Leggi di bilancio ed integrali primi in Meccanica.

Capitolo 4
Leggi di bilancio ed integrali primi in
Meccanica.
Il fine di questo capitolo è quello di introdurre alcune quantità fisiche relative a sistemi di punti
materiali che entrano in gioco in particolari “leggi di bilancio” e leggi di “conservazione”. Tali
leggi sono in realtà teoremi che seguono dai principi della meccanica classica enunciati nel capitolo 2. Essi riguardano in particolare: la quantità di moto, il momento angolare e l’energia
meccanica. Daremo una trattazione comune al caso di punto materiale e di sistemi di punti
materiali.
Solitamente, ma ci sono alcune eccezioni, la forma generale dell’enunciato di questi teoremi
è un’uguaglianza tra la derivata temporale di una certa grandezza G, funzione delle posizioni e
delle velocità dei punti costituenti un sistema fisico ed una seconda grandezza X, normalmente
riguardate l’“esterno” del sistema:
dG(P1 (t), . . . , PN (t), vP1 (t), . . . , vPN (t))
= X(t, P1 (t), . . . , PN (t), vP1 (t), . . . vPN (t), ”var. est.”) .
dt
L’uguaglianza sussiste quando il sistema evolve in conformità delle leggi della dinamica C1-C4
enunciate nel capitolo 2. Quando la grandezza a secondo membro è nulla (almeno sul moto
considerato), la legge di bilancio diventa una legge di conservazione nel tempo della quantità a
primo membro valutata su un fissato moto del sistema fisico. Dal punto di vista della teoria dei
sistemi di equazioni differenziali, le grandezze conservate nel tempo vengono chiamate integrali
primi (del moto) come stabilito nella definizione 3.1.
4.1
Equazioni cardinali per i sistemi di punti materiali, conservazione dell’impulso e del momento angolare
Introduciamo ora delle equazioni, valide per tutti i sistemi fisici meccanici soddisfacenti i principi
C1-C4 (anche nelle versioni generalizzate valide in presenza di reazioni vincolari e forze inerziali)
enunciati al 2, costituiti da punti materiali, dette Equazioni Cardinali della dinamica.
117
4.1.1
Massa totale, impulso totale, momento angolare totale, energia cinetica
totale
Definizione 4.1. Si consideri un sistema S di N punti materiali Pi , i = 1, . . . , N con masse
rispettivamente mi , i = 1, . . . , N . Si danno le seguenti definizioni.
(a) La massa totale del sistema è:
M :=
N
X
mk .
k=1
(b) Il centro di massa del sistema S al tempo t ∈ R, G(t) è il punto (non necessariamente un
punto materiale del sistema) individuato su ogni Σt dall’equazione:
M (G(t) − O) =
N
X
mk (Pk (t) − O) ,
k=1
dove O ∈ Σt è un punto qualsiasi.
(c) L’impulso (totale) o quantità di moto (totale) del sistema S rispetto ad un riferimento
I al tempo t è il vettore di Vt :
P|I (t) :=
N
X
mk vPk |I (t) .
k=1
(d) Se O = O(t) è una qualsiasi linea di universo (non necessariamente quella del punto (b)) e
I è un sistema di riferimento, il momento angolare (totale) o momento della quantità di
moto (totale) del sistema rispetto al polo O ed ad un riferimento I al tempo t è il vettore di
Vt :
ΓO |I (t) :=
N
X
mk (Pk (t) − O(t)) ∧ vPk |I (t) .
k=1
♦
L’importanza delle quantità definite sopra è essenzialmente legata al fatto che, sotto determinate
ipotesi e per un fissato sistema meccanica, tali quantità si conservano nel tempo o appaiono nelle
espressioni definitorie di quantità che si conservano nel tempo. In molti casi, la conoscenza dei
valori di grandezze conservate nel tempo fornisce importanti informazioni sul moto del sistema,
anche se non si riesce a risolvere esplicitamente l’equazione del moto.
Osservazioni 4.1.
(1) D’ora in poi parlando di un sistema di punti materiali, assumeremo sempre che il loro
numero N sia finito.
(2) Ovviamente le definizioni date sopra sono valide anche per N = 1. In tal caso la massa
totale coincide con la massa del punto, il centro di massa coincide con la posizione del punto,
118
l’impulso totale coincide con l’impulso del punto, il momento angolare totale e l’energia cinetica
totale coincidono , rispettivamente e per definizione, con il momento angolare e l’energia cinetica
del punto materiale.
(3) La definizione di G è ben posta, nel senso che G è univocamente determinato, una volta
fissato O, da:
N
1 X
G := O +
mk (Pk − O) ,
M k=1
inoltre G non dipende dalla scelta di O. Infatti, se definiamo GO tramite:
M (GO − O) =
N
X
mk (Pk − O) ,
k=1
e GO0 tramite:
M (G
O0
0
−O)=
N
X
mk (Pk − O0 ) ,
k=1
allora:
GO − GO0 = (O − O0 ) +
N
N
1 X
1 X
mk (Pk − O) −
mk (Pk − O0 ) = (O − O0 ) − (O − O0 ) = 0 .
M k=1
M k=1
(4) Se vG |I è la velocità del centro di massa nel riferimento I per un sistema di punti materiali
di massa totale M , allora vale la relazione
P|I = M vG |I .
(4.1)
In altre parole: l’impulso totale del sistema è quello che avrebbe un singolo punto materiale di
massa M concentrata nel centro di massa del sistema.
La verifica di ciò è immediata, scegliendo una linea di universo O = O(t), derivando membro
P
a membro nel tempo l’identità M (G(t) − O(t)) = N
k=1 mk (Pk (t) − O(t)) e tenendo conto di
P
M = k mk .
