Matteo Luca Ruggiero
DISAT@Politecnico di Torino
Fisica 1
Anno Accademico 2011/2012
(16 Aprile - 20 Aprile 2012)
1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE
Sintesi
1
Abbiamo studiato le equazioni che determinano
il moto dei sistemi di particelle. In particolare,
la prima equazione cardinale determina la
dinamica traslazionale, in particolare il moto del
centro di massa del sistema, in funzione delle
forze esterne che agiscono su di esso. La seconda equazione cardinale, invece, determina la dinamica rotazionale, in particolare legando il momento angolare del sistema al momento
delle forze esterne, una volta che entrambi i momenti siano riferiti ad un opportuno polo. Le
equazioni cardinali forniscono al più sei equazioni indipendenti, in grado di determinare il moto
di un sistema che ha al più sei gradi di libertà,
come ad esempio un corpo rigido. Nel caso del
moto piano di un corpo rigido, le equazioni cardinali forniscono 3 equazioni indipendenti, anche
in questo caso in grado di determinare il moto
del sistema che ha, appunto, 3 gradi di libertà.
Esercizi svolti ad Esercitazione
Esercizio 5.1 (da Rosati, Casali, “Problemi di Fisica
Generale”)
Un ascensore sale con una accelerazione costante di modulo pari a due decimi
di g. All’interno dell’ascensore è posto un piano inclinato di lunghezza pari ad
un metro, che descrive un angolo α = π/3 rispetto alla direzione orizzontale
e, alla cima del piano inclinato, è posto un corpo di massa m = 1 kg. Il corpo
viene lasciato libero di cadere. .
(1)Calcolare la velocità relativa all’ascensore con cui giunge alla base del
piano inclinato (2) Risolvere il problema ponendo µD = 0.2 come coefficiente
di attrito dinamico fra il corpo di ed il piano inclinato.
Soluzione. (1) Il moto è uniformenente accelerato con accelerazione
parallela al piano data da a = (g + A) sin α = 53 g, essendo A = 2/10g il
modulo dell’accelerazione. (2) Il moto è ancora uniformemente accelerato, in
questo caso l’accerazione è data da a = (g + A) sin α − µD (g + A) cos α.
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1 ESERCIZI SVOLTI AD ESERCITAZIONE
Esercizio 5.2 (da Rosati, Casali, “Problemi di Fisica
Generale”)
Figura 1: Esercizio 5.2
Un corpo di massa m si trova sulla cima di un piano inclinato, avente
massa M, che forma un angolo α con la direzione orizzontale. Il corpo di
massa m è lasciato libero di scivolare, senza attrito e, a sua volta il piano
inclinato è libero di muoversi senza attrito su un piano orizzontale.
Calcolare le accelerazioni rispetto al suolo possedute dai due corpi durante
la fase di caduta del corpo di massa m.
Soluzione Commentata. Le forze agenti sono descritte in figura 2. In
particolare sul corpo di massa m agiscono: la forza peso mg e la reazione
vincolare del piano inclinato N; sul piano inclinato di massa M agiscono: la
forza peso Mg, la reazione vincolare del corpo di massa m, che vale −N per il
principio di azione e reazione, la reazione del piano di appoggio R. Notiamo
che, qualitativamente, se il corpo m viene lasciato libero di cadere, ci aspettiamo che il piano inclinato si muova verso sinistra, con una accelerazione A
come in figura. Questa è una conseguenza della conservazione delle quantità
di moto. Osserviamo infatti che sul sistema cosı̀ descritto non agiscono forze
esterne lungo la direzione x, quindi si conserva la quantità di moto in tale
direzione: in particolare, questo vuol dire che il centro di massa del sistema,
fermo inizialmente, continua a stare fermo. Quindi, se il corpo scivola verso
destra, il piano inclinato si muove verso sinistra.
Possiamo scrivere le equazioni del moto del corpo m nel sistema di riferimento non inerziale solidale al piano inclinato:
ma(r) = −mA + mg + N
(1)
avendo indicato con a(r) l’accelerazione relativa al riferimento non inerziale.
