Laboratorio di restauro
Topografia e rilevamento
Dott. Andrea Piccin
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1) Nozioni generali di topografia e rilevamento
2) Sistemi di riferimento, proiezioni e posizionamento
3) Operazioni topografiche, elaborazione e rappresentazione
delle misure
4) Elementi di fotogrammetria
5) Nuove metodologie per il rilevamento e il monitoraggio
degli edifici
6) Strumenti topografici per la misura di distanze e angoli e
per il posizionamento
Laboratorio di restauro
Topografia e rilevamento
Dott. Andrea Piccin
Lezione n.1 : Nozioni generali di
topografia e rilevamento
Le grandezze (distanze ed angoli)
Le unità di misura
Richiami di trigonometria piana
Le misure e la loro qualità
Le caratteristiche di un rilievo
Schemi di rilievo
Definizioni
Topografia: rappresentazione grafica di
una regione terrestre
Rilevamento: insieme delle osservazioni
e delle misure che si eseguono per
conoscere, descrivere e rappresentare
una realtà
La misura delle distanze
Relazione tra distanze ed angoli per
misurare la terra: l’esperienza di Eratostene
(III sec .AC) per la misura della
circonferenza meridiana della terra
Misura l’angolo tra l’altezza del sole ad
Assuan (tropico del Cancro) e ad
Alessandria, al mezzodì del solstizio d’estate
Eratostene(Cyrene 276 a.C
- Alessandria 194 a.C.)
Conoscendo la distanza tra le due città
(5.000 stadi = circa 800 Km) e l’angolo
(7°12’, 1/50 dei 360°) calcola la
circonferenza “meridiana” terrestre in
250.000 stadi = circa 40.000 Km.
Le unità di misura: distanze (1)
Nel 1799 fu introdotto il sistema metrico, per iniziativa di Napoleone che
istituì una commissione per mettere ordine nella disastrosa situazione
dei pesi e delle misure.
Nacquero così il metro e il decimetro cubo; quest’ultimo fu fatto
corrispondere al litro.
Il sistema metrico doveva sostituire i tradizionali sistemi che si
fondavano sul confronto tra parti del corpo e distanze:
pollice (inch) = ampiezza del dito;
piede (foot, 12 inches) = in origine corrispondeva alla lunghezza
dell’arto;
iarda (yard, 3 feet) = distanza tra la punta del naso e l’estremità del dito
medio;
fathom (6 feet)= distanza tra le braccia allargate;
cubito (ca. 52 cm) = lunghezza dell’avambraccio
miglio romano = circa 1000 passi (da qui pietra miliare) con 1 passo
medio prossimo a 1 m.
Le unità di misura: distanze (2)
Il metro (m), fu inizialmente assunto come la decimilionesima parte
della distanza tra l’Equatore e il Polo Nord, calcolata lungo il meridiano
passante per Parigi;
Successivamente, a causa dell'imperfezione della forma sferica della
Terra, il metro fu definito come la distanza tra due linee sottili incise su
una sbarra di platino-iridio, che diventò il prototipo del metro
internazionale.
Per rendersi indipendenti dai campioni standard, il metro fu anche
definito come multiplo della lunghezza d'onda della luce rossa emessa
dal krypton 86; le esigenze della scienza moderna richiesero tuttavia
una precisione ancora maggiore e nel 1983 il metro fu definito come la
distanza percorsa dalla luce nel vuoto nell'intervallo di tempo di
1/299.792.458 secondi.
N.B.: i simboli delle unità di misura non vanno mai puntati!
Metro = m non m.
Le unità di misura: angoli (1)
In cartografia, le coordinate geografiche dei
punti sono espresse nel sistema
sessagesimale: il grado sessagesimale (°) è
definito come 1/360 dell’angolo giro.
Un angolo retto è quindi pari a 90° e un
angolo piatto a 180°. I sottomultipli sono il
primo (‘), pari a 1/60 del grado (’’) ed il
secondo, pari a 1/60 del primo; le frazioni di
secondo sono espresse nel sistema decimale.
Per trasformare il valore di un angolo
sessagesimale in altre unità di misura è
necessario prima esprimerlo nel sistema
sessadecimale.
12° 34’ 56’’ = 12 gradi, 34 primi, 56 secondi
12’’,5 = 12 secondi virgola 5
Ricordando che 1’ = 60’’ e che 1° = 60’, la trasformazione dell’angolo a
da sessagesimale a sessadecimale è: a = 12° 34’ 56’’ sessagesimale
a = [(56/60) + 34]/60 + 12 = 12°,5822 sessadecimale.
Le unità di misura: angoli (2)
Tutte le strumentazioni topografiche moderne
impiegano tuttavia il sistema centesimale: il
grado centesimale è definito come 1/400
dell’angolo giro ed è chiamato anche gon (g).
Un angolo retto è quindi pari a 100 g e un
angolo piatto a 200 g . I sottomultipli sono il
primo centesimale (c), definito come la
centesima parte del gon, ed il secondo
centesimale (cc), definito come la
decimillesima parte del gon.