Esercizi 4.1.
1. Dimostrare che, passando dal riferimento I al riferimento I 0 , vale la legge di trasformazione del momento della quantità di moto (mantenendo lo stesso polo O):
ΓO |I (t) = ΓO |I 0 (t) + It,O(t) (ωI 0 |I ) ,
(4.2)
dove abbiamo introdotto il tensore d’inerzia al tempo t e rispetto al polo O, dato dalla
trasformazione lineare
Vt 3 u 7→ It,O(t) (u) :=
N
X
mk (Pk (t) − O(t)) ∧ (u ∧ (Pk (t) − O(t))) .
k=1
119
(4.3)
2. Dimostrare che, passando dal polo O al polo O0 , ma rimanendo nello stesso riferimento
I , vale la legge di trasformazione del momento della quantità di moto (al tempo t ∈ R fissato):
ΓO |I = ΓO0 |I + (O0 − O) ∧ P|I .
(4.4)
In particolare, scegliendo O0 = G, ΓO |I si può sempre scrivere la somma del momento angolare
totale in I rispetto a G e del momento angolare di un unico punto materiale di posizione G
avente massa pari alla massa totale del sistema:
ΓO |I = ΓG |I + (G − O) ∧ P|I .
4.1.2
(4.5)
Equazioni cardinali.
Possiamo ora enunciare e provare le cosiddette equazioni cardinali della dinamica e ne deduciamo le corrispondenti leggi di bilancio/conservazione. Per enunciarli definiamo preventivamente
la nozione di forza interna e di forza esterna. Se abbiamo un sistema S di punti materiali, una
forza F agente P ∈ S è detta interna se la corrispondente reazione agisce su un punto P 0 ∈ S.
Una forza che non è interna è detta forza esterna. Le forze inerziali sono sempre considerate
forze esterne.
Teorema 4.1.
(Equazioni cardinali della dinamica dei sistemi di punti materiali.)
Si consideri un sistema di N punti materiali che soddisfa i principi C1-C4 (includendo il caso di
forze inerziali e reazioni vincolari). Se I è un sistema di riferimento, per ogni fissato istante del
tempo assoluto t valgono le seguenti, rispettivamente, prima e seconda equazione cardinale
della dinamica dei sistemi di punti materiali.
(e)
(a) Se all’istante considerato Fi è la somma delle forze esterne agenti sull’i-esimo punto
(includendo forze inerziali e reazioni vincolari se necessario):
N
X
d (e)
Fi .
P|
=
I
dt I
i=1
(4.6)
(b) Con la stessa notazione di sopra, per qualsiasi scelta del polo O:
N
X
d (e)
Γ
|
+
v
|
∧
P|
=
(Pi − O) ∧ Fi .
O
O
I
I
I
dt I
i=1
♦
Dimostrazione. (a) Il secondo principio della dinamica per il punto Pi si scrive:
X (i)
(e)
Fij + Fi
= mi
j
120
d2 Pi
|I ,
dt2
(4.7)
(e)
dove Fij è la forza agente su Pi dovuta al punto Pj , mentre Fi è la somma delle forze esterne
agenti su Pi (includendo le forze inerziali se I non è inerziale). Da ciò segue che:
X
i
mi
X (i) X (e)
d2 Pi
|
=
Fij +
Fi .
I
dt2
i,j
i
Cambiando nome agli indici:
X (i)
Fij =
i,j
X (i)
Fji .
j,i
(i)
(i)
D’altra parte, per il principio di azione e razione: Fij = −Fji , per cui:
X (i)
Fij = −
i,j
X (i)
Fij = −
j,i
X (i)
Fij ,
i,j
dove abbiamo tenuto conto del fatto che l’ordine con cui si esegue la somma (prima per i e poi
P
(i)
per j oppure viceversa) è irrilevante. Concludiamo che i,j Fij = 0 e pertanto
X
mi
i
cioè :
X (e)
d2 Pi
|I =
Fi .
2
dt
i
X (e)
d X
mi vPi |I =
Fi .
dt I i
i
Tenendo conto della definizione impulso totale si ha subito la (4.6).
(b) Con la stessa notazione di sopra, dalla definizione di ΓO |I , si ha:
X
X
X
d (i)
(e)
|
+
(P
−
O)
∧
F
+
(Pi − O) ∧ Fi .
|
−
v
|
)
∧
v
Γ
|
=
m
(v
i
i
O
P
O
P
I
I
I
I
i
i
ij
dt I
i,j
i
i
Ovvero:
X
X
X
d (e)
(i)
Γ
|
+
m
v
|
∧
v
|
=
(P
−
O)
∧
F
+
(Pi − O) ∧ Fij .
i
i
O
O
P
I
I
I
i
i
dt I
i
i
i,j
Dato che
i mi vO |I
P
∧ vPi |I = vO |I ∧ P|I , per concludere è sufficiente provare che
(i)
X
(Pi − O) ∧ Fij = 0 .
i,j
In effetti, cambiando nomi agli indici, si ha che:
„
Ž
X
X
X
1
(i)
(i)
(i)
(Pi − O) ∧ Fij +
(Pj − O) ∧ Fji
.
(Pi − O) ∧ Fij =
2
i,j
j,i
i,j
121
Tenendo ora conto del fatto che l’ordine in cui si somma è irrilevante, si trova che:
(i)
X
(Pi − O) ∧ Fij =
i,j
1 X
(i)
(i)
(Pi − O) ∧ Fij + (Pj − O) ∧ Fji .