Facendo riferimento alla Figura 3, dove sono riportate le forze agenti
sul corpo di massa m, secondo l’equazione del moto (1), notiamo che le
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Figura 2: Esercizio 5.2: Forze agenti
Figura 3: Esercizio 5.2: Forze agenti sul corpo di massa m
componenti delle forze agenti lungo la direzione ortogonale alla direzione del
piano inclinato, individuata da x′ , devono avere risultante nullo, perchè non
ci può essere moto relativo al piano nella direzione y ′. Pertanto deve essere
(r)
may′ = −N + mg cos α − mA sin α
(2)
(r)
da cui, essendo ay′ = 0, ricaviamo il modulo, in funzione di A (che èun’incognita
del problema!), della forza N:
N = mg cos α − mA sin α
(3)
A questo punto, possiamo scrivere le equazioni del moto dei due corpi,
nel sistema di riferimento inerziale, solidale al piano di appoggio, utilizzando
gli assi orientati come in Figura 2. Per il corpo di massa m scriviamo
ma = mg + N
(4)
da cui, proiettando lungo gli assi otteniamo
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max = −N sin α
may = −mg + N cos α
(5)
(6)
Per il piano inclinato di massa M scriviamo
MA = Mg − N + R
(7)
da cui, proiettando lungo gli assi otteniamo:
MAx = N sin α
MAy = −Mg + R − N cos α
(8)
(9)
ovvero, essendo essendo Ax = A, e Ay = 0
MA = N sin α
R = Mg + N cos α
(10)
(11)
Andando quindi a sostituire l’espressione di N ricavata dalla (3) nella (10)
otteniamo
MA = (mg cos α − mA sin α) sin α
(12)
Da cui si ricava esplicitamente A
A=
m sin α cos α
g
M + m sin2 α
(13)
Per la conservazione della quantità di moto, deve essere max + MAx = 0, da
cui si ricava (o, equivalentemente, andando a sostituire nella (5))
ax = −
M sin α cos α
g
M + m sin2 α
(14)
Andando infine a sostituire A nella (6), ricaviamo
ay = −
(M + m) sin2 α
g
M + m sin2 α
(15)
Esercizio 5.3 (da S. Longhi, M. Nisoli, R. Osellame, S.
Stagira “Fisica Sperimentale”)
Consideriamo una piattaforma circolare, di raggio R, rotante intorno al suo
asse, con una velocità angolare Ω. Nella piattaforma è ricavata una scanalatura, posta lungo un suo diametro. Una molla ideale di lunghezza a
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Figura 4: Esercizio 5.5.
riposo nulla, ha un estremo fisso sul bordo della piattaforma, mentre all’altro
estremo è vincolata una massa m, libera di oscillare nella scanalatura, senza
attrito. Si osserva che, in virtù della rotazione della piattaforma, la massa si
muove di moto armonico, con periodo di oscillazione T .
(1) Spiegare perché il moto è armonico (2) Calcolare il periodo del moto
quando la piattaforma è ferma.
Soluzione. (1) Il moto è armonico perchè entrambe le forze agenti, quella
elastica e quella centrifuga, hanno una dipendenze lineare dalla coordinata radiale, ci si riconduce quindi ad un’equazione del moto radiale del tipo
mr̈ = −Kr, con K > 0. (2) Se T è il periodo del moto armonico quando la
piattaforma
è in moto, il periodo quando la piattaforma è ferma è dato da
q
T0 =
4π 2 T 2
.
T 2 Ω2 +4π 2
Esercizio 5.4
Calcolare il valore efficace dell’accelerazione di gravità in funzione della latitudine.
Soluzione. Tenendo presente
p l’effetto di rotazione della Terra, al variare del′
la latitudine θ di ha g = g 2 + Rω 2 (Rω 2 − 2g), essendo R il raggio della
Terra e ω la sua frequenza angolare di rotazione diurna.
Esercizio 5.5
Calcolare il momento di inerzia rispetto ad un asse passante per O del pendolo
fisico in figura, formato da un’asta di massa m e lunghezza L, e da un disco
di massa M e raggio R.
Soluzione Commentata. Sia ML il momento di inerzia dell’asta rispetto
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3 QUESITI PROPOSTI
al suo estremo O:
1
(16)
ML = mL2
3
Sia MD il momento di inerzia del disco rispetto ad un asse passante per il
suo centro di massa (visto che non è detto niente, si assume che il disco sia
omogeneo, per cui il centro di massa coincide con il suo centro geometrico):
1
MD = MR2
2
(17)
Il teorema di Huygens-Steiner ci permette di calcolare il momento di inerzia
del disco, rispetto ad un asse passante per O
1
MD,O = MR2 + M (R + L)2
2
(18)
Il momento di inerzia è una quantità additiva, per cui si ottiene che il momento di inerzia del sistema, rispetto all’asse di rotazione passante per O è
dato da:
1
1
MO = ML + MD,O = mL2 + MR2 + M (R + L)2
3
2
2
(19)
Esercizi Proposti
Esercizio P.5.1
Si considerino una sfera di raggio R e un cilindro anche esso di raggio R, di
ugual massa M, che scivolano senza strisciare su un piano inclinato, a partire
dalla medesima posizione. Sia α l’inclinazione del piano .
