La nascita della teoria della relatività di
Einstein
28
Alcuni protagonisti
velocità della luce: Olaf Römer (1675, astronomo danese), Fizeau
[1819-1896] (1849), Foucault (1819-1868), Michelson (1852-1931)
ottica dei corpi in movimento e etere: Fizeau (1851), Michelson,
Morley (1838-1923)
elettromagnetismo, etere e materia: J.J. Thomson, FitzGerald (18511901), Lorentz (1853-1928), Larmor (1857-1942), Abraham (1875-1922),
Wien (1864-1928), Poincaré (1854-1912)
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Relatività Galileiana
È il principio di inerzia a fornirci uno strumento di discriminazione tra i vari sistemi di riferimento: dato un sistema di riferimento in cui valgono le leggi della
Meccanica (essenzialmente
F = ma) in qualunque sistema di riferimento in
moto rettilineo uniforme rispetto ad esso valgono le stesse leggi (principio di
relatività galileiana).
r(t) = r0(t) + vt
(1)
t = t0
r_ (t) = r_ 0(t) + v
(2)
(3)
r(t) =
r0(t)
j r1
2 j=j r01 + vt
r
r0
2
(4)
vt = r0
j j 1
r0
2j
30
(5)
0
z
6
z
6
x
0
v
1
suono
t
n
k
h
)
0suono - 0
0
v
O
y
O 0
vt x
-y
[Fizeau] La prima ipotesi è quella che afferma che la stanza trascina nel suo
moto, insieme alla sorgente luminosa, anche questa sostanza, l’etere, così
come prima l’aria veniva trascinata dalla stanza. In questo caso la legge di
trasformazione dovrebbe rimanere quella galileiana.
[Michelson-Morley] La seconda ipotesi è quella dell’etere come sistema di
riferimento assoluto: la nostra stanza insieme alla sorgente luminosa si sposta
senza trascinare l’etere in alcun modo, bensì si muove attraverso l’etere considerato come sistema assoluto di riferimento, fermo rispetto a qualunque
sistema inerziale. Per l’osservatore esterno alla stanza, fermo nel sistema
di riferimento assoluto, la luce avrebbe velocità
c costante in ogni direzione.
Per ogni osservatore in moto rispetto all’oceano di etere la velocità della luce
sarebbe diversa rispetto a diverse direzioni.
31
(1) La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento
inerziali (legge fondamentale nel campo dei fenomeni elettromagnetici).
(2) Tutte le leggi di natura sono le stesse nei sistemi di riferimento inerziali.
Entrambi questi enunciati sono sperimentalmente verificati, il secondo è una
estensione a tutti gli eventi della natura del principio di relatività galileiana.
Nel campo della Meccanica newtoniana veniva postulato poi che:
(T) Posizione e tempo nel passaggio da un sistema inerziale all’altro ubbidiscono alle trasformazioni galileiane.
L’aggiunta di questo postulato implica una contraddizione tra (1) e (2), ma
nello stesso tempo afferma l’invarianza in forma delle leggi della Meccanica
Classica. L’eliminazione di (T) e la sua sostituzione con
(T0 ) Posizione e tempo nel passaggio da un sistema inerziale all’altro ubbidiscono alle trasformazioni di Lorentz.
porta ad una ricomposizione di (1) e (2) in un unico principio (principio di relatività ristretta), ma nello stesso tempo asserisce che le leggi della Meccanica
Classica sono solo un’ottima approssimazione, che è in pratica “tutta la verità”
quando v
c (cioè nella nostra esperienza di tutti i giorni).
