Bipoli e multipoli - Associazione Innovit Onlus
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Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari 1 Cosa c’è nell’unità 1/3 Passività e relazioni costitutive Potenza entrante Passività Relazioni costitutive Bipoli ideali Resistore ideale Generatori di tensione Generatori ideali di corrente Principio di equivalenza Induttore ideale Condensatore ideale 2 © 2005 Politecnico di Torino 1 1 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Cosa c’è nell’unità 2/3 Multipoli e Multiporta Multipoli Multiporta Principio di sostituzione ed applicazioni Principio di sostituzione Circuiti elementari Resistore costituito da una rete di resistori Connessioni serie - parallelo Connessione in serie di resistori Connessione in parallelo di resistori 3 Cosa c’è nell’unità 3/3 Esempi per connessione serie -parallelo Altri tipi di connessione Reti a scala e non a scala Serie-parallelo e reti a scala Reti non a scala Trasformazione triangolo-stella Trasformazione stella-triangolo Esempio stella-triangolo 4 © 2005 Politecnico di Torino 2 2 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli, multipoli e circuiti elementari 5 Passività e relazioni costitutive 6 © 2005 Politecnico di Torino 3 3 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli elettrici - potenza entrante Tensione e corrente su di un bipolo si possono misurare secondo la convenzione 1. degli utilizzatori 2. dei generatori 7 Bipoli elettrici - potenza entrante Tensione e corrente su di un bipolo si possono misurare secondo la convenzione 1. degli utilizzatori 2. dei generatori Convenzione degli utilizzatori Convenzione dei generatori © 2005 Politecnico di Torino vi = potenza entrante vi = potenza uscente 8 4 4 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Passività e relazioni costitutive 9 Bipoli elettrici – passività L’energia w(t) fornita ad un bipolo è l’integrale della potenza entrante; secondo la convenzione degli utilizzatori si ha: t w(t ) = ∫ v(t ') i(t ')dt ' −∞ 10 © 2005 Politecnico di Torino 5 5 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli elettrici – passività L’energia w(t) fornita ad un bipolo è l’integrale della potenza entrante; secondo la convenzione degli utilizzatori si ha: t w(t ) = ∫ v(t ') i(t ')dt ' −∞ Il bipolo viene definito passivo se, qualunque sia la tensione o la corrente su di esso, per qualsiasi istante di tempo t l’energia fornita al bipolo non è mai negativa w(t ) ≥ 0 11 Passività e relazioni costitutive 12 © 2005 Politecnico di Torino 6 6 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli elettrici – relazioni costitutive Esiste un legame tra tensione e corrente → relazione costitutiva, che classifichiamo con 4 proprietà: 13 Bipoli elettrici – relazioni costitutive Esiste un legame tra tensione e corrente → relazione costitutiva, che classifichiamo con 4 proprietà: 1. tipo di comando 14 © 2005 Politecnico di Torino 7 7 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli elettrici – relazioni costitutive Esiste un legame tra tensione e corrente → relazione costitutiva, che classifichiamo con 4 proprietà: 1. tipo di comando 2. linearità o meno del dispositivo 15 Bipoli elettrici – relazioni costitutive Esiste un legame tra tensione e corrente → relazione costitutiva, che classifichiamo con 4 proprietà: 1. tipo di comando 2. linearità o meno del dispositivo 3. memoria od assenza di memoria 16 © 2005 Politecnico di Torino 8 8 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli elettrici – relazioni costitutive Esiste un legame tra tensione e corrente → relazione costitutiva, che classifichiamo con 4 proprietà: 1. tipo di comando 2. linearità o meno del