Introduzione
Nella Termodinamica classica si considerano due sole interazioni
energetiche tra sistema e mezzo: calore e lavoro meccanico. Queste sono
grandezze di processo, che si manifestano durante le trasformazioni che subisce
un sistema termodinamico, ed entrano come addendi nei bilanci energetici. La
Termodinamica non affronta, con riferimento al calore, il problema delle
modalità attraverso le quali si manifesta l’interazione tra sistema e mezzo.
Volendo ampliare l’analisi termodinamica occorre caratterizzare in termini
quantitativi i meccanismi dello scambio termico cercando di dare risposta a tre
quesiti:
1. Che cos’è lo scambio termico?
2. Con quali modalità si trasmette?
3. Perché è importante studiarlo?
Il primo quesito ha una risposta sintetica immediata: il calore è una forma di
energia di transito dovuto ad una differenza di temperatura.
Se esiste dunque una differenza di temperatura internamente ad un mezzo oppure
tra due mezzi, si trasferisce del calore. Esistono tre meccanismi elementari
attraverso cui si attua il trasferimento del calore come mostra la figura:
conduzione, convezione, irraggiamento
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La conduzione termica avviene all’interno di un mezzo. La convezione opera
tra una superficie ed un fluido in movimento. L’irraggiamento è il risultato di un
scambio netto di energia raggiante da parte dei corpi.
Al fine di sviluppare meglio l’argomento della trasmissione del calore nei
suoi aspetti quantitativi e qualitativi vengono di seguito passate sinteticamente in
rassegna le caratteristiche peculiari di ciascuno dei meccanismi elementari dello
scambio termico.
Conduzione termica
E’ il risultato dell’interazione tra le particelle di un corpo generalmente
solido, a differente temperatura,. L’energia si trasferisce dalle particelle più
energetiche (a temperatura maggiore) verso quelle meno energetiche (a
temperatura inferiore).
La conduzione risulta più facile da interpretare fisicamente considerando un
gas a contatto con due piastre a diversa temperatura come indicato in figura.
Ad ogni molecola viene associata un’energia traslazionale, ovvero anche
rotazionale e vibrazionale se pluriatomica, dipendente dai gradi di libertà del suo
moto, che avviene in modo casuale all’interno dello strato di gas compreso tra le
due piastre. In conseguenza di questo moto le molecole più calde, collidendo con
quelle più fredde, si scambiano energia per conduzione. In presenza dunque di un
gradiente di temperatura, l’energia netta trasferita avviene sempre nella direzione
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delle temperature decrescenti. Questo trasferimento dovuto all’attività molecolare
prende il nome di diffusione dell’energia nel gas.
Nei liquidi il meccanismo di scambio è analogo sebbene le molecole siano
più vicine tra loro a causa delle più intense interazioni molecolari rispetto a
quanto avviene in un aeriforme. Nei solidi lo scambio energetico è dovuto
all’attività degli atomi e alle conseguenti vibrazioni dei reticoli cristallini. Nei
materiali dielettrici, o cattivi conduttori dell’elettricità, questo rappresenta il
meccanismo principale di scambio. Nei metalli invece si sovrappone, prevalendo,
anche l’effetto del moto degli elettroni liberi. Questo spiega perché i buoni
conduttori dell’elettricità sono anche buoni conduttori del calore.
E’ possibile quantificare l’entità dello scambio termico conduttivo in termini
di flussi termici, ossia di quantità di calore scambiate all’unità di tempo, in virtù
della legge di Fourier. Nel caso di uno strato piano monodimensionale come
quello indicato in figura, il flusso termico per unità di area conduttiva
perpendicolare alla direzione dello scambio è dato dalla seguente relazione:
q "x k
dT
dx
Il flusso q "x si trasmette nella direzione x ed è proporzionale al gradiente
termico dT/dx nella medesima direzione. La costante di proporzionalità k
rappresenta una proprietà di trasporto caratteristica del mezzo e prende il nome di
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conducibilità termica (W/mK), Essa varia con la temperatura e in misura minore
con la pressione. Il segno meno che compare nella relazione attesta che le
direzioni del flusso termico e delle temperature crescenti sono sempre discordi.
In condizioni stazionarie la temperatura nello strato varia linearmente per cui
il gradiente termico è costante per ogni x e vale:
dT T T2 T1
dx x
L
e di conseguenza il flusso termico unitario è dato per la legge di Fourier da:
q "x k
T2 T1
T T2
ovvero q "x k 1
L
L
Con riferimento ad un’area isoterma A il flusso termico è pari a q x Aq "x .
