scarica pdf - Progetto ArAl

Dai fregi alle successioni aritmetiche
2009/10
Vigolo Vattaro (TN)
I
1
2
3
4
5
1 2 3
1
Giampiero Dresda
Commenti dell’insegnante di classe
Commenti dell’E-tutor Giancarlo Navarra
23 marzo 2010
1 (uso del registratore)
_____________________________________________________________________________________________
Premessa, obiettivi, contesto in cui si colloca il diario
Si riporta di seguito quanto svolto durante due lezioni (4° e 6° ora martedì mattina) in una prima classe della
scuola secondaria di primo grado di Vigolo Vattaro.
La classe è costituita da 23 alunni che in generale seguono lo svolgersi delle lezioni con interesse e sono ben
disposti verso le attività proposte.
Questo percorso è stato già stato svolto dall’insegnante prof.ssa Maria Cristina Viola, la quale partecipa al
progetto di redazione dei diari, in una classe seconda.
L’attività si inserisce nell’ambito dell’argomento “multipli e divisori” che da poco abbiamo iniziato a svolgere.
Il lavoro è stato presentato utilizzando la lavagna interattiva.
I: Questo disegno 1 è costituito da simboli; per riprodurre questo disegno di quanti stampini abbiamo bisogno?
Aurora: Due, uno a forma di stella gialla e uno a forma di cerchio blu.
I: Come riproduci il disegno?
Aurora: Uno stampino stella, uno stampino cerchio e così via.
I: Ci sono altri modi?
Giorgia: Si potrebbe usare per esempio quadrato e cerchio.
I: Cioè useresti altri simboli? Ed usando sempre questi simboli?
Aura: Posso partire da destra e iniziare con il cerchio blu 2.
I: Non sono stato chiaro; devo riprodurre questo disegno usando degli stampini. Aurora userebbe due stampini:
prima usa lo stampino stella, poi posa lo stampino stella e usa lo stampino cerchio e così via.
Marina: Fai prima tutte le stelle, poi fai tutti i cerchi.
I: Non ho capito.
Marina: Lascio lo spazio per disegnare di seguito i cerchi.
Gioia: Si potrebbero disegnare.
I: Certo, si potrebbero disegnare; ma usando gli stampini, il modo per riprodurre questo disegno è solo usare due
stampini separati?
Lorenzo: Potremmo usare uno stampino a forma di cerchio con le punte della stella.
I: Non ho capito.
Lorenzo: Un cerchio con le punte della stella.
Giorgia: Cioè un cerchio con una stella sovrapposta?
I: Oppure?
Maddalena: Si potrebbe fare: prima tutti i cerchi e poi tutte le stelle.
I: Come ha detto prima Marina.
Viola: Ma se noi lo riproduciamo su un foglio giallo, possiamo disegnare solo i cerchi?
I: Usiamo un foglio bianco.
Tariku: Lo stampino potrebbe essere grande.
I: Grande quanto?
Tariku: Non so 3.
1
Quando si propone una collezione regolare di disegni o di oggetti, conviene che ci sia un numero sufficiente di
elementi per ricostruire il modulo con buona attendibilità. È necessario cioè che la successione sia ‘onesta’: deve
rispettare l’accordo condiviso che bisogna mettere sempre a disposizione un frammento di successione tale da
consentire il riconoscimento del modulo senza ambiguità. Inoltre suggerisco di chiarire con la classe il concetto di
infinitezza della successione e di negoziare la sua rappresentazione simbolica. Questo evita la nascita di
misconcetti che spesso rimangono sommersi.
2
Eccola là! Vedi Commento 1.
3
L’alunno non chiarisce il termine ‘grande’ anche se invitato più volte a chiarirlo. Dal diario non emerge questo
invito ripetuto. Bisognerebbe evitare di riassumere pezzi di dialogo ritenuti poco significativi.
Dai fregi alle successioni aritmetiche
2009/10
Vigolo Vattaro (TN)
I
1
2
3
4
5
1 2 3
2
Giampiero Dresda
Aurora: Potrebbe esserci uno stampino con una stella ed un cerchio a fianco ed usiamo quello.
I: Puoi ripetere?