dispositivo 3. memoria od assenza di memoria 4. tempo invarianza (dispositivo autonomo oppure no) 17 Bipoli elettrici – tipo di comando a, b, c funzioni note del tempo: 3 dv i(t) = av 2 (t ) + b + c sin [v (t) ] comandointensione dt 3 di v(t ) = ai3 ( t) + b cos [ i(t ) ] − c dt comandoincorrente 3 di i2 (t) + a = b v(t ) + c sin[ v( t) ] comandoibrido dt 18 © 2005 Politecnico di Torino 9 9 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli elettrici – linearità a, b, c funzioni note del tempo: di i(t ) + a = b v(t ) +c ∫ v(t ') dt ' bipololineare dt −∞ t v(t ) = a i 3 (t ) bipolo non l ineare 19 Bipoli elettrici – memoria Il bipolo è privo di memoria quando la relazione costitutiva esprime un legame solo fra la tensione e la corrente allo stesso istante di tempo 20 © 2005 Politecnico di Torino 10 10 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli elettrici – memoria Il bipolo è privo di memoria quando la relazione costitutiva esprime un legame solo fra la tensione e la corrente allo stesso istante di tempo Il bipolo ha memoria quando la relazione costitutiva riguarda anche valori di tensione o di corrente relativi ad istanti di tempo diversi da t 21 Bipoli elettrici – memoria Il bipolo è privo di memoria quando la relazione costitutiva esprime un legame solo fra la tensione e la corrente allo stesso istante di tempo Il bipolo ha memoria quando la relazione costitutiva riguarda anche valori di tensione o di corrente relativi ad istanti di tempo diversi da t di i( t ) + a = b v(t ) + c ∫ v (t ') dt ' bipoloconmemoria dt −∞ t v (t ) = a i 3 ( t ) bipolo privo di memori a 22 © 2005 Politecnico di Torino 11 11 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli elettrici – invarianza temporale Bipolo autonomo o tempo invariante quando la relazione costitutiva non dipende dal tempo 23 Bipoli elettrici – invarianza temporale Bipolo autonomo o tempo invariante quando la relazione costitutiva non dipende dal tempo Bipolo variabile nel tempo quando la relazione costitutiva è funzione del tempo 24 © 2005 Politecnico di Torino 12 12 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli elettrici – invarianza temporale Bipolo autonomo o tempo invariante quando la relazione costitutiva non dipende dal tempo Bipolo variabile nel tempo quando la relazione costitutiva è funzione del tempo t di i(t) + a = b v(t) + c ∫ v(t ') dt ' dt −∞ a, b , c tuttecostantineltempo ⇒ bipolo autonomo, altrimenti ⇒ bipolo non autonomo - variabile nel tempo. 25 Bipoli, multipoli e circuiti elementari 26 © 2005 Politecnico di Torino 13 13 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli ideali 27 Resistore ideale Relazione costitutiva (convenzione degli utilizzatori): v(t)=+R i(t) Relazione costitutiva (convenzione dei generatori): v(t)=-R i(t) 28 © 2005 Politecnico di Torino 14 14 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Resistore ideale Relazione costitutiva (convenzione degli utilizzatori): v(t)=+R i(t) Relazione costitutiva (convenzione dei generatori): t t w( t) = ∫ v (t ') i (t ')d t ' = R ∫ i 2 ( t ')dt ' ≥ 0 v(t)=-R i(t) −∞ −∞ Bipolo passivo se la resistenza R > 0 29 Resistore ideale La resistenza R ha dimensioni di Volt/Ampere La resistenza si misura in Ohm [O] 30 © 2005 Politecnico di Torino 15 15 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Corto circuito Bipolo corto circuito quando la resistenza vale 0 ohm R=0 31 Circuito aperto Se la resistenza è non nulla la relazione costitutiva può essere scritta con comando in tensione (convenzione dei generatori) : i(t)=G v(t) dove G è la conduttanza (dimensioni Siemens) Il caso G =0 definisce il bipolo circuito aperto 32 © 2005 Politecnico di Torino 16 16 