(x + 2px + q)
49
Esempio 5
Usando la regola di integrazione per parti nel
calcolo dell’integrale
Z
1
dx
(x2 + 2px + q)r−1
e la regola di integrazione per sostituzione con
ϕ(x) = x2 + 2px + q, si giunge ad esprimere
l’integrale di g come somma di funzioni note e
dell’integrale di una funzione analoga alla g, in
50
cui r è sostituito da r − 1
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25
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 5
In questo modo, partendo dal caso
r = 1 già
trattato nell’Esempio 4 si calcola l’integrale di f nel
caso r = 2, poi r = 3, e così via
51
Osservazione
Ritorniamo al problema dell’integrazione della
generica funzionale razionale
g(x) =
R(x)
Q(x)
Per ricondurci ai casi particolari sopra considerati,
è necessario decomporre il denominatore nel
prodotto di fattori elementari del tipo
con
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(x − α)r
p2 − q < 0
oppure
(x2 + 2px + q)s
52
26
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Osservazione
L’esistenza di una tale decomposizione è garantita
dal seguente teorema, che è una forma del
cosiddetto Teorema fondamentale dell’Algebra
53
Teorema
Ogni polinomio
Q(x) di grado m a coefficienti
reali si scrive in modo unico come
Q(x) = d(x − α1 )r1 · · · (x − αh )rh (x2 + 2p1 x + q1 )s1 · · ·
· · · (x2 + 2pk x + qk )sk ,
con d,
αi , pj , qj numeri reali, e con ri , sj
interi tali che
r1 + · · · + rh + 2s1 + · · · + 2sk = m
54
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27
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Teorema
I numeri
αi , distinti tra loro, sono le radici reali del
polinomio, ciascuna con molteplicità ri
Ogni fattore
x2 + 2pj x + qj è distinto dagli altri
ed irriducibile in R, cioè tale che p2j − qj < 0;
ad esso corrispondono due radici complesse
(coniugate) βj,± , che hanno molteplicità sj
55
Osservazione
È possibile dimostrare che la decomposizione del
polinomio
Q(x) permette di scrivere il quoziente
g(x) nella forma
¤
1£
R(x)
=
F1 (x) + · · · + Fh (x) + F̄1 (x) + · · · + F̄k (x)
Q(x)
d
in cui ogni
Fi (x) =
Fi (x) è del tipo
Ai1
Ai2
Airi
+
+
·
·
·
+
x − αi
(x − αi )2
(x − αi )ri
per opportune costanti
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Ai`
56
28
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Osservazione
Mentre ogni
F̄j (x) =
F̄j (x) è del tipo
Bj1 x + Cj1
Bj2 x + Cj2
+
+···
x2 + 2pj x + qj
(x2 + 2pj x + qj )2
··· +
Bj r̄j x + Cj r̄j
(x2 + 2pj x + qj )sj
per opportune costanti
Bjµ , Cjµ
57
Osservazione
Notiamo che il numero di tali costanti è
r1 + · · · rh + 2s1 + · · · + 2sk = m
58
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29
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Osservazione
Per determinare il valore delle costanti, scriviamo
l’espressione a secondo membro della
¤
1£
R(x)
=
F1 (x) + · · · + Fh (x) + F̄1 (x) + · · · + F̄k (x)
Q(x)
d
in forma di unica frazione, il cui denominatore
comune è ovviamente
Q(x)
59
Osservazione
Il numeratore
R(x) è un polinomio di grado
≤ m − 1, che deve coincidere con R(x);
i suoi coefficienti sono combinazioni delle costanti
incognite
60
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30
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Teorema
Due polinomi di grado
m − 1 coincidono
Se e solo se hanno ordinatamente uguali i
coefficienti di ciascuna potenza della variabile
indipendente
oppure
Se e solo se assumono valori uguali in
m
punti
distinti
61
Osservazione
Per determinare le
m incognite Ai` , Bjµ , Cjµ
possiamo quindi
Uguagliare i coefficienti di ciascuna potenza di
nei polinomi
oppure
R(x)
e
x
R(x)
Scegliere in modo oculato
m
valori di
x in cui far
coincidere i due polinomi
62
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31
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Osservazione
Nel secondo caso, conviene sempre considerare
gli zeri reali di
Q(x) e/o il punto x = 0
63
Osservazione
Una volta determinati i valori di tali costanti,
possiamo integrare termine a termine
l’espressione che compare a secondo membro e
siamo ricondotti agli Esempi 1-5
64
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32
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 1
Vogliamo integrare la funzione
2x3 + x2 − 4x + 7
f (x) =
x2 + x − 2
Eseguiamo la divisione, ottenendo
f (x) = 2x − 1 +
x+5
x2 + x − 2
Il polinomio a denominazione si fattorizza come
Q(x) = (x − 1)(x + 2)
65
Esempio 1
Dunque cerchiamo costanti
A1 = A11 e
A2 = A21 tali che
A1
A2
x+5
=
+
x2 + x − 2
x−1 x+2
vale a dire
x + 5 = A1 (x + 2) + A2 (x − 1)
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66
33
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 1
METODO 1
x + 5 = A1 (x + 2) + A2 (x − 1)
