Bipoli e multipoli - Associazione Innovit Onlus

Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
1
Cosa c’è nell’unità 1/3
Passività e relazioni costitutive
Potenza entrante
Passività
Relazioni costitutive
Bipoli ideali
Resistore ideale
Generatori di tensione
Generatori ideali di corrente
Principio di equivalenza
Induttore ideale
Condensatore ideale
2
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1
1
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Cosa c’è nell’unità 2/3
Multipoli e Multiporta
Multipoli
Multiporta
Principio di sostituzione ed applicazioni
Principio di sostituzione
Circuiti elementari
Resistore costituito da una rete di resistori
Connessioni serie - parallelo
Connessione in serie di resistori
Connessione in parallelo di resistori
3
Cosa c’è nell’unità 3/3
Esempi per connessione serie -parallelo
Altri tipi di connessione
Reti a scala e non a scala
Serie-parallelo e reti a scala
Reti non a scala
Trasformazione triangolo-stella
Trasformazione stella-triangolo
Esempio stella-triangolo
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2
2
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
5
Passività e relazioni costitutive
6
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3
3
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli elettrici - potenza entrante
Tensione e
corrente su di un
bipolo si possono
misurare secondo
la convenzione
1. degli utilizzatori
2. dei generatori
7
Bipoli elettrici - potenza entrante
Tensione e
corrente su di un
bipolo si possono
misurare secondo
la convenzione
1. degli utilizzatori
2. dei generatori
Convenzione degli
utilizzatori
Convenzione dei
generatori
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vi = potenza entrante
vi = potenza uscente
8
4
4
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Passività e relazioni costitutive
9
Bipoli elettrici – passività
L’energia w(t) fornita ad un bipolo è
l’integrale della potenza entrante; secondo la
convenzione degli utilizzatori si ha:
t
w(t ) =
∫ v(t ') i(t ')dt '
−∞
10
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5
5
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli elettrici – passività
L’energia w(t) fornita ad un bipolo è
l’integrale della potenza entrante; secondo la
convenzione degli utilizzatori si ha:
t
w(t ) =
∫ v(t ') i(t ')dt '
−∞
Il bipolo viene definito passivo se,
qualunque sia la tensione o la corrente su di
esso, per qualsiasi istante di tempo t
l’energia fornita al bipolo non è mai negativa
w(t ) ≥ 0
11
Passività e relazioni costitutive
12
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6
6
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli elettrici – relazioni costitutive
Esiste un legame tra tensione e corrente →
relazione costitutiva, che classifichiamo con 4
proprietà:
13
Bipoli elettrici – relazioni costitutive
Esiste un legame tra tensione e corrente →
relazione costitutiva, che classifichiamo con 4
proprietà:
1. tipo di comando
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7
7
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli elettrici – relazioni costitutive
Esiste un legame tra tensione e corrente →
relazione costitutiva, che classifichiamo con 4
proprietà:
1. tipo di comando
2. linearità o meno del dispositivo
15
Bipoli elettrici – relazioni costitutive
Esiste un legame tra tensione e corrente →
relazione costitutiva, che classifichiamo con 4
proprietà:
1. tipo di comando
2. linearità o meno del dispositivo
3. memoria od assenza di memoria
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8
8
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli elettrici – relazioni costitutive
Esiste un legame tra tensione e corrente →
relazione costitutiva, che classifichiamo con 4
proprietà:
1. tipo di comando
2. linearità o meno del dispositivo
3. memoria od assenza di memoria
4. tempo invarianza (dispositivo autonomo oppure no)
17
Bipoli elettrici – tipo di comando
a, b, c funzioni note del tempo:
3
 dv 
i(t) = av 2 (t ) + b   + c sin [v (t) ] comandointensione
 dt 
3
 di 
v(t ) = ai3 ( t) + b cos [ i(t ) ] − c  
 dt 
comandoincorrente
3
 di 
i2 (t) + a   = b v(t ) + c sin[ v( t) ] comandoibrido
 dt 
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9
9
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli elettrici – linearità
a, b, c funzioni note del tempo:
 di 
i(t ) + a   = b v(t ) +c ∫ v(t ') dt ' bipololineare
 dt 
−∞
t
v(t ) = a i 3 (t ) bipolo non l ineare
19
Bipoli elettrici – memoria
Il bipolo è privo di memoria quando la
relazione costitutiva esprime un legame solo fra
la tensione e la corrente allo stesso istante di
tempo
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10
10
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli elettrici – memoria
Il bipolo è privo di memoria quando la
relazione costitutiva esprime un legame solo fra
la tensione e la corrente allo stesso istante di
tempo
Il bipolo ha memoria quando la relazione
costitutiva riguarda anche valori di tensione o di
corrente relativi ad istanti di tempo diversi da t
21
Bipoli elettrici – memoria
Il bipolo è privo di memoria quando la
relazione costitutiva esprime un legame solo fra
la tensione e la corrente allo stesso istante di
tempo
Il bipolo ha memoria quando la relazione
costitutiva riguarda anche valori di tensione o di
corrente relativi ad istanti di tempo diversi da t
 di 
i( t ) + a   = b v(t ) + c ∫ v (t ') dt ' bipoloconmemoria
 dt 
−∞
t
v (t ) = a i 3 ( t ) bipolo privo di memori a
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11
11
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli elettrici – invarianza temporale
Bipolo autonomo o tempo invariante quando la
relazione costitutiva non dipende dal tempo
23
Bipoli elettrici – invarianza temporale
Bipolo autonomo o tempo invariante quando la
relazione costitutiva non dipende dal tempo
Bipolo variabile nel tempo quando la relazione
costitutiva è funzione del tempo
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12
12
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli elettrici – invarianza temporale
Bipolo autonomo o tempo invariante quando la
relazione costitutiva non dipende dal tempo
Bipolo variabile nel tempo quando la relazione
costitutiva è funzione del tempo
t
 di 
i(t) + a   = b v(t) + c ∫ v(t ') dt '
 dt 
−∞
a, b , c tuttecostantineltempo ⇒ bipolo autonomo,
altrimenti ⇒ bipolo non autonomo - variabile nel tempo.
25
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
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13
13
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli ideali
27
Resistore ideale
Relazione costitutiva
(convenzione degli
utilizzatori):
v(t)=+R i(t)
Relazione costitutiva
(convenzione dei
generatori):
v(t)=-R i(t)
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14
14
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Resistore ideale
Relazione costitutiva
(convenzione degli
utilizzatori):
v(t)=+R i(t)
Relazione costitutiva
(convenzione dei
generatori):
t
t
w( t) = ∫ v (t ') i (t ')d t ' = R ∫ i 2 ( t ')dt ' ≥ 0
v(t)=-R i(t)
−∞
−∞
Bipolo passivo se
la resistenza R > 0
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Resistore ideale
La resistenza R ha dimensioni di Volt/Ampere
La resistenza si misura in Ohm [O]
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15
15
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Corto circuito
Bipolo corto circuito quando la resistenza vale
0 ohm
R=0
31
Circuito aperto
Se la resistenza è non nulla la relazione costitutiva
può essere scritta con comando in tensione
(convenzione dei generatori) :
i(t)=G v(t)
dove G è la conduttanza (dimensioni Siemens)
Il caso G =0 definisce il bipolo circuito aperto
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16
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Interruttore ideale
Il cortocircuito ed il circuito aperto consentono di
definire il bipolo (tempo-variante) interruttore
a sinistra: interruttore che si apre al tempo t
a destra: interruttore che si chiude al tempo t
33
Bipoli ideali
34
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17
17
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Generatore ideale di tensione
È il bipolo con tensione tra i suoi morsetti nota,
qualunque sia la corrente che lo attraversa
Relazione costitutiva: v(t)=e(t), ∀ i(t)
di solito si applica la convenzione dei
generatori, come indicato in figura a destra
35
Generatore ideale di tensione
Un generatore ideale di tensione nulla, cioè un
generatore ideale di tensione SPENTO, è
equivalente ad un cortocircuito
Relazione costitutiva: v(t)=0, ∀ i(t)
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18
18
