VERIFICA

PROPRIETÀ DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE
UNITÀ 1
VERIFICA
1
Completa:
a) La corrente di spostamento può essere considerata un ........................... nel dielettrico della corrente di ............................ e quindi genera un ............................ le cui linee di forza sono perpendicolari e ............................. a quelle del campo elettrico.
b) Un campo magnetico ............................. genera un campo ............................. variabile e
.............................
c) Un’onda elettromagnetica è costituita dall’............................. inscindibile di un campo
............................. e un campo ............................. entrambi ............................. nel tempo.
2
Un mezzo è detto omogeneo se le sue caratteristiche sono costanti in tutti i suoi punti.
Vero
Falso
3
Un mezzo è detto isotropo se le sue caratteristiche dipendono dalle condizioni ambientali (temperatura, pressione, umidità ecc.).
Vero
Falso
4
5
Completa:
a) La costante di fase rappresenta lo ............................. per unità di .............................
b) La costante di attenuazione rappresenta ............................. per unità di .............................
c) L’impedenza caratteristica di un dielettrico rappresenta il ............................. tra il campo
............................. e il campo ............................. e nel vuoto vale ............................. Ω.
Completa:
a) Il fronte d’onda di un fascio di onde elettromagnetiche è ......................... dei punti in corrispondenza dei quali tutte le onde del fascio hanno la ......................... fase.
b) Sulla superficie di un conduttore ......................... il campo elettrico ..................... deve essere
necessariamente nullo.
c) L’onda stazionaria è il risultato della combinazione di un’onda ......................... e di un’onda
......................... che si propagano con la stessa .........................
6
Un’onda elettromagnetica incidente su un conduttore ideale viene completamente riflessa.
Vero
Falso
7
Per un’onda stazionaria l’impedenza d’onda coincide con l’impedenza caratteristica.
Vero
Falso
8
A grande distanza dalla sorgente le onde elettromagnetiche possono essere considerate piane.
Vero
Falso
9
Le onde costituenti un fascio piano possono propagarsi solo in una determinata direzione.
Vero
Falso
10 In corrispondenza dell’angolo limite l’angolo rifratto vale 60°.
Vero
Falso
1
MODULO 2
ONDE ELETTROMAGNETICHE
VERIFICA
11 Completa:
a) Se il campo elettrico di un’onda elettromagnetica piana è orientato nella direzione
........................., l’onda si dice ......................... verticalmente.
b) Se il campo elettrico di un’onda elettromagnetica piana descrive sul piano ......................... alla
direzione di propagazione una ........................., l’onda si dice ......................... circolarmente.
c) Quando un’onda elettromagnetica piana attraversa una ......................... di dimensioni paragonabili alla sua .................................................., essa subisce il fenomeno della diffrazione.
12 L’interferenza distruttiva si verifica ogni qual volta due o più onde elettromagnetiche si incontrano
in un determinato punto in fase tra loro.
Vero
Falso
13 L’energia associata a un’onda elettromagnetica si propaga lungo una direzione parallela al campo
elettrico.
Vero
Falso
14 Completa:
a) Quando due onde elettromagnetiche si incontrano, se la loro sovrapposizione dà origine a
un’onda risultante la cui ampiezza coincide con la somma delle ampiezze delle singole onde interferenti, le due onde sono in ................................. tra loro.
b) Gli effetti della diffrazione sono tanto più evidenti quanto iù le dimensioni della fenditura sono
................................. con la ..................................
2
PROPRIETÀ DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE
UNITÀ 1
COSTRUISCI LE TUE CONOSCENZE
Rispondi alle seguenti domande:
Chi affrontò per la prima volta lo studio del campo elettromagnetico?
Che cosa genera un campo elettrico variabile nel tempo?
Che cosa formano un campo elettrico e un campo magnetico variabili nel tempo?
Come viene classificato un mezzo di propagazione?
Che tipo di onda si instaura in un mezzo illimitato?
