Esperimentazioni di Fisica 1 L`accelerazione di gravità

Esperimentazioni di Fisica 1 L’accelerazione di gravità
Esperimentazioni di Fisica 1
L’accelerazione di gravità
Università “Roma Tre” - Dipartimento di Matematica e Fisica
21 maggio 2016
Esperimentazioni di Fisica 1 L’accelerazione di gravità
Misurazione dell’accelerazione di gravità
L’accelerazione di gravità
Un corpo di massa m che si trovi in prossimità della superficie della Terra
(intesa come pianeta di massa M ) subisce una forza dovuta all’attrazione
gravitazionale data da:
F =G
Mm
M
=G 2m
ro2
ro
dove G = 6.67408(31) × 10−11 m3 kg−1 s−2 è la costante di gravitazione
universale, ro = 6.371 × 106 m è il raggio medio terrestre e
M = 5.97218 × 1024 kg e la massa della Terra.
La grandezza GM/ro2 , indicata con g, ha le dimensioni di
un’accelerazione e vale
g=G
.
24
M
−11 5.97218 × 10
=
067408
×
10
= 9.81ms−2
ro2
(6.371 × 106 )2
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Accelerazione di gravità terrestre in funzione della distanza dal
c.m. in approssimazione di terra sferica
PREM (Preliminary Reference Earth Model) è il modello di riferimento della
struttura interna della Terra.
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Variazioni di g nello spazio
La Terra non è un sistema di riferimento inerziale. La forza centrifuga si
oppone alla forza di gravità. Al polo risulta un valore nominale di g pari a
9.823 ms−2 all’equatore 9.789 ms−2 con una variazione percentuale del
0.35% ! (tra le due locazioni un orologio a pendolo perde o guadagna 2.5
min. al giorno)
La forma della terra non è sferica ma schiacciata ai poli, per cui i corpi
all’equatore vengono allontanati dal centro della terra rispetto a quelli
che si trovano ai poli. Il modello per il calcolo di g che tiene conto di
questi effetti è:
g = 9.7803184 1 + A sin2 φ − B sin2 2φ − 3.086 × 10−6 h
dove
A = 0.0053024
B = 0.0000059
φ è la latitudine e h è la quota s.l.m. in metri.
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Dati dell’osservatorio GRACE (NASA-Germania) sull’anomalia del campo
di gravità terrestre.
1 gal1 =1cm s−2 ; g = 981gal.
1 Il
gal è l’unità di misura dell’accelerazione nel sistema cgs
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Variazioni di g nel tempo
Alle variazioni di g nello spazio, che possono essere superate definendo g
localmente, si aggiungono quelle nel tempo che sono dovute al moto dei
corpi celesti. In particolare della Luna e del Sole.
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Effetto della Luna
Terra
Pendolo
D+R
Luna
D
D­R
D
Luna
Accelerazioni: 1) del pendolo verso la terra go = GMT /R2 , 2) del pendolo verso la
luna nei due casi GMM /(D − R)2 e GMM /(D + R)2 , 3) della terra verso la luna
GMM /D2 .
L’accelerazione differenziale (marea) sul pendolo è:
GMM /(D − R)2 − GMM /D2 = GMM (2DR − R2 )/D2 (D − R)2
poiché R D (R = 6.371 × 103 km e D = 3.844 × 105 km, l’accelerazione
differenziale dovuta alla luna si semplifica in
G
MM 2R
' 1.1 × 10−6 ms−2
D3
che rapportata a go è 1.12 × 10−7 go
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Sistematiche nella misurazione di g
Fino ad ora effetti che influenzano il valore vero di g. Esaminiamo ora le
eventuali sistematiche dovute al procedimento di misurazione con il
pendolo reversibile.
1. ampiezza delle oscillazioni ampia in modo da rendere evidente, con
la risoluzione temporale a disposizione, la non isocronia delle
oscillazioni.
2. effetto della pressione atmosferica (spinta di archimede)
3. effetto della variazione di temperatura durante la misurazione
4. affetto dovuto all’asse di oscillazione non è orizzontale
5. l’oscillazione avviene non attorno a un punto ma è un rotolamento di
una superficie cilindrica
6. . . .
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Effetto dovuto alla spinta di Archimede
Tenendo conto che la densità dell’aria al livello del mare è ρA = 1.225kg
m3 il volume del pendolo è V '= 6 × 10−4 m3 La spinta di Archimede
applicata al centro di massa del pendolo è:
Fa = ρA V g = 7.4 × 10−3 N
Supponendo che il pendolo sia di acciaio (ρF e = 7800kg3 ) , la correzione
per la spinta di Archimede alla accelerazione misurata per ottenere g è:
ρA
= 1.56 × 10−4
ρp
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Effetto sistematico dovuto alla forma del coltello
Schematizzazione della sospensione a coltello del pendolo
R
q
l
m
R: raggio del cilindro di appoggio, l e m: lunghezza e massa del pendolo. Origine
degli assi nel centro del cilindro, θ angolo tra ~g e la direzione di l.
Relazione tra x e θ: x = −Rθ. Coordinate di m: (x = l sin θ − Rθ, y = −l cos θ)
Componenti della velocità: ẋ = lθ̇ cos θ − Rθ̇, ẏ = lθ̇ sin θ. Energia cinetica:
K = 1/2m(ẋ2 + ẏ 2 ) = 1/2m(l2 + R2 − 2Rl cos θ)θ̇2 ' 1/2m(l − R)2 θ̇2 l’ultima
relazione vale per angoli piccoli. Applicando la conservazione dell’energia meccanica si
trova il periodo di oscillazione:
s
s (l −R)2
l
R
T = 2π
= 2π
1−
= To (1−10−5 ), (con R ' 10µm)
lg
g
l
Il raggio di curvatura del coltello di sospensione provoca una diminuzione di R/L del
periodo.