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli ideali
37
Generatore ideale di corrente
È il bipolo con corrente che lo attraversa nota,
qualunque sia la tensione tra i suoi morsetti
Relazione costitutiva: i(t)=a(t), ∀ v(t)
di solito si applica la convenzione dei
generatori, come indicato in figura a destra
38
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19
19
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Generatore ideale di corrente
Un generatore ideale di corrente nulla, cioè un
generatore ideale di corrente SPENTO, è
equivalente ad un circuito aperto
Relazione costitutiva: i(t)=0, ∀ v(t)
39
Bipoli ideali
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20
20
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Principio di Equivalenza
In base al principio di sostituzione il bipolo A
può essere sostituito da un generatore ideale di
tensione
41
Principio di Equivalenza
In base al principio di sostituzione il bipolo A
può essere sostituito da un generatore ideale di
corrente
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21
21
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli ideali
43
Induttore ideale
Relazione costitutiva: v (t ) = L
di
dt
L è l’induttanza, si misura
in H [Henry]
con convenzione utilizzatori
L>0
Questo dispositivo ha memoria:
i (t ) − i (t − ∆t )
∆ t →0
∆t
v( t ) = L lim
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22
22
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Induttore ideale
L’induttore ideale è un dispositivo reattivo
p (t ) = v( t)i (t ) = L
di
d 1

i (t ) =  Li 2 (t ) 
dt
dt  2

wh (t) =
1 2
Li (t )
2
45
Induttore ideale
A volte conviene introdurre una
nuova grandezza: il flusso
Il flusso viene “comandato in
corrente”
t
ϕ (t ) =
∫ v(t ′)dt ′
−∞
ϕ(t ) = Li(t )
E la relazione flusso corrente è
priva di memoria
di
Quest’ultima relazione si ottiene
v (t ) = L
integrando nel tempo la relazione
dt
tensione corrente
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23
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli ideali
47
Condensatore ideale
Relazione costitutiva: i (t ) = C
dv
dt
C è la capacità, si misura in F
[Farad]
con convenzione utilizzatori
C>0
Questo dispositivo ha memoria:
i (t ) = C lim
∆ t→0
v (t ) − v( t − ∆ t )
∆t
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24
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Condensatore ideale
Il condensatore ideale è un dispositivo
reattivo
p (t ) = v( t) i(t ) = Cv(t )
dv d  1 2 
=
Cv (t )
dt dt  2

1
we (t ) = Cv 2 (t )
2
49
Condensatore ideale
A volte si introduce una
nuova grandezza: la carica
t
q(t ) =
∫ i(t ′) dt ′
−∞
La carica viene “comandata
in tensione”
E la relazione carica-tensione
è priva di memoria
Quest’ultima relazione si
ottiene integrando nel tempo
la relazione corrente tensione
q(t ) = Cv(t )
i (t ) = C
dv
dt
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25
25
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
51
Multipoli e multiporta
Un multipolo è un dispositivo elettromagnetico
accessibile dall’esterno da più morsetti
n+1 morsetti ⇒(n+1)-polo
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26
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Multipoli e multiporta
di solito si sceglie un morsetto di riferimento
(morsetto zero in figura) e si definiscono le n
tensioni rispetto al riferimento
53
Multipoli e multiporta
Misurando positive le correnti entranti nei morsetti,
KCL porge i0+i1+…+in=0
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27
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Multipoli e Multiporta
55
Multipoli
La corrente del
i 
multipolo è il vettore  1 
i
i ad n componenti i =  2 
M
 
in 
La tensione del
 v1 
multipolo è il vettore  v 
2
v ad n componenti v =  
M
 
con v jl=v j-v l
v
 n
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28
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Multipoli
La potenza
elettromagnetica p
entrante in un
multipolo vale
p(t ) = v1 i1 + v2 i2 + K + vn in =
= [v1 v2
i1 
i 
2
K vn ]   = v+ i
M 
 
in 
57
Multipoli
L’energia w(t) fornita al multipolo da -8
all’istante t vale:
w(t ) =
t
∫v
+
( t ') i( t ') d t '
−∞
Un multipolo si dice passivo quando qualunque
sia la tensione (o la corrente) su di esso, per
qualsiasi valore del tempo t , l’energia a lui fornita
(quindi assorbita dal multipolo) non è mai
negativa.
