Cutnell, Johnson - Fisica volume 1
Capitolo 10 La gravitazione
Domande
1. La massa di un oggetto è una misura quantitativa della sua inerzia ed è una proprietà intrinseca
dell’oggetto, indipendentemente dal luogo in cui esso si trova. Il peso di un oggetto, invece, è la
forza gravitazionale che la Terra esercita su di esso e, ovviamente, dipende dalla distanza tra
l’oggetto stesso e il centro della Terra. Quindi, quando un oggetto viene spostato dal livello del
mare alla cima di una montagna, la sua massa non cambia, ma il suo peso sì.
2. Il peso di un oggetto è direttamente proporzionale alla sua massa e la costante di proporzionalità
è rappresentata dall’accelerazione di gravità (g) del luogo in cui l’oggetto si trova. Se l’oggetto A
sulla Terra pesa il doppio dell’oggetto B, vuol dire che A ha una massa doppia di B, caratteristica
che conserverà anche sulla Luna. Di conseguenza, sulla Luna l’oggetto A peserà ancora il doppio
dell’oggetto B (pur se i valori dei pesi di A e B saranno diversi sulla Terra e sulla Luna, in quanto
cambia il valore dell’accelerazione di gravità).
GmT
3. La velocità v di un satellite in un’orbita circolare di raggio r intorno alla Terra è v =
e,
r
quindi, dipende dalla massa della Terra.
4. Sì, e, in questo caso, la costante è 4π2/GMT, dove MT è la massa della Terra.
5. Sembrano senza peso, perchè si muovono attorno alla Terra con la stessa accelerazione centripeta
della navicella e la forza di gravità esercitata dalla navicella su di loro è molto piccola. In realtà il
loro peso, cioè la forza di attrazione gravitazionale che la Terra esercita su di essi, è di poco minore
rispetto al peso che hanno sulla Terra per via della maggiore distanza da essa.
6. Sì. L'energia potenziale gravitazionale calcolata come mgh è solo un’approssimazione locale e
andrebbe calcolata sempre come U = -GmM/r.
Test
1. A
2. C
3. C
4. D
5. D
6. C
7. C
8. B
9. D
10. B
11. C
12. C
13. A
14. C
15. D
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Capitolo 10 La gravitazione
Problemi
1.
Per la terza legge di Keplero i valori dovrebbero essere uguali. Non lo sono a causa degli
arrotondamenti.
2.
a3
Sapendo che 2 = K , possiamo impostare la relazione
T
3
3
rM
rT
rT 3 2
TM 2
3
3
,
da
cui
= 0,058 · 1012 m = 5,8 · 1010 m
r
=
T
=
r
=
M
T
2 M
2
2
2
TT
TT
TM
TT
3.
3
3
rV 3
rV
rT
a3
= K , allora 2 = 2 , TV = TT
= 365 giorni ! 0,7233 = 224 giorni
2
3
T
rT
TV
TT
4.
F=
Gm1m2
r2
(
(6,67 ! 10
=
)(
G P1 / g P2 / g
=
r2
–11
)=
)(
)(
N ! m 2 / kg 2 11 000 N 3400 N
(9,80 m/s ) (12 m)
2
2
2
) = 1,8 ! 10–7 N
5.
Il modulo della forza è massimo quando le due bocce sono a contatto, cioè alla loro distanza
minima, per cui la distanza tra i loro centri è: r = rbowling + r biliardo. Quindi:
F=
Gmbowling mbiliardo
r2
(6,67 !10
=
6.
F=
Gm1m2
r
2
=
(r
bowling
"11
)(
+ rbiliardo
)
(0,11 m + 0,028 m )
7.
)(
"
"11
2
)
(
=
) = 9,6 !10"9 N
)(
)(
N ! m 2 /kg 2 7,35 !1022 kg 40 kg
(3,84 !10 m)
7
2
) = 133!10
"3
N = 1,33!10-1 N
(1430 N ) – f = (5,90 # 103 kg) (0,220 m/s2 )
E, risolvendo in funzione di f , otteniamo:
(
2
N ! m 2 / kg 2 7,2 kg 0,38 kg
(6,67 !10
=
!F = ma
Gmbowling mbiliardo
)(
)
f = 1430 N – 5,90 ! 103 kg 0,220 m/s2 = 132N
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8.
mg =
GM T m
r2
dove r = 3,59 !107 m + 6,38 !106 m , e, quindi, l’accelerazione di gravità è
g=
GM T
r
2
=
(6,67 !10"11 N ! m 2 /kg 2 )(5,98 !1024 kg)
7
6
(3,59 !10 m + 6,38 !10 m)
= 0,223 m/s2
2
9.