2 i,j
Usando il principio di azione e reazione:
X
(i)
(Pi − O) ∧ Fij =
i,j
1X
1 X
(i)
(i)
(i)
(Pi − O) ∧ Fij − (Pj − O) ∧ Fij =
(Pi − Pj ) ∧ Fij .
2 i,j
2 i,j
(i)
Il principio di azione e reazione in forma forte (C3) assicura che Fij è parallela a Pi − Pj ,
(i)
pertanto (Pi − Pj ) ∧ Fij = 0 e questo conclude la dimostrazione. 2
Osservazioni 4.2.
(1) I vettori di Vt :
(e)
R
:=
N
X
(e)
Fi
i=1
e
(e)
MO :=
N
X
(e)
(Pi − O) ∧ Fi ,
i=1
vengono chiamati, rispettivamente, risultante delle forze esterne e risultante dei momenti
delle forze esterne rispetto al polo O. Più in generale, se O è un punto arbitrario e F è una
forza agente sul punto materiale P , (P − O) ∧ F è detto momento della forza F rispetto al
polo O.
(2) A causa della (4.1) la prima equazione cardinale può essere equivalentemente riformulata
come:
M aG |I =
N
X
(e)
Fi .
(4.8)
i=1
In questa forma l’equazione afferma che il centro di massa del sistema evolve, in accordo con il
secondo principio della dinamica, come se fosse un unico punto materiale in cui è concentrata
tutta la massa del sistema e che è sottoposto alla somma di tutte le forze esterne agenti sul
sistema.
(3) Si definiscono analogamente la risultante delle forze interne, R(i) , e la risultante dei
(i)
momenti delle forze interne, MO . Nel corso della dimostrazione delle equazioni cardinali,
è stato provato che
(i)
R(i) = 0 e MO = 0 ,
per ogni sistema di punti materiali che soddisfa i principi della dinamica C1-C4 (anche nella
versione estesa) e, per quanto riguarda la risultate dei momenti, indipendentemente dalla scelta
del polo O.
(4) In generale, le due equazioni cardinali non sono in grado di determinare il moto del sistema
122
una volta assegnate condizioni iniziali. Tuttavia nel caso in cui il sistema soddisfi il vincolo
di rigidità (cioè le distanze tra i punti del sistema sono costanti indipendentemente dalle forze
esterne e dalle condizioni iniziali) le due equazioni determinano, se assegnate le condizioni iniziali, il moto del sistema fisico.
4.1.3
Leggi di bilancio/conservazione di impulso e momento angolare.
In base alla prima equazione cardinale, se il sistema è isolato oppure, più debolmente, se la
somma delle forze esterne è nulla (in un intervallo di tempo), allora l’impulso totale del sistema
è un integrale primo del moto, cioè si conserva nel tempo (in quell’intervallo di tempo).
In base alla seconda equazione cardinale, se il sistema è isolato oppure, più debolmente, se la
somma dei momenti delle forze esterne rispetto a O è nulla (in un intervallo di tempo), e in
entrambi i casi si è scelto O ≡ G oppure O con velocità nulla in I , allora il momento angolare
totale del sistema è un integrale primo del moto, cioé si conserva nel tempo (in quell’intervallo
di tempo).
I risultati appena citati valgono più debolmente lungo una fissata direzione.
Proposizione 4.1. Nelle ipotesi del teorema 4.1 valgono i seguenti fatti in riferimento ad un
arbitrario versore n costante nel tempo nel riferimento I .
(a) Se R(e) · n = 0 in un intervallo temporale, allora P|I · n è costante in quell’intervallo
temporale su ogni moto del sistema (il valore della costante dipende dal particolare moto).
(e)
(b) Se O = G oppure O è in quiete in I , e MO · n = 0 in un intervallo temporale, allora
ΓO |I · n è costante in quell’intervallo temporale su ogni moto del sistema (il valore della costante dipende dal particolare moto).
(a) e (b) valgono in particolare in ogni sistema di riferimento inerziale e per ogni direzione n,
quando il sistema di punti materiali è isolato, cioé non è sottoposto a forze esterne.
Dimostrazione. La prova di (a) è immediata dalla prima equazione cardinale. La prova di
(b) è immediata dalla seconda equazione cardinale tenendo conto che, se O = G oppure O è in
quiete in I allora vO |I ∧P|I = 0 (nel primo caso perché risulta vO |I = vG |I e vale la (4.1)). 2
Osservazioni 4.3.
(1) Nella storia della fisica, estendendo la classe di sistemi fisici studiati, si è visto che è stato
sempre possibile definire un contributo all’impulso totale del sistema (che può non essere totalmente meccanico, per esempio può contenere un contributo dovuto al campo elettromagnetico)
in modo tale che l’impulso totale di un sistema isolato venga ancora conservato. Questo principio, cioè che si possa sempre estendere la nozione di impulso in modo tale da avere alla fine
una legge di conservazione, prende il nome di principio di conservazione dell’impulso. La
storia della fisica mostra che tale principio è molto più importante del teorema corrispondente
in meccanica, ed ha validità sia nelle teorie relativistiche che in quelle quantistiche ed è legato
alle proprietà di omogeneità dello spazio nei riferimenti inerziali.
123
(2) Nello stesso modo, si è visto che estendendo la classe di sistemi fisici studiati, è stato sempre
possibile definire un contributo al momento angolare totale del sistema (che può non essere totalmente meccanico, per esempio può contenere un contributo dovuto al campo elettromagnetico)
in modo tale che il momento angolare totale di un sistema isolato venga ancora conservato. Questo principio, cioè che si possa sempre estendere la nozione di momento angolare in modo tale da
avere alla fine una legge di conservazione, prende il nome di principio di conservazione del
momento angolare. La storia della fisica mostra che tale principio è molto più importante del
teorema corrispondente in meccanica, ed ha validità sia nelle teorie relativistiche che in quelle
quantistiche ed è legato alle proprietà di isotropia dello spazio nei riferimenti inerziali.