Aurora: Potrebbero esserci due stampini stella e cerchio ed uno stampino stella con un cerchio a fianco. 4
Giorgia: Allora potremmo usare uno stampino con quattro, formato da una stella, un cerchio, una stella ed un
cerchio.
I: Lei dice che potremmo usare uno stampino con quattro disegni.
Giorgia: Potresti fare due righe e ci impieghi di meno 5.
I: Questo può essere riprodotto all’infinito? Con tre righe, quattro e così via?
Giorgia: No, perché poi gli stampini diventano troppo grandi da tenere in mano.
I: Allora dobbiamo fermarci a due righe? 6
Giorgia: No, fino a quattro, cinque si può anche tenere.
I: Se questo disegno continuasse, che simbolo ci sarebbe al quindicesimo posto? 7
Nicola: Ci sarebbe una stella.
I: Perché?
Nicola: Perché ho contato, all’inizio una stella poi un cerchio e avanti così e sono arrivato alla stella.
I: Tu hai contato.
Tariku: La stella sta nei numeri dispari.
I: Ripeti e spiegaci meglio.
Tariku: Le stelle sono disposte in posizione dispari, mentre i cerchi pari.
Segue la formalizzazione della terminologia 8: la stella ed il cerchio sono gli ELEMENTI, organizzati a due a due in
MODULI e disposti con REGOLARITÀ a formare una SUCCESSIONE.
I: Chi riconosce il modulo in questo disegno? 9
Lorenzo: Una stella ed un cerchio.
I: Chi viene a cerchiare il modulo?
Giorgia: Questo, la stella ed il cerchio (tratto colore verde).
I: Giorgia ha identificato il modulo all’interno di una successione con una regolarità.
Giorgia: Ma regolarità significa che c’è una stella ed un cerchio, poi una stella ed un cerchio... e non due stelle ed un
cerchio.
I: Sì, esattamente.
Lorenzo: Le stelle stanno al posto dei numeri dispari e i cerchi al posto dei numeri pari.
I: Lorenzo come Tariku ha identificato una legge che regola questa successione.
Viene proposta una nuova successione:
Sarebbe stato opportuno fissare alla LIM la proposta di Aurora (le due frecce separate   e un unico stampino
 e chiedere alla classe di esprimersi a proposito. Approfitto per avanzare il dubbio che il contratto didattico
non sia chiaro e che questo provochi una certa dispersività nella discussione.
5
Non colgo nemmeno l’intervento di Giorgia. Cosa intende con ‘due righe’? Il senso deve essere comunque chiaro
alla classe perché vedo che l’insegnante prosegue nella stessa direzione parlando di ‘tre, quattro righe’. Non
capisco a quali ‘righe’ si faccia riferimento.
6
Mi rifaccio al Commento 4. L’osservazione ‘troppo grandi da tenere in mano’ fa pensare che il contratto didattico
sia centrato attorno alla costruzione materiale di questo oggetto-successione. Continuo a non capire le ‘righe’.
7
La domanda è coerente con l’attività, ma mi sembra che sia prematura perché la classe non ha ancora colto con
chiarezza il modulo.
8
Il diario è uno strumento scientifico e ogni sua parte è importante per capire come si sviluppino le interrelazioni
docente-alunni e alunni-alunni negli aspetti linguistici e di contenuto. I riassunti interrompono questo flusso di
informazioni oscurando microsituazioni che potrebbero essere molto significative: com’è avvenuta questa
‘formalizzazione’? È stato l’insegnante a fare il ripasso della terminologia? Quale è stato il ruolo degli alunni?
Erano tutti concetti già incontrati? Come sono stati decisi i termini usati?
9
Riprendendo il Commento 7 direi che, prima di avviare l’esplorazione della successione, l’individuazione del
modulo dovrebbe costituire una competenza ormai acquisita. Solo dopo aver chiarito questo concetto si può
procedere verso obiettivi più complessi come quello di trovare un elemento in un certo posto della successione.
4
Dai fregi alle successioni aritmetiche
2009/10
Vigolo Vattaro (TN)
I
1
2
3
4
5
1 2 3
3
Giampiero Dresda
I: Dquanti stampini abbiamo bisogno?
Sofia B.: Uno, uno stampino rotondo tipo una rotella 10 con una freccia rossa ed una verde, una freccia rossa ed una
verde...
I: Uno stampino a forma di ruota.