Calcoliamo prima la forza che si esercita, due a due, tra i corpi indicati e assumiamo positivo il
verso di destra.
FAB =
FBC =
FAC =
GmA mB
r2
GmB mC
r2
GmA mC
r2
(6,67 ! 10
=
–11
(6,67 ! 10
=
(6,67 ! 10
=
)(
)(
) = 5,007 ! 10–5 N
)(
)(
) = 8,497 ! 10–5 N
)(
)(
) = 6,629 ! 10–6 N
N ! m 2 / kg 2 363 kg 517 kg
(0,500 m )
–11
2
N ! m 2 / kg 2 517 kg 154 kg
(0,250 m )
–11
2
N ! m 2 / kg 2 363 kg 154 kg
(0,750 m )
2
Sul corpo A si esercitano le forze FAB e FAC , ovvero
FA = FAB + FAC = 5,007 ! 10 –5 N + 6,629 ! 10 –6 N = 5,67 ! 10 –5 N, verso destra
Sul corpo B
FB = FBC – FAB = 8,497 ! 10 –5 N – 5,007 ! 10 –5 N = 3,49 ! 10 –5 N, verso destra
Sul corpo C, invece,
FC = FAC + FBC = 6,629 ! 10 –6 N + 8,497 ! 10 –5 N = 9,16 ! 10 –5 N, verso sinistra
10.
L’intensità della forza che agisce sul satellite è uguale a quella che agisce sulla Terra, e vale:
F=
Gmsatellite mTerra
r
2
(6,67 ! 10
=
"11
)(
)(
N ! m 2 / kg 2 425 kg 5,98 ! 1024 kg
(
)
2
#2 6,38 ! 106 m &
%$
('
) = 1,04 ! 10
3
N
L’accelerazione del satellite e della Terra valgono, rispettivamente:
asatellite =
F
msatellite
=
1,04 ! 103 N
= 2,45 m / s2
425 kg
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aTerra =
F
=
mTerra
1,04 ! 103 N
5,98 ! 10
24
kg
Capitolo 10 La gravitazione
= 1,74 ! 10"22 m / s2
11.
FT-a = G
Fp-a = G
mT ma
rT2
mp mpa
rp2
Dividendo membro a membro, otteniamo:
G
Fp-a
=
FT-a
G
Sapendo che
Fp-a
mp ma
rp2
mT ma
! mp
= #
#m
% T
mp
rT
rT2
mT
=2 e
rp
=
" ! rT
$$ #
& #% rp
"
$
$
&
2
! mp
= FT-a #
#m
% T
Fp-a
→
" ! rT
$$ #
& #% rp
"
$
$
&
2
1
, otteniamo:
3
! 1 $2
= (540 N ) ( 2) # & = 120 N
" 3%
12.
g=
GM M
2
RM
Da cui
g=
(6,67 !10"11N ! m 2 /kg 2 )(6,46 !1023 kg)
6
(3,39 !10 m)
2
= 3,75 m/s2
E, quindi,
P = mg = (65 kg)(3,75 m/s2) = 2,4 ⋅ 102 N
13.
3
F
F
31
32
1.20 m
30°
1
2
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Sulla sfera 3 agisce la risultante delle forze esercitate dalle sfere 1 e 2, la cui intensità è:
GMm3
F=
.
r2
Osservando il disegno, si comprende che la somma delle componenti orizzontali è nulla, mentre
quella delle componenti verticali vale:
F3 = 2F cos! = 2
a3 =
F3
m3
=2
GM
r
2
GMm3
r2
cos! = 2
cos! e, di conseguenza, l’accelerazione della terza sfera è:
(
(6,67 "10#11N " m 2 /kg 2 ) 2,80 kg
(1,20 m )
2
) cos 30,0° = 2,25 " 10–10 m/s2
14.