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Interruttore ideale Il cortocircuito ed il circuito aperto consentono di definire il bipolo (tempo-variante) interruttore a sinistra: interruttore che si apre al tempo t a destra: interruttore che si chiude al tempo t 33 Bipoli ideali 34 © 2005 Politecnico di Torino 17 17 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Generatore ideale di tensione È il bipolo con tensione tra i suoi morsetti nota, qualunque sia la corrente che lo attraversa Relazione costitutiva: v(t)=e(t), ∀ i(t) di solito si applica la convenzione dei generatori, come indicato in figura a destra 35 Generatore ideale di tensione Un generatore ideale di tensione nulla, cioè un generatore ideale di tensione SPENTO, è equivalente ad un cortocircuito Relazione costitutiva: v(t)=0, ∀ i(t) 36 © 2005 Politecnico di Torino 18 18 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli ideali 37 Generatore ideale di corrente È il bipolo con corrente che lo attraversa nota, qualunque sia la tensione tra i suoi morsetti Relazione costitutiva: i(t)=a(t), ∀ v(t) di solito si applica la convenzione dei generatori, come indicato in figura a destra 38 © 2005 Politecnico di Torino 19 19 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Generatore ideale di corrente Un generatore ideale di corrente nulla, cioè un generatore ideale di corrente SPENTO, è equivalente ad un circuito aperto Relazione costitutiva: i(t)=0, ∀ v(t) 39 Bipoli ideali 40 © 2005 Politecnico di Torino 20 20 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Principio di Equivalenza In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di tensione 41 Principio di Equivalenza In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di corrente 42 © 2005 Politecnico di Torino 21 21 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli ideali 43 Induttore ideale Relazione costitutiva: v (t ) = L di dt L è l’induttanza, si misura in H [Henry] con convenzione utilizzatori L>0 Questo dispositivo ha memoria: i (t ) − i (t − ∆t ) ∆ t →0 ∆t v( t ) = L lim 44 © 2005 Politecnico di Torino 22 22 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Induttore ideale L’induttore ideale è un dispositivo reattivo p (t ) = v( t)i (t ) = L di d 1 i (t ) = Li 2 (t ) dt dt 2 wh (t) = 1 2 Li (t ) 2 45 Induttore ideale A volte conviene introdurre una nuova grandezza: il flusso Il flusso viene “comandato in corrente” t ϕ (t ) = ∫ v(t ′)dt ′ −∞ ϕ(t ) = Li(t ) E la relazione flusso corrente è priva di memoria di Quest’ultima relazione si ottiene v (t ) = L integrando nel tempo la relazione dt tensione corrente 46 © 2005 Politecnico di Torino 23 23 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli ideali 47 Condensatore ideale Relazione costitutiva: i (t ) = C dv dt C è la capacità, si misura in F [Farad] con convenzione utilizzatori C>0 Questo dispositivo ha memoria: i (t ) = C lim ∆ t→0 v (t ) − v( t − ∆ t ) ∆t 48 © 2005 Politecnico di Torino 24 24 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Condensatore ideale Il condensatore ideale è un dispositivo reattivo p (t ) = v( t) i(t ) = Cv(t ) dv d 1 2 = Cv (t ) dt dt 2 1 we (t ) = Cv 2 (t ) 2 49 Condensatore ideale A volte si introduce una nuova grandezza: la carica t q(t ) = ∫ i(t ′) dt ′ −∞ La carica viene “comandata in tensione” E la relazione carica-tensione è priva di memoria Quest’ultima relazione si ottiene integrando nel tempo la relazione corrente tensione q(t ) = Cv(t ) i (t ) = C dv dt 50 © 2005 Politecnico di Torino 25 25 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli, multipoli e circuiti elementari 51 Multipoli e multiporta Un multipolo è un dispositivo elettromagnetico accessibile dall’esterno da più morsetti