4.2
Energia meccanica
Introduciamo ora le nozioni fondamentali che si riferiscono all’energia meccanica per punti materiali e sistemi di punti materiali.
Definizione 4.2. Sia P un punto materiale di massa m, soggetto alla forza F all’istante t.
(a) L’energia cinetica di P rispetto ad un riferimento I al tempo t è il numero:
1
τ |I (t) := mk vP2 |I (t) ,
2
2
dove abbiamo usato la notazione u := u · u per u ∈ Vt .
(b) La potenza dissipata dalla forza all’istante t è
π|I (t) := vP |I (t) · F .
Se è dato un sistema S punti materiali Pk con masse mk , k = 1, 2, . . . , N ,
(c) l’energia cinetica totale del sistema S rispetto ad un riferimento I al tempo t è il numero:
T |I (t) :=
N
X
1
2
k=1
mk vP2 k |I (t) .
♦
Esempi 4.1.
1. Esistono forze che vengono dette forze resistenti passive o forze dissipative rispetto ad
un riferimento I . Queste forze hanno la caratteristica di avere potenza dissipata strettamente
negativa rispetto a I per velocità non nulle:
F(t, P, vP |I ) · vP |I < 0 ,
per ogni vP |I ∈ VI , vP |I 6= 0.
L’esempio tipico è quello della forza viscosa. Un fluido in quiete in un riferimento I esercita su
un punto materiale P una forza che ha la forma funzionale
F = −g(||vP |I ||)
124
vP |I
.
||vP |I ||
La funzione g è non negativa. Per piccole velocità (es. fino a 2m/s in aria) la funzione g
è costante. Per alte velocità l’andamento è più complicato e segue una legge di potenza come
k||vP |I ||n con k > 0.
2. Esistono forze che vengono dette forze girostatiche rispetto ad un riferimento I . Esse
sono caratterizzate dal fatto che la potenza dissipata rispetto a I è sempre nulla:
F(t, P, vP |I ) · vP |I = 0 ,
per ogni vP |I ∈ VI .
L’esempio tipico è la forza di Lorentz che agisce su un punto materiale di carica e, quando
è immerso nel campo magnetico B(t, P ) assegnato nel riferimento I (c è la velocità della luce):
e
F = vP |I ∧ B(t, P ) .
c
Un’altro esempio, nel qual caso si tratta di una forza inerziale, è dato dalla forza di Coriolis
discussa nel capitolo 2:
F(Coriolis) = −2mωI 0 |I ∧ vP |I 0 .
L’energia cinetica di un sistema di punti si può decomporre in modo canonico come energia del
centro di massa ed energia “attorno al centro di massa”. Questa decomposizione è utile in vari
campi. Essa è introdotta dal seguente elementare ma popolare teorema.
Teorema 4.2.
(Teorema di König.) Per un sistema di punti materiali Pk , k = 1, . . . , N ,
l’energia cinetica rispetto al riferimento I è pari all’energia cinetica nel riferimento IG , in cui
G è in quiete e ωIG |I = 0, sommata all’energia cinetica di un punto materiale che occupa la
posizione di G istante per istante ed ha massa pari alla massa totale del sistema M . In formule,
(tralasciando di scrivere la dipendenza temporale per semplicità )
1
2
T | I = M vG
|I + T |IG .
2
(4.9)
♦
Dimostrazione. Nelle ipotesi fatte, dalla definizione di energia cinetica ed usando (1.66)
T |I =
X1
k
2
=
mk vPk |I · vPk |I =
k
X1
k
=
X1
2
mk vP2 k |IG +
X1
k
2
2
mk (vPk |IG + vG |I ) · (vPk |IG + vG |I )
2
mk vG
|I +
X
mk vPk |IG · vG |I
k
X1
k
X
X1
1
1
2
2
mk vP2 k |IG + M vG
|I + mk vPk |IG ·vG |I =
mk vP2 k |IG + M vG
|I +M vG |IG ·vG |I .
2
2
2
2
k
k
Dove abbiamo usato la definizione di centro di massa. L’ultimo addendo è nullo essendo, nelle
nostre ipotesi, vG |IG = 0 e quindi:
T |I =
X1
k
1
2
mk vP2 k |IG + M vG
|I .
2
2
2
125
4.2.1
Teorema delle forze vive.
Il primo teorema di bilancio che riguarda l’energia cinetica è il cosiddetto teorema delle forze vive.
Teorema 4.3.
(Teorema delle forze vive.) Si consideri un sistema S di punti materiali
Pk con masse mk , k = 1, 2, . . . , N , che soddisfa i principi C1-C4 (includendo il caso di forze
inerziali e reazioni vincolari). Nel riferimento I e per ogni fissato istante del tempo assoluto t
vale l’equazione delle forze vive:
Π(e) |I + Π(i) |I =
dT |I
.
dt
(4.10)
Dove, all’istante considerato, Π(e) |I e Π(i) |I sono rispettivamente la potenza totale delle
forze esterne, cioé la somma delle potenze dissipate dalle forze esterne su ciascun punto del
sistema, e la potenza totale dissipata dalle forze interne, cioé la somma delle potenze
dissipate dalle forze interne su ciascun punto del sistema.
