CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO –
CALCOLO – A.A. 2011/2012
U 02 – Primo principio
U.02
Primo principio
U.02 – Primo principio
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ENERGIA DI UN
SISTEMA TERMODINAMICO
U.02 – Primo principio
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1
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ENERGIA DI UN SISTEMA
•
•
•
L’energia esiste sotto diverse forme: termica, meccanica, cinetica, potenziale,
elettrica, magnetica, chimica, nucleare. La somma di tutti questi contributi
costituisce l’l energia totale
totale, E del sistema
sistema.
La Termodinamica si occupa solo delle variazioni dell’energia totale.
•
Forme macroscopiche di energia: forme di energia che il sistema possiede
come insieme, con riferimento ad una terna esterna di riferimento (esempi:
energia cinetica e energia potenziale).
Forme microscopiche di energia: forme correlate alla struttura molecolare
della materia costituente il sistema e al grado di attività molecolare.
g interna,, U: somma di tutte le forme microscopiche
p
di energia.
g
Energia
•
Unità di misura: joule 1 J = 1 N×m = 1 kg×m2×s-2
•
Formula dimensionale: [E ] = [ML2t-2]
•
U.02 – Primo principio
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ENERGIA DI UN SISTEMA
Energia cinetica Ec:
g posseduta
p
da un corpo
p di massa m che si muove alla velocità W:
energia
1
Ec = mW 2
2
Variazione di energia cinetica ΔEc:
1
ΔEc = m(W22 − W12 )
2
U.02 – Primo principio
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ENERGIA DI UN SISTEMA
Energia potenziale Ep:
Energia
g posseduta
p
da un corpo
p di massa m
che si trova alla quota z ed è soggetto ad
un campo gravitazionale di intensità g:
E p = mgz
V i i
Variazione
di energia
i potenziale
t
i l ΔEp:
ΔE p = mg(z2 − z1 )
U.02 – Primo principio
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ENERGIA DI UN SISTEMA
Energia interna
Energia sensibile: frazione
dell’energia interna del sistema
associata all’energia cintetica
delle molecole
Energia latente: energia
associata alle fasi costituenti il
sistema
Energia chimica: energia
associata ai legami atomici
entro la molecola
Energia nucleare: energia
associata ai legami forti
all’interno del nucleo atomico
U.02 – Primo principio
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ENERGIA DI UN SISTEMA
Energia meccanica (E ) =
energia cinetica (Ec ) + energia potenziale (Ep ) + energia interna (U )
E = Ec + E p + U =
mW
W2
+ mgz + U [J]
2
Valore totale ⇒ E / Variazione ⇒ ΔE
Valore specifico (cioè riferito all’unità di massa):
E Ec E p U
= + + [J/kg]
m m m m
e = ec + ep + u ≡
W2
+ gz + u [J/kg]
2
Calore: quantità di energia termica scambiata fra un sistema e l’ambiente
Lavoro: quantità di energia meccanica scambiata fra un sistema e l’ambiente
U.02 – Primo principio
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LAVORO
Lavoro di una forza
per lo spostamento
p
ds lungo
g la traiettoria
Prodotto scalare della forza F p
Lavoro elementare
Lavoro integrale
δL = Fds
2
2
1
1
L = ∫ δL = ∫ Fds
Il valore del lavoro dipende sia dagli estremi del percorso che dal percorso
stesso.
t
Quindi
Q i di il diff
differenziale
i l di L non è diff
differenziale
i l esatto.