Indichiamo con M la massa della mongolfiera e dell’equipaggio e con m la massa della zavorra.
Quando il sistema è in equilibrio, per la seconda legge di Newton, avremo:
dove Fg rappresenta la forza di galleggiamento.
Fg ! Mg = 0 ,
Quando la zavorra viene buttata fuori dalla mongolfiera, avremo, invece
dove Fg = Mg , e quindi
Fg ! ( M ! m) g = ( M ! m)a ,
Mg – (M ! m ) g = mg = (M – m )a
e infine
Ma
(310 kg )(0,15 m/s2 )
m=
=
= 4,7 kg
g + a 9,80 m/s2 + 0,15 m/s2
15.
Punto in cui le
forze gravitazionali
si equilibrano
Terra
Luna
r
rTerra-Luna
FT = G
mT ma
r
2
FL = G
mL ma
(rT-L ! r )2
Uguagliando le due forze, otteniamo:
mT ma
mL ma
G
=
G
r2
(rT-L ! r )2
Da cui, risolvendo in funzione di r:
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r=
(rT-L )
mT
(
3,85 !108 m )
=
mL
mT
1+
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81,4
1+ 81,4
= 3,47 !108 m
mL
16.
GM S m
FS
FL
2
! M $! r $
=
= ## S && # L-T & =
GM L m
" M L % #" rS-T &%
2
rL-T
2
rS-T
! 1,99 ' 1030 kg $ ! 3,85 ' 108 m $2
&#
& = 178
= ##
&#
&
22
11
7,35
'
10
kg
1,50
'
10
m
"
%"
%
È maggiore la forza esercitata dal Sole.
17.
The acceleration due to gravity at the surface of the neutron star is
a=
Gm
r
2
=
(6.67 !10"11 N ! m 2 / kg 2 )(2.0 !1030 kg)
3
(5.0 !10 m)
2
= 5.3!1012 m/s2
Since the gravitational force is assumed to be constant, the acceleration will be constant and the
speed of the object can be calculated from v 2 = v02 + 2ay , with v0 = 0 m/s since the object falls
from rest. Solving for v yields
(
)(
)
v = 2ay = 2 5.3 ! 1012 m/s2 0.010 m = 3.3 ! 105 m/s
18.
L
D
m3
m
2m
Prima che venga inserita la terza particella, la forza che agisce tra le due particelle è:
Fprima = Gm2m/L2. Dopo l’inserimento della terza particella, entrambe le particelle risentono di una
forza maggiore, perché anche la terza particella agisce su di esse. In particolare, per la particella di
massa m, avremo
Fdopo
Fprima
Gmm3
=
Gm2m
2
D2
L2 = L m3 + 1
Gm2m
2mD 2
L2
+
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E per la particella di massa 2m,
G 2mm3
Fdopo
Fprima
=
(L – D )2
+
Gm2m
L2
Gm2m
L2
=
L2 m3
m (L – D )
2
+1
Dato che Fdopo/Fprima = 2 per entrambe le particelle, ricaviamo
L2 m3
2mD
2
+1 =
L2 m3
m (L – D )
2
+1
!
2 D 2 = (L – D ) ! D 2 + 2 LD " L2 = 0
2
E quindi:
D=
–2 L ±
(2 L )2 – 4 (1)(– L2 )
=
2 (1)
0, 414 L o – 2, 414 L
La soluzione negativa va scartata perché la terza particella si trova tra le prime due.
19.
La velocità orbitale di un satellite intorno a un pianeta è: v = GM P / r
Quindi, il rapporto tra le due velocità è
v2
v1
=
GM P / r2
GM P / r1
=
r1
r2
Che, risolta in funzione di v2, dà
v2 = v1
(
r1
= 1,70 !104 m/s
r2
20.
v2 = GMG/r,
Quindi,
v=
)
5,25 !106 m
= 1,33!104 m/s
6
8,60 !10 m
dove r = 6,00 ⋅ 105 m + 7,14 ⋅ 107 m = 7,20 ⋅ 107 m
(6,67 !10"11 N ! m 2 / kg 2 ) (1,90 !1027 kg) = 4,20 !104 m/s
7,20 !107 m
21.