(i)
(e)
Dimostrazione. Per il punto materiale k-esimo, se Fk e Fk sono rispettivamente la somma
delle forze interne ed esterne agente su di esso, tenendo conto del secondo principio della dinamica
abbiamo:

‹
dvPk |I
d 1
(i)
(e)
vPk |I · (Fk + Fk ) = mk vPk |I ·
=
mk vP2 k |I .
dt
dt 2
Prendendo la somma su k si ottiene l’equazione (4.3). 2
Osservazioni 4.4.
Abbiamo precisato il riferimento anche in relazione alla potenza totale
dissipata dalle forze interne. In realtà si può provare che tale potenza totale non dipende dal riferimento. Questo risultato notevole cade sotto il nome di principio di indifferenza meccanica
ed ha una notevole importanza nei successivi sviluppi della fisica, passando dalla meccanica alla
termodinamica, nella definizione di energia termodinamica interna del sistema come funzione
indipendente dal riferimento. Dimostriamo l’indipendenza citata.
Le forze interne sono forze “vere” quindi, per definizione, non dipendono dal sistema di riferi(i)
(i)
mento Fk |I = Fk |I 0 . La relazione tra le differenti velocità di ciascun punto del sistema al
variare del riferimento è data dalle (1.66).
vPk |I = vPk |I 0 + vO0 |I + ωI 0 |I ∧ (Pk − O0 ) .
Da ciò, con ovvie notazioni si ha:
Π(i) |I − Π(i) |I 0 = vO0 |I ·
X (i)
Fk +
k
X
(i)
ωI 0 |I ∧ (Pk − O0 ) · Fk .
k
(i)
(i)
Per note proprietà del prodotto vettore: ωI 0 |I ∧ (Pk − O0 ) · Fk = (Pk − O0 ) ∧ Fk · ωI 0 |I , per
cui:
X (i)
X
(i)
Π(i) |I − Π(i) |I 0 = vO0 |I ·
Fk + ω I 0 | I ·
(Pk − O0 ) ∧ Fk
k
k
126
Cioé
(i)
(i)
Π(i) |I − ΠI 0 = vO0 |I · R(i) + ωI 0 |I · MO0
(i)
Da (3) in osservazioni 4.2, concludiamo che R(i) = 0 e MO0 = 0 per cui:
Π(i) |I − Π(i) |I 0 = 0 .
4.2.2
Forze conservative.
Definizione 4.3.
Dato un sistema S di punti materiali Pk , con k = 1, 2, . . . , N , si dice che
è stata assegnato un sistema di forze posizionali rispetto al riferimento I , se per ogni punto
Pk è assegnata una funzione di forza (escludiamo il caso di forze inerziali) Fk , che nel riferimento
I assume forma funzionale Fk = Fk (P1 , . . . , Pk ). Si dice ulteriormente che il sistema di forze
posizionali è conservativo nel sistema I se esiste una funzione U |I ∈ C 1 (EI × · · · × EI ),
detta energia potenziale associata al sistema di forze in I , tale che in I :
Fk (P1 , . . . , PN ) = −∇Pk U |I (P1 , . . . , PN ) ,
per ogni Pk ∈ EI e k = 1, 2, . . . , N .
(4.11)
♦
Osservazioni 4.5.
(1) La funzione −U |I viene chiamata potenziale del sistema di forze. Ovviamente sia U |I
che il potenziale sono definiti a meno di costanti additive.
(2) Esistono sistemi di forze le cui forze possono essere scritte come in (4.11) dove però , U |I
dipende anche dal tempo. In tal caso U |I non prende più il nome di energia potenziale, ma
−U |I viene ancora chiamato potenziale della forza. La situazione descritta si ha immediatamente quando, data un sistema di forze conservative rispetto al riferimento I , si passa ad un
nuovo riferimento con una trasformazione di Galileo che coinvolge una velocità di trascinamento.
(3) Particolari casi di forze conservative, per sistemi composti da un’unica particella, sono le
cosiddette forze centrali: una forza F è detta centrale nel riferimento I con centro O ∈ EI ,
se è posizionale e soddisfa la due condizioni:
(i) F(P ) è parallela a P − O, per ogni P ∈ EI ,
(ii) F(P ) è funzione solamente di ||P − O||.
La dimostrazione del fatto che una forza centrale è conservativa è lasciata negli esercizi. È invece
facile provare che ogni forza conservativa F rispetto al riferimento I , che soddisfa (i) rispetto a
O ∈ EI , è centrale rispetto ad O. Lavorando in coordinate polari sferiche solidali con I e con
origine in O, deve essere
F(P ) = −
∂U |I
1 ∂U |I
1 ∂U |I
er −
eθ −
eϕ .
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
Per soddisfare il vincolo (i), le due ultime derivate devono essere nulle e, di conseguenza, l’energia potenziale U e quindi la forza stessa, non possono dipende da θ e ϕ, ma solo da r = ||P − O||.
127
Usando teoremi ben noti dai corsi di Analisi [GiustiI] si può provare facilmente il seguente teorema, che caratterizza la forze conservative nel caso di un sistema composto da un unico punto.
Il teorema può essere facilmente generalizzato al caso di sistemi di più punti materiali, lasciamo
al lettore tale generalizzazione.
Teorema 4.4.
Si consideri la forza posizionale rispetto al riferimento I , F : Ω → R, con
Ω ⊂ EI aperto e si supponga che F sia continua.
(a) le seguenti condizioni sono equivalenti:
(i) F è conservativa;
(ii) per ogni coppia di punti P, Q ∈ EI , l’integrale
Z Q
F(x) · dx , non dipende dalla curva
P Γ
regolare Γ : x = x(s) di estremi P e Q purché sia completamente inclusa in Ω;
(iii) per ogni curva chiusa regolare Γ tutta contenuta in Ω vale
I
F(x) · dx = 0 .