tt
•
Sono positive le quantità di lavoro fornite dal sistema
•
Sono negative le quantità di lavoro ricevute dal sistema
L>0
L<0
U.02 – Primo principio
lavoro compito dal sistema sull’ambiente
lavoro compito dall’ambiente sul sistema
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LAVORO
Lavoro eseguito da un sistema fluido alla pressione p mediante una variazione
del volume ΔV del sistema
δL = pAdx = pdV
2
V2
1
V1
L = ∫ δL = ∫ pdV
U.02 – Primo principio
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POTENZA MECCANICA
Potenza
Quantità di lavoro scambiata nell’unità di tempo:
Q
p
δL
L& = (W)
dt
•
•
Unità di misura: watt 1 W = 1 J×s-1 = 1 kg × m2 × s-3
Formula dimensionale [ L& ] = [ML2t-3]
Relazione Potenza meccanica/Lavoro
t2
L = ∫ L&dt
t1
U.02 – Primo principio
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CALORE
Interazione tipo Calore
L’energia è identificata come calore solo nel corso del passaggio (interazione) di
energia attraverso il contorno del sistema
U.02 – Primo principio
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CALORE
Convenzione sul segno
Sono positive le quantità di calore ricevute dal sistema
Q > 0 calore ricevuto dal sistema
• Sono negative le quantità di calore cedute dal sistema
Q < 0 calore ceduto dal sistema
•
Calore scambiato per unità di massa
q=
Q
(J/kg )
m
Differenziale del calore
La quantità di calore scambiata lungo un processo dipende sia dagli estremi del
percorso che dal percorso stesso. Quindi il differenziale di Q non è differenziale
esatto.
2
∫ δQ = Q
1
U.02 – Primo principio
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POTENZA TERMICA
Potenza
Quantità di calore scambiata nell’unità di tempo:
Q
p
δQ
Q& = (W)
dt
•
•
Unità di misura: watt 1 W = 1 J×s-1 = 1 kg × m2 × s-3
& ] = [ML2t-3]
Formula dimensionale [Q
Relazione Potenza termica/Calore
t2
Q = ∫ Q& dt
t1
U.02 – Primo principio
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PRIMO PRINCIPIO
PER I SISTEMI CHIUSI
U.02 – Primo principio
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PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA
L’energia non può essere ne creata ne distrutta,
ma solo cambiare forma
Qu = – 4 kJ
In assenza di lavoro scambiato, la quantità netta di
calore scambiato con l’ambiente (calore entrante
meno calore uscente)
ΔE = 9 – 4 =
= 5 kJ
Q = Qe + Qu
eguaglia la variazione dell’energia totale del sistema
Q = ΔE
Qe = 9 kJ
(N.B. nelle convenzioni termodinamiche
il calore è positivo se assorbito dal sistema, negativo se erogato dal sistema)
U.02 – Primo principio
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PRIMO PRINCIPIO PER I SISTEMI CHIUSI (SC)
In un sistema chiuso: la quantità netta
di energia termica e meccanica scambiate al contorno del sistema eguaglia la
variazione dell’energia totale del sistema
Qu = – 4 kJ
Q − L = ΔE
ΔE = ΔEc + ΔEp + ΔU
ΔE =
= (9 – 4) – (– 3)=
= 8 kJ
Lelica = – 3 kJ
Qe = 9 kJ
(N.B. nelle convenzioni termodinamiche
il lavoro è positivo se erogato dal sistema, negativo se assorbito dal sistema)
U.02 – Primo principio
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PRIMO PRINCIPIO PER I SISTEMI CHIUSI STAZIONARI
Per un sistema chiuso stazionario (ΔEc = 0 , ΔEp = 0):
p
Q − L = ΔU
Per un sistema chiuso stazionario
e per trasformazioni cicliche (ΔU = 0):
Q=L
Q=L
V
Primo principio su base istantanea (bilancio di potenze):
dE
Q& − L& = [W]
dt
U.02 – Primo principio
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ESEMPIO (SC): CIRCUITO TERMOIDRAULICO
Qd ≡ − Qd
(dispersioni delle tubazioni)
(emissione dei radiatori)
Qgn
Qe ≡ − Qe
(scambiatore in caldaia)
(pompa di circolazione)
Lp ≡ − Lp
(sistema chiuso)
Q − L = (Qgn + Qe + Qd ) − Lp ≡ Qgn − Qe − Qd + Lp = ΔU
U.02 – Primo principio
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CALORE
SPECIFICO
U.02 – Primo principio
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ENTALPIA
Entalpia (totale e specifica): è particolarmente rilevante nello studio dei sistemi
aperti ed è data dalla somma dell’energia interna e dell’energia “di pulsione”
(pressione p per il volume V, o il volume specifico v = V /m ≡ 1/ρ)
H = U + pV [J] ⇔ h ≡
U.02 – Primo principio
H
= u + pv [J/kg]
m
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CALORE SPECIFICO
Definizione:
quantità di calore necessaria per innalzare di 1°C la temperatura dell’unità di
massa. Il valore del calore specifico dipende dal processo.