The orbital speed is
v=
2! r
T
(1)
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To find a value for the radius, we begin with:
T=
2! r 3/ 2
GM E
T GM E
r 3/ 2 =
or
2!
Next, we square both sides of the result for r3/2:
(r )
3/ 2
2
" T GM E #
%
=$
$ 2!
%
&
'
2
or
3
r =
T 2GM E
4! 2
We can now take the cube root of both sides of the expression for r3 in order to determine r:
r=
3
4!
(1.20 "10 s) (6.67 "10
4
T 2GM E
=
2
3
2
#11
)(
N " m 2 /kg 2 5.98 "1024 kg
4!
2
) = 1.13"10
7
m
With this value for the radius, we can use Equation (1) to obtain the speed:
(
)
7
2! r 2! 1.13"10 m
v=
=
= 5.92 "103 m/s
4
T
1.20 "10 s
22.
2! rA3/2
T=
2 ! r 3/2
GM E
da cui
TA
=
TB
GM E
2! rB3/2
=
rA3/2
rB3/2
GM E
Sappiamo che
r = vT / 2! e, quindi, sostituendo nell’equazione (1) avremo:
"v T / (2! )#%
TA
r 3/2
= A3/2 = $ A A
=
3/ 2
TB
rB
"$vB TB / (2! )#%
3/ 2
E, infine:
TA
vB3
vB3
= 3 =
TB
vA
3vB
( )
3
=
(vA TA )
3/ 2
(vB TB )
3/ 2
1
27
23.
(TV/TT)2 = (rV/rT)3 da cui
TV/TE = 0,611
E, infine:
TV = (0,611)(365 giorni) = 223 giorni
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24.
M pianeta =
(
(
) (
)
N " m / kg ) (7,20 "10 s)
3
4! 2 #$ 4,15 "106 m + 4,1"105 m %&
4! r
=
GT 2
6,67 "10-11
2 3
2
3
2
= 1,08 "1024 kg
dove r è il raggio dell’orbita circolare relativamente al centro del pianeta e T il periodo del satellite
T = 2,00h = 7,20 × 103 s
Ricaviamo ora il peso del satellite:
-11
2
24
GM p m 6,67 !10 N ! m / kg 1,08 !10 kg 5850 kg
P=
=
= 2,45 !104 N
2
2
6
r
4,15 !10 m
(
)(
(
)
)(
)
25.
L’accelerazione centripeta è uguale per l’aereo e per il satellite, quindi:
2
2
! r
"
vaereo
vsat
ac =
=
# vaereo = $ aereo % vsat
$ r %
raereo rsat
& sat '
GmT
dove
vsat =
rsat
Quindi:
vaereo
! r
= # aereo
# r
" sat
$ Gm
r Gm
T
&
= aereo T =
& r
rsat
sat
%
(15 m ) (6,67 '10
(11
)(
N ' m 2 / kg 5,98 '1024 kg
6,7 '10 m
6
) = 12 m/s
26.
aA = vA2/rA = 10,0 m/s2
dove vA = 2π rA/T e il periodo T è di 60,0 s. Quindi
rA = aAT2/(4π2) = 912 m e, di conseguenza,
rB = rA/4,00 = 228 m
4! rB 4! 2 ( 228 m )
vB2
=
= 2,50 m/s 2
=
2
rB
T2
(60,0 s)
2
aB =
27.
(
)(
(
)(
)
5,98 "1024 kg 7,35 "1022 kg
MT M L
-11
2
2
U = !G
= ! 6,67 "10 N " m / kg
= !7,63"1028 J
8
rTL
3,84 "10 m
(
)
28.
)
5,98 "1024 kg 20 kg
MT M L
!11
2
2
U = !G
= ! 6,67 "10 N " m / kg
= !1,25 "109 J
6
rTL
6,37 "10 m
(
)
29.
L = mg!h = 20,0 kg 9,80 m/s 2 40,0 m = 7,84 "103 J
(
)(
)(
)
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Capitolo 10 La gravitazione
U = mgh
30.
(
)(
(
)
5,98 "1024 kg 1,1"103 kg
MT m
!11
2
2
U = !G
= ! 6,67 "10 N " m / kg
= !6,4 "1010 J
6
6
rT + h
(6,37 "10 m) + 0,50 "10 m
(
)
31.