Esempio
La parete di una fornace è costituita da un laterizio pieno, supposto
omogeneo, di spessore L = 15 cm e di conducibilità di k = 1.7 W/mK. Rilievi
sperimentali effettuati in regime stazionario evidenziano che le temperature delle
facce che delimitano la parete sono T1= 400 K e T2=1150 K. Si calcolino il flusso
termico unitario q "x e quello effettivo qx che attraversano un porzione di parete di
altezza H =0.5 m e profondità W=3 m.
Soluzione
Dati:
Condizioni stazionarie, spessore, area conduttiva, conducibilità termica
e temperature superficiali della parete.
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Obiettivo:
1. calcolare il flusso termico unitario q” e quello q relativo all’area
conduttiva A = WxH
2.
Schema:
Ipotesi semplificative:
Regime stazionario
Conduzione monodimensionale
Conducibilità termica costante
Analisi:
Trattandosi di flusso conduttivo si applica la legge di Fourier:
q"x k
T1 T2
250K
1.7 W / mK x
2833W / m 2
L
0.15m
Il flusso termico riferito alla porzione di parete data è
q x Aq"x 0.5mx3m x 2833 W / m 2 4250W
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Commenti:
Si osservino la direzione del flusso termico e la distinzione tra flusso
termico unitario e flusso termico.
Convezione
La convezione è un altro meccanismo elementare di trasferimento del calore
che si caratterizza per la presenza di due componenti: quella dovuta alla
diffusione nel fluido (moto casuale delle molecole) e quella dovuta al moto
macroscopico di aggregazioni molecolari, detto anche convettivo, imposto da un
agente esterno. Poiché gli aggregati molecolari conservano il loro moto casuale,
lo scambio di energia complessivo deriva dalla sovrapposizione dei due effetti,
quello diffusivo e quello convettivo.
Di particolare interesse applicativo è il caso di una superficie a contatto con
un fluido in moto con velocità u a differenti temperature (vedi figura).
In conseguenza dell’interazione solido-fluido si viene a creare in seno al
fluido una regione in cui la velocità del fluido, parallela alla piastra, varia a causa
dell’attrito interno (viscosità) del fluido da zero al valore imposto u. Tale
regione prende il nome di strato limite di velocità. Analogamente, se tra la piastra
(riscaldata) e il fluido esiste una differenza di temperatura ci sarà una regione in
cui la temperatura varia tra Ts e T che prende il nome di strato limite termico.
Gli strati limite di velocità e di temperatura non coincidono salvo nel caso dei gas
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in cui sono quasi sovrapponibili, mentre nei metalli liquidi prevale lo strato limite
termico e nei liquidi quello di velocità.
La componente diffusiva è predominante nelle immediate vicinanze della
piastra a causa della bassa velocità del fluido, quella convettiva al bordo dello
strato limite.
La convezione viene classificata in relazione al moto del fluido. Si parla di
convezione forzata quando il moto è determinato da un mezzo meccanico come
una pompa o un ventilatore, oppure sotto l’azione dei venti. Come esempio di
convezione forzata si può pensare all’aria mossa da un ventilatore che investe dei
componenti elettronici dissipativi (vedi figura a).
Nella convezione cosiddetta naturale il moto è causato dalle forze di
galleggiamento (risultanti tra le spinte di Archimede e le forze di gravità) che
nascono dai gradienti di densità dovute ai gradienti di temperatura all’interno del
fluido. Un esempio di convezione naturale è quello rappresentato nella figura b
che mostra come un insieme di componenti dissipativi disposti verticalmente
induca un moto ascensionale dell’aria causato dalla maggiore temperatura e
quindi della minore densità dell’aria a contatto dei componenti.
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Oltre a questi due casi esistono tipologie di scambio miste in cui coesistono,
con effetti dello stesso ordine di grandezza, sia la convezione forzata sia quella
naturale (figure a, c e d). Nel caso (a) i moti convettivi naturali, che sono sempre
presenti, possono dare contributi allo scambio termico paragonabili a quelli
indotti dal moto forzato se la velocità imposta è modesta, oppure se le
temperature dei componenti dissipativi sono molto elevate. I casi (c) e (d)
indicano situazioni in cui lo scambio convettivo avviene in presenza di
cambiamenti di stato (ebollizione e condensazione). Nell’ebollizione il moto del
fluido è indotto dalle bolle di vapore che si formano a partire dal fondo della
pentola; nella condensazione, dal vapore che condensa sotto forma di gocce
d’acqua che si formano sulla superficie di un tubo freddo.