Γ
(b) Se F è conservativa l’energia potenziale U è di classe C 1 (Ω) e può essere definita come:
U |I (P ) := −
Z P
F(x) · dx ,
O Γ
dove O ∈ Ω è un punto arbitrario fissato una volta per tutte e Γ è una qualsiasi curva regolare
da O a P , tutta contenuta in Ω.
(c) Se F ∈ C 1 (Ω) ed è conservativa allora
∇ ∧ F(P ) = 0 ,
per ogni P ∈ EI .
(4.12)
(d) Se F ∈ C 1 (Ω), Ω è semplicemente connesso e vale (4.12), allora F è conservativa. ♦
Esercizi 4.2.
1. Dimostrare che se F : Ω → VI è continua e centrale rispetto al punto O ∈ EI , con Ω
aperto, allora F è conservativa.
2. Si consideri un punto materiale P sottoposto alla sola forza centrale F con centro O nel
riferimento inerziale I . Mostrare che, nel riferimento I , il moto del punto avviene in un piano
che è perpendicolare al momento angolare del punto ΓO |I che è costante nel tempo.
Osservazioni 4.6.
(1) Si possono considerare sistemi di forze conservative che sono tali indipendentemente dal
riferimento. Questa situazione si per sistemi di due punti materiali, P e Q quando essi interagiscono con una coppia di forze (costituente una coppia azione-reazione), F(P, Q) e −F(P, Q),
rispettivamente agente su P e su Q per la quale esista una funzione U = U (r) di classe C 1 (R)
(o su qualche sottoinsieme aperto di R) con, se U (P, Q) := U (||P − Q||)
F(P, Q) = −∇P U (P, Q) .
128
(4.13)
Si osservi che, in tal caso, −∇Q U (||P − Q||) = −F(P, Q), per cui il ruolo dei due punti
è simmetrico. La richiesta che U sia funzione di ||P − Q|| e non di P − Q implica immediatamente che F sia diretta lungo la congiungente P e Q come richiesto dal principio di azione
e reazione in forma forte. Si osservi infine che, in questo caso, la relazione (4.13) vale in ogni
riferimento (le forze considerate sono forze vere e quindi invarianti al variare del riferimento) assumendo, come è tacito dalla notazione, che forma funzionale di U non dipenda del riferimento.
Ciò è coerente visto che la distanza dt (P, Q) = ||P − Q|| è assoluta e non dipende dal riferimento.
Anche in questo caso la funzione U viene detta energia potenziale ora associata alla coppia di
forze F(P, Q) e −F(P, Q).
La situazione si estende al caso di più punti materiali quando, per ogni coppia di punti Pi , Pj
con i 6= j, la corrispondente coppia azione-reazione del sistema di forze ammette un’energia
potenziale Uij (Pi , Pj ) = Uij (||Pi − Pj ||) del tipo detto sopra. L’energia potenziale totale, per la
quale vale (4.13), si ottiene sommando quella di tutte le coppie possibili:
U (P1 , P2 , . . . , PN ) =
X
Uij (Pi , Pj ) .
i<j
Si osservi che la coppia Pi , Pj e la coppia Pj , Pi contribuiscono con un’unica funzione energia
potenziale Uij .
(2) Tornando al caso di due punti materiali P, Q con energia potenziale U (P, Q) = U (||P −Q||),
se la posizione di Q è tenuta fissa, in quiete, in un riferimento I , mediate l’azione di forze
supplettive agenti su Q, la forza agente sul P è di fatto una forza centrale con centro dato da
Q, quando la si descrive nel riferimento I .
4.2.3
Bilancio e conservazione dell’energia meccanica.
Da tutto quanto visto si ha il seguente fondamentale teorema, che enuncia l’equazione di bilancio
per l’energia meccanica e la sua proprietà di conservazione nel caso in cui tutte le forze in gioco
siano conservative.
Teorema 4.5.
(Bilancio e conservazione dell’energia meccanica.) Si consideri un sistema S di punti materiali Pk , con k = 1, 2, . . . , N , di masse mk rispettivamente che soddisfi
i principi C1-C4 (anche nelle forme generalizzate). Si supponga che S sia sottoposto, in addizione ad altre eventuali forze non conservative, ad un sistema di forze conservative rispetto al
riferimento I con energia potenziale U |I = U |I (P1 , . . . , PN ).
Se si definisce l’energia meccanica totale del sistema nel riferimento I :
E |I := T |I + U |I .
Per ogni istante di tempo assoluto t vale l’equazione di bilancio, su ogni moto del sistema
(noncons.)
Π|I
=
129
dE |I
,
dt
(noncons)
dove Π|I
è la potenza totale delle forze non conservative nel riferimento I .
Nel caso in cui tutte le forze agenti sul sistema siano conservative, l’energia meccanica è un
integrale primo del moto, cioé è conservata al variare del tempo sui moti del sistema.