Maddalena: Uno stampino che capovolgi,... però ogni volta devi cambiare colore. Se fosse per esempio dello stesso
colore lo stesso stampino capovolto 11.
Aurora: Potrebbero esserci due stampini, uno con la freccia rossa ed uno con la freccia verde, oppure uno stampino
con la freccia rossa e accanto la freccia verde 12.
Giorgia: Un unico stampino con uno scomparto con la freccia rossa ed uno scomparto con la freccia verde.
Insegnante: Che elemento ci sarà al quarantesimo posto? 13
Lorenzo: Al quarantesimo posto ci sarà la freccia verde. Perché la freccia rossa in su sta al posto dei numeri dispari,
la freccia verde in giù sta al posto dei numeri pari, quaranta è un numero pari.
I: Questo è attinente con l’argomento che stiamo svolgendo.
Più alunni: Sì, i multipli.
Alex: I multipli di due.
Giorgia: I multipli di due sono i numeri pari e siccome quaranta è un numero pari e le frecce verdi indicano i numeri
pari14, al quarantesimo posto ci sarà una freccia verde.
I: Cristian vieni a scrivere questi numeri accanto alle frecce.
Cristian: freccia rossa 1, freccia verde 2 15
10
Anche ora mi sembra che gli alunni procedano con un’idea molto concreta della successione, come di un oggetto
da realizzare (stampino rotondo, rotella, ecc). Mi chiedo quanto questo confligga con gli aspetti astratti con i quali
essi si devono misurare (modulo, successione, corrispondenza biunivoca fra elementi della successione e insieme
dei numeri naturali, infinitezza, ecc).
11
Forse era meglio non proporre elementi colorati. Non penso che dipenda dal colore, perché nelle attività di
questo tipo si possono proporre liberamente successioni che si differenziano nella forma, nel colore, nelle
dimensioni, nel suono, ecc. Penso piuttosto che dipenda dal fatto che, come ho già osservato, la classe pensa di
lavorare attorno ad un oggetto concreto, e trova soluzioni altrettanto concrete, in cui per esempio si possa
materialmente capovolgere il modulo che non viene visto come un insieme ‘astratto’ di elementi, ma come qualcosa
che ha a che fare con rotelle, fogli colorati, stampini, righe, scomparti, ecc. che si spostano, si scambiano, si
aggiungono. Credo che sia questa concretezza che blocca l’evoluzione del pensiero. Non so se l’insegnante
condivida la mia ipotesi.
12
L’alunna ribadisce il concetto espresso all’inizio della lezione per la precedente successione, gli altri alunni
espongono altre considerazioni ma non usano l’idea di Aurora.
13
Ancora una volta la domanda è posta ad una classe che non ha compreso esattamente il senso del modulo (infatti,
pur avendo fatto la ‘formalizzazione della terminologia’ gli alunni continuano ad usare termini ‘ingenui’ come
‘stampino’).
14
‘Indicare’ i numeri pari è un modo di dire accettabile all’inizio di questo balbettio, ma è necessario guidare
lentamente gli alunni verso un aspetto matematico più evoluto, e cioè la corrispondenza fra i due insiemi: quello dei
numeri naturali (cioè i numeri di posto) e quello degli elementi della successione. Questo passaggio permette di
superare una visione naive della situazione, in cui i concetti vengono solo intuiti e per questo rischiano di lasciare
tracce approssimative e quindi poco significative. La relazione fra numero di posto ed elemento è fondamentale per
cogliere il senso di una domanda come ‘Che elemento c’è al 183° posto?’ La scoperta del pari e del dispari è
importante, ma deve essere un momento provvisorio, perché in sé non conduce verso una regola generale.
15
Da notare che l’alunno scrive i numeri accanto alla punta della freccia. È la conseguenza dell’osservazione di
Giorgia che i numeri indicano i numeri pari. Cristian ha esteso l’osservazione ai dispari.
Dai fregi alle successioni aritmetiche
2009/10
Vigolo Vattaro (TN)
I
1
2
3
4
5
1 2 3
4
Giampiero Dresda
I: Al quarantesimo posto cosa disegni?
Cristian: Una freccia verde perché quaranta è un numero pari.
