Serie 9: Meccanica II

FAM
Serie 9: Meccanica II
C. Ferrari
Esercizio 1 Moto circolare uniforme (bis)
Un PM si muove nel piano xy e la sua traiettoria è un arco di cerchio di raggio R.
1. Parametrizza la traiettoria con l’ascissa curvilinea.
2. Determina il vettore ~τ e d~τ . Verifica che ~τ è normato e che d~τ è ortogonale
ds
ds
a ~τ .
3. Determina il raggio di curvatura della traiettoria.
4. Determina l’accelerazione tangenziale e quella normale in funzione di s, ṡ, s̈.
5. Se per t = 0 il PM si trova ad un angolo θ = 0 (rispetto al cerchio trigonometrico), parametrizza l’ascissa curvilinea in funzione del tempo (ossia s(t)) nel
caso di un moto uniforme.
6. Nelle condizioni del punto precedente, detemina il vettore velocità, l’accelerazione tangenziale e quella normale e le rispettive norme. Confronta con
l’esercizio sul moto circolare della serie precedente.
Esercizio 2 Macchina in curva
Una macchina viaggia ad una velocità scalare costante v0 e abborda una curva
circolare di raggio 40 m. Qual è la velocità massima permessa se si ammette che
l’accelerazione non può superare il valore limite di a0 = 8 m/s2 ? Qual è l’accelerazione di frenata massima (ossia l’accelerazione tangenziale massima) se la macchina
viaggia ad una velocità di v0 = 60 km/h? Quanto vale la distanza di frenata?
Indicazione: Verifica che se s̈ = k~aτ k = cost allora l’equazione oraria soddisfa
s(t) = s0 + v0 t + 1 aτ t2 .
2
1
Esercizio 3 Accelerazioni
1. Una Porsche raggiunge i 100 km/h in 5,4 s. A quale velocità v0 costante deve
viaggiare una 2 CV in una curva di 40 m di raggio affinché la sua accelerazione
sia uguale a quella della Porsche?
2. I freni della 2 CV sono azionati provocando una frenata di decelerazione costante, dopo un intervallo ∆t la velocità è 12 v0 . Determina: l’accelerazione di
frenata (accelerazione tangenziale), il vettore accelerazione in funzione di ~τ e
~n da rappresentare su di un disegno, la norma di ~a.
Esercizio 4 Moto circolare
1. Un punto materiale si muove su una traiettoria circolare di raggio R = 1 m
√
con equazione oraria s(t) = 21 ct2 con c = 3/4 m/s2 .
Calcola la velocità scalare, la norma della velocità e dell’accelerazione quando esso
√ ha percorso un arco di circonferenza corrispondente ad un angolo
θ = 3/2.
2. Un punto materiale si muove su una traiettoria circolare di raggio R = 0,5 m
con equazione oraria s(t) = s2 t2 + s1 t, dove s2 = 1 m/s2 e s1 = −28 m/s.
All’istante t = 15 s calcola: la velocità scalare, i vettori ~τ , d~τ , i vettori ~aτ e ~an
ds
e la norma del vettore accelerazione.
Rappresenta su un disegno i vettori accelerazione normale e tangenziale a
questo istante.
Esercizio 5 Moto su una curva
Un PM si muove sulla curva di equazione
x
y(x) = α cosh α
(α > 0) .
1. Disegna in modo qualitativo ma accurato la curva data sopra.
2. Esprimi i vettori velocità e accelerazione in funzione di x, ẋ, ẍ.
Indicazione: Scrivi i vettori rispetto alla base canonica di R2 e deriva componente per componente.
3. Si considera l’evoluzione definita da ẋ(t) = v0 = cost, trova i vettori ~x(t), ~v (t),
~a(t).
2
L’ascissa curvilinea espressa in funzione di x è data da
x .
s(x) = α sinh α
4. Determina la velocità scalare, l’accelerazione normale e quella tangenziale in
funzione di x, ẋ, ẍ.
5. Determina il vettore ~τ in funzione sia di x (~τ (x)) sia di s (~τ (s)), il vettore
velocità (in funzione di x, ẋ oppure in funzione di s, ṡ) e d~τ . Verifica che d~τ
ds
ds
è ortogonale a ~τ e che k~τ k = 1.
6. Nelle condizioni del punto 3., determina s(t), an (t) e aτ (t). Determina poi il
raggio di curvatura della traiettoria.
7. Si considera l’evoluzione definita da ṡ = v1 = cost. Determina il vettore
velocità ~v (t).
Esercizio 6 Moto in 2D
Considera un PM che si muove nel piano xy la cui evoluzione temporale è data da
(
x(t) = kt cos ωt
y(t) = kt sin ωt
(k = 0,5 m/s, ω = 2 s−1 ).
1. Per t = π s determina il vettore velocità e il vettore accelerazione.
2. Per t = π s determina la norma dei vettori accelerazione tangenziale e accelerazione normale e il raggio di curvatura della traiettoria.
Indicazione: k~vk = |v| = |ṡ|.
3. Determina il vettore forza che agisce sul PM.
Esercizio 7 Moto in 2D
Considera un PM che si muove nello spazio la cui evoluzione temporale è data da