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Ecco quindi che delle tre possibilità:
(a) vale un principio di relatività per la Meccanica ma
non per l’Elettrodinamica; esiste per l’Elettrodinamica un riferimento inerziale privilegiato, il riferimento
etereo
(b) vale un principio di relatività sia per la Meccanica
che per l’Elettrodinamica, ma l’Elettrodinamica non è
formulata correttamente dalle equazioni di Maxwell
(c) vale un principio di relatività sia per la Meccanica
che per l’Elettrodinamica, ma non è corretta la formulazione newtoniana delle leggi della Meccanica
solo la possibilità (c) è in accordo con i risultati sperimentali e quindi corretta.
33
34
Elettrodinamica dei corpi in movimento
principi e teorie alla fine dell’Ottocento
Principi di relatività e invarianza: dalla geometria alla fisica (il “programma di Erlangen” di Felix
Klein [1849-1925]).
L’affermarsi esplicito di una distinzione tra teorie
costruttive (Weber e Maxwell in una prima fase)
e teorie dei principi (Franz Neumann, Maxwell,
von Helmholtz [teorie del potenziale] e gli allievi
di prima e seconda generazione di Franz Neumann: Kirchhoff, Voigt [vettori e vettori assiali],
Planck, Drude).
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Contrazioni delle lunghezze e dilatazioni dei tempi
Tra il 1892 e il 1904 Lorentz elabora la sua teoria dell’elettrone, le cui equazioni
e i cui risultati, ma non l’interpretazione, finiranno per coincidere in larga parte
con quelli della relatività di Einstein.
1892-1895: espressione della “forza di Lorentz”
Ritrovando indipendentemente anche risultati di W. Voigt (1850-1919;
1887), Lorentz introduce nel 1892 l’idea di tempo locale e contrazione
delle lunghezze (autonomamente proposta nel 1889 da FitzGerald) per
spiegare il risultato negativo degli esperimenti di Michelson e Morley.
Da queste ipotesi discendono le “trasformazioni di Lorentz” 1899-1904.
Etere stazionario come sistema di riferimento assoluto e elettrone (chiamato “ione” fino al 1899) deformabile.
Negli stessi anni i contributi di Larmor (Aether and Matter, 1900) portano a conclusioni simili a quelle di Lorentz ma sulla base di un modello
etereo nel quale l’elettrone viene interpretato come singolarità.
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Altre teorie dell’elettrone
Max Abraham [1875-1922] (Berlino, Göttingen, Illinois, Milano, Aachen):
dinamica dell’elettrone come sfera rigida (non deformabile).
Emil Cohn [1854-1944] (Strasburgo): continua l’approccio di alcuni
filoni “maxwelliani” considerando il campo e.m. come l’entità fondamentale e cercando opportuni aggiustamenti delle equazioni che regolano
la dinamica dei campi. Non interessato al riduzionismo meccanico considera la nozione di etere come non necessaria (richiamandosi anche
al principio di “economia del pensiero” di Mach). Critica la distinzione
di Lorenz tra coordinate spaziotemporali vere/generali e misurate/locali,
ma non crede nella validità generale del principio di relatività.
Alfred Bucherer [1853-1928] (John Hopkins and Cornell University,
Strasburgo, Bonn): dinamica dell’elettrone deformabile con la condizione
che il volume deve restare costante. Quindi a una contrazione in una
direzione corrisponde la dilatazione in un’altra.
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I contributi di Poincaré
La mesure du temps (1898): ‘Non abbiamo alcuna intuizione diretta
dell’uguaglianza di due intervalli temporali: coloro che ritengono di avere
tale intuizione sono vittime di un’illusione. [...] È difficile separare i problemi di carattere qualitativo della simultaneità dal problema di carattere
quantitativo della misura del tempo; [per stabilire la simultaneità] o si
usa un cronometro o ci si basa sulla velocità di propagazione di un
segnale come la luce, velocità che però non si può determinare senza
effettuare una misura di tempo.’ Discutendo i limiti di queste definizioni
Poincaré conclude: ‘La simultaneità di due eventi, o l’ordine in cui si
succedeono, come pure l’uguaglianza di due intervalli temporali, si devono definire in modo tale che le leggi naturali assumano la forma più
semplice possibile. In altre parole, tutte le regole e le definizioni sono
semplici conseguenze di un opportunismo inconscio.’