n+1 morsetti ⇒(n+1)-polo 52 © 2005 Politecnico di Torino 26 26 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Multipoli e multiporta di solito si sceglie un morsetto di riferimento (morsetto zero in figura) e si definiscono le n tensioni rispetto al riferimento 53 Multipoli e multiporta Misurando positive le correnti entranti nei morsetti, KCL porge i0+i1+…+in=0 54 © 2005 Politecnico di Torino 27 27 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Multipoli e Multiporta 55 Multipoli La corrente del i multipolo è il vettore 1 i i ad n componenti i = 2 M in La tensione del v1 multipolo è il vettore v 2 v ad n componenti v = M con v jl=v j-v l v n 56 © 2005 Politecnico di Torino 28 28 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Multipoli La potenza elettromagnetica p entrante in un multipolo vale p(t ) = v1 i1 + v2 i2 + K + vn in = = [v1 v2 i1 i 2 K vn ] = v+ i M in 57 Multipoli L’energia w(t) fornita al multipolo da -8 all’istante t vale: w(t ) = t ∫v + ( t ') i( t ') d t ' −∞ Un multipolo si dice passivo quando qualunque sia la tensione (o la corrente) su di esso, per qualsiasi valore del tempo t , l’energia a lui fornita (quindi assorbita dal multipolo) non è mai negativa. Cioè si ha sempre: w(t ) ≥ 0 58 © 2005 Politecnico di Torino 29 29 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Multipoli Nel caso di multipoli lineari e privi di memoria la relazione costitutiva assume forma vettoriale : Av + Bi + c = 0 a11v1 + a12 v2 + L + a1 n vn + b11i1 + L + b1n in + c1 = 0 a21v1 + a22 v2 + L + a2 n vn + b21i1 + L + b2 ni n + c2 = 0 ……………… a n1 v1 + a n 2 v 2 + L + a nnv n + bn 1i1 + L + bnnin + cn = 0 59 Multipoli 60 © 2005 Politecnico di Torino 30 30 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari ESEMPIO 1 – Multipoli Per la rete di figura, calcolare la potenza che transita attraverso la sezione S-S’ 61 ESEMPIO 1 – Multipoli Risposta: la potenza è quella entrante nel tripolo di morsetti 0, 1, e 2 che in figura si trova a destra della sezione S-S’. Si ha p=v1 i1+v2 i2 con v 1 = e1, v 2 = e2 , da cui p = e1 i1+e2 i2 KCL ⇒ i1=ia+ic , i2=ib -ic ; KVL ⇒ vc=e1-e2 costitutive ia=e1/R1 , ib =e2/R2 , ic=(e1-e2)/R3 62 © 2005 Politecnico di Torino 31 31 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari ESEMPIO 1 – Multipoli Da cui p = e21 (1/R1+1/R3) +e22 (1/R2+1/R3) -2e1 e2 /R3 la potenza p è conservativa in quanto p uguaglia la potenza assorbita dai tre resistori p = e21 /R1+e22 /R2+ (e1-e2)2/R3 63 Multipoli e Multiporta 64 © 2005 Politecnico di Torino 32 32 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Multiporta Un multiporta è un multipolo con un numero PARI di morsetti tutti organizzati a coppie Coppia ⇒ la corrente entrante in un morsetto è uguale a quella uscente dall’altro morsetto della coppia 65 Multiporta Si dice PORTA ogni coppia di morsetti per cui vale la proprietà detta sopra Un n -porte è anche un multipolo con 2n morsetti Su ogni porta si definisce una corrente ed una tensione di porta, con KCL implicitamente soddisfatta 66 © 2005 Politecnico di Torino 33 33 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Multiporta La corrente i e la tensione v dell’ n-porte sono vettori ad n componenti i1 v1 i v i = 2 v = 2 M M i n vn Le tensioni di porta non consentono di valutare la tensione fra un morsetto di una porta ed un morsetto di una porta diversa 67 Multiporta La potenza elettromagnetica p entrante in un multiporta vale p(t ) = v1 i1 + v2 i2 + L + vn in = = [v1 v2 i1 i2 L vn ] = v+ i M in 68 © 2005 Politecnico di Torino 34 34 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Multiporta L’energia w(t) fornita al multiporta da -8 all’istante t vale: w( t ) = t ∫v + (t ' ) i( t ') d t ' −∞ Un multiporta si dice passivo quando qualunque sia la tensione (o la corrente) su di esso, per qualsiasi valore del tempo t , l’energia a lui fornita (quindi assorbita dal multiporta) non è mai negativa. Cioè si ha sempre: w(t ) ≥ 0 69 Passività Una rete si dice passiva se, a prescindere dai generatori di tensione e di corrente in essa presenti, tutti gli altri elementi della rete sono passivi 70 © 2005 Politecnico di Torino 35 35 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Multiporta Anche per i multiporta, se lineari e privi di memoria, vale la seguente forma vettoriale della relazione costitutiva: Av + Bi + c = 0 a11v1 + a12 v2 + L + a1 n vn + b11i1 + L + b1n in + c1 = 0 a21v1 + a22 v2 + L + a2 n vn + b21i1 + L + b2 ni n + c2 = 0 ……………… an1 v1 + an 2 v2 + L + annvn + bn 1i1 + L + bnnin + cn = 0 71 Multiporta Conviene inoltre distinguere fra 72 © 2005 Politecnico di Torino 36 36 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Multiporta Conviene inoltre distinguere fra Multiporta NON Intrinseci ⇒ i 2n morsetti del dispositivo risultano organizzati in n porte in conseguenza dei collegamenti “esterni” 73 Multiporta Conviene inoltre distinguere fra Multiporta NON Intrinseci ⇒ i 2n morsetti del dispositivo risultano organizzati in n porte in conseguenza dei collegamenti “esterni” Multiporta Intrinseci ⇒ le porte del multiporta sono a priori “fisse” e non variano anche se i collegamenti “esterni” variano conseguenza ⇒ quando un multiporta intrinseco viene collegato ad altri dispositivi occorre prestare molta attenzione a non contrastare (violare) la KCL di porta 74 © 2005 Politecnico di Torino 37 37 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Multiporta – esempi Il multiporta topologicamente più semplice è l’uni-porta, cioè il bipolo Bipolo 75 Multiporta – esempi Un due-porte viene comunemente detto doppiobipolo (in figura si utilizza, porta per porta, la convenzione degli utilizzatori) Il doppio bipolo ha un numero di equazioni costitutive pari a quello del tripolo, cioè 2 equazioni scalari che legano tra loro le due tensioni di porta alle due correnti di porta 76 © 2005 Politecnico di Torino 38 38 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Multiporta – Esempio 1 Nella stragrande maggioranza dei casi il doppio bipolo viene realizzato da quadripoli con morsetti chiusi a coppie su bipoli (questi doppi bipoli sono, in generale, non intrinseci) Doppio-bipolo intrinseco Collegamento esterno non lecito 77 Multiporta – Esempio 2 Nella stragrande maggioranza dei casi il doppio bipolo viene realizzato da quadripoli con morsetti chiusi a coppie su bipoli (questi doppi bipoli sono, in generale, non intrinseci) Quadripolo Collegamento esterno lecito © 2005 Politecnico di Torino 78 39 39 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli, multipoli e circuiti elementari 79 Principio di sostituzione ed applicazioni 80 © 2005 Politecnico di Torino 40 40 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Principio di sostituzione Se in una determinata rete si sostituisce ad un elemento un secondo elemento avente le stesse relazioni costitutive del primo, tutte le grandezze elettriche definite sui vari morsetti dei multipoli della rete non cambiano PRECISAZIONE: il secondo elemento si collega alla rete con lo stesso numero di morsetti del primo e le relazioni costitutive dei due elementi così considerati sono identiche rispetto alle stesse convenzioni di misura 81 Principio di sostituzione In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di tensione 82 © 2005 Politecnico di Torino 41 41 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Principio di sostituzione In base al principio di sostituzione