Che tipo di onda si instaura quando nel mezzo si propaga sia un’onda progressiva sia un’onda
regressiva?
Come possono essere polarizzate le onde elettromagnetiche?
Utilizzando come traccia le domande precedenti, completa lo schema seguente che riassume i contenuti dell’Unità 1 del Modulo 2.
CAMPO ELETTROMAGNETICO
studiato per la prima volta da
il quale scoprì che è costituito da
che può essere polarizzato
UN CAMPO ELETTRICO VARIABILE
E
.......................................................
che può essere
che si propaga in un mezzo
OMOGENEO
ORIZZONTALMENTE
PROGRESSIVO
STAZIONARIO
3
MODULO 2
ONDE ELETTROMAGNETICHE
ESERCIZI RISOLTI
1
Un’onda radio piana che si propaga nell’aria ha l’ampiezza del campo elettrico EM ⴝ 10ⴚ4 V/m.
Calcolare:
a) l’intensità del campo magnetico;
b) la densità di potenza dell’onda.
Soluzione
a) Dall’eq. [5], poiché l’impedenza caratteristica del vuoto (e quindi praticamente dell’aria
μ0
a normale pressione atmosferica) è pari a
= 377 Ω , si ha:
ε0
HM ⫽
EM 10 −4
A
⫽
⫽ 2, 6 ⋅ 10 −7
m
377
η
b) La densità di potenza dell’onda elettromagnetica si può determinare direttamente dall’eq.
[24]:
1
1
W
S ⫽ EM ⋅ H M ⫽ 10 −4 ⋅ 2, 6 ⋅ 10 −7 ⫽ 1, 3 ⋅ 10 −11 2
2
2
m
2
Una sorgente elettromagnetica puntiforme irradia nello spazio circostante uniformemente in tutte
le direzioni.
Determinare i valori delle ampiezze EM e HM del campo elettromagnetico a una distanza r ⴝ 1 km
dalla sorgente, supponendo che la potenza emessa sia P0 ⴝ 1 kW e le perdite trascurabili.
Soluzione
Poiché la sorgente elettromagnetica irradia uniformemente in tutte le direzioni, le onde emesse sono di tipo sferico, per cui i relativi fronti d’onda sono costituiti da superfici sferiche.
La potenza P0 trasmessa dal radiatore è allora uguale alla densità di potenza S estesa al fronte d’onda a distanza r dalla sorgente, cioè:
P0 ⫽ S ⭈ 4πr2
essendo 4πr2 l’area del fronte d’onda considerato.
Ricordando che:
1
S ⫽ EM ⋅ H M
2
in cui (eq. [5]):
HM ⫽
EM
η
si ha:
1 EM2
2 η
Sostituendo tale espressione in quella di P0 si ottiene:
S⫽
EM2
πr 2
η
dalla quale è possibile ricavare:
P0 ⫽ 2
1 P0 ⋅ η
1
1 ⋅ 10 3 ⋅ 377
V
⫽
⫽ 0, 245
3
r 2π
1 ⋅ 10
2π
m
Dall’eq. [5] è quindi possibile ricavare l’ampiezza del campo magnetico:
EM ⫽
HM ⫽
4
EM 0, 245
A
⫽
⫽ 6, 5 ⋅ 10 −4
377
m
η
PROPRIETÀ DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE
UNITÀ 1
ESERCIZI RISOLTI
3
Il campo elettrico di un’onda elettromagnetica piana, che si propaga nel vuoto nella direzione dell’asse x positivo, ha lunghezza d’onda l ⴝ 3 m e ampiezza EM ⴝ 300 V/m.
Determinare:
a) la frequenza f dell’onda;
b) la direzione, l’ampiezza e il verso del campo magnetico 苶
H associato all’onda, nell’ipotesi che il
campo 苶
E sia diretto lungo l’asse y;
c) la costante di fase k e la pulsazione w;
d) la densità di potenza.