Fermo l’attività perché tutti ricostruiscano il percorso sul quaderno. 16
Giorgia: Il disegno è una rappresentazione grafica dei numeri pari e dispari. 17
I: Sì, è una delle rappresentazioni dei numeri pari e dispari; adesso quando passiamo alla prossima immagine
ricordiamoci delle parole chiave elementi, modulo, successione. Adesso vi lascio un po’ di tempo per osservare ed
analizzare questo disegno. Trovate il modulo e quanti stampini necessitano per riprodurre la successione 18.
Alcune rappresentazioni proposte dagli alunni
Francesco: All’inizio partono due cerchi rossi, dopo ogni quattro aggiungo i due cerchi rossi ed avanti così.
I: La consegna è questa: riesci a riconoscere lo stampino che bisogna fabbricare per riprodurre questa successione?
Di quali elementi deve essere costituito il modulo?
Sofia B.: Due cerchi rossi e quattro bianchi, però puoi usare un solo stampino bianco e poi colori di rosso questi.
Giorgia: Servono due stampini, uno con due cerchi rossi ed uno con due cerchi bianchi, poi vado avanti con due
cerchi bianchi e poi con due cerchi rossi.
I: Giorgia, puoi indicare il modulo?
Giorgia: Questo (usa il colore blu indicando solo i primi quattro cerchi)
Tariku: Non sono d’accordo; il modulo è fatto da due cerchi rossi e quattro cerchi bianchi (colore rosso in figura).
I: Quanti sono gli elementi? 19
Tariku: Gli elementi sono sei.
I: Quali sono gli elementi del modulo e come si ripetono?
Tariku: Gli elementi sono due cerchi rossi e quattro bianchi e si ripetono di sei in sei.
16
Penso che la redazione del diario sia per l’insegnante un momento molto importante come laboratorio
pedagogico-didattico perché gli permette di riflettere anche sui suoi atteggiamenti che possono essere modificati e
migliorati. Per esempio, la conclusione centrata sui pari e sui dispari è molto locale. Importante perché l’hanno
fatta autonomamente gli alunni, ma non ha sbocchi significativi. Non crea cioè le premesse per trovare l’elemento
in una successione diversa da quella con modulo AB. Funziona solo in alcuni casi: per esempio: con il modulo ABC
le tre lettere sono alternativamente in posto pari e dispari, in ABB lo stesso e così via.
17
Non è tanto una rappresentazione dei numeri pari e dispari perché, se non scrivessimo i numeri 1, 2, 3, …, le sole
frecce rosse e verdi non suggeriscono l’insieme dei naturali, ma una semplice alternanza di elementi.
18
Temo che la domanda sia ambigua, perché suggerisce l’idea del numero necessario (e limitato a tre) degli
stampini necessari per fare questo piccolo disegno.
19
Per rendere solido il concetto di modulo per tutti gli alunni avrei messo a confronto le proposte di Giorgia e di
Tariku e le avrei fatti argomentare. Così Giorgia ha proposto un modulo sbagliato ma non è più stata interpellata
sulle ragioni della sua proposta e quindi non si può sapere cosa pensi ora.
Dai fregi alle successioni aritmetiche
2009/10
Vigolo Vattaro (TN)
I
1
2
3
4
5
1 2 3
5
Giampiero Dresda
Maddalena: Si può anche costruire la successione con uno stampino 20 fatto da due cerchi rossi e due neri e poi
capovolgo lo stampino e vado avanti.
I: Ti accorgerai che non puoi andare avanti.
Segue spiegazione con l’aiuto del disegno e suono della campanella.
La lezione riprende la sesta ora; è presente in aula la professoressa MariaCristina Viola.
I: Quali erano le parole chiave?
Giorgia: Elementi, modulo e successione.
Lorenzo: … e regolarità.
I: Perché abbiamo scritto alla lavagna anche regolarità?
Giorgia: Perché è una cosa che c’entra con le successioni, un modulo ben preciso che si ripeteva con regolarità.
I: Stavamo analizzando questa successione:
… Giorgia ha segnato in blu un modulo mentre Tariku in rosso un altro modulo; qual è il modulo di questa
successione?
Più alunni: Quello rosso.
I: Possiamo descriverlo?
Sofia B.: Due cerchi rossi e quattro cerchi bianchi 21.
Giorgia: Al primo e secondo posto il cerchio rosso, al terzo, al quarto, al quinto ed al sesto quelli bianchi.