il bipolo A può essere sostituito da un generatore ideale di corrente 83 Principio di sostituzione ed applicazioni 84 © 2005 Politecnico di Torino 42 42 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Circuiti elementari Calcolare una rete significa calcolare tutte le tensioni e tutte le correnti che possono interessare i terminali dei singoli elementi Il caso più semplice è quello dei due circuiti elementari di figura 85 Circuiti elementari 2 equazioni Kirchhoff + 2 equazioni costitutive ⇓⇓ Determino le 4 incognite: v 1, v 2, i1, i2 KCL, KVL 86 © 2005 Politecnico di Torino 43 43 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Circuiti elementari 2 equazioni Kirchhoff + 2 equazioni costitutive ⇓⇓ Determino le 4 incognite: v 1, v 2, i1, i2 87 Principio di sostituzione ed applicazioni 88 © 2005 Politecnico di Torino 44 44 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Rete indeterminata e rete impossibile Rete indeterminata: quando non è possibile calcolare tutte le tensioni e tutte le correnti che possono interessare i terminali dei singoli elementi 89 Rete indeterminata e rete impossibile Rete indeterminata: quando non è possibile calcolare tutte le tensioni e tutte le correnti che possono interessare i terminali dei singoli elementi Si ottiene una rete indeterminata applicando in modo inappropriato il principio di sostituzione oppure per semplificazione eccessiva del modello circuitale 90 © 2005 Politecnico di Torino 45 45 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Rete indeterminata e rete impossibile Rete impossibile: quando una delle leggi di Kirchhoff viene violata 91 Resistenza equivalente Si iniziano a considerare metodi per trattare reti contenenti un solo generatore supponiamo di voler calcolare la potenza erogata dal generatore nella rete in figura 92 © 2005 Politecnico di Torino 46 46 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Resistenza equivalente Il problema viene ricondotto al problema elementare in basso, in quanto il bipolo su cui è chiuso il generatore è in tutti e due i casi un bipolo RESISTIVO = lineare, privo di memoria, tempo invariante e comandato in tensione Il problema è qui ricondotto a quello di calcolare la cosidetta “resistenza equivalente, Re” misurabile tra i due morsetti a cui viene collegato il generatore 93 Bipoli, multipoli e circuiti elementari 94 © 2005 Politecnico di Torino 47 47 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Connessioni serie-parallelo 95 Connessione in serie di resistori Due (o più) resistori sono collegati in serie quando: 1. hanno a coppie un morsetto in comune 2. sono tutti attraversati dalla stessa corrente 96 © 2005 Politecnico di Torino 48 48 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Connessione in serie di resistori Tipicamente resistori in serie si presentano collegati come indicato in figura a sinistra In serie R1, R2 non sono In serie i 1 = i2 = i 3 = i da KCL 97 Connessione in serie di resistori Utilizzando KVL, KCL e le equazioni costitutive dei resistori con comando in corrente si ricava che: la resistenza equivalente della serie di più resistori è la somma delle resistenze dei singoli resistori m R eq = ∑ Ri ; i =1 In serie i 1 = i2 = i 3 = i da KCL nell'esempio: R eq = R1 + R2 + R 3 98 © 2005 Politecnico di Torino 49 49 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Serie: casi particolari La serie di un resistore ed un circuito aperto è un circuito aperto infatti la conduttanza (G2) del circuito aperto è nulla 1 G = eq 1 + 1 G G 1 ; G 2 eq = GG G +G 1 1 2 2 99 Serie: casi particolari La serie del resistore R con un corto-circuito è equivalente al resistore di resistenza R infatti la resistenza del