c=
δq
dT
Calore specifico a volume costante
Calore specifico a pressione costante
(J/(kg ⋅ °C))
∂u
(J/(kg ⋅ °C))
∂T v
∂h
cp =
(J/(kg ⋅ °C))
∂T p
cv =
Rapporto tra i calori specifici
k=
cp
cv
U.02 – Primo principio
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CALORE SPECIFICO DI SOLIDI E LIQUIDI
Modello di sostanza incomprimibile: si assume che la densità sia costante e
l’energia interna sia funzione della sola temperatura
v=
Conseguenze:
cp =
1
ρ
= cost
u ≈ u(T )
∂h ∂ (u + pv ) du ∂ (pv )
du
=
≈
+
=
= cv
∂T p
∂T
dt
∂T p dt
p
cv (T ) = cp (T ) = c (T )
u2 − u1 ≈ c (T2 − T1 )
h2 − h1 = c (T2 − T1 ) + v (p2 − p1 ) ≈ c (T2 − T1 )
Δh ≈ Δu = cΔT ⇔ ΔH ≈ ΔU = mcΔT
U.02 – Primo principio
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ESEMPIO (SC): AVVIAMENTO DI UN BOLLITORE
La durata Δt [s] del transitorio di riscaldamento di un boiler elettrico per acqua
calda sanitaria (con nessun carico/scarico di acqua durante il transitorio) è
influenzata dai seguenti parametri:
macs
massa di acqua da riscaldare (massa delle pareti trascurabile) [kg]
cacs
calore specifico acqua [J/(kg⋅°C)]
Tacs,i
temperatura iniziale dell’acqua (temperatura ambiente) [°C]
Tacs,f
temperatura finale dell’acqua (temperatura alle utenze) [°C]
potenza termica entrante, fornita dall’elemento riscaldatore [W]
Q& e
&
potenza
termica uscente, dispersa (trascurata nel transitorio) [W]
Qu ≈ 0
Q − L = ΔU ≅ ΔH ⇔ Q& e Δt ≈ macscacs (Tacs,f,f − Tacs,i, )
Δt ≈
macscacs (Tacs,f − Tacs,i )
Q& e
L’approssimazione è valida per i liquidi e i solidi, ma non per i gas.
U.02 – Primo principio
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CALORE SPECIFICO DEI GAS IDEALI
Equazione di stato:
pV = nRuT ⇔ pV = mRT ⇔ pv = RT
Pressione e temperatura sono quelle termodinamiche assolute
R è la costante di gas ideale della sostanza considerata, data dal rapporto tra la
costante universale dei gas ideali Ru e la massa molare M della sostanza:
R=
Ru
M
Modello di gas ideale: si assume che l’energia interna sia funzione della sola
temperatura
u = u(T ) ⇒ h = u + pv = u(T ) + RT = h(T )
u = u(T ) ⇒ h = u + pv = u(T ) + RT = h(T )
U.02 – Primo principio
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CALORE SPECIFICO DEI GAS IDEALI
pV = mRT ⇔ pv = RT
u = u(T ) ⇒ h = h(T )
Conseguenze:
cv =
∂u du
∂h dh
= cp =
=
∂T v dT
∂T p dT
cp = cv + R
Variazione di energia interna ed entalpia
2
2
1
1
u2 − u1 = ∫ cv (T )dT h2 − h1 = ∫ cp (T )dT
Ipotesi di calore specifico costante (indipendente daT )
u2 − u1 = cv (T2 − T1 ) h2 − h1 = cp (T2 − T1 )
U.02 – Primo principio
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PRIMO PRINCIPIO
PER I SISTEMI APERTI
U.02 – Primo principio
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SISTEMI APERTI (SA)
Sistema aperto (o volume di controllo):
regione di spazio delimitata da un contorno aperto
massa
massa
volume di
controllo
energia
contorno
Esempi: scambiatore, radiatore, pompa, compressore, turbina, miscelatore, ecc.