Intervento al Congresso di Parigi (1900): analisi critica della nozione di
etere.
Intervento al Congresso di St. Louis (1904): Sincronizzazione degli
orologi mediante segnali luminosi; analisi critica dei principi di conservazione (il secondo principio della termodinamica, il terzo della meccanica newtoniana, il principio di relatività, il principio di conservazione
della massa, il principio di minimo dell’azione). Nelle conclusioni si
legge “forse dobbiamo edificare una nuova meccanica, che riusciamo
a mala pena a intravedere, [...] in cui la velocità della luce diventi un
limite invalicabile’.
38
Il 1905
5 giugno: Poincaré presenta la prima memoria all’accademia delle scienze
di Parigi.
30 giugno: il primo articolo di Einstein su “Elettrodinamica dei corpi in
movimento”.
Luglio 1905 (pubblicata nel 1906): Poincaré presenta completa la seconda memoria (in Rendiconti del circolo matematico di Palermo).
27 settembre: secondo articolo di Einstein “L’inerzia di un corpo dipende
dalla sua energia?”. (Una terza memoria intitolata “Sul principio di relatività e le conclusioni da esso ricavate” apparirà nel 1907).
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Le trasformazioni di Lorentz-Poincarè-Einstein
8
x vt
0=
>
x
>
>
< 0 (1 v 2 =c2 )1=2
y =y
z0 = z
>
>
t (v=c2)x
>
: 0
t
= (1
(6)
v2=c2)1=2
relative a due sistemi K e K0 (che si muove di moto uniforme rispetto a
K
con velocità v diretta lungo l’asse x). Da queste discende la regola di composizione delle velocità:
v0 + vref
v=
1 + (v0vref )=c2
1 + 2
, = 1+
(7)
1 2
40
41
42
43
44
a
I
@
@
t6
@@
@
altrove
d
c
futuro
@@ '
O@
@@
-altrove
x
@@
@
@@
@
passato
@@ b
ab ! x = ct e sulla retta cd ! x = ct; nelle regioni aOc
(t > 0) e bOd (t < 0) si ha c2 t2 x2 > 0 (intervalli di “tipo tempo”: si può
sulla retta
sempre trovare un sistema di riferimento nel quale due eventi hanno luogo
nello stesso punto dello spazio a
t
diversi); nelle regioni
aOd e bOc
si ha
c2t2 x2 < 0 (intervalli di “tipo spazio”, nei quali l’intervallo spazio temporale
è immaginario: si può sempre trovare un sistema di riferimento nel quale
due eventi sono simultanei, ma anche uno in cui un evento precede l’altro e
viceversa, cioè non è definita la concatenazione causale degli eventi in modo
invariante).
45
Il gruppo delle rotazioni non è abeliano in spazi a dim > 2
Una rotazione B di K in K 0
x0k =
3
X
j =1
bkj xj k = 1; 2; 3
(8)
aik x0k i = 1; 2; 3
(9)
Una rotazione A di K 0 in K 00
x00i =
3
X
k=1
La loro composizione C=AB è ancora una rotazione:
x00i =
3
X
k=1
aik
3
X
j =1
bkj xj =
3
3
X
X
(
j =1 k=1
aik bkj )xj =
3
X
cij xj
(10)
j =1
6=
Ovviamente AB BA, poiché gli elementi di D=BA sono:
dij =
3
X
bik akj
(11)
k=1
Nel caso dello spaziotempo di Minkowski la condizione di ortogonalità tiene
conto del fatto che gli elementi di matrice non sono tutti reali (come per le
trasformazioni spaziali euclidee): al posto della delta c’è il tensore g .