Soluzione
a) La frequenza è legata alla lunghezza d’onda dalla relazione [13]; poiché in questo caso la
propagazione avviene nel vuoto, avremo:
c 3 ⋅ 108
f⫽ ⫽
⫽ 108 Hz
3
λ
b) Poiché si tratta di un’onda piana, il vettore H
苶 deve essere perpendicolare sia alla direzione di propagazione x sia al vettore campo elettrico (direzione y) e quindi è diretto secondo l’asse z (e nello stesso verso).
y
r
E
r
H
x
z
FIGURA 1
L’ampiezza di H
苶 per l’eq. [5] risulta:
HM ⫽
EM 300
A
⫽
⫽ 0, 795
377
m
η
c) Per l’eq. [13] la costante di fase risulta:
2π 2π
⫽
= 2, 09 m −1
λ
3
mentre la pulsazione ω vale:
k⫽
rad
s
d) La densità di potenza dell’onda è data dall’eq. [24]:
ω ⫽ 2π f ⫽ 2π ⋅ 108 ⫽ 6, 28 ⋅ 108
1
S ⫽ EM ⋅ H M
2
la quale, tenendo conto dell’eq. [5], diventa:
S⫽
4
1 EM2 1 300 2
W
⫽ ⋅
⫽ 120 2
2 η
2 377
m
Dimostrare che un’onda elettromagnetica incidente con un angolo q su un dielettrico a facce parallele, avente spessore t e indice di rifrazione n, emerge dalla faccia opposta parallelamente alla direzione iniziale, ma traslato trasversalmente di una quantità x, come mostrato nella figura 2.
Calcolare inoltre il valore di tale spostamento.
5
MODULO 2
ONDE ELETTROMAGNETICHE
ESERCIZI RISOLTI
θ
α
A
θ
α
D
B
θ
C
θ
x
t
FIGURA 2
Soluzione
L’onda elettromagnetica che si propaga nel dielettrico forma angoli uguali con le normali alle
due facce parallele (α) e pertanto, per la legge di Snell, anche gli angoli dell’onda incidente
e dell’onda emergente (indicati con θ) sono uguali.
Per calcolare lo spostamento trasversale subìto dall’onda, si osservi innanzitutto che:
x ⫽ BD ⫽ BC cos θ
D’altra parte, essendo:
AB ⫽ t tg α
AC ⫽ t tg θ
BC ⫽ AC ⫺ AB
si ha:
BC ⫽ t tg θ ⫺ t tg α ⫽ t (tg θ ⫺ tg α)
per cui risulta:
x ⫽ t (tg θ ⫺ tg α) cos θ
Inoltre, per la legge di Snell, considerando l’indice di rifrazione dell’aria uguale a 1, si ha:
n sen α ⫽ sen θ
da cui è possibile ricavare:
sen α ⫽
sen θ
n
Sostituendo tale espressione in quella di x si ottiene:
⎛sen θ
⎛sen θ sen α ⎞
sen α ⎞
−
x ⫽t⎜
−
⎟ ⋅ cos θ ⫽
⎟ ⋅ cos θ ⫽ t ⎜
⎝cos θ
⎝cos θ cos α⎠
1 − sen 2 α ⎠
⎛
⎛
⎞
sen θ ⎞
cos θ
⎜sen θ
⎟
⎜
⎟
n
n
⎟ ⋅ cos θ ⫽ t sen θ ⋅ ⎜1 −
⎟
= t⎜
−
1
⎜cos θ
sen 2θ ⎟
⎜⎜
⎜
1 − 2 sen 2θ ⎟⎟
1− 2 ⎟
⎝
⎠
⎝
n
n ⎠
Si può osservare che per piccoli valori dell’angolo di incidenza θ, è possibile considerare:
cos θ ⬵ 1
per cui si ottiene:
⎛n − 1⎞
x ⫽ tθ ⎜
⎟
⎝ n ⎠
6
sen θ ⬵ θ
sen2 θ ⬵ 0
PROPRIETÀ DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE
UNITÀ 1
ESERCIZI RISOLTI
5
Un aereo a 10 km di quota da una stazione trasmittente riceve un segnale di 10 mW/m2. Calcolare:
a) il valore efficace del campo elettrico che l’aereo riceve;
b) il valore efficace del corrispondente campo magnetico;
c) la potenza totale irradiata dal trasmettitore (nell’ipotesi che esso possa considerarsi una sorgente elettromagnetica puntiforme che irradia uniformemente in tutte le direzioni).