Cioè si ha sempre: w(t ) ≥ 0
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29
29
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Multipoli
Nel caso di multipoli lineari e privi di memoria
la relazione costitutiva assume forma vettoriale :
Av + Bi + c = 0
a11v1 + a12 v2 + L + a1 n vn + b11i1 + L + b1n in + c1 = 0
a21v1 + a22 v2 + L + a2 n vn + b21i1 + L + b2 ni n + c2 = 0
………………
a n1 v1 + a n 2 v 2 + L + a nnv n + bn 1i1 + L + bnnin + cn = 0
59
Multipoli
60
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30
30
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
ESEMPIO 1 – Multipoli
Per la rete di figura, calcolare la potenza che
transita attraverso la sezione S-S’
61
ESEMPIO 1 – Multipoli
Risposta: la potenza è quella entrante nel
tripolo di morsetti 0, 1, e 2 che in figura si trova
a destra della sezione S-S’. Si ha p=v1 i1+v2 i2
con v 1 = e1, v 2 = e2 , da cui p = e1 i1+e2 i2
KCL ⇒ i1=ia+ic , i2=ib -ic ; KVL ⇒ vc=e1-e2
costitutive ia=e1/R1 , ib =e2/R2 , ic=(e1-e2)/R3
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31
31
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
ESEMPIO 1 – Multipoli
Da cui
p = e21 (1/R1+1/R3) +e22 (1/R2+1/R3) -2e1 e2 /R3
la potenza p è conservativa in quanto p
uguaglia la potenza assorbita dai tre resistori
p = e21 /R1+e22 /R2+ (e1-e2)2/R3
63
Multipoli e Multiporta
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32
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Multiporta
Un multiporta è un multipolo con un numero
PARI di morsetti tutti organizzati a coppie
Coppia ⇒ la corrente entrante in un morsetto è
uguale a quella uscente dall’altro morsetto della
coppia
65
Multiporta
Si dice PORTA ogni coppia di morsetti per cui
vale la proprietà detta sopra
Un n -porte è anche un multipolo con 2n
morsetti
Su ogni porta si definisce una corrente ed una
tensione di porta, con KCL implicitamente
soddisfatta
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33
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Multiporta
La corrente i e la tensione
v dell’ n-porte sono
vettori ad n componenti
 i1 
 v1 
i 
v 
i =  2 v =  2 
M
M
 
 
i n 
vn 
Le tensioni di porta non
consentono di valutare la
tensione fra un morsetto
di una porta ed un
morsetto di una porta
diversa
67
Multiporta
La potenza
elettromagnetica p
entrante in un
multiporta vale
p(t ) = v1 i1 + v2 i2 + L + vn in =
= [v1 v2
i1 
 
i2
L vn ]   = v+ i
M 
 
in 
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34
34
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Multiporta
L’energia w(t) fornita al multiporta da -8
all’istante t vale:
w( t ) =
t
∫v
+
(t ' ) i( t ') d t '
−∞
Un multiporta si dice passivo quando
qualunque sia la tensione (o la corrente) su di
esso, per qualsiasi valore del tempo t , l’energia
a lui fornita (quindi assorbita dal multiporta) non
è mai negativa.
Cioè si ha sempre:
w(t ) ≥ 0
69
Passività
Una rete si dice passiva se, a prescindere dai
generatori di tensione e di corrente in essa
presenti, tutti gli altri elementi della rete sono
passivi
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35
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Multiporta
Anche per i multiporta, se lineari e privi di
memoria, vale la seguente forma vettoriale della
relazione costitutiva:
Av + Bi + c = 0
a11v1 + a12 v2 + L + a1 n vn + b11i1 + L + b1n in + c1 = 0
a21v1 + a22 v2 + L + a2 n vn + b21i1 + L + b2 ni n + c2 = 0
………………
an1 v1 + an 2 v2 + L + annvn + bn 1i1 + L + bnnin + cn = 0
71
Multiporta
Conviene inoltre distinguere fra
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36
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Multiporta
Conviene inoltre distinguere fra
Multiporta NON Intrinseci ⇒ i 2n morsetti del
dispositivo risultano organizzati in n porte in
conseguenza dei collegamenti “esterni”
73
Multiporta
Conviene inoltre distinguere fra
Multiporta NON Intrinseci ⇒ i 2n morsetti del
dispositivo risultano organizzati in n porte in
conseguenza dei collegamenti “esterni”
Multiporta Intrinseci ⇒ le porte del multiporta
sono a priori “fisse” e non variano anche se i
collegamenti “esterni” variano
conseguenza ⇒ quando un multiporta intrinseco
viene collegato ad altri dispositivi occorre prestare
molta attenzione a non contrastare (violare) la KCL
di porta
74
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37
37
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Multiporta – esempi
Il multiporta topologicamente più semplice è
l’uni-porta, cioè il bipolo
Bipolo
75
Multiporta – esempi