Indipendentemente del tipo di convezione il flusso termico unitario che si
trasmette dalla superficie verso il fluido è dato dalla seguente relazione che
rappresenta una generalizzazione della legge di Newton sul raffreddamento
naturale di un corpo in aria:
q " h TS T
Il coefficiente di proporzionalità h è chiamato coefficiente di convezione e si
misura in W/m2K. Non è riferito all’aria come sarebbe richiesto dalla legge di
Newton, ma dipende in modo complesso dalle proprietà termofisiche del fluido
(meccaniche e termodinamiche), dalla natura del moto e dalla configurazione
geometrica.
Lo studio della convezione consiste, in ultima analisi, nella determinazione
del coefficiente h che viene condotta, o per via analitica risolvendo il sistema di
equazioni che governano il moto del fluido, la conservazione della massa e
dell’energia, oppure per via sperimentale adottando come criterio operativo le
indicazioni dettate dal metodo dell’analisi dimensionale applicato al fenomeno
convettivo.
Infine, nei problemi conduttivi la convezione rappresenta una condizione al
contorno all’interfaccia solido-fluido. In questi casi si presume di conoscere il
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coefficiente di convezione. Valori tipici di h sono riportati nella tabella che
segue:
Irraggiamento
L’irraggiamento termico è l’energia emessa dalla materia in conseguenza
della sua temperatura. Anche se il problema degli scambi calore per
irraggiamento riguarda prevalentemente i solidi, l’emissione interessa anche i
liquidi e i gas. Prescindendo dalla materia, l’emissione è legata alle variazioni
delle configurazioni elettroniche degli atomi o delle molecole. L’energia emessa
è trasportata da onde elettromagnetiche (o fotoni) che si propagano anche nello
spazio vuoto contrariamente a quanto avviene nella conduzione e nella
convezione che richiedono sempre la presenza di un mezzo.
Si consideri la figura (a) che rappresenta la superficie di un solido che emette
energia raggiante sotto forma di radiazioni di tutte le lunghezze d’onda in
quantità pari al suo potere emissivo totale E (W/m2).
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Fissata la temperatura Ts della superficie esiste un limite superiore per
l’emissione termica data dalla legge di Stefan-Boltzmann:
Eb Ts4
dove Ts è la temperatura assoluta (K) e è un costante dipendente dalle unità di
misura adottate per l’emissione totale Eb. Adottando le unità di misura del
Sistema Internazione (SI) la costante vale 5.67x10-8 W/m2K-4. Questa legge è
valida per i corpi cosiddetti neri che sono degli assorbitori integrali ed anche
degli irradiatori ideali.
Il flusso emesso da una superficie reale è, a parità di temperatura, inferiore a
quello del corpo nero ed è espressa formalmente allo stesso modo introducendo
un fattore moltiplicativo 0 < < 1, detto emissività:
E Ts4
L’emissività dipende dalla superficie e dal suo stato di finitura. Valori
rappresentativi di sono riportati nelle tabelle allegate.
Oltre ad essere emessa da una superficie, l’energia raggiante può provenire da
una sorgente esterna come il sole o da altri corpi che emettono, ed incidere sulla
superficie. La quota incidente per unità di area prende il nome di irradianza o
irraggiamento, si indica con la lettera G (figura a) e si misura in W/m2. In un
solido opaco alle radiazioni l’irradianza G può essere interamente assorbita,
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mentre in generale una superficie assorbe solo una quota parte di G in dipendenza
del suo coefficiente di assorbimento 0 <L’energia assorbita è data dunque
da:
Ga G
Se il corpo è opaco e < 1, una quota di G viene rinviata verso l’ambiente,
rG, con r coefficiente di rinvio. Se invece il corpo è anche semitrasparente
un’altra quota tG, con t coefficiente di trasparenza o trasmittanza, viene
trasmessa dal corpo, ossia la radiazione incidente G attraversa il corpo
fuoriuscendo dalla parte opposta.
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Nel bilancio energetico del corpo G e Ga influiscono sulla sua variazione di
energia interna, mentre le componenti Gr e Gt non intervengono.