Soluzione
a) La quantità 10 μW/m2 è la densità di potenza S che si ha sull’aereo (dimensionalmente essa
è infatti il rapporto tra una potenza (μW) e una superficie (m2)), per cui dall’eq. [24],
E
ricordando che H M ⫽ M , si ha:
η
S⫽
1 EM2
2 η
Inoltre poiché Eeff ⫽
S⫽
EM
e quindi EM ⫽ Eeff 2 si ha:
2
Eeff2
η
da cui:
Eeff ⫽ η ⋅ S ⫽ 377 ⋅ 10 ⋅ 10 −6 ⫽ 6,14 ⋅ 10 −2
V
m
b) Per l’eq. [5], si ha:
H eff ⫽
Eeff
⫽
6,14 ⋅ 10 −2
A
⫽ 1, 6 ⋅ 10 −4
377
m
η
c) Il trasmettitore irradia uniformemente in tutte le direzioni onde di tipo sferico e quindi i
fronti d’onda sono costituiti da superfici sferiche.
Affinché sul fronte d’onda in corrispondenza del quale si trova l’aereo (cioè quello avente raggio pari a r ⫽ 10 km dal trasmettitore) la densità di potenza sia pari a 10 μW/m2, la
potenza trasmessa PT dovrà essere:
PT ⫽ 4πr 2 ⭈ S ⫽ 4π (10 ⭈ 103)2 ⭈ 10 ⭈ 10⫺6 ⫽ 12,5 kW
6
Un’onda elettromagnetica, che si propaga liberamente in un dielettrico, a un certo istante passa
nell’aria incidendo normalmente sulla superficie di separazione tra i due mezzi, con coefficiente di
riflessione K ⴝ 0,3.
Ipotizzando che la permeabilità magnetica relativa del dielettrico sia mr ⴝ 1, determinare la velocità
di propagazione nel dielettrico.
Soluzione
Nel dielettrico la velocità di propagazione dell’onda elettromagnetica, per l’eq. [2], vale:
1
ε ⋅μ
in cui ε e μ valgono:
ε ⫽ ε0 ⭈ εr
μ ⫽ μ0 ⭈ μr
essendo εr e μr rispettivamente la costante dielettrica e la permeabilità magnetica relative del
dielettrico.
Sostituendo tali valori nella precedente espressione si ottiene:
u⫽
u⫽
1
1
1
c
⫽
⫽
⫽
ε ⋅μ
ε 0 ⋅ ε r ⋅ μ 0 ⋅ μr
ε r ⋅ μr ε 0 ⋅ μ 0
ε r ⋅ μr
7
MODULO 2
ONDE ELETTROMAGNETICHE
ESERCIZI RISOLTI
Poiché μr ⫽ 1, la precedente espressione diventa:
c
u⫽
εr
Per determinare la velocità di propagazione dell’onda nel dielettrico occorre quindi calcolare la sua costante dielettrica εr. Tenendo sempre presente che μr ⫽ 1, e ricordando che l’impedenza caratteristica del vuoto (e praticamente nell’aria a normale pressione atmosferica) è
μ0
⫽ 377 Ω , l’impedenza caratteristica η del dielettrico, per l’eq. [5], vale:
pari a
ε0
μ 0 ⋅ μr
μ0
μr 377
μ
⫽
⫽
⫽
⋅
ε
ε 0 ⋅ εr
ε0
εr
εr
η⫽
da cui:
εr ⫽
377
η
che sostituita nell’espressione di u fornisce:
u⫽
c
η
377
Poiché sulla superficie di incidenza il coefficiente di riflessione è K ⫽ 0,3, dall’eq. [18] si ha:
K⫽
377 − η
377 + η
da cui si può ricavare η:
η⫽
1− K
1 − 0, 3
⋅ 377 ⫽
⋅ 377 ⫽ 203 Ω
1+ K
1 + 0, 3
per cui la velocità nel dielettrico risulta:
u⫽
7
c
m
⋅ 203 ⫽ 1, 6 ⋅ 108
377
s
Un’onda elettromagnetica che si propaga in un dielettrico
(dielettrico 1) con velocità pari a 2,23 ⴢ 108 m/s, incide su un
secondo dielettrico (dielettrico 2), come mostrato nella figura 32.