x(t) = a cos ωt
y(t) = b sin ωt


z(t) = 0
(a 6= b positivi).
1. Disegna la traiettoria.
2. Determina il vettore velocità e il vettore accelerazione.
~ è una costante del moto.
3. Verifica che il vettore ~x ∧ ~v = C
4. Determina il vettore forza e verifica che F~ = −k~x, k = mω 2 . Che forza è?
3
Esercizio 8 Moto cicloidale
Considera un punto P sulla circonferenza di ruota di raggio R che si muove a velocità
costante ~v0 = v0~ex . Si suppone che la ruota giri senza scivolare.
1. Parametrizza la traiettoria in funzione del tempo e rappresentala nel piano xy.
Indicazione: utilizza il disegno.
2. Determina i vettori velocità e accelerazione del punto P e le rispettive norme.
3. Verifica che il vettore accelerazione è sempre diretto verso il centro della ruota.
y
~v0
C
θ
111111111111111111111111
000000000000000000000000
P
O
A
x
Esercizio 9 Moto nel piano
Considera un PM che si muove nel piano xy. La traiettoria del PM è parametrizzata
dal tempo (evoluzione temporale) nel modo seguente
(
x(t) = e−λt cos ωt
λ, ω > 0 .
y(t) = e−λt sin ωt
Determina:
1. il vettore velocità ~v(t) e la sua norma;
2. il vettore accelerazione ~a(t) e la sua norma;
3. la norma del vettore accelerazione tangenziale k~aτ k e del vettore accelerazione
nornale k~an k;
4. il raggio di curvatura della traiettoria ρ e limt→∞ ρ(t), commenta brevemente;
5. per quali valori di λ il moto è uniforme, in questo caso di che tipo di moto si
tratta?
Verifica:
6. che l’equazione oraria è data da
√
λ2 + ω 2
(1 − e−λt ) ,
λ
se si suppone che l’orientamento della traiettoria coincide con il verso del moto
e A = (1, 0) = ~x(0), spiega il tuo ragionamento.
s(t) =
4
Con le informazioni del punto 6., determina in funzione di t:
7. la velocità scalare v;
8. il vettore ~τ e k~τ k;
τ
τ
τ
, k d~
k e verifica che d~
è normale a ~τ (Puoi verificare l’esattezza
9. il vettore d~
ds
ds
ds
d~
τ
del calcolo della norma di ds utilizzando uno dei punti precedenti, quale?).
Supponendo λ < 1 e ω > λ, rappresenta in modo qualitativo ma accurato:
10. i vettori ~v , ~aτ , ~an e ~a ad un istante finito scelto arbitrariamente;
11. la traiettoria, calcolando la sua lunghezza nel caso ω/λ ≪ 1.
Giustifica sulla base di leggi fisiche conosciute che:
p
12. ponendo ω = ω02 − λ2 , con ω0 > λ, la forza agente sul PM può essere scritta
come F~ = −α~x − β~v, dove α e β sono due costanti da determinare. Che forze
agiscono sul PM?
5