corto-circuito è nulla R eq = R+ 0 100 © 2005 Politecnico di Torino 50 50 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Serie: casi particolari La resistenza equivalente alla serie di n resistori uguali di resistenza R vale Req =n R 101 Connessioni serie-parallelo 102 © 2005 Politecnico di Torino 51 51 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Connessione in parallelo di resistori Due (o più) resistori sono collegati in parallelo quando: 103 Connessione in parallelo di resistori Due (o più) resistori sono collegati in parallelo quando: 1. tutti hanno uno stesso morsetto in comune 2. sono tutti sottoposti alla stessa tensione 104 © 2005 Politecnico di Torino 52 52 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Connessione in parallelo di resistori Tipicamente, più resistori in parallelo si presentano collegati come indicato in figura 105 Connessione in parallelo di resistori Utilizzando KVL, KCL e le equazioni costitutive dei resistori con comando in tensione si ricava che: la conduttanza equivalente del parallelo di più resistori è la somma delle conduttanze dei singoli resistori m G eq = ∑ Gi ; i =1 nell'esempio: G eq = G1 + G 2 + G 3 106 © 2005 Politecnico di Torino 53 53 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Connessione in parallelo di resistori A volte si preferisce esprimere il risultato del parallelo di più resistori in termini di resistenze Nel caso di due resistori in parallelo si ottiene: RR 1 1 1 = + ; Re = 1 2 = R1 R2 Re R1 R2 R1 + R2 107 Connessione in parallelo di resistori Il simbolo // introdotto per indicare l’operazione di parallelo tra due grandezze scalari gode delle seguenti proprietà: commutativa R1 R2 = R2 R1 associativa (R1 R 2) R 3 =R1 (R2 R3 ) = R1 R2 R3 non vale la distributiva (R1 + R2 ) R3 ≠ ( R1 R3 ) + ( R2 R3 ) 108 © 2005 Politecnico di Torino 54 54 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Parallelo: casi particolari Il parallelo di un resistore R con un circuito aperto è equivalente al resistore di resistenza R infatti la conduttanza del circuito aperto è nulla G eq = G +0 109 Parallelo: casi particolari Il parallelo di un resistore con un corto-circuito è equivalente ad un corto-circuito infatti la resistenza R2 del corto-circuito è nulla Re = R1 R2 R1 + R2 110 © 2005 Politecnico di Torino 55 55 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Parallelo: casi particolari La resistenza equivalente al parallelo di n resistori uguali di resistenza R vale Req= R/n 111 Bipoli, multipoli e circuiti elementari 112 © 2005 Politecnico di Torino 56 56 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari ESEMPIO 1 – Serie-parallelo Valutare la resistenza equivalente ai morsetti A-B 113 ESEMPIO 1 – Serie-parallelo Conviene per prima cosa dare un “nome” a tutti i nodi - punti in comune a DUE o più dispositivi (bipoli/multipoli) Evitando di etichettare il medesimo nodo con “nomi” diversi Seguendo i cortocircuiti si riconosce che vi sono due “punti” che corrispondono al nodo A e due che corrispondono al nodo B 114 © 2005 Politecnico di Torino 57 57 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari ESEMPIO 1 – Serie-parallelo Il circuito che rappresenta il bipolo di morsetti A-B può quindi essere “ridisegnato” come indicato in figura E quindi si vede subito che RA B=R/3 115 ESEMPIO 2 – Serie-parallelo Per acquisire dimestichezza, almeno nei primi esercizi, si consiglia anche di “disegnare” il generatore di prova Ad esempio, per calcolare la resistenza RAB del bipolo di figura a sinistra conviene “ragionare” sul circuito come riportato in figura a destra, dove si è chiamato “C” il terzo nodo presente nella rete 116 © 2005 Politecnico di Torino 58 58 