è equivalente a
x + 5 = (A1 + A2 )x + (2A1 − A2 )
da cui, uguagliando i coefficienti di
x, otteniamo
il sistema
A1 + A2 = 1
2A1 − A2 = 5
che ammette come soluzione
A1 = 2 e A2 = −1
Esempio 1
METODO 2
x + 5 = A1 (x + 2) + A2 (x − 1)
Calcoliamo tale espressione nei due zeri
x = 1 e x = −2 di Q(x)
otteniamo le relazioni
6 = 3A1 e 3 = −3A2
dalle quali si ricava
A1 = 2
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e
A2 = −1
68
34
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 1
In conclusione, abbiamo
x+5
2x3 + x2 − 4x + 7
=
2x
1
+
−
f (x) =
x2 + x − 2
x2 + x − 2
1
2
= 2x − 1 +
−
x−1 x+2
Z
e dunque
Z
Z
f (x) dx = (2x − 1) dx + 2
1
dx −
x−1
Z
1
dx
x+2
= x2 − x +2 log |x − 1| − log |x + 2| + c69
Esempio 2
Vogliamo integrare la funzione
x2 − 3x + 3
f (x) = 3
x − 2x2 + x
Il denominatore si fattorizza come
Q(x) = x(x − 1)2
70
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35
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 2
Dunque cerchiamo costanti
e
A1 = A11 , A21
A22 tali che
A1
A21
A22
x2 − 3x + 3
=
+
+
x3 − 2x2 + x
x
x − 1 (x − 1)2
vale a dire
x2 − 3x + 3 = A1 (x − 1)2 + A21 x(x − 1) + A22 x
71
Esempio 2
x2 − 3x + 3 = A1 (x − 1)2 + A21 x(x − 1) + A22 x
per
x = 0 si ricava A1 = 3
per
x = 1 si ricava A22 = 1
per determinare
A21 si può scegliere un valore di
x 6= 0, 1:
per
x = −1 si ha
7 = 12 + 2A21 − 1 da cui A21 = −2
72
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36
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 2
In conclusione abbiamo
Z
f (x) dx = 3
Z
1
dx − 2
x
Z
1
dx +
x−1
= 3 log |x| −2 log |x − 1| −
Z
1
dx
(x − 1)2
1
+c
x−1
73
Esempio 3
Vogliamo integrare la funzione
3x2 + x − 4
f (x) = 3
x + 5x2 + 9x + 5
Il denominatore si annulla in
fattorizza come
x = −1 e si
Q(x) = (x + 1)(x2 + 4x + 5)
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37
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 3
Dunque cerchiamo costanti
e
A = A11 , B = B11
C = C11 tali che
3x2 + x − 4
A
Bx + C
=
+
x3 + 5x2 + 9x + 5
x + 1 x2 + 4x + 5
vale a dire
3x2 + x − 4 = A(x2 + 4x + 5) + (Bx + C)(x + 1)
75
Esempio 3
3x2 + x − 4 = A(x2 + 4x + 5) + (Bx + C)(x + 1)
per
x = −1 si ricava A = −1
per
x = 0 si ricava C = 1
per
x = 1 si ricava B = 4
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38
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 3
Z
In conclusione, abbiamo
f (x) dx = −
=−
Z
Z
1
dx +
x+1
Z
4x + 1
dx
x2 + 4x + 5
Z
1
2x + 4
dx + 2
dx
x+1
x2 + 4x + 5
Z
1
−7
dx
1 + (x + 2)2
= − log |x + 1| +2 log(x2 + 4x + 5)
−7 arctan(x + 2) + c
Osservazione
Osserviamo che molte funzioni f (x), che non
sono razionali nella variabile
x possono essere
integrate mediante una opportuna sostituzione
t = ϕ(x) che conduce all’integrale di una
funzione razionale nella nuova variabile t
78
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39
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Caso 1
√
f è una funzione razionale di p x − a per
un certo p intero e a reale
In tal caso si pone
t=
√
p
x − a da cui x = a + tp e dx = ptp−1 dt
79
Esempio 1
Consideriamo l’integrale
S=
Z
x
√
dx
1+ x−1
80
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40
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 1
√
Poniamo t = x − 1, da cui
x = 1 + t2 e dx = 2tdt
Sostituendo, otteniamo
S=2
Z
(1 + t2 )t
dt
1+t
81
Caso 2
f è funzione razionale di eax per un certo a 6= 0
In tal caso si pone
t = eax da cui x =
1
1
dt
log t e dx =
at
a
82
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41
Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 2
Consideriamo l’integrale
S=
Z
e−x
dx
e2x − 2ex + 2
83
Esempio 2
Poniamo
t = ex da cui dx =
1
dt
t
Sostituendo, otteniamo
S=
Z
1
dt
t2 (t2 − 2t + 2)
84
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Analisi matematica I
Regole di integrazione
Caso 3
f è funzione razionale di sin x e/o di cos x
In tal caso si pone
t = tan
x
2
e si ricorre alle identità trigonometriche
2t
sin x =
1 + t2
e
1 − t2
cos x =
1 + t2
85
Esempio 3
Inoltre si ha
x = 2 arctan t,
da cui
dx =
2
dt
1 + t2
86
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Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 3
Consideriamo l’integrale
S=
Z
sin x
dx
1 + sin x
Otteniamo
S=4
Z
t
dt
(1 + t)2 (1 + t2 )
87
Caso 4
f è funzione razionale degli argomenti
sin2 x, cos2 x, tan x; è più conveniente porre
t = tan x e usare le identità trigonometriche
1
t2
2
e cos2 x =
sin x =
1 + t2
1 + t2
inoltre
x = arctan t, da cui
1
dt
dx =
1 + t2
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Analisi matematica I
Regole di integrazione
Esempio 4
Consideriamo l’integrale
S=
Z
Abbiamo
S=
1
dx
2
1 + sin x
Z
1
dt
1 + 2t2
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