I coefficienti di assorbimento, rinvio e trasparenza dipendono, oltre che dalle
proprietà della superficie, dalla lunghezza d’onda della radiazione incidente,
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ossia dallo spettro dell’energia raggiante che nei corpi solidi e liquidi contiene
radiazioni di tutte le lunghezze d’onda ma di differente intensità. Per esempio, un
corpo potrebbe presentare un coefficiente di assorbimento per la radiazione solare
molto diverso da quello di una radiazione proveniente, per esempio, da una
fornace.
Un caso particolare che si riscontra in molte applicazioni termotecniche è
quello di una superficie circondata completamente da un’altra molto maggiore
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figura (b). In queste condizioni si dimostra che l’irradianza è data da G Tsur
,
e se la superficie è tale che (corpo grigio), allora la perdita netta di energia
raggiante q rad della superficie è data da:
4
4
q rad A Ts4 A Tsur
A Ts4 Tsur
Nel caso in cui vi fosse anche uno scambio convettivo con l’aria a contatto, la
precedente relazione si modifica tenendo conto anche di questo termine:
4
q qconv q rad h A Ts T A Ts4 Tsur
dove q è il flusso termico scambiato per adduzione. Risulta spesso conveniente
esprimere lo scambio radiativi q rad come segue:
qrad hr A Ts Tsur
dove hr è il coefficiente d’irraggiamento la cui espressione è:
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hr Ts Tsur Ts2 Tsur
L’aver linearizzato gli scambi radiativi è un fatto puramente formale in
quanto hr dipende in modo significativo dalle temperature Ts e Tsur, salvo che la
differenza Ts - Tsur non sia trascurabile rispetto al loro valor medio Tm
Ts Tsur
.
2
Se si accetta un’approssimazione migliore dell’1%, dovrà verificarsi che TS - Tsur
< Tm/5. In questo caso si può assumere un valore hr 4 Tm3 dipendente solo
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dalla temperatura media. Se è anche verificata la condizione
T Tsur
l’espressione di q diviene:
q ( h hr ) ATs T ha ATs T
dove ha prende il nome di coefficiente di adduzione o liminare.
Esempio
Si consideri una tubazione non isolata avente un diametro esterno D = 70
mm, ubicata in un ambiente di grandi dimensioni a Tsur = T = 25°C. La
temperatura superficiale della tubazione è Ts = 200°C e l’emissività, supposta la
superficie grigia, è = 0.8. Il coefficiente di convezione è stato valutato in
hconv=15 W/m2K. Calcolare la perdita energetica netta nell’unità di tempo e per
metro lineare di tubazione q’ verso l’ambiente.
Soluzione:
Dati:
Tubazione non isolata di assegnato diametro, emissività e
temperatura superficiale
Ambiente di grandi dimensioni a temperatura nota
Obiettivo:
1. Il potere emissivo E e l’irradianza G
2. la dispersione termica per unità di lunghezza q’ di tubazione
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Schema:
Ipotesi semplificative:
Condizioni stazionarie
Tubazione di superficie modesta rispetto alle dimensioni
dell’ambiente
Emissività e coefficiente di assorbimento della tubazione uguali
(corpo grigio)
Analisi:
Poiché l’ambiente è di grandi dimensioni rispetto alla superficie
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della tubazione, l’irradianza è data da Gs Tsur
, mentre l’energia
emessa dalla tubazione vale E s D L Ts4
Il bilancio energetico relativo alla tubazione fornisce dunque:
4
q D L Tsur
D L Ts4 D L h Ts Tsur
e la perdita netta q’ per unità di lunghezza
q'
q
4
D ( Tu4 Tsur
) D h Ts Tsur
L
sostituendo i valori numerici
0.8 x5.67 Wm 2 K 4 4.73 4 2.98 4 K 4
q' 3.14 x0.07m x
998 W / m
2
1
15 Wm K x200 25( K )
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Commenti:
Si noti che per lo scambio radiativo si utilizzano sempre le
temperature assolute (K), mentre per quello convettivo è
indifferente usare i gradi K o i gradi °C in quanto la differenza
non cambia;
i due effetti, convettivo e d’irraggiamento, sono in questo caso
paragonabili in quanto Ts4 >> Tsur4 e contemporaneamente il
coefficiente di convezione h è di modesta entità
la linearizzazione di qrad non è lecita in quanto Ts – Tsur = 175 K
non è inferiore a Tm/5 = 77 K. Infatti, in questo caso l’errore
supera il 7%.
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