Se la velocità di propagazione dell’onda nel dielettrico 2 è
pari a 1,8 ⴢ 108 m/s, nell’ipotesi che l’angolo di rifrazione sia
di 30°, calcolare l’angolo di incidenza.
Soluzione
φi
1
2
φ'r
FIGURA 3
Gli indici di rifrazione dei due dielettrici, per l’eq. [21], valgono:
n1 ⫽
c
3 ⋅ 108
⫽
⫽ 1, 34
u1 2, 23 ⋅ 108
n2 ⫽
c
3 ⋅ 108
⫽
⫽ 1, 66
u2 1, 8 ⋅ 108
Con riferimento alla figura precedente, applicando la legge di Snell (eq. [20]), si ha:
sen φi n2
⫽
sen φr′ n1
da cui è possibile ricavare l’angolo di incidenza φi richiesto:
⎛n
⎞
⎛1, 66
⎞
n
sen φi ⫽ 2 sen φr′ ⇒ φi ⫽ arcsen ⎜ 2 sen φr′⎟ ⫽ arcsen ⎜
sen 30 ⎟ ⫽ 38
⎝1, 34
⎠
n1
⎝ n1
⎠
8
PROPRIETÀ DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE
UNITÀ 1
ESERCIZI RISOLTI
8
Un’onda elettromagnetica che si propaga nell’aria (n1 ⴝ 1) incide su un dielettrico avente indice di
rifrazione n2 ⴝ 1,23, con un angolo di 30°. Determinare:
a) l’angolo di rifrazione;
b) la velocità di propagazione nel dielettrico.
È possibile avere riflessione totale?
Soluzione
Applicando la legge di Snell (eq. [20]) e tenendo conto che l’indice di rifrazione dell’aria vale
1 si ha:
sen φ i n2
⫽
sen φr′ n1
da cui:
⎛n
⎞
⎛ 1
⎞
φr′ ⫽ arcsen ⎜ 1 sen φi ⎟ ⫽ arcsen ⎜
sen 30 ⎟ ⫽ 24 ⎝1, 23
⎠
⎠
⎝n2
b) Applicando l’eq. [21] si ha:
u2 ⫽
m
c 3 ⋅ 108
⫽
⫽ 2, 44 ⋅ 108
1, 23
s
n2
Non è possibile avere riflessione totale in quanto, poiché risulta φ′r ⬍ φi, all’aumentare di φi
l’angolo si avvicina alla normale.
9
Una sorgente elettromagnetica puntiforme posta nello spazio libero (senza perdite) irradia uniformemente in tutte le direzioni una potenza P0 ⴝ 0,5 kW.
Determinare:
a) la densità di potenza a una distanza r ⴝ 1 km dalla sorgente;
b) l’ampiezza del campo elettrico alla stessa distanza.
Soluzione
a) Poiché la sorgente elettromagnetica irradia uniformemente in tutte le direzioni, le onde
emesse sono di tipo sferico, per cui i relativi fronti d’onda sono costituiti da superfici sferiche.
Essendo nulle le perdite e supposto illimitato il mezzo nel quale avviene la propagazione,
la potenza P0 trasmessa dal radiatore deve essere uguale alla densità di potenza S estesa al
fronte d’onda a distanza r dalla sorgente, cioè:
P0 ⫽ S ⭈ 4πr2
dove 4πr2 costituisce l’area del fronte d’onda considerato.