U.02 – Primo principio
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SISTEMI APERTI STAZIONARI
Sistema aperto a flusso stazionario:
⇒ Nessuna proprietà cambia nel SA
⇒ Nessuna proprietà cambia al contorno del SA
⇒ LL’energia
energia meccanica e termica scambiate al contorno del SA sono costanti
Ciò può valere anche per flussi pulsanti, ma mediamente stazionari.
Sistema aperto a flusso stazionario ad una corrente:
⇔ con una sola entrata ed una sola uscita
massa
volume di
controllo
massa
U.02 – Primo principio
energia
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PORTATA IN MASSA E IN VOLUME
Portata in massa (o massica)
portata in volume (o volumetrica)
& = ∫ ρwdA [kg/s]
m
V& = ∫ wdA [m3 /s]
A
A
In caso di flusso unidirezionale (tubazioni,
condotti aeraulici, ecc.) si utilizza la velocità
media W [m/s] sulla sezione di passaggio, di
area A [m2]:
W=
1
wdA [m3 /s]
A ∫A
(profilo di velocità reale)
V& = AW
& = ρAW ≡ ρV&
m
ove ρ
[kg/m3]
(velocità media)
è la densità del fluido
U.02 – Primo principio
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PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA
portata in massa entrante nel SA – portata in massa uscente dal SA =
= variazione della massa del SA per unità di tempo
3 kg
Δm = 7 – 3 =
= 4 kg
7 kg
Processo qualunque:
∑ m& − ∑ m&
e
u
Processo a flusso stazionario (dm /dt = 0):
Processi a flusso stazionario ad una corrente:
=
dm
dt
∑ m& = ∑ m&
e
u
&e = m
&u ≡ m
&
m
ρeV&e = ρuV&u
U.02 – Primo principio
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PRIMO PRINCIPIO PER I SISTEMI APERTI (SA)
potenza termica netta scambiata al contorno del SA
– potenza meccanica netta scambiata al contorno del SA =
= potenza entrante nel SA – potenza uscente dal SA +
+ variazione di energia nell’unità di tempo nel SA
⎛
⎞
⎛
⎞ dE
W2
W2
& u ⎜⎜ hu + u + gzu ⎟⎟ − ∑ m
& e ⎜⎜ he + e + gze ⎟⎟ + [W]
Q& − L& = ∑ m
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠ dt
Processi a flusso stazionario (dE /dt = 0):
⎛
⎞
⎛
⎞
W2
W2
& u ⎜⎜ hu + u + gzu ⎟⎟ − ∑ m
& e ⎜⎜ he + e + gze ⎟⎟
Q& − L& = ∑ m
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
Processi a flusso stazionario ad una corrente:
⎡
⎤
W 2 − We2
& ⎢hu − he + u
+ g(zu − ze )⎥
Q& − L& = m
2
⎣
⎦
U.02 – Primo principio
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CONTROLLO TERMICO DEI SISTEMI DI CALCOLO – A.A. 2011/2012
SISTEMI APERTI STAZIONARI A UNA CORRENTE
⎡
⎤
W 2 − We2
& ⎢hu − he + u
Q& − L& = m
+ g(zu − ze )⎥
2
⎣
⎦
Poiché
Δh ≡ hu − he = cp (Tu − Te )
si ottiene:
⎡
⎤
W 2 − We2
& ⎢cp (Tu − Te ) + u
Q& − L& = m
+ g(zu − ze )⎥
2
⎣
⎦
Processi a flusso stazionario ad una corrente con variazioni di energia cinetica e
potenziale trascurabili rispetto alle variazioni di entalpia
& cp (Tu − Te )
Q& − L& = m
Ad esempio, 102 m di dislivello o 45 m/s di variazione di velocità sono equivalenti,
per l’aria (cp≅1000 J⋅kg-1⋅°C-1), all’energia associata alla variazione di temperatura
di 1ºC oppure, per l’acqua (cp≅4200 J⋅kg-1⋅°C-1), di 0.24ºC
U.02 – Primo principio
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ESEMPIO (SA): SISTEMA DI RAFFREDDAMENTO AD ARIA
La potenza termica estratta dal sistema raffreddato
relazione:
ad aria è regolata dalla
& cp (Tu − Te )
Q& − L& = m
La potenza meccanica scambiata è trascurabile o addirittura nulla (per ventilatori
assenti o in estrazione), o ancora assimilabile (per ventilatori in aspirazione) a
potenza termica fornita in quanto trasformata pressoché integralmente in calore
per effetto degli attriti viscosi in aria.