Dimostrazione. Dall’equazione (4.10) è sufficiente dimostrare che la potenza delle forze con(cons)
servative Π|I
soddisfa
(cons)
Π|I
=−
dU |I (P1 (t), . . . , PN (t))
,
dt
dove Pk = Pk (t) risolve l’equazione del moto per il sistema di punti. In effetti, dalla (4.11), si
ha che:
(cons)
Π|I
=
X
k
π (cons) |I k = −
X
vPk · ∇Pk U |I (P1 (t), . . . , PN (t)) = −
k
dU |I (P1 (t), . . . , PN (t))
,
dt
che è quanto si voleva provare. 2
Osservazioni 4.7. Si osservi che in generale l’energia meccanica non è conservata per sistemi
fisici reali isolati, a causa delle forze non conservative interne al sistema che in natura sono
sempre presenti (gli attriti interni). Estendendo la classe di sistemi fisici studiati, si è visto
però che è sempre possibile definire un contributo all’energia totale del sistema (che può non
essere totalmente meccanica, per esempio può contenere l’energia del campo elettromagnetico
oppure energia interna termodinamica) in modo tale che l’energia totale di un sistema isolato
sia conservata nel tempo quando valutata in un riferimento inerziale. Il principio generale, che
afferma che si possa sempre estendere la nozione di energia in modo tale da avere alla fine una
legge di conservazione, prende il nome di principio di conservazione dell’energia. La storia
della fisica mostra che tale principio è molto più importante del teorema dimostrato sopra in
meccanica, ed ha validità sia nelle teorie relativistiche che in quelle quantistiche ed è legato alle
proprietà di omogeneità del tempo nei riferimenti inerziali.
Esercizi 4.3.
1. Si consideri un punto materiale P di massa m vincolato ad un’asta orizzontale ` liscia
passante per il punto O. L’asta è in quiete nel riferimento I 0 . Definire un sistema di coordinate
cartesiane ortonormali destrorse solidali con I 0 , centrate in O, con asse x diretto lungo `, asse
y orizzontale e perpendicolare a ` e asse z verticale diretto verso H. P è sottoposto alla forza
di gravità −mg ez ed ad una forza dovuta ad una molla ideale, di lunghezza nulla a riposo e di
costante κ > 0, fissata ad un estremo al punto P ed all’altro estremo al punto fisso H di altezza
h sulla verticale di O. Il riferimento I 0 ruota, attorno all’asse ez , con velocità angolare costante
ωI 0 |I = ω ez rispetto al riferimento inerziale I .
(i) Scrivere le equazioni pure di movimento per il punto P e darne la soluzione generale a seconda
del valore del rapporto mω 2 /κ.
(ii) Nel caso mω 2 /κ < 1, esprimere la reazione vincolare φ in funzione del tempo, per il moto
130
con condizioni iniziali P (0) − O = x0 ex , con x0 > 0, e vP |I 0 (0) = 0.
(iii) Dimostrare che la componente parallela all’asse z del momento angolare di P con polo O
non è in generale conservata nel riferimento I .
(iv) Individuare tutte le condizioni iniziali (a t = 0) che producono moti in cui la componente
parallela all’asse z del momento angolare di P con polo O rispetto a I è conservata nel tempo.
2. Si consideri il sistema fisico dell’esercizio precedente.
(i) Dimostrare che nel riferimento I 0 ha senso, dal punto di vista matematico, definire un’energia
potenziale di parte delle forze inerziali, in addizione a quella della molla, in modo tale che
l’energia meccanica totale sia conservata nel riferimento I 0 .
(ii) Individuare tutte le condizioni iniziali (a t = 0) che producono moti in cui l’energia meccanica
è conservata nel riferimento I .
3. Si considerino due punti materiali P e Q di masse M ed m rispettivamente. Tali punti
siano vincolati alla superficie cilindrica C di equazione x2 + y 2 = R2 con R > 0, dove x, y, z
sono coordinate cartesiane ortonormali solidali con un il riferimento inerziale I . I due punti
sono sottoposti alla forza gravitazionale individuata dall’accelerazione g := −g ez , sono connessi
l’un l’altro da una molla di costante elastica κ > 0 e lunghezza nulla a riposo e ciascuno di essi
è connesso all’origine O delle coordinate con una molla di costante elastica γ > 0 e lunghezza a
riposo nulla.
(i) Si scrivano le equazioni pure di movimento in coordinate cilindriche r, ϕ, z adattate a C con
ϕ = 0 sull’asse x.
(ii) Si calcolino le reazioni vincolari sui punti all’istante iniziale per le condizioni iniziali P (0) −
O = R ex , Q(0) − O = ey , vP (0) = vQ (0) = 0.
(iii) Si dimostri che la quantità M ϕ̇P +mϕ̇Q (dove il punto indica, al solito, la derivata temporale)
è conservata nel tempo su ogni moto del sistema.
4.3
*La necessità della descrizione in termini di continui e di
campi in meccanica classica.
La descrizione data dei fondamenti della meccanica classica non è sufficiente ad includere tutti
i fenomeni noti nella fisica classica, infatti, vi sono almeno due situazioni molto importanti in
cui lo schema dato in termini di punti materiali non è sufficiente a descrivere la realtà fisica.
Il primo caso si ha quando ci si trova a lavorare con corpi fisici che cadono sotto la denominazione
di corpi continui, in particolare i cosiddetti fluidi. Si tratta di sistemi fisici che all’apparenza
macroscopica sono estesi (usualmente omogenei ed isotropi) e continui: nel senso che le configurazioni spaziali di tali corpi, nello spazio assoluto ad ogni istante, sono descritti geometricamente
da insiemi omeomorfi ad aperti e connessi di R3 . In tal caso la descrizione data precedentemente deve essere modificata al fine di introdurre opportune funzioni densità che generalizzano le
varie grandezze introdotte prima. Per esempio si hanno funzioni densità di massa e funzioni (a
valori vettoriali) densità di forze che integrate su porzioni di corpo (o superfici di tali porzioni)
forniscono rispettivamente la massa e forza totale su tale porzione. È fondamentale in questa
ottica (per esempio per poter introdurre la forza totale agente su una porzione finita di conti131
nuo) che lo spazio assoluto ad ogni tempo abbia una struttura affine che permetta di parlare
di vettori che non appartengono allo spazio tangente della varietà e di poter sommare vettori
che appartengono a spazi tangenti in punti diversi. La generalizzazione della meccanica dei
punti materiali al caso dei continui cade sotto il nome di meccanica dei continui. Un punto
importante che ha avuto influenza fondamentale nello sviluppo delle fisica, è che la meccanica
dei continui ammette anche una formulazione locale delle leggi della dinamica che invece di riferirsi a porzioni finite di continuo si riferisce a punti di continuo. In tale comoda formulazione,
le equazioni integrodifferenziali relative a porzioni finite di continuo vengono tradotte in equazioni puramente differenziali valide punto per punto nel continuo. Tale formulazione è basata
sull’esistenza (provata da Cauchy) di un particolare campo tensoriale detto tensore degli sforzi
di Cauchy. Il punto rilevante è che, una volta enunciata la formulazione locale, la struttura
affine non è più necessaria ed il formalismo si presta naturalmente ad essere esteso a situazioni
più generali. In particolare la Teoria della Relatività Generale di Einstein sfrutta appieno tale
possibilità essendo formulata su uno spaziotempo che non può ammettere struttura affine per
motivi profondamente fisici (presenza del campo gravitazionale).