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari ESEMPIO 2 – Serie-parallelo RAB = (12||6+4)||8 = = (4+4)||8 = 8||8 = 4 Ω La resistenza del bipolo assegnato di morsetti A-B è quella osservata dal generatore di prova nello schema di destra. Tale resistenza vale 4 ohm 117 ESEMPIO 3 – Serie-parallelo Ancora considerando il bipolo dell’esempio precedente, cambiamo i morsetti di “osservazione” del bipolo da A-B ⇒ A-C E valutiamo la resistenza equivalente ai morsetti A-C RAC = 4||(8+12||6) = 3 Ω 118 © 2005 Politecnico di Torino 59 59 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari ESEMPIO 3 – Serie-parallelo R AC = 4||(8+12||6) = 3 Ω Nell’esempio precedente si aveva Si noti come, rispetto all’esempio precedente, si ottenga un valore di resistenza equivalente differente 119 ESEMPIO 3 – Serie-parallelo R AC = 4||(8+12||6) = 3 Ω Nell’esempio precedente si aveva Si noti anche come convenga (a volte) “disegnare” il generatore di misura per comprendere quali resistori lavorano in serie e quali lavorano in parallelo © 2005 Politecnico di Torino 120 60 60 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Bipoli, multipoli e circuiti elementari 121 Altri tipi di connessione 122 © 2005 Politecnico di Torino 61 61 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Serie-parallelo e reti a scala Le connessioni serie e parallelo sono le più comuni Se un bipolo è costituito da una rete di bipoli in cui le connessioni sono serie e parallelo, si dice che il bipolo è costituito da una rete a scala Viceversa, una rete è a scala se le connessioni tra i bipoli sono di tipo serie e parallelo Le reti con un solo generatore ed a scala sono tra le reti più semplici 123 Reti non a scala Supponiamo che in una rete sia presente il tripolo costituito dal triangolo di resistori con poli A, B, C È possibile dimostrare che si ha l’equivalenza con il tripolo a stella purchè i resistori del lati della stella abbiano resistenze di valore opportuno 124 © 2005 Politecnico di Torino 62 62 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Trasformazione triangolo ⇒ stella Le formule di trasformazione sono: Rb R c R∆ Ra R c rb = R∆ Ra R b rc = R∆ ra = con R∆ = R a + R b + Rc 125 Trasformazione stella ⇒ triangolo Supponiamo che in una rete sia presente il tripolo costituito dalla stella di resistori ra , rb , rc È possibile dimostrare che si ha l’equivalenza con il tripolo a triangolo purchè i resistori del lati del triangolo abbiano resistenze di valore opportuno 126 © 2005 Politecnico di Torino 63 63 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Trasformazione stella ⇒ triangolo Le formule di trasformazione sono: rb r c rs r r Rb = a c rs r r Rc = a b rs Ra = con rs = ra rb rc 127 Trasformazione ⇔ ∆ : caso particolare Un triangolo di resistenze uguali con resitenza di lato di valore R equivale ad una stella di resistenze uguali, con resistenza di ramo di valore r=R/3 128 © 2005 Politecnico di Torino 64 64 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Altri tipi di connessione 129 Esempio Calcolare i(t) per e(t)=300 cos(t ) V Soluzione: i(t) =e(t)/30=10 cos(t ) A Ma come trovo RA B=10 O ? 130 © 2005 Politecnico di Torino 65 65 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Esempio 1a Possibilità: Triangolo ACD in stella, con R∆ = 70 + 10 + 20 = 100 Ω 131 Esempio 2a Possibilità: Triangolo BCD in stella, con R∆ = 9 + 70 + 2 = 81 Ω 132 © 2005 Politecnico di Torino 66 66 Elettrotecnica I Bipoli, multipoli e circuiti elementari Esempio 3a Possibilità: Stella di centro C in triangolo, con rs = 10 70 9 = 315 Ω 71 133 Esempio 4a Possibilità: Stella di centro D in triangolo, con rs = 20 70 2 = 140 Ω 79 134 © 2005 Politecnico di Torino 67 67