46
47
Relatività Ristretta e esperimenti - I
Fresnel aveva previsto che se un liquido (o altro oggetto trasparente) si
muove dentro un tubo (o lungo una traiettoria rettilinea) con velocità v
rispetto all’etere e un raggio di luce percorre il tubo (o l’oggetto trasparente) nella stessa direzione, allora la velocità C della luce nel riferimento di laboratorio non è data dalla legge di composizione galileiana
c
v) ma da:
delle velocità (C
n
= +
c
C = +v 1
n
1
(12)
n2
con n indice di rifrazione del mezzo. Fresnel (e con lui Fizeau che
verificò sperimentalmente l’equazione nel 1851) ipotizzava che la luce
trasmettesse vibrazioni elastiche all’etere attraversato: la presenza del
1
fattore
n2 esprime il fatto che la luce non può acquistare una velocità addizionale pari a v perché è parzialmente rallentata dall’etere
presente nel mezzo. Le relazioni puramente cinematiche di addizione
delle velocità ricavate da Einstein danno pienamente conto del risultato
di Fresnel-Fizeau senza ricorrere a considerazioni sull’etere:
c
v c
v
n
v
C
(13)
c
v
n
n
nc
c2
1
= + '
1+
v2
da cui si riottiene (trascurando nc
+
1
1) l’espressione di Fresnel-Fizeau.
48
Relatività Ristretta e esperimenti - II
L’aberrazione stellare (Bradley, 1728): A causa del moto con velocità
V della Terra una stella che apparirebbe allo zenith se la Terra fosse
in quiete appare in realtà spostata di un angolo dalla verticale con
V=c. Il concetto di etere in quiete assoluta, introdotto da Fresnel nella famosa lettera ad Arago del 1818, aveva proprio il fine di spiegare l’effetto di aberrazione che sarebbe nullo se la Terra trascinasse
l’etere nel suo moto. Consideriamo il sistema K (per semplicità bidimensionale con assi y verticale e x orizzontale) solidale con la stella: la
velocità dell’impulso luminoso da essa proveniente sarà in componenti
vx
; vy
c . Secondo la legge di composizione delle velocità di
Einstein (supponendo la velocità V di traslazione del sistema solidale
alla terra, K 0 , rispetto a K diretta lungo x parallelo a x0) si ha:
tan =
( =0 = )
+V
(14)
1 + (vx V )=c
vy (1 ) =
vy =
(15)
1 + (vx V )=c
siccome vx = 0 dalla prima si ricava vx = V , mentre tenendo conto
che vy = c e vx = V dalla seconda si ottiene:
vy (1 ) =
c=
(16)
1 V =c
da cui vy = c(1 ) = . Infine:
tan = vvxy = Vc
(17)
vx
vx =
0
2
0
2 1 2
0
2
0
0
0
2 1 2
0
2
2
2 1 2
0
0
0
= (1
)
Sviluppando 2 1=2 in serie si ritrova, trascurando termini
al secondo ordine in V=c, l’espressione di Fresnel, ma senza ricorrere
al riferimento etereo assoluto.
49
Relatività Ristretta e esperimenti - III
Effetto Doppler:
0 = 1
vcos c
(18)
dove è l’angolo formato da un raggio di luce monocomatica di frequenza con la direzione x. Einstein in tal modo scopre l’effetto Doppler
anche se il moto della sorgente luminosa è perpentrasverso: 0
dicolare alla direzione di osservazione (sulla possibilità di rivelare sperimentalmente l’effetto Doppler trasverso Einstein pubblica una breve
nota nel 1907).
6=
Legge di trasformazione dell’energia E di un raggio di luce:
E 0 = E
1
vcos c
(19)
L’analogia tra questa espressione e l’espressione (18) viene così commentata da Einstein nel suo lavoro del 1905: “È degno di rilievo che
l’energia e la frequenza di un complesso luminoso varino con la stessa
legge al variare dello stato di moto dell’osservatore.”