Quale dei due corpi arriva per primo alla base del piano inclinato?
3
Quesiti Proposti
5.1
Un disco rotola senza strisciare su un piano inclinato. Allora
1. La risultante delle forze agente su di esso nella direzione del piano
inclinato è nulla
2. Il momento delle forze agenti rispetto al centro di massa è nullo
3. Il moto complessivo del sistema è una rotazione intorno al centro di
massa
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4 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI PROPOSTI
4. La velocità del centro di massa cresce linearmente col tempo
5.2 Un ruota è vincolata a ruotare intorno ad un asse, in un piano
orizzontale.
1. Se la velocità angolare è costante, il momento angolare della ruota
rispetto all’asse di rotazione è costante
2. Se la velocità angolare è costante, il momento angolare della ruota
rispetto all’asse di rotazione può non essere è costante
3. La forza peso fa variare la velocità angolare della ruota
4. Per far variare la velocità angolare della ruota è sufficiente applicare
una forza al suo centro di massa.
4
4.1
Soluzioni degli Esercizi Proposti
Esercizio P.4.1 (da Rosati, Casali, “Problemi di
Fisica Generale”)
Un ascensore scende con un’accelerazione pari ad un quinto dell’accelerazione di gravità. Sia h l’altezza dell’ascensore. Una pallina viene lanciata dal
pavimento dell’ascensore verso l’alto con velocità di modulo v, misurata relativamente all’ascensore.
Determinare le condizioni che devono sussistere affinché la pallina raggiunga
il soffitto.
Soluzione. Indicando con a l’accelerazione dell’ascensore e con a(r) =
g − a = 4/5g l’accelerazione della pallina relativa all’ascensore, deve essere v 2 /2a)r) ≥ h.
4.2
Esercizio P.4.2
Calcolare il momento di inerzia di una guscio sferico di raggio R e massa M,
e di una sfera di raggio R e massa M.
Soluzione. Per un guscio sferico si ottiene I = 23 MR2 . Per una sfera si
ottiene I = 52 MR2 .
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5 SOLUZIONI DEI QUESITI PROPOSTI
5
Soluzioni dei Quesiti Proposti
4.1 Una bilancia a bracci è in equilibrio con due pesini m1 e m2 , in un
sistema di riferimento inerziale.
1. La bilancia continua ad essere in equilibrio in un ascensore che sale
verso l’alto, con accelerazione costante ∗
2. La bilancia non è più in equilibrio in un ascensore che sale verso l’alto,
con accelerazione costante
3. La bilancia non è più in equilibrio in un ascensore che scende verso il
basso, con accelerazione costante
4. La bilancia non è più in equilibrio sulla Luna
4.2
Si considerino 4 corpi puntiformi di massa m ai vertici di un
quadrato di lato L. Il momento di inerzia rispetto al punto di incontro delle
diagonali del quadrato vale
1. I = mL2
2. I = 2mL2 ∗
√
3. I = m 2L2
4. I = mL2 /2
4.3 Si consideri una giostra, costituita da una piattaforma che gira a
velocità angolare costante.
1. Un bambino che cammina dal bordo verso il centro, è soggetto a forze
inerziali dirette radialmente.
2. Un bambino che cammina dal bordo verso il centro, è può restare
in equilibrio perché la forza d’attrito radiale equilibra tutte le forze
inerziali.
3. Un bambino che cammina dal centro verso il bordo, è soggetto a forze
inerziali dirette radialmente.
4. La risultante delle forze inerziali ha una componente nel piano, ortogonale alla direzione del moto del bambino ∗
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5 SOLUZIONI DEI QUESITI PROPOSTI
1
2
3
4
Figura 5: Quesito 4.4
4.4 Una palla da bowling cade accidentalmente fuori dallo scompartimento carico di un aereo che vola in direzione orizzontale con velocità costante. Rispetto ad un passeggero dell’aereo, quale dei percorsi 1 – 4 seguirà
la palla da bowling immediatamente dopo aver lasciato l’aereo?
1. 1
2. 2 ∗
3. 3
4. 4
4.5
Consideriamo un disco di massa M e raggio R.
1. Il suo centro di massa coincide sempre con il centro del disco
2. Il suo centro di massa coincide con il centro del disco se lo spessore è
trascurabile
3. Se il disco non è omogeneo, il centro di massa può non coincidere con
il centro del disco ∗
4. Se il disco non è omogeneo, il centro di massa sicuramente non coincide
con il centro del disco
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