Il milligon (mgon) è definito come millesima
parte del gon.
150 g ,3528 = 150 gon, 35 primi, 28 secondi
45 c = 45 primi
34 cc ,5 = 34 secondi virgola 5
0 g ,345 o 345mgon = 345 milligon
N.B.: in topografia si assume come positivo il senso di
rotazione orario.
Le unità di misura: angoli (3)
Il sistema ciclometrico o matematico è impiegato
dai computer per il calcolo delle funzioni
trigonometriche: l’unità di misura è il radiante
(rad), definito come l’angolo al centro di una
circonferenza che sottende un arco di
lunghezza pari al raggio della circonferenza
stessa.
E’ un sistema di misura a base decimale.
L’angolo retto vale p/2
L’angolo piatto vale p
L’angolo giro vale 2p
Conversione degli angoli
La conversione degli angoli da un sistema decimale all’altro si basa
sulla proporzione:
L’ampiezza dell’angolo a (12°,5822 in gradi sessadecimali), espresso
in gradi centesimali sarà:
L’ampiezza dell’angolo a espresso in radianti sarà:
Per definire il numero di cifre decimali significative nelle conversioni
angolari occorre considerare con quale approssimazione l’angolo è
espresso nel sistema di partenza. Nell’esempio a era espresso con
l’approssimazione del secondo sessagesimale; trasformando tale valore
prima nel sistema sessadecimale e quindi in quello matematico si ottiene:
Di conseguenza l’ultima cifra significativa del valore di a
espresso in radianti (0,219601) è la quarta decimale (6)
La misura di angoli e delle distanze (1)
Misura con la squadra
Misura con il tamburo
Misura di altezza
con il baculo
Misura di distanza
con il baculo
La Trigonometria piana (1)
TRIANGOLI RETTANGOLI
relazioni tra cateti:
relazioni con l’ipotenusa:
relazioni tra i lati:
La Trigonometria piana (2)
TRIANGOLI QUALSIASI
relazioni tra lati e angoli
(teorema dei seni - Eulero):
teorema di Carnot:
teorema di Nepero:
La Trigonometria piana (3)
APPLICAZIONI IN TOPOGRAFIA
Problema 1: dato un triangolo qualunque
ABC, noti due lati e l’angolo compreso,
calcolare il terzo lato:
Procedura: si applica il teorema di Carnot
c = a 2 + b 2 - 2ab cos y
Problema 2: dato un triangolo qualunque
ABC, noti due lati e l’angolo compreso,
calcolare la superficie:
Le misure: accuratezza e precisione
a) 10 m
b) 10,2 m
c) 10,26 m
accuratezza
d) 10263 mm
1) 31,26 m
2) 31,25 m
3) 31,27 m
4) 31,26 m
precisione
Le misure: finalità del rilievo
a) 4 m
b) 4,2 m
c) 4,25 m
d) 4255 mm
Gli errori nel rilievo (1)
Nelle operazioni di misura si ha normalmente a che fare con
tre differenti tipologie di errore:
·
Errori grossolani
(operatore)
·
Errori sistematici
(strumento)
·
Errori accidentali
(procedura)
Gli errori nel rilievo (2)
Gli errori grossolani si possono facilmente individuare e
scartare.
Per controllare gli errori sistematici si può eseguire una
taratura degli strumenti misurando la stessa grandezza con
strumenti differenti.
In questo modo, una volta eliminati gli errori grossolani e
corretti gli errori sistematici, è possibile considerare gli errori
accidentali. Questi vanno necessariamente trattati con
metodologie statistiche, dato che non è possibile conoscere
il “valore vero” di una grandezza, a causa degli errori di
misura che inevitabilmente si commettono.
Gli errori nel rilievo (3)
Se si esegue una serie di misure su una determinata
grandezza, si nota che:
a) i risultati cambiano in maniera accidentale;
b) gli scarti tra i risultati sono “piccoli” e inferiori ad un
certo limite, che è tanto più “piccolo” quanto più
precisa è la misura;
c) ripetendo le operazioni, i valori ottenuti tendono a
stabilizzarsi.
Applicando la metodologia statistica sui valori ottenuti,
è possibile:
1) ottenere un valore di “stima” della grandezza;
2) ottenere un valore di stima della “precisione” con cui
la grandezza è stata misurata.