)
(
(
)
5,98 "1024 kg
MT m
MT
1 2
#11
2
2
mv = G
! r = 2G 2 = 2 6,67 "10 N " m / kg
= 1,95 "107 m
2
2
r
v
6,4 "103 m/s
(
)
)
32.
Per essere su un’orbita geostazionaria, il satellite deve avere un periodo di 24 ore e ciò avviene solo
se si trova a una distanza di 35 800 km sopra l’equatore.
(
)(
(
)
5,98 "1024 kg 1,5 "103 kg
MT m
!11
2
2
U = !G
= ! 6,67 "10 N " m / kg
= !1,42 "1010 J
6
6
rT + h
(6,37 "10 m) + 35,8 "10 m
(
E=U+K
(
)
(
)
)
)
6
2! r 2! RT + h 6,28 42,17 "10 m
v=
=
=
= 3,1"103 m/s #
T
T
24 3600 s
(
(
)
)(
)
2
1 2
mv = 0,5 1,5 "103 kg 3,1"103 m/s = 7,2 "109 J = 0,72 "1010 J
2
E = U + K = !1,42 "1010 J + 0,72 "1010 J = !0,70 "1010 J = !7,0 "109 J
K=
33.
"1
%
2 6,67 !10-11 N ! m 2 / kg 2 $
5,98 !1024 kg '
2GM
# 45
&
v=
=
= 1,9 !103 m/s
6
R
5,1!10 m
(
) (
)
34.
v=
2GM
v2R
=
, allora M =
2G
R
m2
! 2,56 ! 10 7 m
2
s
= 8,62 · 1025 kg
2
Nm
2 ! 6,67 ! 10 "11
kg 2
(21,2 ! 10 3 ) 2
35.
Il valore di R richiesto è quello per il quale, dato un corpo celeste di massa M, si ha la velocità di
fuga uguale a quella della luce:
"11
2
2
30
2GM 2 6,67 !10 N ! m / kg 2 !10 kg
R= 2 =
= 3!103 m
2
c
3!108 m/s
(
(
)
)(
)
36.
L’accelerazione di gravità su Saturno è
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gS = G
(
MS
= 6,67 !10
rS2
–11
Capitolo 10 La gravitazione
(5,67 !10
N ! m / kg )
2
26
kg
2
7
(6,00 !10 m)
) = 10,5 m/s
2
2
Il rapporto tra il peso di una persona su Saturno e sulla Terra è
PS mgS gS 10,5 m/s2
=
=
=
= 1,07
PT mgT gT 9,80 m/s2
37.
a3
=K
T2
TM 2
aS 3 aM 3
=
TS 2 TM 2
→
!a 3$
= ## M3 && TS 2 ' TM = 8,9 (108 s
" aS %
(
(
)
(1,4 (10 m)
2,3(1011 m
)
12
3
3
= 5,9 (107 s
38.
PA – PB =
GM A m
R2
–
GM B m
R2
=
Gm
(M A – M B )
R2
da cui
3620 N ) (1,33 ! 107 m )
(
(
)
MA – MB =
=
= 1,76 ! 1024 kg
"11
2
2
Gm
(6,67 !10 N ! m / kg ) (5450 kg )
2
PA – PB R 2
39.
GMT
rp =
=
4! 2
rp
rT
=
3
(6,67 "10
-11
)(
)(
N " m 2 / kg 2 1,33" 2,0 "1030 kg 26,7 " 24 " 3600 s
(
4 3,14
)
2
)
2
= 2,88 "1010 m
2,88 !1010 m
= 0,192
1,50 !1011 m
40.
Ei = 0; E f =
1 2 GM T m
mv !
=0"
2
rT
(
)(
)
2 6,67 #10-11 N # m 2 / kg 2 5,98 #1024 kg
2GM T
v=
=
= 11,2 #103 m/s = 11,2 km/s
6
rT
6,38 #10 m
41.
GM T
v=
=
r
(6,67 !10
-11
)(
N ! m 2 / kg 2 6,0 !1024 kg
7,0 !10 m
6
) = 7,6 !10
3
m/s
©Zanichelli 2009
Cutnell, Johnson - Fisica volume 1
Capitolo 10 La gravitazione
42.