Un due-porte viene comunemente detto doppiobipolo (in figura si utilizza, porta per porta, la
convenzione degli utilizzatori)
Il doppio bipolo ha un numero di equazioni
costitutive pari a quello del tripolo, cioè 2
equazioni scalari che legano tra loro le due
tensioni di porta alle due correnti di porta
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38
38
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Multiporta – Esempio 1
Nella stragrande
maggioranza dei
casi il doppio bipolo
viene realizzato da
quadripoli con
morsetti chiusi a
coppie su bipoli
(questi doppi bipoli
sono, in generale,
non intrinseci)
Doppio-bipolo intrinseco
Collegamento esterno non lecito
77
Multiporta – Esempio 2
Nella stragrande
maggioranza dei
casi il doppio bipolo
viene realizzato da
quadripoli con
morsetti chiusi a
coppie su bipoli
(questi doppi bipoli
sono, in generale,
non intrinseci)
Quadripolo
Collegamento esterno lecito
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39
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Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
79
Principio di sostituzione ed applicazioni
80
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40
40
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Principio di sostituzione
Se in una determinata rete si sostituisce ad un
elemento un secondo elemento avente le stesse
relazioni costitutive del primo, tutte le grandezze
elettriche definite sui vari morsetti dei multipoli
della rete non cambiano
PRECISAZIONE: il secondo elemento si collega
alla rete con lo stesso numero di morsetti del
primo e le relazioni costitutive dei due elementi
così considerati sono identiche rispetto alle stesse
convenzioni di misura
81
Principio di sostituzione
In base al principio di sostituzione il bipolo A
può essere sostituito da un generatore ideale di
tensione
82
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41
41
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Principio di sostituzione
In base al principio di sostituzione il bipolo A
può essere sostituito da un generatore ideale di
corrente
83
Principio di sostituzione ed applicazioni
84
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42
42
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Circuiti elementari
Calcolare una rete significa calcolare tutte le
tensioni e tutte le correnti che possono
interessare i terminali dei singoli elementi
Il caso più semplice è quello dei due circuiti
elementari di figura
85
Circuiti elementari
2 equazioni Kirchhoff + 2 equazioni costitutive
⇓⇓
Determino le 4 incognite: v 1, v 2, i1, i2
KCL, KVL
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43
43
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Circuiti elementari
2 equazioni Kirchhoff + 2 equazioni costitutive
⇓⇓
Determino le 4 incognite: v 1, v 2, i1, i2
87
Principio di sostituzione ed applicazioni
88
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44
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Rete indeterminata e rete impossibile
Rete indeterminata: quando non è possibile
calcolare tutte le tensioni e tutte le correnti che
possono interessare i terminali dei singoli
elementi
89
Rete indeterminata e rete impossibile
Rete indeterminata: quando non è possibile
calcolare tutte le tensioni e tutte le correnti che
possono interessare i terminali dei singoli
elementi
Si ottiene una rete indeterminata
applicando in modo inappropriato il principio
di sostituzione
oppure per semplificazione eccessiva del
modello circuitale
90
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45
45
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Rete indeterminata e rete impossibile
Rete impossibile: quando una delle leggi di
Kirchhoff viene violata
91
Resistenza equivalente
Si iniziano a considerare
metodi per trattare reti
contenenti un solo
generatore
supponiamo di voler
calcolare la potenza erogata
dal generatore nella rete in
figura
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46
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Resistenza equivalente
Il problema viene ricondotto
al problema elementare in
basso, in quanto il bipolo su
cui è chiuso il generatore è in
tutti e due i casi un bipolo
RESISTIVO = lineare, privo
di memoria, tempo invariante
e comandato in tensione
Il problema è qui ricondotto a
quello di calcolare la cosidetta
“resistenza equivalente, Re”
misurabile tra i due morsetti a
cui viene collegato il
generatore
93
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
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47