Gli errori nel rilievo (4)
Elementi caratterizzanti la variabile statistica a 1 dimensione:
• Attributo X
• Popolazione costituita da N individui
• Valore argomentale xi
• Intervallo argomentale dx
• Frequenza assoluta Fi = fi N
• Frequenza relativa fi = Fi / N
La tolleranza di un rilievo (1)
Si supponga di voler misurare il locale
riportato in figura. Si effettua la prima
misurazione: d1’= 6,42 m
si esegue di nuovo la stessa misura e
si ottiene:
d1’’= 6,38 m
ne segue che d1’ è diverso da d1’’
media
d
1
d1ì
ºS
n
d1 '+ d1 ' '+ d1 ' ' '
3
con n = numero di misure eseguite
Operatore
A
B
Misure effettuate di d1
6,42m
6,38m
6,40m
Valore medio = 6,40m
6,50m
6,30m
6,40m
Valore medio = 6,40m
varianza :
2
S
(
d
'
d
)
1
1
s2 =
n -1
sommatoria degli scarti al quadrato /
(numero di misure effettuate – 1)
Scarto quadratico medio
S(d 1 '- d 1 ) 2
= s 2 =s
n -1
Più è piccolo lo SQM più le misure
sono precise (meno sono disperse)
La tolleranza di un rilievo (2)
±1s = incertezza = percentuale di
probabilità 68,3%
± 2s = affidabilità= percentuale di
probabilità 95%
± 3s = tolleranza= percentuale di
probabilità 99,7%
m ± 3s rappresenta la massima variazione possibile dei valori, per cui si
può affermare che la misura che non ricade in questo intervallo è affetta da
errore grossolano, e quindi va scartata.
La tolleranza di un rilievo (3)
All’intervallo m ± 2s è associato il concetto di affidabilità, mentre
all’intervallo m ± 3s è associato il concetto di tolleranza, che coincide
con il massimo errore ammissibile.
Un rilievo, soprattutto in ambito cartografico, ha generalmente una
tolleranza predefinita, “da capitolato”, pari a 2s o 3s: questo significa che
occorre progettare la strumentazione di rilievo, le procedure di misura e
l’elaborazione dei dati in modo da rispettare questa tolleranza.
Al livello di precisione di un rilievo è collegato per logica l’errore di
graficismo: questo è pari a 2 volte lo spessore del tratto grafico (0.2 mm)
e cioè 0.4 mm.
Se si disegna una carta alla scala 1:100 si ha un graficismo che
corrisponde a 4 cm nella realtà; che diventano 8 cm alla scala 1:200.
E’ inutile rilevare con precisione decisamente superiore al graficismo
della scala di rappresentazione; al contrario, non è corretto rappresentare
ad una certa scala oggetti rilevati con precisione inferiore al graficismo
perché la rappresentazione che ne deriverebbe non sarebbe metrica.
Schemi di rilievo
Rilievo di un locale: mai presumere di
trovarsi in un ambiente con geometria
regolare, ad esempio rettangolare.
Procedura: misura delle lunghezze tra gli
spigoli del locale: AB, BC, AD, DC, e della
diagonale AC.
Lo schema di rilievo è costituito da due
triangoli, ACD e ABC, di cui sono stati
misurati tutti i lati (con il lato AC in
comune).
La misura della diagonale BD è
“ridondante”, ma permette di eseguire un
controllo dei dati rilevati.
Schemi di trilaterazione (1)
Rilievo esterno di un edificio ABCD
Procedura: non potendo supporre
che i lati AB, BC e CD siano
ortogonali, occorre definire almeno
2 punti ausiliari esterni (1 e 2) con
cui costruire i triangoli necessari
alla risoluzione del rilievo.
Dopo aver misurato tutti i lati dei
quattro triangoli A1B, 1B2, B2D e
BCD, misurando anche A2, 1D, 2C
si ottengono tre misure di
ridondanza.
N.B.: negli schemi di trilaterazione i lati comuni a più triangoli
devono essere tagliati da almeno una delle misure di controllo .
Schemi di trilaterazione (2)
I° triangolo: 1A; 1B; BA
II° triangolo: 12; 2B
III° triangolo: 3B; BC; 3C
IV° triangolo: 23
La forma da rilevare richiede
l’introduzione di un 3° punto esterno
Introducendo un ulteriore punto
esterno si genera un altro triangolo con
quattro misure di controllo. La
sequenza di punti ausiliari 1, 2, 3, e 4 è
autoconsistente quando, oltre ad avere
misurato 12, 23 e 34, si misurano
anche 13 e 24. Lo stesso risultato si
ottiene misurando gli angoli in 2 e in 3.
Rilievo di interni
Si misurano i lati del locale (AB, AF,
FE) e mentre si misura BE si
rilevano le posizioni di C e D, non
come misure parziali sommate ma
come progressive della misura BE.
Bisogna
poi
necessariamente
misurare le due diagonali AE e FB
ed è bene misurare anche AC e FD.
Il locale adiacente richiede analogo
criterio di rilievo. L’unione dei due
locali è però impostata sul supposto
parallelismo dei lati BE e GN.
Rilevando CDOP è evidente che
piccoli errori di misura potrebbero
avere effetti rilevanti sulla posizione
relativa dei due locali e quindi nella
definizione degli spessori dei muri.
Rilievo collegato di locali adiacenti
Per collegare i differenti locali occorre generare una sequenza di punti
allineati così da misurare le distanze progressive e quella totale fra i punti
dell'allineamento. Sulla base di questo schema possiamo misurare tutti i
locali contigui. I muri divisori vengono definiti per differenza.
Ogni locale, oltre alle misure descritte precedentemente, deve prevedere la
determinazione dei due punti dell'allineamento in esso presenti.