Il secondo caso in cui la formulazione data in termini di punti materiali non è più adeguata a
descrivere la realtà fisica è quando si trattano le forze elettromagnetiche. In questa situazione
le forze agenti sui punti materiali sono mediate da campi di forza. L’idea base è che ogni punto
carico elettricamente (sorgente) generi un campo di forze, cioè una coppia di campi vettoriali
E = E(t, P ) (campo elettrico) e B = B(t, P ) (campo magnetico) definiti in ogni punto
dello spazio P e ad ogni istante t, di forma opportuna a seconda delle caratteristiche e dello
stato di moto della sorgente. Gli altri punti carichi elettricamente che si trovano nello spazio,
risentono di forze esclusivamente attraverso il vettore campo nel punto ove essi si trovano. Più
precisamente, per un punto materiale nel vuoto di massa m e carica elettrica q che si trova nel
punto P (t) al tempo t nello spazio di quiete del riferimento inerziale I vale ancora
maP |I (t) = FL (t, P (t), vP |I (t))
dove la funzione forza a secondo membro è data dalla Forza di Lorentz
FL (t, P (t), vP |I (t)) := qE(t, P (t)) +
qvP |I (t)
∧ B(t, P (t))
c
(4.14)
c è una costante pari alla velocità della luce nel vuoto. Si noti la presenza esplicita di t in
FL (t, P (t), vP |I (t)) che denota la dipendenza dal moto della sorgente dei campi. Il fatto sperimentale che rende centrale invece che inutile l’idea di campo, è che se la sorgente modifica il
suo stato di moto, il campo nei suoi dintorni si deforma conseguentemente con un certo ritardo:
le perturbazioni del campo si muovono ad una velocità finita e le forze agenti sugli altri punti
carichi risentono di tale ritardo. È chiaro che in questa situazione, in presenza di cariche in
moto, il principio di azione e reazione cessa di valere e con esso cessa di valere il principio di
conservazione dell’impulso, se per impulso si intende la somma degli impulsi dei singoli punti
materiali carichi. Tuttavia si può dimostrare che: il principio di conservazione dell’impulso
continua ad essere valido per il sistema complessivo cariche più campo eletromagnetico, purchè
si definisca un contributo all’impulso totale dovuto al campo stesso. Tale contributo si ottiene
132
integrando nello spazio una densità di impulso associata al campo elettromagnetico. In maniera
simile si estendono le leggi di conservazione dell’energia e del momento angolare. Infine si può
mostrare che la dinamica del sistema complessivo è formulabile con equazioni locali (nel senso
detto sopra) equivalenti alle equazioni integro-differenziali di partenza. Il campo elettromagnetico, in definitiva, viene ad essere trattato, pur con importanti differenze, in maniera simile a
quanto appena detto per i continui. (In particolare, viene anche definito un tensore degli sforzi
del campo elettromagnetico detto tensore di Maxwell).
Osservazioni 4.8.
(1) È chiaro che nella realtà i continui non esistono perchè i corpi fisici, ad una analisi microscopica, rivelano una natura molecolare e quindi discreta. A tale livello avvengono importantissimi
nuovi fenomeni e l’unica descrizione nota è quella basata sulla Meccanica Quantistica.
(2) Anche il campo elettromagnetico ha una natura discreta/quantistica basata sul concetto di
fotone, che condivide anche una natura relativistica.
(3) Le cariche elettriche elementari, gli elettroni, sembrerebbero essere a tutti gli effetti punti
materiali, cioè essere privi di dimensioni (l’unica struttura è quella dovuta al cosiddetto spin).
In realtà, a livello classico (inclusa la trattazione relativistica non quantistica delle cariche e del
campo elettromagnetico) lo schema di carica elettrica puntiforme e campo elettromagnetico non
quantistico produce gravi inconsistenze matematiche segnate dall’apparire di quantità infinite
(autoforza, autoenergia...)[Jackson]. Tali inconsistenze sono legate al fatto che le cariche elettriche non puntiformi, in base alle stesse equazioni dell’elettromagnetismo risultano auto-interagire
con il campo elettromagnetico da esse stesse prodotto, tale fenomeno è fisicamente evidente nella
radiazione di frenamento che si ha quando si cerca di accelerare una carica1 .
1
Per questo motivo anche la stessa definizione di massa di una particella carica è problematica, e si è pensato più
volte in passato e in ambito classico o relativistico, di definire la massa di un elettrone attraverso l’autointerazione
di frenamento con il campo da essa emesso [Jackson]. Tali teorie, malgrado fossero molto interessanti, non hanno
mai avuto successo.
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