4.5.1 Teoremi di trigonometria 4.5.1.1 Teorema dei coseni o di
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Didasfera - Ambiente didattico digitale 4.5.1 Teoremi di trigonometria 4.5.1.1 Teorema dei coseni o di Carnot Dato un triangolo ABC sia `alpha` l'angolo di vertice A, `beta` l'angolo di vertice B e `gamma` l'angolo di vertice C. Vale la seguente relazione: `AC^2=AB^2+BC^2-2AB·BC cos(AhatBC)` Dimostrazione Sia CH l'altezza relativa al lato AB. Si applichi il teorema di Pitagora al triangolo ACH e si ottiene la seguente relazione: `AC^2=AH^2+HC^2` Applicando i teoremi dei triangoli rettangoli al triangolo BCH si hanno le seguenti relazioni: `CH=CB·sinbeta` `AH=CB·cosbeta` AH è AB-HB, da cui si ha: `AH=AB-HB=AB-CB·cosbeta` Si sostituisce nella prima equazione e si ottiene: `AC^2=AH^2+HC^2=(AB-CB·cosbeta)^2+CB^2·sin^2beta=` `=AB^2+CB^2·cos^2beta-2AB·CB·cosbeta+CB^2·sin^2beta=` `=AB^2+CB^2·(sin^2beta+cos^2beta)-2AB·CB·cosbeta=` `=AB^2+CB^2-2AB·CB·cosbeta`. Una semplice applicazione dei teoremi dei triangoli rettangoli permette di determinare l'area di un triangolo conoscendone due lati e l'angolo compreso tra essi. 4.5.1.2 Teorema (Area di un triangolo qualunque) Dato un triangolo ABC sia `alpha`l'angolo di vertice A, `beta` l'angolo di vertice B e `gamma` l'angolo di vertice C. L'area del triangolo ABC è `text(Area)=1/2·AB·BC·sinbeta`. Dimostrazione Sia CH l'altezza relativa al lato AB. Per i teoremi dei triangoli rettangoli si ha: `CH=BC·sinbeta`. L'area del triangolo è `text(Area)=1/2AB·CH`. Sostituendo in tale formula al posto di CH il valore trovato precedentemente si ottiene la tesi. Pagina 1/3 Didasfera - Ambiente didattico digitale Nel caso `beta` sia retto il seno vale 1 e la formula si riconduce a quella già conosciuta che dice che l'area di un triangolo è il semiprodotto dei suoi cateti. 4.5.1.3 Teorema delle proiezioni Dato un triangolo ABC sia `alpha` l'angolo di vertice A, `beta` l'angolo di vertice B e `gamma` l'angolo di vertice C. Sia inoltre BH l'altezza relativa al lato AC. Vale la seguente relazione: `AC=AB·cosalpha+BC·cosgamma` Dimostrazione Per il secondo teorema dei triangoli rettangoli applicato al triangolo ABH si ha `AH=AB·cosalpha`, e per lo stesso teorema applicato al triangolo rettangolo CBH si ha `HC=BC·cosgamma`. Ne segue `AC=AH+HC=AB·cosalpha+BC·cosgamma`. Pagina 2/3 Didasfera - Ambiente didattico digitale In questa unità Testo: Storia delle idee Autore: Marcello Ciancio Curatore: Maurizio Châtel Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo Editore: BBN Pagina 3/3