Lorenzo: Nei rossi c’è un pallino dispari e nei bianchi due pari 22.
I: Tu riesci a riconoscere in questa successione un collegamento con i numeri pari e dispari?
Lorenzo: Sì , perché sono uno pari ed uno dispari.
I: C’è in questa successione o nel modulo qualcosa che collega il colore del cerchio al numero pari o dispari?
Lorenzo: No, perché 1 è rosso ma 3 e 5 che sono anche dispari sono bianchi.
I: Quale sarà il colore del 24° pallino?
Nicola: È bianco, perché guardando la successione dopo i quattro bianchi tornano i rossi e continuando così si torna
al 24 che è il bianco.
I: Hai ricostruito, se ho capito bene, tutta la successione ed al 24° posto c’è un pallino bianco 23.
Nicola: (numera la successione) … ed al 24 ci sarà il bianco.
Viola: Se il 6 è bianco, facciamo la tabellina del sei, si arriva al 24 che è bianco.
I: Spiegaci meglio.
20
Se l’insegnante ritiene necessario che gli alunni si impadroniscano della terminologia, deve far rilevare che si sta
usando ancora il termine ‘stampino’. In genere queste permanenze lessicali derivano dal fatto che l’uso dei termini
non è stato sufficientemente negoziato, ma viene visto come una ‘superfetazione’ imposta dall’insegnante.
21
A proposito della sinteticità di questa risposta di Sofia: saper costruire frasi o argomentazioni complete, coerenti,
linguisticamente significative è una competenza richiesta ormai in molti ambienti istituzionali. Per esempio il
progetto inglese ‘The National Numeracy Strategy’ formula questo suggerimento: Chiedete agli alunni di fornire
delle risposte costituite da più di una singola parola o di un singolo numero. Per esempio, talvolta potreste
richiedere che anche la risposta a domande brevi come: ‘Quanto fa sedici più otto?’ sia espressa con la frase
completa: ‘Sedici più otto è uguale a ventiquattro’ senza accontentarvi di un semplice ‘Ventiquattro’.
22
Sarebbe stato opportuno chiedere a Lorenzo di argomentare più chiaramente. Penso che non sia sufficiente che
nella frase – in sé molto approssimativa - ci sia il semplice riferimento ai termini pari e dispari.
23
Avrei chiesto maggiore a Nicola di chiarire il suo pensiero. L’argomentazione è confusa e non semplice da
interpretare, e anche gli altri alunni probabilmente hanno capito poco.
Dai fregi alle successioni aritmetiche
2009/10
Vigolo Vattaro (TN)
I
1
2
3
4
5
1 2 3
6
Giampiero Dresda
Viola: Il sei è bianco, il 12 anche perché va di sei in sei.
Giorgia: 6+6= 12 e 12+12= 24.
Viola: Se il sei è bianco andando di sei in sei sarà bianco.
Elia: Io ho risolto così; la figura arriva fino al 18, io sono andato avanti fino al 24 che è bianco.
I: Hai ricostruito la figura come Nicola.
Tariku: Il modulo è formato da sei elementi, il sei è bianco, il ventiquattro è un multiplo di sei.
I: Ripeti e chiarisci meglio.
Tariku: Il modulo è formato da sei elementi, due pallini rossi e quattro bianchi, nella posizione sei c’è un pallino
bianco, il ventiquattro è un multiplo di sei, allora bianco e poi ricomincia il giro 24.
Aurora: Il modulo è formato da sei elementi, il sesto elemento è bianco; siccome 6 è un divisore di 24 allora il 24°
pallino sarà bianco.
I: Tariku ha usato la parola multipli, mentre Aurora la parola divisori. Il 24 è multiplo del numero 6; il 6 è divisore
del numero 24.
Giorgia: Io eseguo la stessa cosa soltanto per 4.
I: Perché per 4 ?
Giorgia: Perché uno dei suoi multipli è 24 e poi il quattro è pallino bianco 25.
Lorenzo: Però 8 è rosso, 4 è bianco, 8 è rosso e non funziona.
I (Viola): Se tu Giorgia fai il tuo ragionamento sul quattro, stai usando lo stesso modulo che avevate riconosciuto?
Giorgia: No.