La portata in massa di aria è il prodotto della portata in volume per la densità
dell’aria ρ [kg/m3]:
& = ρV&
m
In definitiva
Q& − L& = ρV&cp (Tu − Te )
Ove per l’aria, tipicamente, ρcp = 1200 J/(m3⋅°C).
U.02 – Primo principio
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ESEMPIO (SA): SISTEMA DI RAFFREDDAMENTO A LIQUIDO
Il prelievo di una potenza termica assegnata da un elemento da raffreddare
tramite circolazione di un liquido, con temperature di estrazione (Tu) e di
alimentazione (Te ) parimenti assegnate, è regolato dalla formula:
Q& − L& = V&ρc (Tu − Te )
La potenza termica netta scambiata è quella prelevata Q& gn più quella dispersa
&d (<0), trascurabile, in favore di sicurezza, per un problema di
dalle tubazioni Q
smaltimento del calore:
Q& = Q&gn + Q&d ≡ Q&gn − Q&d d ≈ Q&gn
La potenza meccanica netta scambiata è quella di pompaggio (<0), generalmente
trascurabile:
L& = L&p = − L&p ≈ 0
In definitiva si ottiene
da cui si può ricavare:
U.02 – Primo principio
Q& gn = V&ρc (Tu − Te )
V& ≈
Q& gn
ρc (Tu − Te )
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ESEMPIO (SA): CONTABILIZZATORI DI CALORE
& ceduta dall’impianto termoidraulico ad una zona termica
La potenza termica Q
z
può essere correlata alla caduta di temperatura (Tu – Te ) (<0) e alla portata
del liquido V& che attraversa la rete di distribuzione di zona:
Q& − L& = V&ρc (Tu − Te )
La potenza termica netta scambiata è quella Q′z ceduta alla zona termica (<0):
Q& = Q& z ≡ − Q& z
Le pompe di circolazione non sono incluse nel sistema di contabilizzazione:
L& = L&p = 0
In definitiva si ottiene
− Q& z = V&ρc (Tu − Te )
da cui si può ricavare l’energia Qz [J] ceduta nell’intervallo temporale Δt :
Qz = ∫ Q& z dt ≅ [V&ρc (Te − Tu )]Δt
Δt
U.02 – Primo principio
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ESEMPIO (SA): SISTEMI A PIU’ CORRENTI
Sistemi a flusso stazionario a più correnti:
⎞
⎞
⎛
⎛
W2
W2
& u ⎜⎜ hu + u + gzu ⎟⎟ − ∑ m
& e ⎜⎜ he + e + gze ⎟⎟
Q& − L& = ∑ m
2
2
⎠
⎠
⎝
⎝
Esempi:
E
i
camera di miscelazione e scambiatore di calore
Q& ≈ 0 , L& = 0
da cui
Wu2
W2
≈ 0 , e ≈ 0
2
2
gzu ≈ 0 , gze ≈ 0
∑ m& h − ∑ m& h
u u
e e
≈0
ovvero
∑V& ρ cT ≈ ∑V& ρ cT
u u
U.02 – Primo principio
u
e e
e
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