Problemi sui gas perfetti

1)Per produrre vuoto spinto nei laboratori vengono usate pompe di diffusione a mercurio.
La massima pressione del mercurio che possa sussistere nel sistema è la sua tensione di vapore alla
temperatura del sifone freddo.
Calcolare il numero di molecole per cm 3 di vapore di mercurio in un sifone freddo mantenuto a -120°C.
La tensione di vapore di mercurio, a questa temperatura, è di 10-6 millimetri di mercurio
SOLUZIONE
Determiniamo i parametri di stato
𝑃=
10−6
𝑎𝑡𝑚
760
𝑉 = 10−3 𝑑𝑚3 =10−3 𝑙
𝑃𝑉
Dall’equazione di stato dei gas s i trova 𝑛 = 𝑅𝑇 =0,0821
10−6
760
𝑎𝑡𝑚10−3 𝑙
𝑙 𝑎𝑡𝑚 𝐾−1 𝑚𝑜𝑙 −1 153 𝐾
T = 153 K
= 10 -13
N = n*N Avogadro= 6* 10 10
2)In una miscela gassosa a 20°C , le pressioni parziali dei singoli componenti sono:
elemento
H
CO2
Metano
Etilene
Pressione ( in mm di Hg)
200
150
320
105
Determinare la pressione totale della miscela e il valore percentuale dell’idrogeno
SOLUZIONE
Sia Pi il valore della pressione parziale dell’i-esimo componente e ni il corrispondente numero di moli
𝑃
𝑛
Essendo PiV= ni RT→( Pi) V = ( ni) RT→∑ 𝑃𝑖 = ∑ 𝑛𝑖
𝑖
Valore percentuale di H =
𝑃𝐻
200
=
∑ Pi 200+150+320+105
𝑖
200
→
= 775 = 25,8%
3)Un barometro a mercurio ha assorbito un po’ d’aria nel vuoto torricelliano sopra il mercurio.
Se il barometro segna 700mm in un giorno in cui la pressione esatta è 760 mm, quanto segnerà un
giorno in cui la pressione barometrica esatta 750 mm?
La distanza fra il livello più basso del mercurio e la superficie interna all’estremità superiore del bulbo è
78 cm.
Si assuma che la temperatura sia costante e che il tubo sia di sezione uniforme.
SOLUZIONE
In condizioni di equilibrio , la pressione atmosferica esterna deve essere uguale alla somma della pressione
dell’aria interna e di quella esercitata dalla colonnina di mercurio .
Nel primo caso, pertanto ,la pressione P dell’aria interna al volume V è di 6 cm di mercurio, nel secondo
caso, se x è l’altezza della colonnina di mercurio, la nuova pressione interna è P’= 75-x.
Rimanendo costante la temperatura, in accordo con la legge di Boyle, è verificata la relazione
PV=P’V’ ovvero, essendo la sezione uniforme,
6*8=(75-x)*(78-x)
Risolvendo l’equazione
x2-153x+5802=0
si trova x =69,4 cm circa
4)Un cilindro adagiato orizzontalmente, lungo 2m e avente una sezione trasversale uniforme (di
4cm ) , contiene 5g di ossigeno (p.m. 32) a 20°C.
2
Un pistone di 3Kg di massa viene trattenuto da una molla la cui lunghezza, quando è compressa,
è di 12 cm, mentre la lunghezza originaria è di 15 cm.
a) trovare la tensione della molla
b) Se il pistone viene spostato leggermente e poi lasciato muovere liberamente, quale sarà il
periodo di oscillazione?
Si supponga che la pressione del gas rimanga praticamente costante e si trascuri l’inerzia del gas.
SOLUZIONE
a) Indichiamo con
 S la sezione del cilindro
 h l’altezza del cilindro
 P la pressione esercitata dal gas
 T la temperatura assoluta
T= 293 K
 n il numero di moli
n =5/32

R la costante dei gas
R= 8,31 J * moli-1 K-1
La tensione della molla è uguale e opposta alla forza F esercitata dal gas sul pistone è
uguale a P*S
Dalla legge dei gas perfetti abbiamo
𝑃=
𝑛𝑅𝑇
𝑉
=
𝑛𝑅𝑇
𝑆∗ℎ
Sostituendo
𝐹=
𝑛𝑅𝑇
ℎ∗𝑆
∗𝑆 =
5 8,31
∗
32 2
293 N = 190 N
190
𝑁
b) Poiché la molla risulta compressa di ∆x= 3 cm, la costante elastica k è uguale a 3∗10−2 𝑚 =
𝑁
6333 𝑚
Il periodo di oscillazione si trova utilizzando la formula del periodo dell’oscillatore
𝑚
3
armonico 2𝜋√ 𝑘 = 2𝜋√6333 = 0,04 𝑠
5)Un gas perfetto biatomico con volume e pressione iniziali Vo = 2l e Po = 1 atm, triplica il suo
volume eseguendo una trasformazione reversibile che, nel piano P-V , è rappresentata da un segmento
di retta di equazione P=KV.(vedi figura)
Si calcoli:
La variazione di energia interna, il lavoro e il calore scambiati durante la trasformazione
SOLUZIONE
La costante K che compare nell’equazione della retta , deve avere valore ½
Equazione di stato dei gas perfetti
PV = nRT
Pressione (atm)
Stato A
1
Stato B
3
Volume (l)
2
6
Temperatura (K)
2/nR
18/nR
Variazione di energia interna
5
5
∆U= 2 𝑛𝑅 ∆𝑇=2 𝑛𝑅
16
=40
𝑛𝑅
l*atm
Lavoro (positivo )
Basta calcolare l’area del trapezio indicato in figura 8 l*atm
Calore
Poiché
∆Q = L + ∆U
Il calore scambiato è pari a 48 l*atm.