I: Il modulo giusto da quanti elementi è formato?
Giorgia: Da sei, due rossi e quattro bianchi.
I: Quale sarà il colore del 36° pallino?
Sofia D.: Il 36 è bianco perché 6 è multiplo del 36... no il 36 è multiplo del 6.
I (Viola): Questo è il modulo, come è fatto questo modulo?
Sofia D.: Da sei elementi... due rossi e quattro bianchi.
I (Viola): Descrivi meglio il modulo.
Sofia D.: 1 e 2 rossi, 3, 4, 5 e 6 bianchi 26.
I: Quale sarà il colore del 38° pallino in questa successione?
Alessia: Rosso, perché se il 36 è bianco (indica la 12° posizione)... il 38° sarà rosso (si sposta in avanti di due posti
e ritrova il pallino rosso).
I: Si può usare un’altra strategia, ricordando quello che ha detto Tariku ed Aurora parlando di multipli e divisori?
Giorgia: Io userei la divisione 38:2=19, perché il 38 è un multiplo di 2 e 2 è divisore di 38. 27
I: Il 2 è collegato agli elementi, al modulo, alla successione?
Giorgia: Conto a 2 a 2.
I (Viola): Come fai a sapere il pallino di che colore è usando il 19, questo è il diciannovesimo, cosa?
Giorgia: Non so.
I: Usando i multipli come arrivo al 38? I multipli di quale numero?
Più alunni: Del 6.
I: Come arrivo al 38?
Più alunni: 6, 12, 18, ... 36... più 2?
24
Questo lungo scambio è stato molto interessante. Gli alunni sono intervenuti con argomentazioni chiare e
l’insegnante ha condotto la discussione in modo efficace. L’ultimo intervento di Tariku fa però supporre che ci sia
un aspetto da chiarire, perché quel suo ‘e poi ricomincia il giro’ fa capire che l’alunno (e forse non solo lui) ha in
mente qualcosa che assomiglia alla matematica dell’orologio: un ‘macromodulo’ di 18 elementi che si ripete
ciclicamente. Bisogna far emergere l’idea di infinitezza. Un numero più elevato di elementi e l’ultimo modulo
interrotto in modo casuale favoriscono la percezione di una successione infinita.
25
Questa alunna ha un ruolo molto attivo nelle lezioni, cioè interviene spesso, ed è anche brava; io in questa
occasione non mi aspettavo che lei non avesse capito.
26
V. Commento 21.
27
L’alunna anche se più volte fa riferimento ai sei elementi del modulo non usa il numero 6.
Dai fregi alle successioni aritmetiche
2009/10
Vigolo Vattaro (TN)
I
1
2
3
4
5
1 2 3
7
Giampiero Dresda
Marina: 6 per 6 fa 36… più 2 uguale 38.
. 28
Viola: Se questo è il modulo, io vado avanti di altri 6 moduli e poi aggiungo 2 ed arrivo al pallino rosso.
Giorgia: Conto 6, 12, 18 ... 36 più 2 uguale 18.
. 29
28
Sarebbe stato necessario porre in evidenza l’errore ‘classico’ della catena di false uguaglianze.
La lezione è sostanzialmente divisa in due parti in cui lo spartiacque è rappresentato dal momento in cui è stata
presentata la successione di modulo AABBBB.
Nella prima parte l’apparente banalità del modulo AB ha spinto la classe verso atteggiamenti molto concreti,
bloccati, poco produttivi. Una lunghezza molto maggiore del disegno, l’ultimo modulo interrotto e la
rappresentazione dell’infinito (frutto di una negoziazione collettiva), del tipo ABABABABABABABABABABABA,
in genere aiutano a far evolvere la situazione. Anche l’evidenza intuitiva della relazione fra pari-dispari e stelletriangoli ha favorito a mio avviso l’appiattimento dell’esplorazione.
Una volta proposta la successione di modulo AABBBB, dopo alcuni interventi di apertura ancora incerti di
Francesco, Sofia B. e Giorgia, Tariku ha avviato il ‘salto’ e da quel momento in poi la discussione ha preso
un’altra piega. Giorgia, infine, ha davvero meritato l’applauso, confermando tra l’altro le aspettative
dell’insegnante. L’esplorazione ora può evolvere verso la ricerca di formule generali.
29