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La controversia sulla massa elettromagnetica
v piccole rispetto a c la massa è mo
e2 ).
biando unità di misura mo = 32ac
2
Nel limite per velocità
Abraham:
=
e2 (o cam6ac2
3
1
1
+
1 + 2
9
m = mo
4 2 ln 1 1 = mo 1 + 5 + 35 :::
2
2
2
4
(20)
Bucherer:
m = mo
1
2
1
2
1 =3
1 =2
= mo
Lorentz (Einstein):
m = mo
= mo
1
2
1 + 3 + 9 :::
(21)
3
1
1 + 2 + 8 :::
(22)
2
2
4
4
51
Gli esperimenti di Kaufmann tra il 1901 e il 1906 lo portavano a concludere:
“I risultati delle misure sono incompatibili con il postulato di Lorentz-Einstein.
L’equazione di Abraham e quella di Bucherer si accordano ugualmente bene
con le osservazioni ”. Planck nel 1906 analizzava i dati di Kaufmann (ottenendo tra l’altro per la prima volta l’espressione covariante della forza di
Newton per una particella carica) senza trovare errori ma, come Lorentz, assumeva un atteggiamento di prudente attesa di risultati più precisi. Einstein
nel 1907 scriveva: “Kaufmann ha determinato, con ammirevole precisione,
la relazione fra [la deflessione elettrica e quella magnetica] dei raggi beta...
Usando un metodo indipendente, Planck ha ottenuto risultati che concordano
pienamente con Kaufmann... Si deve inoltre notare che le teorie di Abraham
e Bucherer forniscono curve che si adattano alla curva empirica considerevolmente meglio della curva derivata dalla teoria della relatività. Tuttavia, a mio
giudizio, queste teorie sono alquanto improbabili poiché le loro ipotesi di base
sulla massa dell’elettrone in moto non sono avvalorate da sistemi teorici che
comprendano classi più vaste di fenomeni”.
I risultati del 1908-9 di Bucherer davano ragione a Einstein (anche se il verdetto
finale doveva arrivare solo nel 1914 da Neumann e nel 1915 da Guye e Lavanchy). Minkowski ne fu entusiasta: “Introdurre un elettrone rigido nella
teoria di Maxwell è come andare a un concerto con il cotone nelle orecchie”.
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53
Relatività Ristretta dopo il 1905
Nella breve nota del settembre del 1905 Einstein analizza la relazione
E
mc2. L’articolo termina con l’osservazione che: “i corpi il cui
contenuto di energia è variabile in grado elevato, per esempio i sali
di uranio” avrebbero potuto essere usati per controllare questa previsione. La perdita di peso derivante da trasmutazioni radioattive viene
per la prima volta messa in relazione all’energia di legame da Planck
nel 1907, ma solo negli anni trenta si arriverà, in un contesto teorico
profondamente mutato, alle prime chiare indicazioni in questo senso.
=
Nel 1908 Minkowski arriva all’identificazioni delle trasformazioni di Lorentz
con pseudorotazioni per le quali l’invariante fondamentale è:
x21 + x22 + x23 + x24;
dove x4
= ict
(23)
Presentazione delle equazioni della meccanica e di quelle di MaxwellLorentz nella moderna forma tensoriale, introduzione dei termini “vettorespazio”, “vettore-tempo”, “cono luce”, “linea universo”. La seplificazione
formale venne abbracciata da Einstein solo in seguito nell’ambito dell’elaborazione della teoria della relatività generale. Minkowski affermava in una conferenza a Colonia del 1908 su Spazio e Tempo: “Le
concezioni dello spazio e del tempo che intendo presentarvi hanno le
loro radici nella fisica sperimentale, e qui sta la loro forza. Sono concezioni drastiche: d’ora innanzi lo spazio in sé e il tempo in sé sono
condannati a dissolversi in nulla più che ombre, e solo una particolare
congiunzione dei due conserverà una realtà indipendente”.
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