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Connessioni serie-parallelo
95
Connessione in serie di resistori
Due (o più) resistori sono collegati in serie
quando:
1. hanno a coppie un morsetto in comune
2. sono tutti attraversati dalla stessa corrente
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48
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Connessione in serie di resistori
Tipicamente resistori in serie si presentano
collegati come indicato in figura a sinistra
In
serie
R1, R2
non sono
In serie
i 1 = i2 = i 3 = i da KCL
97
Connessione in serie di resistori
Utilizzando KVL, KCL e le
equazioni costitutive dei
resistori con comando in
corrente si ricava che:
la resistenza equivalente
della serie di più resistori
è la somma delle
resistenze dei singoli
resistori
m
R
eq
= ∑ Ri ;
i =1
In
serie
i 1 = i2 = i 3 = i da KCL
nell'esempio: R
eq
= R1 + R2 + R 3
98
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49
49
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Serie: casi particolari
La serie di un resistore ed un circuito aperto
è un circuito aperto
infatti la conduttanza (G2) del circuito aperto è
nulla
1
G
=
eq
1
+
1
G G
1
;
G
2
eq
=
GG
G +G
1
1
2
2
99
Serie: casi particolari
La serie del resistore R con un corto-circuito è
equivalente al resistore di resistenza R
infatti la resistenza del corto-circuito è nulla
R
eq
=
R+ 0
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50
50
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Serie: casi particolari
La resistenza equivalente alla serie di n resistori
uguali di resistenza R vale Req =n R
101
Connessioni serie-parallelo
102
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51
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Connessione in parallelo di resistori
Due (o più) resistori sono collegati in parallelo
quando:
103
Connessione in parallelo di resistori
Due (o più) resistori sono collegati in parallelo
quando:
1. tutti hanno uno stesso morsetto in comune
2. sono tutti sottoposti alla stessa tensione
104
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52
52
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Connessione in parallelo di resistori
Tipicamente, più resistori in parallelo si
presentano collegati come indicato in figura
105
Connessione in parallelo di resistori
Utilizzando KVL, KCL e le
equazioni costitutive dei
resistori con comando in
tensione si ricava che:
la conduttanza
equivalente del parallelo
di più resistori è la
somma delle conduttanze
dei singoli resistori
m
G
eq
= ∑ Gi ;
i =1
nell'esempio: G
eq
= G1 + G 2 + G 3
106
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53
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Connessione in parallelo di resistori
A volte si preferisce esprimere il risultato del
parallelo di più resistori in termini di resistenze
Nel caso di due resistori in parallelo si ottiene:
RR
1
1
1
= + ; Re = 1 2 = R1 R2
Re R1 R2
R1 + R2
107
Connessione in parallelo di resistori
Il simbolo // introdotto per
indicare l’operazione di
parallelo tra due grandezze
scalari gode delle seguenti
proprietà:
commutativa R1 R2 = R2 R1
associativa (R1 R 2) R 3 =R1 (R2 R3 ) = R1 R2 R3
non vale la distributiva (R1 + R2 ) R3 ≠ ( R1 R3 ) + ( R2 R3 )
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54
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Parallelo: casi particolari
Il parallelo di un resistore R con un circuito
aperto è equivalente al resistore di resistenza R
infatti la conduttanza del circuito aperto è nulla
G
eq
= G +0
109
Parallelo: casi particolari
Il parallelo di un resistore con un corto-circuito è
equivalente ad un corto-circuito
infatti la resistenza R2 del corto-circuito è nulla
Re =
R1 R2
R1 + R2
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55
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Parallelo: casi particolari
La resistenza equivalente al parallelo di n resistori
uguali di resistenza R vale Req= R/n
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Bipoli, multipoli e circuiti elementari
112
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56
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
ESEMPIO 1 – Serie-parallelo
Valutare la resistenza equivalente ai morsetti A-B
113
ESEMPIO 1 – Serie-parallelo
Conviene per prima cosa dare un “nome” a tutti
i nodi - punti in comune a DUE o più dispositivi
(bipoli/multipoli)
Evitando di etichettare il medesimo nodo con
“nomi” diversi
Seguendo i cortocircuiti si riconosce che vi sono
due “punti” che corrispondono al nodo A e due
che corrispondono al nodo B