L’accelerazione è costante in entrambe le situazioni, quindi
yG 12 aG tG2
=
1 a t2
yT
2 T T
Risolvendo in funzione del rapporto tra i tempi di caduta, otteniamo
tG
tT
aT
=
aG
=
GM T / RT2
GM G /
RG2
=
RG
MT
RT
MG
(
= 11,2
)
1
= 0,628
318
43.
Sulla Luna agisce una forza risultante
2
2
F = FSL
+ FTL
dove (tralasciando le unità di misura)
FSL =
GmS mL
2
rSL
=
(6,67 !10"11 ) (1,99 !1030 ) (7,35 !1022 ) = 4,34 !1020 N
2
(1,50 !1011 )
=
(6,67 !10"11 ) (5,98 !1024 ) (7,35 !1022 ) = 1,98 !1020 N
2
(3,85 !108 )
e
FTL =
GmT mL
2
rTL
e quindi
F=
(
4,34 ! 1020 N
) (
2
+ 1,98 ! 1020 N
)
2
= 4,77 ! 1020 N
44.
4! 2 r 3
T=
=
GM T
4! 2 (3,85 "108 m )
=
(6,67 "10#11 N " m 2 / kg 2 ) (5,98 "1024 kg)
3
= 2,38 "106 s = 27,5 giorni
circa 1 mese.
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Cutnell, Johnson - Fisica volume 1
45.
(
2! ri / T
v2
ri = i =
ac,i
ac,i
re =
ri =
ac,eT 2
4! 2
ac,i re
ac,e
46.
a3
=K
T2
"T2 =
)
2
=
ac,iT 2
4! 2
Capitolo 10 La gravitazione
;
4! 2 re
;
ac,e
(3,72 m/s ) (2150 m) = 816 m
=
2
9,80 m/s 2
→
!
T 2
aH = aT # 3 H 2
# T
" T
rA + rP = 2a H
aH
3
TH
2
=
aT
3
TT
2
, aH 3 = (
aT 3
)TH 2
TT 2
ovvero
$
!
2 $
& = (0,1496 '1012 m) # 3 (75,8 a) & = 2,68 ⋅ 1012 m = 17,9 UA
# (1 a)2 &
&
"
%
%
rA = 2aH ! rp = (35,8 - 0,6) UA = 35,2 UA;
→
LP = L A → M H rAv A = M H rP vP → rAv A = rP vP ,
!r $
! 0,596 UA $
v A = # P &v P = #
& 54500 m/s = 923 m/s
" 35,2 UA %
" rA %
47.
(
)(
)
2 6,67 !10-11 N ! m 2 / kg 2 6,5 !1019 kg
2GM
v=
=
= 1,9 !102 m/s
5
R
2,5 !10 m
Olimpiadi della fisica
1. B
2. B
3. A
4. C
5. D
6. C
7. D
8. Sia F la forza che il pavimento dell’ascensore esercita sui piedi di Carlo. Nel caso generico in
cui l’ascensore abbia accelerazione a (assunta positiva verso il basso) il moto di Carlo e
l’equilibrio della massa m appesa alla molla di costante elastica k sono descritti dalle equazioni
Mg ! F = Ma e mg ! k "l = ma . Eliminando a si trova una relazione tra F e Δl:
F
k !l
kM
a=g"
=g"
#F=
!l .
M
m
m
Detti F0 e Δl0 i valori particolari quando a = 0 (ascensore fermo o in moto uniforme) si ha
!l
4
4
F=
F0 = Mg = 60kg " 9,8ms -2 = 470N
!l0
5
5
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Cutnell, Johnson - Fisica volume 1
Capitolo 10 La gravitazione
Test di ammissione all’Università
1. A
2. B
3. B
Prove d’esame all’Università
1.
1 2
mv0
2
1
GMm
E f = mv12 !
2
R
1
1
GMm
1
1
GM
GM
Ei = E f " mv02 = mv12 !
" v12 = v02 +
" v1 = v02 + 2
2
2
R
2
2
R
R
(dove M è la massa della Luna e R è il raggio della Luna)
Ei =
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