4.5.1 Teoremi di trigonometria 4.5.1.1 Teorema dei coseni o di

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4.5.1 Teoremi di trigonometria
4.5.1.1 Teorema dei coseni o di Carnot
Dato un triangolo ABC sia `alpha` l'angolo di vertice A, `beta` l'angolo di vertice B e `gamma` l'angolo di vertice C. Vale
la seguente relazione:
`AC^2=AB^2+BC^2-2AB·BC cos(AhatBC)`
Dimostrazione
Sia CH l'altezza relativa al lato AB. Si applichi il teorema di Pitagora al triangolo ACH e si ottiene la seguente relazione:
`AC^2=AH^2+HC^2`
Applicando i teoremi dei triangoli rettangoli al triangolo BCH si hanno le seguenti relazioni:
`CH=CB·sinbeta`
`AH=CB·cosbeta`
AH è AB-HB, da cui si ha:
`AH=AB-HB=AB-CB·cosbeta`
Si sostituisce nella prima equazione e si ottiene:
`AC^2=AH^2+HC^2=(AB-CB·cosbeta)^2+CB^2·sin^2beta=`
`=AB^2+CB^2·cos^2beta-2AB·CB·cosbeta+CB^2·sin^2beta=`
`=AB^2+CB^2·(sin^2beta+cos^2beta)-2AB·CB·cosbeta=`
`=AB^2+CB^2-2AB·CB·cosbeta`.
Una semplice applicazione dei teoremi dei triangoli rettangoli permette di determinare l'area di un triangolo
conoscendone due lati e l'angolo compreso tra essi.
4.5.1.2 Teorema (Area di un triangolo qualunque)
Dato un triangolo ABC sia `alpha`l'angolo di vertice A, `beta` l'angolo di vertice B e `gamma` l'angolo di vertice C.
L'area del triangolo ABC è `text(Area)=1/2·AB·BC·sinbeta`.
Dimostrazione
Sia CH l'altezza relativa al lato AB. Per i teoremi dei triangoli rettangoli si ha: `CH=BC·sinbeta`. L'area del triangolo è
`text(Area)=1/2AB·CH`. Sostituendo in tale formula al posto di CH il valore trovato precedentemente si ottiene la tesi.
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Nel caso `beta` sia retto il seno vale 1 e la formula si riconduce a quella già conosciuta che dice che l'area di un
triangolo è il semiprodotto dei suoi cateti.
4.5.1.3 Teorema delle proiezioni
Dato un triangolo ABC sia `alpha` l'angolo di vertice A, `beta` l'angolo di vertice B e `gamma` l'angolo di vertice C. Sia
inoltre BH l'altezza relativa al lato AC. Vale la seguente relazione:
`AC=AB·cosalpha+BC·cosgamma`
Dimostrazione
Per il secondo teorema dei triangoli rettangoli applicato al triangolo ABH si ha `AH=AB·cosalpha`, e per lo stesso
teorema applicato al triangolo rettangolo CBH si ha `HC=BC·cosgamma`.
Ne segue `AC=AH+HC=AB·cosalpha+BC·cosgamma`.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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