Dalla precedente, per r ⫽ 1 km, si ottiene:
S⫽
P0
μW
0, 5 ⋅ 10 3
⫽
⫽ 40 2
2
m
4π r
4 π ⋅ 10 6
b) L’ampiezza del campo elettrico può essere determinata tramite l’eq. [26]:
S⫽
1 EM2
2 η
da cui si ha:
EM ⫽ 2S ⋅ η ⫽ 2 ⋅ 40 ⋅ 10 −6 ⋅ 377 ⫽ 0,17
V
m
9
MODULO 2
ONDE ELETTROMAGNETICHE
ESERCIZI PROPOSTI
10 L’ampiezza del campo magnetico di un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto è
HM ⫽ 1,75 ⭈ 10–6 A/m. Determinare:
a) l’ampiezza del campo elettrico;
b) la densità di potenza dell’onda.
11 Un’onda elettromagnetica si propaga in un dielettrico avente le seguenti caratteristiche:
εr ⫽ 1,28
μr ⫽ 1
Determinare:
a) la velocità dell’onda;
b) l’indice di rifrazione del mezzo;
c) l’impedenza caratteristica del mezzo.
12 Un’onda elettromagnetica, avente lunghezza d’onda λ ⫽ 2,5 m, si propaga in un dielettrico a velocità
u ⫽ 1,85 ⭈ 108 m/s.
Se la permeabilità magnetica relativa del mezzo è μr ⫽ 1, determinare:
a) l’impedenza caratteristica del mezzo;
b) l’indice di rifrazione del mezzo;
c) la costante di fase.
13 Alla distanza di 10 km da una sorgente elettromagnetica puntiforme che irradia uniformemente in tutte le
direzioni, l’ampiezza del campo elettrico vale 243 μV/m. Determinare la potenza emessa dalla sorgente.
(Suggerimento: le onde elettromagnetiche generate da una sorgente puntiforme sono sferiche).
14 Un’onda elettromagnetica che si propaga in un dielettrico avente indice di rifrazione n1 ⫽ 1,32, a un certo
istante incide su un dielettrico formando con la normale alla superficie di separazione dei due mezzi un angolo φi ⫽ 60°. Nell’ipotesi che la permeabilità magnetica e l’impedenza caratteristica del secondo dielettrico siano rispettivamente pari a 1 e 258 Ω, determinare l’angolo di rifrazione dell’onda che passa nel secondo dielettrico.
(Suggerimento: determinata ε2, si può calcolare la velocità di propagazione dell’onda nel secondo dielettrico).
15 Un’onda elettromagnetica si propaga in un dielettrico a velocità u1 ⫽ 1,35 ⭈ 108 m/s.
Se a un certo istante incide su un secondo dielettrico avente le seguenti caratteristiche:
εr ⫽ 2,48
μr ⫽ 1
determinare l’angolo limite.
(Suggerimento: determinare gli indici di rifrazione dei due mezzi, calcolando la velocità di propagazione nel
secondo).
16 Una sorgente elettromagnetica puntiforme irradia in tutte le direzioni nello spazio una potenza P0 ⫽ 1,7 kW.
Determinare la distanza in corrispondenza della quale l’ampiezza del campo elettrico è EM ⫽ 1,75 V/m.
(Suggerimento: le onde elettromagnetiche generate da una sorgente puntiforme sono sferiche).
17 Le ampiezze del campo elettrico e del campo magnetico di un’onda elettromagnetica che si propaga in
un dielettrico avente permeabilità magnetica relativa μr ⫽ 1 valgono rispettivamente EM ⫽ 0,231 V/m e
HM ⫽ 0,776 ⭈ 10⫺3 A/m.
Determinare l’indice di rifrazione del dielettrico.
(Suggerimento: determinare l’impedenza d’onda e la costante dielettrica del mezzo).
10