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Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
ESEMPIO 1 – Serie-parallelo
Il circuito che rappresenta il bipolo di morsetti
A-B può quindi essere “ridisegnato” come
indicato in figura
E quindi si vede subito che RA B=R/3
115
ESEMPIO 2 – Serie-parallelo
Per acquisire dimestichezza, almeno nei primi
esercizi, si consiglia anche di “disegnare” il
generatore di prova
Ad esempio, per calcolare la resistenza RAB del
bipolo di figura a sinistra conviene “ragionare” sul
circuito come riportato in figura a destra, dove si
è chiamato “C” il terzo nodo presente nella rete
116
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Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
ESEMPIO 2 – Serie-parallelo
RAB = (12||6+4)||8 =
= (4+4)||8 = 8||8 = 4 Ω
La resistenza del bipolo assegnato di morsetti A-B
è quella osservata dal generatore di prova nello
schema di destra. Tale resistenza vale 4 ohm
117
ESEMPIO 3 – Serie-parallelo
Ancora considerando il bipolo dell’esempio
precedente, cambiamo i morsetti di “osservazione”
del bipolo da
A-B ⇒ A-C
E valutiamo la resistenza equivalente ai morsetti A-C
RAC = 4||(8+12||6) = 3 Ω
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Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
ESEMPIO 3 – Serie-parallelo
R AC = 4||(8+12||6) = 3 Ω
Nell’esempio precedente si aveva
Si noti come, rispetto all’esempio precedente, si
ottenga un valore di resistenza equivalente
differente
119
ESEMPIO 3 – Serie-parallelo
R AC = 4||(8+12||6) = 3 Ω
Nell’esempio precedente si aveva
Si noti anche come convenga (a volte)
“disegnare” il generatore di misura per
comprendere quali resistori lavorano in serie e
quali lavorano in parallelo
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60
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Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
121
Altri tipi di connessione
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Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Serie-parallelo e reti a scala
Le connessioni serie e parallelo sono le più comuni
Se un bipolo è costituito da una rete di bipoli in cui
le connessioni sono serie e parallelo, si dice che
il bipolo è costituito da una rete a scala
Viceversa, una rete è a scala se le connessioni
tra i bipoli sono di tipo serie e parallelo
Le reti con un solo generatore ed a scala sono tra
le reti più semplici
123
Reti non a scala
Supponiamo che in una rete sia presente il tripolo
costituito dal triangolo di resistori con poli A, B, C
È possibile dimostrare che si ha l’equivalenza con
il tripolo a stella purchè i resistori del lati della
stella abbiano resistenze di valore opportuno
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Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Trasformazione triangolo ⇒ stella
Le formule di
trasformazione
sono:
Rb R c
R∆
Ra R c
rb =
R∆
Ra R b
rc =
R∆
ra =
con R∆ = R a + R b + Rc
125
Trasformazione stella ⇒ triangolo
Supponiamo che in una rete sia presente il tripolo
costituito dalla stella di resistori ra , rb , rc
È possibile dimostrare che si ha l’equivalenza con
il tripolo a triangolo purchè i resistori del lati del
triangolo abbiano resistenze di valore opportuno
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Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Trasformazione stella ⇒ triangolo
Le formule di
trasformazione sono:
rb r c
rs
r r
Rb = a c
rs
r r
Rc = a b
rs
Ra =
con rs = ra rb rc
127
Trasformazione
⇔ ∆ : caso particolare
Un triangolo di resistenze uguali con
resitenza di lato di valore R equivale ad una
stella di resistenze uguali, con resistenza di
ramo di valore r=R/3
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Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Altri tipi di connessione
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Esempio
Calcolare i(t) per
e(t)=300 cos(t ) V
Soluzione:
i(t) =e(t)/30=10 cos(t ) A
Ma come trovo
RA B=10 O ?
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Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Esempio
1a Possibilità:
Triangolo ACD in stella,
con
R∆ = 70 + 10 + 20 = 100 Ω
131
Esempio
2a Possibilità:
Triangolo BCD in stella,
con
R∆ = 9 + 70 + 2 = 81 Ω
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66
Elettrotecnica I
Bipoli, multipoli e circuiti elementari
Esempio
3a Possibilità:
Stella di centro C
in triangolo, con
rs = 10 70 9 =
315
Ω
71
133
Esempio
4a Possibilità:
Stella di centro D in
triangolo, con
rs = 20 70 2 =
140
Ω
79
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